2017最新函数图像的对称问题(小结)
解填空题常用到的几个公式
1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos =
2． 在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22
122sin sin sin θθθ+= 3． 设F 1,F 2为椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ?=2tan 2θ
b , 21e a
b -= .
4． 设F 1,F 2为双曲线122
22=-b
y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ?=2cot 2θ
b , 12-=e a
b . 5．已知椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2
cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122
22=-b
y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0
202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>=
θ2sin 2P
AB =则线段
函数图像的对称问题(小结)
函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函数图象关于某直线对称或关于某点成中心对称与函数自身的对称轴或对称中心是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。
一、 同一个函数图象关于直线的对称
结论1：设a,b 均为常数，函数)(x f y = 对一切数学x 都满足)()(x b f x a f -=+，则函数的图象关于直线2
b a x +=对称。
推论1：在直角坐标系中，满足)()(x a f x a f -=+的函数y=f(x)关于直线x=a 对称（其中a 为常数）
推论2：在直角坐标系中，满足)()(a x f x a f -=-的函数 的图象关于直线x=0对称。 例1 已知函数的定义域为R ，且对于一切实数x 满足
),7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+，
，当]7,2[∈x 时， ， f(x)2)2(-=x 当]20,16[∈x 时，求函数)(2)(x f x x g -=的表达式。
解：由 )7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+知，函数)(x f y =的图象关于直线x=2和x=7对称，且有
)10()]3(7[)]3(7[)4()]2(2[]2)2[()(+=++=+-=-=--=+-=x f x f x f x f x f x f x f )()10(x f x f =-∴
当]17,16[∈x 时， ]7,6[10∈-x ，此时2
2)12()210()10()(-=--=-=x x x f x f ； 当x ]20,17(∈时，],7,4[)20(4),0,3(20∈---∈-x x 22)22(]2)20(4[)]20(4[)20()(-=---=--=-=∴x x x f x f x f ，
g(x)=?????≤--≤≤--)
2017()22(2)1716()12(222x x x x x x π 二、两个函数图象关于直线的对称
结论2：在同一直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2
a b x -=对称（其中a ，b 均为常数） 推论1：在直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线x=0对称。 推论2：在直角坐标系中，函数)(x a f y -=与函数)(a x f y -=的图象关于直线x=a 对称（其中a 为常数）。
例2 设函数f(x)x x x g -+==112)(,2，则它们的图象（ ）
A ．关于原点中心对称
B ．关于直线x=0对称
C ．关于直线x=1对称
D ．既不成中心对称也不成轴对称
解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y 轴，故应选B 。
三、 同一个函数图象关于点成中心对称
结论3：设a ，b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
例2 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ，求)2002()(11x f x f -+--的值。 解：由已知，在等式b x a f x a f 2)()(=-++中，令a=0，2b=2002，则函数)(x f y =关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1x f y -=关于点(1001,0)对称。 0)1001()1001(11=-++∴--x f x f
将上式中的x 用x －1001换，得)2002()(11x f x f -+--=0 。
四、 两个函数图象关于点成中心对称
结论4：设a ，b ，c 均为常数，则函数 )(x a f y += 与)(x b f c y --= 关于点(2,2c a b -)成中心对称图形。
例4 已知函数)(x f y =是定义在实数集R 上的函数，那么)6(x f y -=与)4(+-=x f y 的图象（ ）
A ．关于直线x=5对称
B ．关于直线x=1对称
C ．关于点)0,5(对称
D ．关于点(1,0)对称
解析：由题意，已知式变形为)4(+=-x f y ，)6(x f y --=-，则有a=4，b=6，c=0。 由结论4知，)6(x f y -=与)4(+-=x f y 关于点(20,246-)成中心对称，即关于点 (1,0)对称，故应选择D 。
初中函数图像及性质
函数的定义 一、自变量与应变量 在数学中，通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。那么y 随着x 变化而变化，则我们把x 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是x 函数。 一次函数的图像及性质 一、一次例函数定义 形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。 二、正比例函数 当一次函数()()叫正比例函数。时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。且与y 轴的截距是b ，与y 轴的交点坐标为()b ,0。 2、当0>k 时，正比例kx y =的函数图像过一、三象限， 的增大而增大。随x y 3、当0
六、用函数的观点看不等式 设两个一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的交点 为点()00,y x ，如图可知 （1）当o x x >时，21y y >； （2）当o x x =时，21y y =； （3）当o x x <时，21y y <。 反比例函数图像及性质 一、反比例函数定义 形如()0≠= k x k y 这样的函数叫反比例函数。k 叫比例系数()为常数k 。 二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。 三、反比例函数的性质 2、当0>k 时，反比例函数x k y =的图像分布在一、三象限。 3、当0 函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。 函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=- 巧用二次函数图象的对称性解题解析 新盈中学王永升 2010-6-29 二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。 分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式 来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题 目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此 我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一 个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的 交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。 初中三类函数的图像及其性质 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y 叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： 1．图象的位置: 2．增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 3．