高中数学选修系列2选修22《微积分基本定理与定积分计算》 教案
§3 微积分基本定理与定积分计算
一、目标预览
1.理解并能熟练运用微积分基本定理.
2.掌握定积分的常用计算方法.
3.了解定积分与不等式的常用证明方法.
4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门
设],[b a R f ∈，称函数?
=
Φx
a
dt t f x )()(]),[(b a x ∈为函数
)(x f 在],[b a 上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：
?=ψb
x
dt t f x )()(.
注（i ）由)(R 积分的性质，)(x Φ的定义有意义. （ii ）由)(R 积分的性质易证],[)(b a C x ∈Φ.
三、主要事实 1.微积分基本定理
若],[b a C f ∈，则)()(x f x =Φ']),[(b a x ∈，即
?=x
a
x f dt t f dx d )()(，],[b a x ∈. 注（i ）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. （ii ）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：
若],[b a C f ∈，而且)()(x f x F =']),[(b a x ∈，则
?
-=x
a
a F x F dt t f )()()(]),[(
b a x ∈.
(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积 分、微分与积分的内在联系.
（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限
?'-'=)
( )
( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψ???ψψ?
?
=ξ
)()
()()(a
b
a
dx x f a g dx x g x f ?=b
dx
x g b f )()(ξ
积分求导公式：
若],[b a C f ∈，)(x ?、)(x ψ在],[d c 上可微而且]),([d c ?、
],[]),([b a d c ?ψ，则
2.第二积分中值定理
（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，而且)(x g 是],[b a 上非负递减（相应地递增）函数，则存在],[b a ∈ξ使得 （相应地）
（2）（Werierstrass 型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，
)(x g 是],[b a 上的单调函数，则存在],[b a ∈ξ使得
???
+=b
a
b
a
dx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξ
ξ.
证（1）令?
=
x
a
dt t f x F )()(]),[(b a x ∈，利用g 的可积性得
?
?
--=→∑=i
i x x i n
i T b
a
dx x f x g dx x g x f 11
0|||| 1
)()(lim )()(
))()()((lim 111
0||||--=→-∑=i i i n
i T x F x F x g
再由 ))()()((111
--=-∑i i i n i x F x F x g
)()()]()()[(1111
---=+-∑=n i i i n i x g b F x g x g x F
及g 的单调减小性，可得
)()()()(max min a g F dx x g x f a g F b
a
≤≤?
再由连续函数的介值性即得.
（2）当g 为单调递减（增）时，对)()()(b g x g x h -=)((x g =
))(a g -应用（1）即得.
3.定积分的计算
（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若],[b a R f ∈，],[b a C F ∈而且除有限个点外有)()(x f x F ='，那么有
?
-=b
a
a F
b F dx x f )()()(.
注（i ）牛顿——莱布屁兹公式简称L N -—公式，它是微积 分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.
（ii ）证明可由)(R 积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在F 上）可推得.
（2）（定积分换元积分法）如果)(t ?在],[βα上有连续导数，
a =)(α?，
b =)(β?，],[]),([b a ?βα?，],[b a C f ∈，那么
有
?
?'=b
a
dt t t f dx x f )())(()(β
α
??
注（i ）定积分换元积分公式由复合函数微分法及L N -公式 可得，而且],[)(b a C t ∈'?可减弱为],[βα?R ∈'.进一步，定积分换元积分公式中的],[b a C f ∈可减弱为],[b a R f ∈，但?的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：
若],[b a R f ∈，],[],[:b a →βα?是一一映射而且还满足
a =)(α?，
b =)(β?，],[)(βα?R t ∈'，那么有
?
?'=b
a
dt t t f dx x f )())(()(β
α
??.
（ii ）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的 直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.
（iii ）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.
（3）（分部积分法）如果u 、v 具有连续的导数，那么有
?
?='b
a
b
a
x dv x u dx x v x u )()()()(
?-=b
a
b a x du x v x v x u )()(|)()(.
注（i ）分部积分可由乘积微分法则及L N -公式直接证之. （ii ）分部积分公式可连续使用n 次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：
若u 、v 具有1+n 阶连续导数，那么有
?
+b
a
n dx x v x u )1()()(
b a n n n n x v x u x v x u x v x u |)]()()1()()()()([)()1()(-++'-=- ?
++-+b
a
n n dx x v x u )1(1
)()()
1(),3,2,1( =n .
4.定积分计算中常用的几个公式 （1）若],[b a C f ∈，则
??
-+=b
a
b
a
dx x b a f dx x f )()(
?-++=
b
a dx x
b a f x f )]()([2
1. （2）若],[a a C f -∈，则
??
-+=-a
a
a
dx x f x f dx x f 0
))()(()(
????
?=?为奇函数为偶函数
f ，
f dx x f a 0 ,)(2 0 （3）若)(x f 是以T 为周期的周期函数，则1
R a ∈?有
?
?
?
-+==T/2
2
/ 0
)()()(T T
T
a a
dx x f dx x f dx x f
（4）若]1,0[C f ∈，则
?
?
=2
2
)(cos )(sin π
πdx x f dx x f .
