计算方法习题 (1)
《计算方法》练习题一
练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π
的近似值，准确数位是（ 210- ）。
2．满足
d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （
))((!2)
(b x a x f --''ξ ）。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5
2
）。
4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题
1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+
2．设x x x f +=2
)(，则
=]3,2,1[f （ Ａ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝??
?
?
??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ．
2π Ｂ．
3
π Ｃ．
4
π Ｄ．
6
π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．
Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.
A ．)(h o Ｂ．)(2
h o Ｃ．)(3
h o Ｄ．)(4
h o 三、计算题
1．求矛盾方程组：???
??=-=+=+2
42321
2121x x x x x x 的最小二乘解。
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?，
由0,021=??=??x x ?
?得：???=+=+96292321
21x x x x ，
解得14
9,71821
==
x x 。 2．用4=n 的复化梯形公式计算积分?
21
1
dx x
，并估计误差。
?
≈++++≈2
1
697.0]2
1
7868581[81x dx ， 96
1
1612)(2=
?≤
M x R 。 3．用列主元消元法解方程组：???
??=++=++=++4
26453426352321
321321x x x x x x x x x 。
回代得：T
x )1,1,1(-=
4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)
1(x
）。
因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。
雅可比迭代公式为：???
?
?????=+=++=+=+++Λ,1,0,)
1(41)3(41)1(41)(2)1(3)
(3)(1)1(2)
(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。
取T x )1,1,1()
0(=计算得： T x
)5.0,25.1,5.0()
1(=。
5．用切线法求0143
=+-x x 最小正根（求出1x ）。
．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*
∈x ，在]5.0,0[上，
06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。由0)()(0≥''x f x f ，选00=x ，由迭代公式：
计算得：25.01=x 。 四、证明题
1． 证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：
1010),)((!
2)
()(x x x x x x f x R <<--''=
ξξ。 2. 对初值问题：?
??=-='1)0(10y y
y ，当2.00≤ １．设))()(()()()(),)()(()(10110x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有 x x x ,,10为三个零点。应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零点ξ， ! 2) ()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''= =-''=''。 ２．由欧拉法公式得： 0~1~y y oh y y n n n --=-。 当2.00≤ 00~~y y y y n n -≤-。欧拉法绝对稳定。 练习题第2套参考答案 一、填空题 1．Λ71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ 21 102 -?，）。 2．用辛卜生公式计算积分 ?≈+101x dx （ ）。 3．设)()1() 1(--=k ij k a A 第k 列主元为)1(-k pk a ，则=-) 1(k pk a （ 21x =， ）。 4．已知?? ????=2415A ，则=1 A （ ())(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , ）。 5．已知迭代法：),1,0(),(1Λ==+n x x n n ? 收敛，则)(x ?'满足条件（ 0()0f x > ）。 二、单选题 1．近似数2 1047820.0?=a 的误差限是（ C ）。 Ａ． 51021-? Ｂ．41021-? Ｃ．31021-? Ｄ．2102 1 -? ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR 。 A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det x )5,3,1(--=，则 =1x （ B ）。 Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ ４．已知切线法收敛，则它法具有（ ．A ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 ５．