中考真题——圆的综合练习20题答案版
1.如图，已知在△ABC中，∠A=90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
（1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；
（2）根据角平分线的性质得到∠ABP=30°，根据三角函数可得AP=，再根据圆的面积公式即可求解．
解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）∵∠B=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，
∵tan∠ABP=，∴AP=，∴S
⊙P
=3π．
本题主要考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距
2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切
于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．
考点：切线的性质；平行四边形的性质．
分析：（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；
（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，
得到答案．
解答：证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠
ABE=∠DAE，
又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；
（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，
又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，
在△AEH和△AEF中，[
，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，
，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．
点评：本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的
判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理
和圆内接四边形的性质的运用．
3．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC
于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平
行四边形；
（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．
考点：圆的综合题．
分析：（1）由垂径定理得出PG⊥BC，CD=BD，再由三角函数求出∠BOD=60°，
证出AC∥PG，得出同位角相等即可；
（2）先由SAS证明△PDB≌△CDK，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD，证出AG=CK，
再证明AG∥CK，即可得出结论；
（3）先证出DH∥AG，得出∠OAG=∠OHD，再证OD=OH，由SAS证明△OBD≌△
HOP，得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．
解答：（1）解：∵点P为的中点，AB为⊙O直径，
∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，[∴∠ODB=90°，
∵D为OP的中点，∴OD=OP=OB，∴cos∠BOD==，∴∠BOD=60°，
∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ODB，∴AC∥PG，∴∠BAC=∠
BOD=60°；
（2）证明：由（1）知，CD=BD，
在△PDB和△CDK中，
∴△PDB≌△CDK（SAS），∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP，∴AG=CK，
∵OP=OB，[来源:zzste@*p.%^c~om]∴∠OPB=∠OBP，[
又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK，∴四边形AGCK是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB[
∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG，∴DH∥AG，∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，∴∠OAG=∠G，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH，
在△OBD和△HOP中，，
∴△OBD≌△HOP（SAS），∴∠OHP=∠ODB=90°，∴PH⊥AB．
点评：本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过证明平行线得出角相等，再进一步
证明三角形全等才能得出结论．
4．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE
＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；
（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．
考点：圆的综合题．.
分析：（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据
圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三
角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在
Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，
然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE∽△AFD，
利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S
阴影部分=S
△BDF
﹣S
弓形BD
=S
△
BDF ﹣（S
扇形BOD
﹣S
△BOD
）进行计算；
（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由=得到
CD=BD=2，先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．
证明：（1）连结OD，如图1，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，
∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，
在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，
在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，
∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，
易证得△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，∴AE=
∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴=，即=，解得DF=12，
在Rt△BDH中，BH=BD=，∴S
阴影部分=S
△BDF
﹣S
弓形BD
=S
△BDF ﹣（S
扇形BOD
﹣S
△BOD
）
=?12?﹣+?（2）2=9﹣2π；
（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，
∵=，∴CD=BD=2，
∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，
∴=，即=，∴xy=4，
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，
∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，
即BF的长为3．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；
（2）求证：DE=DM．
考点：切线的性质；扇形面积的计算．
分析：（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，
得到∠DOC=45°，根据S
阴影=S
△OCD
﹣S
扇OBD
计算即可；
（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．
解答：（1）解：如图，连接OD，
∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，
∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，
∴S
阴影=S
△OCD
﹣S
扇OBD=
﹣=4﹣π；
（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，
在△AMD和△ABD中，
，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．
点评：本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌
握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．
6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直
线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
考点：切线的判定．
分析：（1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠
3=∠4，结合已知条件证得结论；
（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，
然后根据△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的长．
解答：（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，[∴∠3=∠4（同
角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；
（3）解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，
在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，
∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，
∴=，即=，∴PF=，∴PD=PF﹣DF=﹣2=．
点评：本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=3/5，求⊙O的直径．
考
点：
圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．
分析：（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．
解答：（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，弧BD=弧BC，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=3/5，即=3/5，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5．
点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=1/3，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．
考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，
DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由=1/3，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=．
解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG=CG，
∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；
②∵=1/3，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；
③∵AF=3，FG=2，∴AG=，
tan∠E=．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、
勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结
合思想的应用．
9.如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，
得到
△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求
出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
考
点：
圆的综合题．
分析：（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．
（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．
（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠
MQG=120°，所以
∠MQG是定值．
解
答：
解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．
∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA= =2．
∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．
（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．
如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．
过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．
在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．
∴点M的坐标为（﹣2，）．
（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．
∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．
∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．
∴∠MQG=2∠MBG．
∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．
10．（如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
考点：菱形的判定与性质；等边三角形判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析：（1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；
（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．
解答：（1）证明：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；
（2）解：∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，
∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，
∴．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．
11.．图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（1）点O到弦AB的距离是 1 ，当BP经过点O时，∠ABA′= 60 °；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：
（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．
考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
专
题：
综合题．
分析：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．
（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
（3）根据点A′的位置不同，分点A′在⊙O内和⊙O外两种情况进行讨论．点A′在⊙O内时，线段BA′与优弧都只有一个公共点B，α的范围是0°＜α＜30°；当点A′在⊙O的外部时，从BA′与⊙O相切开始，以后线段BA′与优弧都只有一个公共点B，α的范围是60°≤α＜120°．从而得到：线段BA′与优弧只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
解：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．
∵OH⊥AB，AB=2，∴AH=BH=．∵OB=2，∴OH=1．
∴点O到AB的距离为1．
②当BP经过点O时，如图1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，∴sin∠OBH==．∴∠OBH=30°．
由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．∴∠ABA′=60
°．故答案为：1、
60．
（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．
∴OG=OB=1．∴BG=．
∵OG⊥BP，∴BG=PG=．∴BP=2．∴折痕的长为2．
（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，
Ⅰ．当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°．Ⅱ．当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°．
综上所述：线段BA′与优弧只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，考查了用临界值法求α的取值范围，有一定的综合性．第（3）题中α的范围可能考虑不够全面，需要注意．
12. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一
点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长等于________（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题：几何综合题；数形结合．
分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；
（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠
DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠
BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．
解答：解：过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE= AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB?cos∠B=2×3
= ，∴AB=23；故答案为：
23；
（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；
（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴
AC= 1
2AB= 3．
点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
13、如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC 交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
考
点：
圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理
分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解
答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC 中，BC===
． ∵OE ⊥AC ，∴AE=EC ，又∵OA=OB ，∴OE=BC=
． 又∵OD=AB=2，∴DE=OD ﹣OE=2﹣．
点评： 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE 是△ABC
的中位线是关键．
14、如图，在中，，平分交于点，点在边上且．
（1）判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若
的长．
解：（1）直线与外接圆相切.