（5）若]1,1[-∈C f ，则
?
?
?
==
2
)(sin )(sin 2)(sin π
π
π
ππ
dx x f dx x xf dx x xf .
证（1）令t b a x -+=可得. （2）令t x -=得
??
-=a
a
dt t f dx x f 0
)()(.
（3）令T t x +=得???
=+=+a
a T
a T
dt t f dt T t f dx x f 0
)()()(，
于是有
?
?
?
?
++=+=T
T
a T
T
a
T
a a
dx x f dx x f dx x f dx x f 0
)()()()(，
再令2T
a -
=得??=T ππ/dx x f dx x f 0 2/ 2
- )()(.
（4）令t x -=2/π可得.
（5）令t x -=π可得
??
?
-=π
π
π
π 0
)(sin )(sin )(sin dt t tf dt t f dx x xf
及
?
?=2
2
)(sin )(sin π
π
π
dt t f dx x f .
5.带积分余项的泰勒公式
若)(x f 在],[b a 上具有1+n 阶连续导数，那么]
,[,0b a x x ∈?
有
?-+-∑=+=x
x n n k k n
k dt t x t f n x x k x f x f )1(00)(00))((!1)(!)()(，
即?-=+x x n n n dt t x t f
n x R )
1(0
))((!1)(，称此为泰勒公式的积分余 项.
注（i ）令n k n
k t x k t f x f t F )(!
)
()()()(0-∑-==（常数变易法），
对)(t F '分别应用L N -公式及分部积分公式即获得积分余项公式
的证明.
（ii ）对积分余项应用第一积分中值定理（n t x t g )()(-=在积分区间],[0x x （或],[0x x 上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：
10)1())(()!
1(1
)(++-+=
n n n x x f n x R ξ
（其中10),(00≤≤-+=θθξx x x ）.
（iii ）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：
)())((!
1)(0)
1(x x x f n x R n n n --=
+ξξ )10()()1))(((!1
1000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n 四、例题选讲 1.定积分计算例题选. 例1 求下列定积分 （1）?
-2
0 2
4dx x x （2）?2
0 2
cos sin π
tdt t （3）?
-1
21dx x
（4）
?++1
0 21)1ln(dx x x （5）?e xdx x 0 2ln （6）?--ln2 0
21dx e x
（7）
?
++--4
2
)3ln()9ln()
9ln(dx x x x （8）?+4
4
- 21sin π
πdx e x
x （9）?+??? ?
?
-+2
21 1
11dx e x x x x
解（1）?=--=---=2 0 2
023
22238|)4(31)4(421x x d x .
（2）?=-=-=2 0 2
03231|cos 31cos cos ππt t td .
（3）令t x s i n =，（3）4
|)2sin 21(21cos 202 0 2πππ
=+==?t t tdt （4）令t x tan =，（4）?
+=
4
tant)ln(1π
dt
??+=+=4 0 4
0 cos ))
4/(sin(2ln cos sin cos ln π
π
πdx x
x dx x x x . 令t x -=4π得??=+4 0 4 0 cos ln )4sin(ln πππ
tdt dx x ，于是有
（4）2ln 8
|2ln 214
0ππ
=?=x .
（5）??-==e e e
dx x x x x xd 1 1 2133)|ln (3
1)(ln 31 )12(9
1
3+==e
（6）2
ln 022
ln 0
2|1)(1--=--
=-?
x x x x e e e d e
?
++-
==-+2
ln 0 2)32ln(2
3
1
dx e e x x （7）利用
??
-++=b
a
b
a
dx x a b f x f dx x f )]()([21)(得
（7）?==
4
2
121dx （8）利用?
?-+=a
a
a
dx x f x f dx x f - 0
)]()([)(得
（8）?
-
=
=4
24
18
sin π
π
xdx （9）?
?==+=
++2
2
1 25
2
2
1 22
1
1123|e xde
dx e
x
x x
x . 例2 （1）求?
=
2
2sin πxdx I n
（2）证明Wallis 公式：2!)!12(!)!2(121lim 2
π=???
? ??-+∞→m m n m .
解（1）?---+-=2
2)2(2
1
cos sin )1(|cos sin
π
π
xdx x n x x I n n n
n n I n I n )1()1(2---=-，
????
??
?=+=+==-==-=-
,2,1,0,12,!
)!12(!)!2(,2,1,2,2!)!2(!)!12(12m m n m m m m n m m J n n I n n π
证（2）由
???
++<<2
122
22
1
2sin sin
sin
π
π
π
xdx xdx xdx m m
n 得
!
)!12(!
)!22(2!)!2(!)!12(!)!12(!)!2(--
由此可得
m m B m m m m m m A =????
? ??-<<+????? ??-=21
!)!12(!)!2(2121!)!12(!)!2(2
2π
m A m A B m m m 4210π<=-<，m m m A B A -<-<2
0π，
因此2
lim π
=
∞
→m m A .
例3 利用定积分求下列极限
（1）??? ??
-+∑=∞→b n i a n n i n 1sin 1lim 1 （2）2211lim i
n n i n +∑
=∞→ （3）??? ????? ?
