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第四节函数的图象

函数图象的识别

1.(2012年北京卷,文8,5分)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为( )

(A)5 (B)7 (C)9 (D)11

解析:前m年的平均产量为,m∈N*,1≤m≤11,数形结合转化为点(m,S m)与原点(0,0)连线的斜率,即k m==,观察散点图,可知,m=9时,k m达到最大.

答案:C.

本题首先考查学生识图能力,尤其是观察两坐标轴表示的实际含义.其次是要学会将所要求解的代数式巧妙的转化为几何模型(斜率)来处理,使问题更加形象、直观,淡化复杂计算,着重对学生数学思维能力的考查.

2.(2012年湖北卷,文6,5分)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )

解析:法一:y=f(x)→y=f(-x)→y=f[-(x-2)]→y=-f(2-x),即先关于原点对称,

再向右平移2个单位长度,即为B图象.

法二:当x=2时,y=-f(2-2)=-f(0)=0,故排除D项;当x=1

时,y=-f(2-1)=-f(1)=-1,故排除A,C项;所以由排除法应选B项.

答案:B.

对于不好识别的函数图象题,可以取几个特殊点的函数值进行判断,充分利用排除法,这正是快速突破选择题的优势所在.

3.(2012年四川卷,文4,5分)函数y=a x-a(a>0,且a≠1)的图象可能是( )

解析:若a>1,则图象与y轴交点在x轴下方,且当x=1时,y=0,故A,B 不对;若0

答案:C.

4.(2012年山东卷,文10,5分)函数y=的图象大致为( )

解析:本题考查利用函数性质确定函数图象,

∵f(-x)==-f(x)且函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)

∴函数f(x)是奇函数,故排除A;令y=0得,x=+,k∈Z,即函数有无数个零点,故排除C;又当x∈(0,)时,易得f(x)>0,故排除B.

答案:D.

已知函数解析式选图问题的切入点是从分析函数的性质、特征入手,确定符合题意的答案.

5.(2011年陕西卷,文4)函数y=的图象是( )

解析:由函数y=的图象与直线y=x的位置关系易知选B.

答案:B.

6.(2011年山东卷,文10)函数y=-2sin x的图象大致是( )

解析:利用特殊化思想求解;当x=0时,y=0,排除A;当x→+∞时,显然y>0,排除D;当x=2π时,y=π<4,排除B,故选C.

答案:C.

(2010年新课标全国卷,文6)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(,-),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )

解析:本题采用排除法,因为初始位置P 0(,-)到x轴距离d=,故排除A和D,又因为当t=时,转动角度θ=ωt=,此时P点恰好落在x轴上,此时d=0,所以选择C排除B.

答案:C.

8.(2010年山东卷,文11)函数y=2x-x2的图象大致是( )

解析:∵函数y=2x-x2在(-∞,0)上单调递增,可排除C、D.

又∵f(2)=f(4)=0,故选A.

答案:A.

9.(2012年天津卷,理14,5分)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.

解析:y=

其图象如图

而函数y=kx的图象是过原点的直线,

当直线过点(1,2)时,k=2,

当直线斜率为1时,k=1,

结合图象易知0

答案:(0,1)∪(1,2)

本题考查利用函数图象,数形结合,求参数范围,涉及函数y=

是带绝对值号的分式函数,其图象画法有一定难度,突破的关键是利用绝对值的意义,讨论x不同取值范围,去掉绝对值号,化为分段函数,再画出图象.

函数图象的应用

10.(2011年陕西卷,文6)方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内( )

(A)没有根

(B)有且仅有一个根

(C)有且仅有两个根

(D)有无穷多个根

解析:设y1=|x|,y2=cos x,画两函数图象如图.故选C.

答案:C.

11.(2011年新课标全国卷,文12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有( )

(A)10个(B)9个(C)8个(D)1个

解析:由y=f(x)与y=|lg x|图象(如图)可知选A.

答案:A.

12.(2011年北京卷,文13)已知函数f(x)=

若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围

是.