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((53x P x P （ B ）。 Ａ． 52 Ｂ．72 Ｃ．92 Ｄ．11 2 三、计算题 １．已知)(x f 数表： )5.0(f 近似值。 求抛物插值多项式，并求利用反插值法得 ２．已知数表： 求最小二乘一次式。 010 14648 614102a a a a +=?? +=?，解得： 由方程组： 013,6a a ==，所以x x g 63)(* 1 +=。 ３．已知求积公式： )2 1()0()21()(21 1 10f A f A f A dx x f ++-≈?-。求210,,A A A ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。 1 0118881 []0.4062282910113 dx I x =≈++++≈+? ， 21 |()|0.001321216768 M R f ≤=≈? 。 ４．用乘幂法求???? ??????=410131014A 的按模最大特征值与特征向量。 因为 所以：1122334,3,(0,1,0) 2,(22 T T T X X X λλλ======- ５．用予估－校正法求初值问题：?? ?=-='1 )0(2y y x y 在4.0)2.0(0=x 处的解。 应用欧拉法计算公式：n n n y x y 1.12.01+=+ ，1,0=n ，10=y 。 计算得121.1, 1.23y y ==。 四、证明题 １．设)(A ρ是实方阵Ａ的谱半径，证明：A A ≤)(ρ。 1． 因为A=(A-B)+B,A A B B ≤-+， 所以 A B A B -≤-， 又因为B=(B-A)+A, B B A A ≤-+ 所以 B A B A A B -≤-=- ２．证明：计算 )0(>a a 的单点弦法迭代公式为：n n n x c a cx x ++= +1，Λ,1,0=n 。 5 0x a -=的实根， 将5 4 (),'()5f x x a f x x =-=代入切线法迭代公式得： 5144 1(4),0,1,...55n n n n n n x a a x x x n x x +-=-=+=。 《计算方法》练习题二 练习题第3套参考答案 一、填空题 1．近似数3 0.6350010a =?的误差限是（2 10- ）。 2．设|x|>>1, =（ ()1G ρ<， ）,计算更准确。 3．用列主元消元法解：1212 23 224x x x x +=??+=?，经消元后的第二个方程是 （ 11 1n n n n x x a n x x x --+++= ),2,1(Λ=n ， ）。 4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则(1) 3m x += ( ， )。 5．已知在有根区间[a,b]上,'(),''()f x f x 连续且大于零，则取0x 满足 （ 2(,)22 n n n n f x y k ++ ），则切线法收敛。 二、选择题 1．已知近似数a 的()10/0r a ε=，则3 ()r a ε=（ c ）。 A. 10/0 B. 20/0 C. 30/0 D. 40/0 2．设{()}K T X 为切比雪夫多项式，则22(().())T X T X =（b ）。 B 4π. C.2 π D. π 3．对6436A ?? =? ??? 直接作三角分解，则22r =（ d ）。 A. 5 B. 4 D. 2 4．已知A=D-L-U ，则雅可比迭代矩阵B=（ c ）。 A. 1 ()D L U -+ B. 1 ()D L U -- C. 1 ()D L U -- D. 1 ()D U L -- 5．设双点弦法收敛，则它具有（ a ）敛速。 A. 线性 B.超线性 C.平方 D. 三次 三、计算题 1． 已知()f x 数表 用插值法求 ()0f x =在[0，2]的根。 3 sin 0.58285 10 π ≈ ≈ ，2 2()0.5821052400 R π -≤≈?。 2．已知数表 求最小二乘一次式。 2． 22(,)(4)(3)(2x y x y x y x ?=+-+--+，由 0,0x y ?? ??==?? 得6219235 x y x y -=??-=?，解得：474,147x y ==。 3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分1 02dx x +?，并估计误差。 3．由 2 2 1110482 n -≤?解得3n ≥，取n=3， 复化梯形公式计算得：1011661 []0.4067262783 dx x ≈+++≈+?。 4．用雅可比法求310130003A ????=??????的全部特征值与特征向量。 4．120112011201231201100110012101210011?????? ??????→-→-????????????--?????? 回代得：(1,1,1)T X =- 5．用欧拉法求初值问题'2(0)1y x y y =+??=? 在x=0处的解。 5．因为33 11122,1,4 a a a π θ==== 所以T x )2 2,0,22(,311==λ 四、证明题 1． 证明： A B A B -≤-。 2． 证明：计算141(4),0,1,...5n n n a x x n x += += 1．设 p x x ∞ =，则有∑∑==≤≤n i i p n i i x x x n 1 22 1 2 1， 22x x ∞ ≤≤ 2．因为迭代函数是()(),'()1'()x x f x x f x ?α?α=-=-， 当1 2 0m α<< 时则有11'()1f x α-<-<，即 |1'()||'()|1f x x α?-=<，所以迭代法收敛。 练习题第4套参考答案 一、填空题 1．已知误差限(),(),a b εε则()ab ε=（ ||()||()b a a b εε+， ）。 2．用辛卜生公式计算积分 1 02dx x ≈+?（ 73 180 ， ）。 3．若T A A = 。用改进平方根法解Ax b =，则jk l =（ kj kk r r ， ）。 4．当系数阵A 是( 严格对角占优 )矩阵时，则雅可比法与高斯—赛德尔法都收敛。 5．若12λλ=-，且)3(1≥>i i λλ，则用乘幂法计算1λ≈（ .2 1)()2(??? ? ? ?