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各地导数模拟高难度压轴题_题经典_量大_做完数学压轴没问题轻松搞定

2012届高三年级第一次四校联考数学评分标准(理科) 第3页（共4页）

1.已知函数()()ln 1f x x ax =+-的图象在1x =处的切线与直线210x y +-=平行．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若方程()()1

f x m x =

-在[]2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设常数1p ≥，数列

{}n a 满足()1ln n n n a a p a +=+-（n ∈+N ），1ln a p =．

求证：1n n a a +≥．（Ⅰ）a x x f -+=

11)('， 1a 2

-a -2121)1(f '=∴=-=∴由题意知a ---------3分（Ⅱ）由（1）m x x x x x f =-+∴-+=)1(ln 4,)1ln()(原方程为，设x x x g -+=))1ln(4)(，得x

x x g +-=

-+=

13114)('， 0)3(',0)('g 3x 2,0)('g 4x 3=>≤≤<≤≤∴g x x 时，当时当，上是减函数。上是增函数，在，在]4,3[]32[)(x g

.45ln 4)4(,23ln 4)2(,34ln 4)(g max -=-=-=∴g g x 又

).4()2(025

9ln

2)4()2(g g e

g g <∴<=-由于 ).34ln 4,45ln 4[--∴的取值范围是a ---------------------------------------------------9分

（Ⅲ）证明：由,0)0(',1111)(')1()1ln()(=+-=-+=>-+=f x

x x x f x x x x f 有当

x>0

时

，

上是减函数，在时，当),0()(,0)('01,0)('+∞><<-

增函数。

在)0,1[)(f -x 0)(),1(,0)(max ≤+∞-=∴x f x f 上在 11,)1ln(-≥--∴>≤+∴n n a p a p x x 又

由,1),11ln()ln(11n n n n n n n a p a a a p a p a a --≤-∴--+=-=-++

,11-≤+p a n 即n n n n n a a p p a p a a n ≥=--≥-=≥++11,0)]1(ln[)ln(-2即时，当

当n=1时，1))1(1ln(ln ),ln ln(12-≤++=-+=p p p p p a a 由

,))1(ln(112a p p a a =-++≥∴结论成立

∴对n n a a N n ≥∈++1, ----------------------------------------------14分

2.已知a 为常数，R ∈a ，函数x ax x x f ln )(2-+=，x x g e )(=．（其中e 是自然对数的底数）

（Ⅰ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，设切点为),(00y x P ，求证：10=x ；（Ⅱ）令)

()

()(x g x f x F =

，若函数)(x F 在区间]1,0(上是单调函数，求a 的取值范围．解：（I ）x

a x x f 1

2)(-

+='（0>x ）． …2分

所以切线的斜率0002000ln 12x x ax x x a x k -+=-+=，整理得01ln 02

0=-+x x .

…4分

显然，10=x 是这个方程的解，又因为1ln 2-+=x x y 在),0(+∞上是增函数，所以方程01ln 2=-+x x 有唯一实数解．故10=x ．

…6分

（Ⅱ）x

ax x x g x f x F ln )()()(2

-+==

，x

e x x a x a x x F ln 1

)2()(2+-

+-+-='． …8分

设x x a x a x x h ln 1)2()(2+-

+-+-=，则a x x

x x h -+++-='21

12)(2．易知)(x h '在]1,0(上是减函数，从而a h x h -='≥'2)1()(．

…10分

（1）当02≥-a ，即2≤a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在区间)1,0(上是增函数． 0)1(=h Θ，0)(≤∴x h 在]1,0(上恒成立，即0)(≤'x F 在]1,0(上恒成立． )(x F ∴在区间]1,0(上是减函数．

所以，2≤a 满足题意． …12分

（2）当02<-a ，即2>a 时，设函数)(x h '的唯一零点为0x ，则)(x h 在),0(0x 上递增，在)1,(0x 上递减. 又∵0)1(=h ，∴0)(0>x h ．又∵0ln )2()(2<+-+-+-=----a a a a a e e a e a e e h ， ∴)(x h 在)1,0(内有唯一一个零点x '，

当),0(x x '∈时，0)(x h .

从而)(x F 在),0(x '递减，在)1,(x '递增，与在区间]1,0(上是单调函数矛盾． ∴2>a 不合题意．

综合（1）（2）得，2≤a ． …15分

3.已知函数1ln ()x

f x x

．（1）若函数在区间1

(,)2

a a +（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；

（2）如果当1x ≥时，不等式()1

f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）求证[]2

2(1)(1)()n n n e n -*+>+?∈！N ．