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 一是由已知函数推导或推证 二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 三是用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： （1）利用一次函数的定义构造方程组。 （2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 （3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程 （4）利用题目已知条件直接构造方程 反比例函数图像及其性质 1.反比例函数：形如y＝ x k （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。 其他形式xy=k 1- =kx y x k y 1 = 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点 3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大 而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 二次函数图像及其性质知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 a>向上() 00 ，y轴 x>时，y随x的增大而增大；0 x<时，y随 x的增大而减小；0 x=时，y有最小值0．0 a<向下() 00 ，y轴 x>时，y随x的增大而减小；0 x<时，y随 x的增大而增大；0 x=时，y有最大值0． 课题：函数图像的对称变换（2课时） 学情分析：相对于函数图象的平移变换，对称变换是学生的难点，对于具体函数，学生还有一定的思路，但结论性的结果，学生掌握的不是很好。 教学目标： （1） 通过具体实例的探讨与分析，得到一些对称变换的结论。 （2） 通过一定的应用，加强学生对对称变换结论的理解。 （3） 能数形结合解决想过题目。 教学过程： 欣赏图片，感受对称 一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。 1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称． 3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则 ()y f x =的图像关于直线 对称． （2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称． 4、对0a >且1a ≠，函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线 对 称． 5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变． 6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像． 二、学生先独立完成，再分析点评 2 3、函数x y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ． 5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、典例教学 【例1】填空题： （1 （2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有 中考专项复习三（函数及其图象） 一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，满分40分) 2．若 ab ＞0，bc<0，则直线y=－a b x －c b 不通过（ ）. A ．第一象限 B 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）. A ．－1 B ．1 C ． 2 1 D ．2 4．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）. A ．y=－x －2 B ．y=－x －6 C ．y=－x+10 D ．y=－x －1 5．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y= kb x 的图象大致为（ ） . 6．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 A ．1 B ．3 C ．4 D ．6 7．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）. A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－2 8．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则点(a+b ，ac)在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9．二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②b ＞0； ③c ＞0；④b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是（ ）. A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个 10．如图，正方形OABC ADEF ，的顶点A D C ，，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B E ，在函数 1 (0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是（ ） Ａ． ?? Ｂ． ? ? Ｃ． ?? Ｄ．?? 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知y 与(2x+1)成反比例，且当x=1时,y=2，那么当x=-1时，y=_________. 12．在平面直角坐标系内，从反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是_________. 13．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙： 函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小 .请你根据他们的叙述构造满足上述 x 课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）——正弦函数图象的对称性 教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下） 授课教师： 北京市第十九中学 檀晋轩 【教学目标】 1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式x x sin )sin(=-π（∈x R ）与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义，体会正弦函数的对称性. 2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力. 3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】 正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线2π= x 对称和关于点)0,(π对称. 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】 计算机、图形计算器（学生人手一台）. 【教学过程】 一、复习引入 1.展示生活实例 对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）. 2．复习对称概念 初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念： 轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合； 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合. 3．作图观察 请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象 （见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？ 是轴对称图形还是中心对称图形？ 4．猜想图形性质 经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对 称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对 称轴和对称中心.（教师点评并板书） 如何检验猜想是否正确？ 我们知道， 诱导公式x x sin )sin(-=-（∈x R ），刻画了正弦曲线关于原点对称，而x x cos )cos(=-（∈x R ），刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明. 