?
+∑-=∞→πn i n i n n i n sin lim 1
1 （4）i n n i n 1ln 1lim
1=∞→∑ （5）n n n n n n n
)()2)(1(1
lim +++∞→
解（1）?+-=+=1
)cos(cos )sin(b a a dx bx a
（2）?+=+=+∑==∞→1 0 221
)21ln(1)/(111lim x dx
n i n n i n .
（3）由1+<+ i n n 可得 （3）?==∑==∞→1 0 12 sin sin 1lim π ππxdx n i n n i n （4）由?+=<<+i i i i dx x i 1 11 ),2,1(1 111 可得 n i n n i ln 11 )1ln(1+<∑<+=. 因此11 ln 1lim 1=∑==∞→i n n i n . （5）令n n n n n n n a )()2)(1(1 +++= )]ln([11ln ln 1i n n n a n i n +∑+== ?? ? ??+∑=-+∑===n i n n i n n n i n i 1ln 1)ln )(ln(111 ?=+→1 0 4 ln )1ln(e dx x . 因此e a n n 4 lim =∞→. 2.微积分基本定理应用例题选 例4 设? ? += x t dt du u x f 0 sin 1 2)1()(，试求)(x f ''. 解 应用微积分基本定理两次可得x x x f 4sin 1cos )(+=''. 例5 确定常数a 、b 、)0( ≠c 使得 ?=-+-→x b x c x ax dt t t 1 30)sin ())1ln((lim . 解 由?=+→x b x dt t t 300) 1ln(lim 可推得0=b ，由罗比塔法则及)0( ~)1ln(3 3→+x x x 可推得1=a ，接着易求得2 1=c . 例6 若)(x f '存在，0)0(=f ， ?-=-x n n n dt t x f t x F 0 1)()(， 试求n x x x F 20) (lim →. 解 令n n t x u -=，则?=n x du u f n x F 0 )(1)(， )0(21)(lim 21)(lim 121020f n x x f x n x x F n n n x n x '==--→→. 例7 设f 连续，1)1(=f ，?=-x x dt t x tf 0 2 arctan 21)2(. 试求：?2 1 )(dx x f . 解 令u t x =-2，则? ?--=-x x x du u f u x dt t x tf 0 2 )()2()2( 于是有 22 2 arctan 2 1 )()(2x du u uf du u f x x x x x = -? ?. 两边关于x 求导得 ? ++= x x x xf x x du u f 2 4 )(1)(2 再令1=x 可得 ?= 2 1 4 3)(du u f . 例8 试求可微函数)(x f 使得 ?? ?+=t xt x du u f x du u f t du u f 1 1 1 )()()(. 解 先关于x 求导得? + =t du u f x tf xt tf 1 )()()(令1=x 得 ?+=t du u f u tf t tf 1 )()()( 再关于t 求导得 )()1()()(t f f t f t t f +='=. 因而t f t f /)1()(='，因而c t f t f +=ln )1()(. 3.积分中值定理应用例题选 例9 设f 在]1,0[上可微，而且0)0(=f ，1)(0≤'≤x f （]1,0[∈x ）.证明： ? ?≥1 0 1 0 32)())(( dx x f dx x f . 证 令? ?-=x x dt t f dt t f x F 0 32)())(()(，则由条件可得 0)(≥'x F ，由0)0(=F 得0)(≥x F ])1,0[(∈x ，于是有1)1(≥F . 例10 设)(x f '在]1,0[上连续，而且0)0(=f ，1)1(=f .证 明：?>-'1 0 1|)()(|e dx x f x f . 证 x x x x f n 2sin )1()(-='，0)0(='f ，0)1(='f ，)(x f 在1=x 处取最大值，因而有 ?-=≤1 22sin )()1()(tdt t t f x f n ?++= -≤1 22) 32)(22(1 )(n n dt t t t n . 证 ??'=-'-1 1 0 |))((||)()(|dx x f e e dx x f x f x x e dx x f e dx x f e x x /1 |))((| |))((|1 1 0 ? ?='≥'>-- 例11 设? +∈-= x n N n tdt t t x f 0 22)( sin )()(.证明： )32)(22/(1)(++≤n n x f ，0≥?x 例12 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，而且0)(>''x f .证明： （i ）?+≤-≤??? ??+b a a f b f dx x f a b b a f 2)()()(12； （ii ）又若0)(≤x f ]),[(b a x ∈，则 ?∈≤-b a b a x x f dt t f a b ]),[( )()(2. 证（i ）由??? ? ? +-??? ??+'+??? ??+≥222)(b a x b a f b a f x f 及 ?=??? ??+-b a dx b a x 02得???? ??+≥-b a b a f dx x f a b 2)(1，再由 )()()()()(a f a x a b a f b f a a b x b b a b a x x f +---≤?? ? ??--+--= 得 ?+≤-b a a f b f dx x f a b 2 ) ()()(1. （ii ）],[b a x ∈?，))(()()(t x t f t f x f -'+≥，积分后得 ??-'+≥-b a b a dt t x t f dt t f x f a b ))(()()()( ??≥-+=b a b a b a dt t f t f t x dt t f )(2|)()()(2. 例13 设)(x f 在],[b a 上具有二阶连续函数，证明；存在 ),(b a ∈ξ使得 ?''-+??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f 3 )()(2412)()(ξ. 证 令?=x a dt t f x F )()(，分别求得)(a F ，)(b F ，在 2 b a c += 处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及 连续函数的介值定理即得. 例14 设],[)(b a C x f ∈而且 ? -==b a k n k dx x f x )1,,1,0( 0)( ，?=b a n c dx x f x )(. 证明：c a b n x f n n b a x 1],[)() 1(2 |)(|max +∈-+≥ 证 由条件???? ??+-=b a n dx x f b a x c )(2， 若c a b n x f n n 1)()1(2 |)(|+-+<，则由?+-=+-+b a n n n n a b dx b a x 1 ) 1(2)(|2|导 出c c <矛盾！ 例15 设],[b a C f ∈，g 在],[b a 上单调而且可微.证明：存在],[b a ∈ξ使得 ??? +=b a b a dx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξ ξ. 证 令? =x a dt t f x F )()(，由微积分基本定理及第一积分中值 定理可得 ?? =b a b a x dF x g dx x g x f )()()()( ?'-=b dx x g x f b F b g )()()()(ξ ))()()(()()(a g b g F b F b g --=ξ ))()()(()()(ξξF b F b g F a g -+=. 