理由：∵，
∴ 为外接圆的直径，
取的中点（即外接圆的圆心），连结，
∴，∴，
∵平分，∴ ，∴ ，
∵，∴ ，即，
∴直线与外接圆相
切. ………………………………………………（6分）
（2）设，
∵，∴， ∴，
∴，
∵，∴，∴,即, ∴
. ……………………………………………………………………（12
分）
15、如图，
BC 是⊙O 的直径，AD ⊥CD ，垂足为D ，AC 平分∠BCD ，AC =3，CD =1，求⊙O 的半径
Rt ABC △90C ∠=BE ABC ∠AC E D
AB DE BE ⊥AC DBE △6AD AE ==，BC AC DBE △DE BE ⊥BD DBE △BD O DBE △OE OE OB =OEB OBE ∠=∠BE ABC ∠OBE CBE ∠=∠OEB CBE ∠=∠90CBE CEB ∠+∠=°90OEB CEB ∠+∠=°OE AC ⊥AC DBE △OD OE OB x ===OE AC ⊥222(6)x x +-=3x =12AB AD OD OB =++=OE AC ⊥AOE ABC △∽△AO OE AB BC =9312BC =4BC = C （第14题） B
D A E
答案：
16、已知A 、B 、C 是半径为2的圆O 上的三个点，其中点A 是弧BC 的中点，
连接AB 、AC ，点D 、E 分别在弦AB 、AC 上，且满足AD =CE .
（1）求证：OD =OE ；
（2）连接BC ，当BC =2时，求∠DOE 的度数.
答案：
17、如图，AB 是⊙O 的直径，点A 、 C 、D 在⊙O 上，过D 作PF ∥AC 交⊙O 于F 、交AB 于E ， 且∠BPF =∠ADC .
（1）判断直线BP 和⊙O 的位置关系，并说明你的理由；
2
D
A
P B A
（2）当⊙O 的半径为5，AC =2，BE =1时，求BP 的长.
答案： (1)直线BP 和⊙O 相切. ……1分
理由：连接BC,∵AB 是⊙O 直径,∴∠ACB=90°. ……2分
∵PF ∥AC,∴BC ⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°. ……3分
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB ⊥BP, ……4分
所以直线BP 和⊙O 相切. ……5分
(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4. ……6分
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,
由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB ∽△EBP, ……8分
∴AC BE =BC BP
,解得BP=2.即BP 的长为2. ……10分 18、 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径，，请你求出的值. 答案：∵AD 是⊙O 的直径，，∴∠ACD =90°，AD =3， ∵AC =2，∴，∴， ∵∠B 和∠D 是同弧所对的圆周角，∴∠B =∠D ，
∴
19、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， D 是⊙O 上一点，且AD ∥OC ．
（1）求证：△ADB ∽△OBC ．
（2）若AB =6，BC =4．求AD 的长度 ．（结果保留根号）
答案：证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，
32
r =2AC =cos B 3
2r =22325CD =-=5cos D =5cos cos B D ==
A B C D E O P
A
C
D
O
∴∠D ＝∠OBC ＝90°
∵AD ∥OC ∴∠A ＝∠COB ∴△ADB ∽△OBC
（2）∵AB =6, ∴OB =3,
∵BC =4,
∵△ADB ∽△OBC
∴
20.如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6c m ，BC =8c m ．P 为BC 的中点，动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2c m /s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．
（1）当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O 为△ABC 的外接圆．若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．
考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质。
专题：几何综合题；动点型。
分析：（1）根据已知求出AB =10c m ，进而得出△PBD ∽△ABC ，利用相似三角形的性质得出圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径，即可得出直线AB 与⊙P
相切；
（2）根据BO =12
AB =5c m ，得出⊙P 与⊙O 只能内切，进而求出⊙P 与⊙O 相切时，t 的值．
解答：解：（1）直线AB 与⊙P 相切.
如图，过P 作PD ⊥AB ，垂足为D. 在R t △ABC 中，∠ACB =90°，
∵AB =6c m ，BC =8c m ，∴AB =10c m ，∵P 为BC 中点，∴PB =4c m ，
∵∠PDB =∠ACB =90°，∠PBD =∠ABC ，∴△PBD ∽△ABC ，
5OC ∴===6,,35AD AB AD OB OC =∴=185
AD ∴
=
∴PD PB
AC AB
=，即
4
610
PD
=，∴PD=2.4（c m），当t=1.2时，PQ=2t=2.4（c m），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，∴直线AB与⊙P相切；
（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴BO=1
2
AB=5c m，
连接OP，∵P为BC中点，∴PO=1
2
AC=3c m，
∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切，∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3，
∴t=1或4，∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆
与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．