今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题） 二、探究新知 分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质. （一）对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线 2π=x 对称的研究. 1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行 探索 请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线 2 π=x 的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见右图），在直线2 π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律？ 给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最 初中函数解析式及图象画法 一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 1、 一次函数：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) 说明： ① k ≠0 的常数 ② x 指数为1 ③ b 取任意实数 ④自变量x 的取值为一切实数。【x 的取值范围(定义域)：x ∈R 】 ⑤函数y 的取值是一切实数。【y 的取值范围(值域)：y ∈R 】 2、反比例函数：x k y = （k 为常数，k ≠0） 说明： ① 常数k 不为零（也叫做比例系数k ） ②分母中含有自变量x ，且指数为1. ③自变量x 的取值为一切非零实数。【x 的取值范围(定义域)：{x ∈R ∣x ≠0}】（反比例函数有 意义的条件：分母≠0）④函数y 的取值是一切非零实数。【y 的取值范围(值域)：{y ∈R ∣y ≠0}】 3、二次函数：一般式：2y ax bx c =++（0a ≠，a b c ，，是常数） ： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤） 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数 值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 1、一次函数y=kx+b 图像（直线）的画法：两点法 ① 计算必过点（0，b ）和（-k b ，0）[当x=o,时，y= b ，过点（0，b ）；当y=o,时，x=-k b 过点（- k b ，0）] ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的直线） 2、反比例函数x k y =图像（双曲线）的画法：---五点绘图法： ①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线） 3、二次函数2y ax bx c =++图象（抛物线）的画法---五点绘图法： ① 配方变形：2 2244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a --=+++对于二次函数经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（， ② 确定三特征：开口方向（a 正朝上；b 负朝下）；)2x b a 对称轴(直线 =-； 2 4-24b ac b a a - 其顶点坐标为（， ） ③ 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ④ 选取五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点b c a ??- ??? ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（212,=0x x ax bx c ++是方程的解,若与x 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点（无/有），与y 轴的交点. 函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④ 函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。 解填空题常用到的几个公式 1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成 的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos = 2． 在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22 122sin sin sin θθθ+= 3． 设F 1,F 2为椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ?=2tan 2θ b , 21e a b -= . 4． 设F 1,F 2为双曲线122 22=-b y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ?=2cot 2θ b , 12-=e a b . 5．已知椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2 cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122 22=-b y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0 202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>= 函数图像的对称问题(小结) 函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点．．．．．．．．．．．．．．．成．中心对称．．．．与函数自身的对称轴或对称中心．．．．．．．．．．．．． 是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。 一、 同一个函数图象关于直线的对称 一次函数（图像题） 专项练习一 1．函数y=ax+b 与y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＞2时，y 2＞y 1，其中正确的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 3．一次函数y=kx+b ，y 随x 的增大而减小，且kb ＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．下列函数图象不可能是一次函数y=ax ﹣（a ﹣2）图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图所示，如果k ?b ＜0，且k ＜0，那么函数y=kx+b 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．如图，直线l 1：y=x+1与直线l 2：y=﹣x ﹣把平面直角坐标系分成四个部分，则点（，）在（ ） A ． 第一部分 B ． 第二部分 C ． 第三部分 D ． 第四部分 7．已知正比例函数y=﹣kx 和一次函数y=kx ﹣2（x 为自变量），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．函数y=2x+3的图象是（ ） A ． 过点（0，3），（0，﹣）的直线 B ． 过点（1，5），（0，﹣）的直线 C ． 过点（﹣1，﹣1），（﹣，0）的直线 D ． 过点（0，3），（﹣，0）的直线 9．下列图象中，与关系式y=﹣x ﹣1表示的是同一个一次函数的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．函数kx ﹣y=2中，y 随x 的增大而减小，则它的图象是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 11．已知直线y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，满足b 1＜b 2，且k 1k 2＜0，两直线的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．如图所示，表示一次函数y=ax+b 与正比例函数y=abx （a ，b 是常数，且ab ≠0）的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 13．连降6天大雨，某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升．若该水库的蓄水量V （万米3）与降雨的时间t （天） 的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） 三角函数图象的对称性质及其应用 观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性 ，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。 