例16 证明下列极限 （1）若]1,0[C f ∈，则?=++ →1 0 2 20 )0(2 )(lim f dx x f x h h h π . （2）若],[b a R f ∈，则? =∞→b a xdx x f 0sin )(lim λλ. （3）?=+∞→x x tdt t x 0 0sin 1lim （4）若]2,0[πR f ∈，则 ? ? = ∞→π π π2 0 2 0 )(2 |sin |)(lim dx x f dx nx x f n . （5）若f 是以T 为周期的连续函数，则 ?=+∞→x x dt t f x 0 )(1lim ?T dt t f T 0 )(1. （6）若],0[b C f ∈而且A x f x =+ →)(lim 0，则0>>?a b 有 ?=∞→b/n a/n n a b A dx x x f ln )(lim . 证（1） ))0(2 )((lim 1 0 22 0?-+→f dx x f x h h h π )))0()(((lim 1 0 2 20?-+=→dx f x f x h h h ?-+=→1 2 20))0()(((lim δdx f x f x h h h ?=-++δ 0 220)))0()((dx f x f x h h . （2）由 ?-i i x x xdx x f 1 |sin )(|λ ? ? --+-≤i i i i x x x x i i xdx x f dx x f x f 1 1 |sin | |)(||)()(|λ λ ω2 )(? +?≤M x f i i （其中M x f ≤ |)(|）及)(R 可积的第二充要条件可得. （3）由第二积分中值定理得，存在),0(x ∈ξ使得 ??≤ =x x x tdt x x tdt t x 0 2 |sin | |sin 1| ξ ， 再令+∞→x 即得. （4） ? ? -=∑=πππ 2 21 2 0 1|sin |)(|sin |)(n k n k n k dx nx x f dx nx x f ?-==∑=∑=ππξξ2 21 11)(4|sin |)(n k n k k n k k n k f n dx nx f ?→∑?==ππξππ2 0 1)(2)(22dx x f f n k n k . （5）??-=x T dt t f T x dt t f x 0 0 )()()(?是以T 为周期的连续函 数，从而有界，由此即得. （6）由第一积分中值存在)/,/(n b n a n ∈ξ使得 ? =b/n a/n n a b f dx x x f ln )()(ξ. 令∞→n 即得. 例17 设f 在),0[+∞上单调递增，而且0>?b ，∈)(x f ],0[b R .若?=+∞→x x A dt t f x 0 )(1lim ，则A x f x =+∞→)(lim . 证 若不然，00>?ε，n ?，n x n >?使得0 |)(|ε≥-A x f n ， 此时分两种情形： （i ）若存在N 使得0)(ε≥-A x f N ，则 ?+∞→x x dt t f x 0 ))(1( lim 0 0 ))(1)(1(lim ε+≥+=??+∞→A dt t f x dt t f x N N x x x x . （ii ）n ?，0)(ε-≤-A x f n ，则),0[+∞∈?x 有A x f ≤)( 0ε-，于是 ?-≤x A dt t f x 0 0)(1ε. 上述的（i ）、（ii ）与?=∞→x x A dt t f x 0 )(1lim 矛盾. 例18 设],[)(b a C x f ∈'，令 ),,2,1,0( )(n k a b n k a x k =-+=， ?-∑-==b a k n k dx x f x f n a b n r 1 )()()(. 证明：))()((2 )(lim a f b f a b n nr n --= ∞→. 证 令)(inf x f m k x k '=?∈，)(sup x f M k x k '=?∈，则由 ? ? ---'∑=-∑===k k k k x x k k n k x x k n k dx x x f dx x f x f n r 1 11 1 ))(())()(()(ξ k n k k n k M n a b n r m n a b 1 221222) ()(2)(==∑-≤≤∑- 于是有 ?--='-→ b a a f b f a b dx x f a b n r n ))()((2 )(2)((. 五、思考与讨论 1.若)(x f 在区间I 上有原函数，是否必有L N -公式成立？ 提示：考虑?????=≠=0 ,00 ,1sin )(22 x x x x x F 2.若],[b a R f ∈，f 是否必有原函数？ 3.若],[b a R f ∈，而且? = x a dt t f x F )()(是否必有 )()(x f x F ='？ 4.若f 在I 上不)(R 可积，)(x f 的原函数在I 上是否必不存 在？ 5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？ 六、基础题训练 1.计算下列定积分 （1） ?2 0 52sin cos π xdx x （2）?-a dx x a x 0 222 （3）? -+1 0 x x e e dx （4）?1 0 arcsin xdx （5）?+2 0 cos sin cos πθθθ dx （6）?e e dx x 1/ |ln | （7）?+4 1 42dx x x （8）?-π 0 sin 1dx x （9）?---π 0 1010cos sin 4cos sin dx x x x x （10）?+2 2- 4 1sin ππdx e x x （11）?+3 6 sin cos sin π παααdx x x （α为实数） （12）?+4 0 2 )cos (sin πdx x x x 2.设?-++= 1 0 2 2 )(111)(dx x f x x x f .试求?1 0 )(dx x f . 3.设2 /)13(x xe x f =+,试求 ? 1 )(dx x f . 4.设2 )(x e x f -=，试求? '''1 )()(dx x f x f . 5.?-= x dt t t x f 0 sin )(π.试求?π 0 )(dx x f . 6.设2)(=πf ，?''+π sin ))()((xdx x f x f .试求：)0(f '. 7.求下列极限 （1）?→x x dt t x 0 2 0cos 1lim （2）? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 2 0 2 2 2 )(lim （3）3 2 sin lim x dt t x x ? + → （4）3 sin 0 20 sin lim x dt t x x ? → 8.设? += ) ( 0 2 1)(x g t dt x f ，? += x dt t x g cos 0 2))sin(1()(.试 求)2/(πf '（答案：1-）. 9.设)(x f '连续而且0)0(=f ，0)0(≠'f .求k 使得 0)()(lim 220 ≠=-?→c x dt t f t x k x x . （答案：4=k ） 10.证明： 0sin 2 0 >?π dx x x （提示：分段，换元）. 11.设)(x f '在],[b a 上连续，而且0)()(==b f a f .证明： ?'≤b a dt t f x f |)(|21 |)(|,],[b a x ∈?. 12.设)(x f 在],[b a 上单调增加.证明： ??+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(. （提示：0)2 ))(2()((≥+-+-b a x b a f x f ）. 七、提高性习题 13.求下列积分（n 为正整数） （1） ?4 2tan π xdx n （2）?-1 0 2)1(dx x n （3）? π 2 0 sin xdx n （4）?2 0 sin cos πxdx x n n 14.