解析:利用图象,对f(x)=(x-1)3,可以看作是y=x3向右平移一个单位得到,而f(x)=可以看作是y=的纵坐标伸长到原来的2倍得到,所以其图象为

所以直线y=k与其有两个不同交点时,0

答案:(0,1)

6.5一次函数图象的应用(第二课时)教学设计

第六章一次函数５．一次函数图象的应用（二）成都七中陈中华一、学生起点分析在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．二、教学任务分析《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标：在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 2．教学重点一次函数图象的应用 3．教学难点从函数图象中正确读取信息四、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备：教具：教材，课件，电脑学具：教材，练习本，铅笔，直尺

五、教学过程：本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．第一环节：情境引入内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。第二环节：问题解决内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午 7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h．（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2，由题意得：S1=36t， S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线S1=36t， S2=26t+10的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36 km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km．所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km）思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否

第7讲函数的图象 (1)

第7讲函数的图象一、选择题 1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( ) A.向右平行移动2个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动2个单位长度 D.向左平行移动1个单位长度解析因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象. 答案 B 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除 B.故选 C. 答案 C 3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝? ?? ??x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 解析 (1)因为f (－x )＝? ????－x ＋1x cos(－x )＝－? ?? ??x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝? ?? ??π－1πcos π<0，排除C ，故选D. 答案 D 4.(2017·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( ) 解析由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当01时，y >0. 排除选项A ，C ，D ，选B. 答案 B

第11讲函数的图象(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第11讲函数的图象思维导图知识梳理 1．利用描点法作函数的图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称 y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换

①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x ) ――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换 ①y ＝f (x ) a ＞1，横坐标缩短为原来的1 a 倍，纵坐标不变 0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1 a 倍，纵坐标不变 →y ＝f (ax )． ②y ＝f (x ) a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2019秋?海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-?? =-??->? ．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象；（Ⅱ）若1 () 4 f x ，求x 的取值范围；（Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可；（Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解；（Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解．【解答】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图；（Ⅱ）当1x <-时，满足1 () 4 f x ，

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；

(课标通用)北京市202x版高考数学大一轮复习第二章 7 第七节函数的图象夯基提能作业本

第七节函数的图象 A组基础题组 1.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度答案 C 由y=lg得y=lg(x+3)-1,把函数y=lg x的图象向左平移3个单位长度,得函数y=lg(x+3)的图象,再向下平移1个单位长度,得函数y=lg(x+3)-1的图象.故选C. 2.(2017北京西城一模)函数f(x)=-log2x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B f(x)=-log 2x的零点个数就是函数y=与y=log2x的图象的交点个数. 如图: 由图知函数f(x)的零点个数为1.故选B. 3.函数y=的图象可能是( ) 答案 B 易知函数y=为奇函数,故排除A、C,当x>0时,y=ln x,只有B项符合,故选B. 4.下列y=f(x)的函数图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )

答案 D 因为f>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中, ff(0),所以 f0且b≠1)的图象如图所示,那么函数y=log b(x-a)的图象可能是( ) 答案 C 由y=a+sin(bx)的图象可得a>1,且最小正周期T=<π,所以b>2,所以y=log b(x-a)是增函数,排除A和B;当x=2时,y=log b(2-a)<0,排除D,故选C. 6.(2015北京朝阳期末,7)已知定义在R上的函数f(x)=若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个交点,则实数a的取值范围是( ) A.(0,2) B.[0,2) C.(0,2] D.[1,2] 答案 B 由题意得f(x)=在平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象如图所示, 由图象易知,若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个交点,则a的取值范围是[0,2),故选B. 7.(2017北京朝阳二模,7)已知函数f(x)=(a>0且a≠1).若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是( )

2021高考数学一轮复习第7讲函数的图象学案含解析.doc

第7讲函数的图象 [考纲解读] 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题. 2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点) 3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2021年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解. 1．利用描点法作函数图象的流程 2．变换法作图 (1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝□03 －f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝□04f (－x )；

③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝□05 －f (－x )； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝□06log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换 ①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去 y ＝□07|f (x )|； ②y ＝f (x ) ―――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝□ 08f (|x |)． (4)伸缩变换 y ＝□09f (ax )； ②y ＝f (x )―――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0