+k i k i x x ）。 二、单选题 1． Λ41424.12=,则近似值 10 7 的精确数位是（a ）。 A. 1 10- B. 2 10- C. 3 10- D. 4 10- 2．若111221221042,1024r r l r ??????=???????????? 则有22r =（ b ）。 A. 2 B. 3 D. 0 3．若4114A ?? =???? ，则化A 为对角阵的平面旋转角θ=（ c ）。 A. 2π B.3π C.4π D. 6 π 4．若切线法收敛，则它具有（ b ）敛速。 A. 三次 B. 平方 C. 超线性 D. 线性 5．改进欧拉法的绝对稳定实区间是（ d ）。 A.[-3，0] B. [，0] C. [，0] D. [-2，0] 三、计算题 1. 已知函数表: 求埃尔米特差值多项式)(x H 及其余项。 222()(12(1))(2)(1)(2)(1)22H x x x x x x x =+--?-+--?=-。 (4)22() ()(1)(2),(12)4! f R x x x ξξ=--<< 2．求3 ()f x x =在[-1，1]上的最佳平方逼近一次式。 2．设***1 01 1()()()g x a p x a p x =+，则11*3* 40 1111330,,225 a x dx a x dx --====?? 所以* 13()5 g x x =。 3．求积公式: 1 10 ()(0)(),f x dx Af Bf x ≈+? 试求1x ，A ，B ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代 数精度。 3．设求积公式对2 ()1,,f x x x =精确得： ??? ? ????? ===+31211211Bx Bx B A ，解得：1 231,,344x B A ===。 所以求积公式为： 1 132 ()(0)()443 f x dx f f ≈ +? ， 再设3 ()f x x =，则左12 49 = ≠=右。此公式具有3次代数精度。 4．用双点弦法求3 520x x -+=的最小正根（求出2x ）。 4．因为(0)20,(0.5)0.3750,f f =>=-< 故* [0,0.5]x ∈，在[0，]上， 3)(max ,25.4)(min 21=''=='=x f M x f m ，213 0.51219 M KR m ≤ ?=<，应用双点弦法迭代公式： 3 1133 11()(52) ,1,2,...(52)(52) n n n n n n n n n n x x x x x x n x x x x -+----+=-=-+--+计算得：20.421x ≈。 5．用欧拉法求初值问题：'(0)1 y x y y =-?? =?在x=0处的解。 5．10.10.9,0,1n n n y x y n +=+=，由01y =，计算得：120.9,0.82y y ==。 四、证明题 1．设0(),...,()n l x l x 为插值基函数，证明： ()1n k k l x ==∑。 ．设()1f x =，则有0)()! 1() ()()1(=+= +x n f x R n ωξ， 所以有 ∑===n k k x f x l 1)()(。 2．若 1B <。证明迭代法： (1)()() 21,0,1, (33) m m m x x Bx b m += ++= 收敛。 因为迭代矩阵为21 ,133G I B B =+<， 所以2121 13333 G I B I B = +≤+<，所以迭代法收敛。 计算分析题解答参考 1.1．某厂三个车间一季度生产情况如下： 计算一季度三个车间产量平均计划完成百分比和平均单位产品成本。 解：平均计划完成百分比＝实际产量/计划产量＝733/（198/0.9+315/1.05+220/1.1） ＝101.81% 平均单位产量成本 X=∑xf/∑f=(15*198+10*315+8*220)/733 =10.75(元/件) 1.2．某企业产品的有关资料如下： 试分别计算该企业产品98年、99年的平均单位产品成本。 解：该企业98年平均单位产品成本 x=∑xf/∑f=(25*1500+28*1020+32*980)/3500 =27.83(元/件) 该企业99年平均单位产品成本x=∑xf /∑(m/x)=101060/(24500/25+28560/28+48000/32) =28.87(元/件) 年某月甲、乙两市场三种商品价格、销售量和销售额资料如下： 1.3．1999 解：三种商品在甲市场上的平均价格x=∑xf/∑f=(105*700+120*900+137*1100)/2700 =123.04(元/件) 三种商品在乙市场上的平均价格x=∑m/∑(m/x)=317900/(126000/105+96000/120+95900/137) =117.74(元/件) 2.1．某车间有甲、乙两个生产小组，甲组平均每个工人的日产量为22件，标准差为 3.5件；乙组工人日产量资料： 试比较甲、乙两生产小组中的哪个组的日产量更有代表性？ 解：∵X 甲=22件 σ甲=3.5件 ∴V 甲=σ甲/ X 甲=3.5/22=15.91% 列表计算乙组的数据资料如下: ∵x 乙=∑xf/∑f=(11*10+14*20+17*30+20*40)/100 =17(件) σ乙= √[∑(x-x)2 f]/∑f =√900/100 =3(件) ∴V 乙=σ乙/ x 乙=3/17=17.65% 由于V 甲＜V 乙,故甲生产小组的日产量更有代表性。 2.2．有甲、乙两个品种的粮食作物，经播种实验后得知甲品种的平均产量为998斤，标准差为162.7斤；乙品种实验的资料如下： 试研究两个品种的平均亩产量，确定哪一个品种具有较大稳定性，更有推广价值？ 解：∵x 甲=998斤 σ甲=162.7斤 ∴V 甲=σ甲/ x 甲=162.7/998=16.30% 列表计算乙品种的数据资料如下: 第 1 页 共 1 页 洛阳理工学院 线性代数与计算方法 期末考试试题卷1 一、 判断题(每小题2分，共10分) 1. A 为n 阶方阵，若n 元线性方程组0Ax =有非零解，则0A ≠. （ ） 2. 若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，则()()B R A R =. （ ） 3. 