求下列极限 （1）221lim k n n n k n +∑=∞→ （2） πn i n n i n 4tan 1lim 1=∞→∑ （3）i n n i n 1 2/31lim =∞→∑ （4）i n i n n i n ?-?∑=∞→/1lim 1 （5）n i n i n n i n /112)/(lim -=∞→+∑ （6）π21sin )/1(lim n i n i n i n +∑=∞→ （答案：（1）.4/π；（2）.π/2ln 2；（3）3/2；（4）.（2）； （5）.2ln /1；（6）6/5π） 15.设],[b a R f ∈而且0)(>x f ，令)() (n a b i a f f n i -+=. 证明： （1）?-=∑=∞→b a n i n i n dx x f a b f n )(1)(11lim （2）?=-∞ →b a dx x f a b n n n n n e f f f )(ln 1)()(2)(1lim （3）?--=∞ →-=∑ b a n i n i n x f dx a b f n 1 1 ) (1 )) ()(()1(lim . 16.求下列极限 （1）? +∞→1 lim n n n x n dx x e （2）x dt t x x ?+∞→ 0 |sin |lim （3）? -+∞→x x dt t t 0 ])[(lim . （答案：（1）.0；（2）.π/2；（3）.2/1）. 17.证明下列极限： （1）若)(x f '在]1,0[上连续，则? =∞→1 )1()(lim f dx x f nx n n . （2）若],1[e R f ∈不变号，则 ? ? + ∞ →=e n n n dx x x f dx x f n 1 1 1 1 )()(lim （3）若],[b a C f ∈，则 ? +∞→∈=1 ]),[( )()/(lim nx nx n b a x x f dt n t f （4）若),0[+∞∈C f 而且A x f x =+∞ →)(lim ，则 ?=+∞→x x A dt t f x 0 )(1lim . （提示：（1）利用分部积分；（2）令t x n =，再用第一积分中 值定理；（3）令n t u /=，再利用积分中值定理；（4）分段估计）. 18.设]1,0[)(C x f ∈'，]1,0[∈x .证明： )(22ln ))()((lim 2 21x f x f k n k x f n k n '=-++∑=∞→. 19.设)(x f 在1 R 上无穷次可微，n 为自然数，10R x ∈.证明： 1) ()()(lim 0)1(000+=??? ? ??--+→n x f x x x f x f dx d n n n x x . 20.设],[,a a C g f -∈，)(x g 为偶数且对于],[a a x -∈?，有 A x f x f =-+)()(.证明：?? =a a a dx x g A dx x g x f 0 - )()()(,并由此 计算dx e x I x ? - = 2 2 arctan |sin |π π （答案：2/π）. 21.设)(x f 为连续函数.证明下述等式： （1）??+=+ 1 2 1 222 )() (a a x dx x a x f x dx x a x f （2）??+=+4 1 4 1 )22(2ln ln )22(x dx x x f dx x x x x f . （提示：（1）令t x =2，再令t a u /2 =（分段）；（2）令t x /4=）. 22.设?+=x dt t t x f 1 1ln )(，),0(+∞∈x .试求)()/1(x f x f +. （答案：x 2 ln 2 1）. 2.2.2 反证法 学习要求 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． 知识要点 1．定义：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等． 问题探究 探究点一反证法的概念 问题1王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他 们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？” ”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？ 问题2上述方法的含义是什么？ 问题3反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾． 反证法引出的矛盾有几种情况？ 问题4反证法主要适用于什么情形？ 探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例1已知直线a，b和平面α，如果a?α，b?α，且a∥b，求证：a∥α. 小结数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法． 跟踪训练1已知：a∥b，a∩平面α＝A，如图．求证：直线b与平面α必相交． 探究点三用反证法证明否定性命题 例2求证：2不是有理数． 选修之1常用逻辑用语 一、命题及其关系 1.命题 （1）用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． （2）对于“若p，则q”形式的例题，p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 2.四种命题 原命题：若p，则q . 逆命题：若q，则p . （2）如果q成立时，p一定成立，即q?p，则称p是q的必要条件； （3）如果既有p?q，又有q?p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件. 三、简单的逻辑联结词 1.联结词及记号 逻辑联结词记号意义且p∧q p且q 或p∨q p或q ?非p 非p （2）全称命题“对M中任意一个x，有p (x)成立”可用符号简记为 ?∈， x M p x ,() 读作“对任意x属于M，有p (x)成立”. 2.存在量词 （1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题． 注：常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等. （2）特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为 ?∈， ,() x M p x 读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”. 3.含有一个量词的命题的否定 （1）全称命题:,(). p x M p x ?∈ 否定:,(). ??∈? p x M p x （2）特称命题:,(). ?∈ p x M p x 否定:,(). ??∈? p x M p x 选修之2圆锥曲线 一、椭圆 1.定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2.标准方程 （1）焦点在x轴上： 22 22 1 x y a b +=. 二、双曲线 1.定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2.标准方程 （1）焦点在x轴上： 22 22 1 x y a b -=. （2）焦点在y轴上： 22 22 1 y x a b -=. 说明：注意双曲线中c为a，b，c中的最大数，c2=a2+b2. 高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n ) 数学与逻辑思维选修课程 一、总体目标 数学不仅具有基础性、工具性和广泛的应用性价值，而且蕴含了丰富的人文价值。数学在育人方面主要有以下体现：一是有利于学生思维能力与创新能力的培养，二是可以为学生的发展奠定基础，三是可以优化学生的个性品质。 着眼于学生发展和社会发展的需要，学生在学习数学知识的同 时，应当对数学问题的破题思路和解题方法有所了解和认识，这不仅因为数学的发展为人类文明积累了大量宝贵的科学思想和科学方 法，需要学生去学习和掌握，更重要的是为学生将来能独立地开展科 学探究、创新活动奠定坚实的基础和所必须具有的思想与方法。