一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 性质1、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 2ππ?ω+=+k x )(Z k ∈，则ω ?π22)12(-+= k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π-=k x 。 例1、函数)62sin(3π+ =x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+ πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，3 2π=x ，故选（B ）。 例2、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解：由性质1知， 令1)33cos(±=+ πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)3 3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9 3ππ-=k x )(Z k ∈。 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形； )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得 函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 三角函数图像的对称轴与对称中心 特级教师 王新敞 对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错， 一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心． 1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2 x k π π=+ 、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即 2 x k π ωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2 x k π πφω = + - ()k Z ∈，这就是函数 sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出 1 ()x k πφω = - ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1 ( (),0) k k Z πφω -∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心： 函数对称性 一 知识点 I 函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、图象关于直线对称 推论1：的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于Y轴对称 2、与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、函数与其反函数图象关于直线对称 5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则关于__________对称，图象关于 __________对称，。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y 轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。 关于函数图像对称性的问题 胡春林 指导老师：刘荣玄 【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。 【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称 一、函数自身的对称性的问题 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。 例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。例题2 ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数， 且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： 函数图象的对称教案 【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法； 2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题． 【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法 【教学难点】自对称和相互对称的区别 【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法）， 例4（函数的对称问题） 【教学过程】 一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法 〖例1〗 写出点),(y x M 关于下列直线或点对称的点的坐标 ★ 点评：将点),(y x M 改为函数)(x f y =图象或曲线0),(=y x F 解法类似，其步骤大致如下： 将所求曲线上的任意一点(,)P x y ，求其关于点（或直线）的对称点(,)P x y '''，再将点P '的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程． 因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法, 问题便迎刃而解. 〖例2〗 已知函数31y x =+，则其关于原点对称的函数解析式为 ；关于直线1y x =+对称的函数解析式为 ． 当对称轴斜率为±1时，点坐标符合口诀： x 用y 代， y 用x 代． 答案：31y x =-；113 y x =+ 〖例3〗 已知定义在[1,1]-上的奇函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于点(2,1)对称，且当34x ≤≤时，3()(4)2g x x =-+，求()f x 的解析式． 解：① 设(,)P x y （01x ≤≤）为()f x 的图象上的任意一点，则其关于点(2,1)的对称点(4,2)P x y '--（344x ≤-≤）必在()g x 的图象上，故32(44)2y x -=--+ ∴当01x ≤≤时，3()f x x = ② 当10x -≤<时，10x -≤<，且()f x 为奇函数 ∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述， 3()f x x =． 〖例4〗 设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题中： ① 若()f x 为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称； ② 若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③ 若(2)(2)f x f x -=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ④ 若(2)(2)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ⑤ (2)y f x =+与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称． ⑥ (2)y f x =-与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称． 其中正确命题的序号为： ． 答案：④⑥ ★点评：其中注意④⑤的区别，(2)(2)f x f x +=-指的是()y f x =的图象自身的一种对称关系；而(2)y f x =+与(2)y f x =-是函数()f x 通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系． 二、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 命题1：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=-， 则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称． 推 论：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f b x +=-， 则函数()y f x =的图象关于直线()()22 a x b x a b x ++-+= = 对称． 命题2：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=--， 思考： 情形一中 x 的范围 是如何给 出的，为何 要限定其范围？《函数对称性的解题方法归纳》
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