线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于未知量的个数. （ ） 4. 对准确值进行四舍五入得到的近似值50.301210?有4位有效数字. （ ） 5. 梯形求积公式的代数精度是3. （ ） 二、 填空题(每空2分，共10分) 1. 排列41532的逆序数为 . 2. 设131042-??= ???A ,412534?? ?= ? ???B ,则AB = . 3. 已知三阶方阵A 的行列式3=A ，2=A . 4. 用二分法求方程()2 sin 4 =-x f x x 在区间[1.5,2]内的近似根，为使误差不超过-210，至少需要二分 次. 5. 已知()()1224==f f ，,则这两点的一阶差商[]1,2=f . 三、 计算题(每小题10分，共80分) 1. 求行列式1 11111051 3132413 -=----D 的值. 2. 已知123221343A ?? ?= ? ??? ，求1-A . 3. 已知向量组1234(1,0,2,1),(1,2,0,1),(2,1,3,0),(1,1,3,1)αααα====--，（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无 关组；（3）将向量组中的其余向量用极大无关组线性表示. 4. 求方程组123412341 23428100 245032860x x x x x x x x x x x x +-+=??-++=??-++=?的基础解系和通解. 5. 取0 1.5=x ，用牛顿迭代法求方程324100+-=x x 根的近似值.（1）写出牛顿迭代公式；（2）计算四次迭代的结果. 6. 已知函数表 （1）构造差商表，求()x f 的二次牛顿插值多项式； （2）据此多项式求出()f x 的极值点和极值的近似值. 7. （1）写出辛普森公式； （2）用辛普森公式计算 1 0-?x e dx . 8. 用欧拉方法求初值问题()[0,1]01y x y x y '=+∈??=? 的数值解（取5.0=h ）. 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 关于地方时的计算 一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则： 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则： 经度差=两经度和（和小于180°时） 或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即： 地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。 二．东西位置关系的判断： （1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。 （2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。 （3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。 三．应用举例： 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。 分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。 所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B 点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方， 所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。 分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°， 则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。 所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方， 所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方8：00，求B点80°W的地方时。 分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A 点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。 所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时+8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算 【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时 试卷难度、区分度计算方法 一、难度计算 1、难度：指题目的难易程度，或说测验的难易程度，常以试题的通过率作为难度的指标。 难度值在0至1之间。P>0.8试题太易；P<0.2时，试题太难。一份试卷应该由不同难度按一定比例组成。一般地说，P>0.8 、P<0.2的试题各占10%；P=0.2～0.4，和Ｐ＝0.6～0.８的试题各占20％；P>0.4、Ｐ<0.6的中等难度试题应占60%。整套试卷平均难度在0.4～0.6之间。 2、计算方法 （1）客观性试题难度P（这时也称通过率）计算公式： P=k/N（k为答对该题的人数，N为参加测验的总人数） （2）主观性试题难度P计算公式： P=X/M（X为试题平均得分；M为试题满分） （3）适用于主、客观试题的计算公式： P=（P H+P L）/2（P H、P L分别为试题针对高分组和低分组考生的难度值）在大群体标准化中，此法较为方便。具体步骤为:①将考生的总分由高至低排列；②从最高分开始向下取全部试卷的27%作为高分组；③从最低分开始向上取全部试卷的27%作为低分组；④按上面的公式计算。 