因此本课程着眼于：把“学生所求的、把学生所缺的、把学生所急的” 数学好东西尽可能以通俗易懂、深入浅出的方式传授给学生；引领学生拓宽数学知识视野，渗透常用数学思想方法，加深对数学本质的认识；培养学生的应用意识、创新意识、协作意识和良好的思维品质与 科学态度；感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，让学生学得兴致，学有所成。 二、具体目标 具体目标表现为以下几个方面： 1．知识与技能 学习和掌握高中数学知识基底，完成高中知识与大学知识的衔 接。深刻理解数学的有关概念，掌握数学相关规律。掌握数学的科学 思想和科学方法，初步能应用数学的思想和方法来分析数学问题和解决数学问题。 2．过程与方法 经历学习过程，懂得如何进行科学探究的活动；体会数学的科学思想和科学研究方法；学会如何分析数学情景，学会如何进行建模， 熟练掌握分析问题和解决问题的常规和典型的方法与技巧。 3．情感态度及价值观 通过对数学思想和方法的学习，培养学生热爱数学、关注数学的 发展和数学为社会的发展所带来的巨大贡献，树立热爱科学、崇尚科学的科学观和人生观。 三、课程内容 本课程以高中数学与大学数学衔接点为抓手，充分注意到现有高中数学教材的课程简介：通常定位于那些核心类、支撑性知识。选修 课程中的基础性内容是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的。提高性内容则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的.拓展性内容则是对数学有兴趣和希望进一步提高数学 素养的学生而设置的。对于数学探究、数学思想方法、数学建模、数 学文化则是贯穿于整个选修数学课程的重要内容，这些内容不单独设置。 高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 抛物线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程. 【学法指导】 通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 【知识要点】 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2 探究点一 抛物线定义 如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边 上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？ 问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗？为什么？ 问题3 点D 在移动过程中，满足什么条件？ 问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点F ”去掉是否可以？ 例1 方程[] 2 2)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 跟踪训练1 （1）若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 （2）若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 探究点二 抛物线的标准方程 问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？ 问题2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？ 问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？ 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0； （3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0). 跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．??? ?7 16，0 B ．????－74，0 C ．??? ?－7 16，0 D ．? ???0，－7 4 （2）抛物线y ＝－1 4x 2的准线方程是 ( ) A ．x ＝1 16 B ．x ＝1 C ．y ＝1 D ．y ＝2 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0； （2）过点(3，－4)； （3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上. 跟踪训练3 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x （2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、 第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 命题的构成――条件和结论 定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论． 真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题． 假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题． 四种命题：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题． 定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题． 定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题． 形式： 原命题：若P，则q．则： 逆命题：若q，则P． 否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示 p的否定；即不是p；非p） 逆否命题：若￢q，则￢P． 四种命题间的相互关系： 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 1.2 充分条件与必要条件 定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ? q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件． 一般地,如果既有p?q ，又有q?p 就记作 p ? q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件. 一般地， 若p?q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件； 若p≠>q，但q ?p，则称p是q的必要但不充分条件； 若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 1.3 简单的逻辑连接词 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p且q”。 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。 一般地，我们规定： 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。 一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定”。 若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题； 命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。 1．4全称量词与存在量词 所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。 “存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“?”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）。 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P： ?∈ ,() x M p x 它的否定￢P ￢P(x) 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高中数学解题基本方法 一、配方法 二、换元法 三、待定系数法 四、定义法 五、数学归纳法 六、参数法 七、反证法 八、消去法 九、分析与综合法 十、特殊与一般法 十一、类比与归纳法 十二、观察与实验法 高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想 二、类讨论思想 三、函数与方程思想 四转化（化归）思想 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 选修4-4数学知识点 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(π a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数?? ?==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数 ， §1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） ※学习目标 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏. ※课前预习 1、预习目标 准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。 2、预习内容 分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m 1 种不同的方法,在第二类方 式,中有m 2种不同的方法，……，在第n类方式,中有m n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 分步计数原理：完成一件事,需要分成n个，做第1步有m 1 种不同的方法，做 第2步有m 2种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。 3、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 预习自测 1从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？ 2一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？ 二、新课导学 ※学习探究 探究任务一：分类计数原理 问题1：P2思考题1 分析：给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用，有___ 种方法; 第二类方法用，有___ 种方法; ∴能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知：分类计数原理－加法原理： 如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种 m+种不同的方法. 不同的方法，那么，完成这件工作共有n 试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是. 反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？ 探究任务二：分步计数原理 问题2：P3思考题2 分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个. 新知：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方 m?种不同方法。 法，那么，完成这件工作共有n 试试：P4例2 第一章 导数及其应用 变化率与导数 问题中的变化率可用式子 1 212) ()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=? (这里x ?看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ?代 替 x 2, 同 样 ) ()(12x f x f y f -=?=?)则平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 在前面我们解决的问题： 1、求函数2 )(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2) ()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0 时， x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0' |x x y =，即 高中数学教案选修全套 【选修2-2教案｜全套】 目录 目录................................................................................. I 第一章导数及其应用 (1) §1.1.1变化率问题 (1) 导数与导函数的概念 (4) §1.1.2导数的概念 (6) §1.1.3导数的几何意义 (9) §1.2.1几个常用函数的导数 (13) §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16) §1.2.2复合函数的求导法则 (19) §1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (22) §1.3.2函数的极值与导数（2课时） (27) §1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (31) §1.4生活中的优化问题举例（2课时） (34) §1.5.3定积分的概念 (38) 第二章推理与证明 (42) 合情推理 (42) 类比推理 (45) 演绎推理 (48) 推理案例赏识 (50) 直接证明--综合法与分析法 (52) 间接证明--反证法 (54) 数学归纳法 (56) 第3章数系的扩充与复数的引入 (67) §3.1数系的扩充和复数的概念 (67) §3.1.1数系的扩充和复数的概念 (67) §3.1.2复数的几何意义 (70) §3.2复数代数形式的四则运算 (73) §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (73) §3.2.2复数代数形式的乘除运算 (77) 第一章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均 膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212)()(V V V r V r - - 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 问题中的变化率可用式子 1 212) ()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=? (这里x ?看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ?代 替 x 2, 同 样 ) ()(12x f x f y f -=?=?)则平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 在前面我们解决的问题： 1、求函数2 )(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2) ()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0 时， x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0' |x x y =，即 高中数学选修哪几本书数学教材顺序 人教版高中数学教材A版有13本和B版有14本，广州高中理科数学共学习11本书，其中必修5本，选修6本。下面是具体数学选修教材顺序，仅供参考。 人教版高中数学教材选修有几本？ A版有13本和B版有14本 数学1- 1 （选修）A版 数学1- 2 （选修）A版 数学2- 1 （选修）A版 数学2- 2 （选修）A版 数学2- 3 （选修）A版 数学3- 1 （选修）A版数学史选讲 数学3- 4 （选修）A版对称与群 数学4- 1 （选修）A版几何证明选讲 数学4- 2 （选修）A版矩阵与变换 数学4- 4 （选修）A版坐标与参数方程 数学4- 5 （选修）A版不等式选讲 数学4- 6 （选修）A版初等数论初步 数学4- 7 （选修）A版优选法与试验设计初步 数学1- 1 （选修）B版 数学1- 2 （选修）B版 数学2- 1 （选修）B版 数学2- 2 （选修）B版 数学2- 3 （选修）B版 数学3- 1 （选修）B版对称与群 数学3- 4 （选修）B版数学史选讲 数学4- 1 （选修）B版几何证明选讲 数学4- 2 （选修）B版矩阵与变换 数学4- 4 （选修）B版坐标系与参数方程 数学4- 5 （选修）B版不等式选讲 数学4- 6 （选修）B版 数学4- 7 （选修）B版优选法与实验设计初步 数学4- 9 （选修）B版风险与决策 点击查看：高中理科数学选修学几本书 高中理科数学共学习11本书，其中必修5本，选修6本。必修课本为必修1、2、3、4、5，选修课本为选修2-1，2-2，2-3，4-1（几何证明选讲），4-4（坐标系与参数方程），4-5（不等式选讲）。 高考范围为必修1、2、3、4、5，选修课本为选修2-1，2-2，2-3，而选修4-1（几何证明选讲），4-4（坐标系与参数方程），4-5（不等式选讲），三选二，共10本。 就教学进度来说，各个学校可根据实际情况安排。就我们学校来说，先学习高考考察的主干知识，再学习零散知识，速度由慢到快，深度有难到易，难度自始至终与广东高考理科数学难度相当。 具体来说，高一第一学期刚开学不讲上述11本书的内容，而是对初、高中的知识进行衔接，继续深入探讨二次函数的性质和应用，韦达定理，二次根式，因式分解等。接着进入必修1的学习，然后是选修2-2的导数部分。本学期学习的核心是函数与导数。 高一第二学期学习必修5的数列部分，必修4，核心是数列、三角与平面向量。 高二第一学期先学习选修4-1，再学习必修2的立体几何部分，然后是必修2和选修2-1的解析几何部分的直线、圆和椭圆，核心是平面几何、立体几何和解析几何。 高二第二学期继续必修2和选修2-1的解析几何部分的双曲线、抛物线的学习，接着是隶属与解析几何的选修4-4，再学必修5的线形规划部分，再学选修2-3的其余部分（包括排列组合与二项式定理、概率与统计），接着完成选修2-2的其余部分（包括定积分、数学归纳法、复数），选修2-1其余部分（包括常见逻辑用语、空间向量），必修5和选修4-5的不等式部分，必修3（算法）等零散知识的学习，结束高中理科数学课程。本学期的主干是解析几何、概率和统计、排列组合二项式定理。 新苏教版高中数学选修2-2教学案（全册） _1.1导数的概念 1．1.1 平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)． 问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0. 问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡AB ，可用Δy Δx 来近似刻画山路的陡峭程度． 问题3：试想Δy ＝y 1－y 0 x 1－x 0的几何意义是什么？ 提示：Δy Δx ＝y 1－y 0 x 1－x 0 表示直线AB 的斜率． 问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？Δy Δx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？ 提示：不相同.Δy Δx 的值越大，山路越陡峭． 1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义； (2)在式子f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0. (3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同． [对应学生用书P3] [例1] (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． [思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为： f (2.1)－f (2)2.1－2 ＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2) 0.1＝12.3. (2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2) (－1)－(－2) ＝ [3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2) ＝ (－5)－(－8) －1＋2 ＝3. [一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1； 第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g (4)－g (2)4－2＝－3×4－(－3)×2 4－2 ＝ －12＋6 2 ＝－3. 答案：－3 2.如图是函数y ＝f (x )的图象，则： 2.2.3数学归纳法（一） 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.理解数学归纳法中递推思想. 【新知自学】 知识回顾： 1.证明方法： （1）直接证明???_________ _________； （2）间接证明：________. 新知梳理： 1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 2.数学归纳法两大步： （1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立; （2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0，k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 对点练习： 1.若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1 (n ∈N ＋)，则f (1)为() A ．1 B ．15 C ．1＋12＋13＋14＋15 D ．非以上答案 2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则() A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 3.用数学归纳法证明:当为整数时, 2135(21)n n ++++-=. 【合作探究】 典例精析： 2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈ 变式练习： 2*1427310(31)(1),n n n n n N ?+?+?+ ++=+∈高中数学选修2-2学案7：2.2.2 反证法
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