例1：一次物理测试中，在100名学生中，高低分组各有27人，其中高分组答对第一题有20人，低分组答对第一题的有5分，这道题的难度为： P H=20/27=0.74 P L=5/27=0.19 P=(0.74+0.19)/2=0.47 整个试卷的难度等于所有试题难度之平均值（包括主、客观试题）。 二、区分度的计算 1、区分度：指测验对考生实际水平的区分程度或鉴赏能力。它是题目质量和测验质量的一个重要指标。一般要求试题的区分度在0.3以上。 区分度D在-1至+1之间。D≥0.4时，说明该题目能起到很好的区分作用；D≤0.2时，说明该题目的区分性很差。D值为负数时，说明试题或答案有问题。 2、计算方法 （1）客观性试题区分度D的计算公式 D=P H-P L（P H、P L分别为试题高分组和低分组考生的难度值） P H、P L的计算方法同上。 例2 一次物理测试中，在100名学生中，高低分组各有27人，其中高分组答对第一题有20人，低分组答对第一题的有5分，这道题的区分度为： D=P H-P L=0.74-0.19=0.55 （2）主观试题（非选择题）区分度D的计算公式 D=（X H-X L）/N（H-L） （X H表示接受测验的高分段学生的总得分数，X L表示接受测验的低分段学生的总得分数，N表示接受测验的学生总数，H表示该题的最高得分，L表示该题的最低得分。）整个试卷的区分度，是所有试题区分度的平均值。 计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。 数学运算:盈亏问题计算公式 把若干物体平均分给一定数量得对象，并不就是每次都能正好分完。 如果物体还有剩余，就叫盈; 如果物体不够分，就叫亏。 凡就是研究盈与亏这一类算法得应用题就叫盈亏问题。 盈亏问题得常见题型为给出某物体得两种分配标准与结果，来求物体数量与参与分配得对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果得组合，这里以一道典型得盈亏问题对三种情况得几种组合加以说明。 注意：公司中两次每人分配数得差也就就是大分减小分 一、基础盈亏问题 1、一盈一亏（不够）【一次有余（盈），一次不够（亏）】可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友与多少个桃子？” 解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略) 测试：如果每人分9 个苹果，就剩下10 个苹果;如果每人分12 个苹果，就少20 个苹果。 2、两次皆盈（余），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数得差）=人数。 例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人） 45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略） 测试：如果每人分8 个苹果，就剩下20 个苹果;如果每人分7 个苹果，就剩下30 个苹果。 3、两次皆亏（不够），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。 例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生与多少本本子？”解：（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略） 测试：如果每人分11 个苹果，就少10 个苹果;如果每人分13 个苹果，就少30 个苹果。 4、一盈一尽（刚好分完），可用公式：盈÷（两次每人分配数得差）=人数。 测试：如果每人分6 个苹果，就剩下40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。 5、一亏一尽（刚好分完），可用公式：亏÷（两次每人分配数得差）=人数。 测试：如果每人分14 个苹果，就少40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。 由上面得问题，我们归纳出盈亏问题得公式： 【提示】解决这类问题得关键就是要抓住两次分配时盈亏总量得变化，经过比对后，再来进行计算。 【例题1】某班去划船，如果每只船坐4 人，就会少3 只船;如果每只船坐6 人，还有2 人留在岸边。问有多少个同学? （） A、30 B、31 C、32 D、33 解析：此题答案为C。 设小船有x 只，根据人数不变列方程：4(x+3)=6x+2，解得x=5。 所以有同学6×5+2=32 人。 盈亏问题例题讲解： 如何计算一份试卷的难度与区分度(2010-05-09 19:18:44)转载标签：杂谈 如何计算一份试卷的难度与区分度 发表于：05-03 14:23 | 分类：个人日记阅读：(1) 评论：(0) 如何计算一份试卷的难度与区分度如何计算试卷的难度和试卷的区分度。 1、难度的计算 （1）难度是指正确答案的比例或百分比。这个统计量称为试题的难度或容易度。难度一般用字母P表示，P越大表示试题越简单，P越小表示试题越难。试题要有梯度，因此各试题的难度应有不同，这是命制试题时要加以特别考虑的。 （2）计算公式:P=平均分/满分值例如：第一题平均分为分，此题的满分值为10分，则第一题的难度P=÷10=例：第1小题选择题满分是4分，全班50名学生中有20名学生答对，则第1小题的难度为，P=正确答案的比例或百分比=20÷50=或平均分=4×20÷50==平均分÷满分值=÷4= （3）关于难度的几个问题难度水平的确定是为了筛选题目。平时测验难度要利于学生的学习，但一定的难度能增加区分度，这对全面了解、掌握学生学习情况有十分重要的作用。难度水平的确定要考虑及格率，防止损伤学困生的自尊心。难度水平的确定要考虑对分数分布的影响，一般以偏正态分布为前提，有时偏正态分布更能激发学生的学习积极性.2、区分度的计算区分度是指试题对被试者情况的分辨能力的大小。一般在-1～+1之间，值越大区分度越好。试题的区分度在以上表明此题的区分度很好，～表明此题的区分度较好，～表明此题的区分度不太好需修改，以下表明此题的区分度不好应淘汰。计算区分度的方法很多，特别需要注意的是对同一个试题的考试成绩采用不同的方法所得到的区分度的值是不同的。 我们可以使用下面的两种方法计算区分度： （1）先将分数排序，P1=27﹪高分组的难度，P2= 27﹪低分组的难度区分度D =P1－P2或区分度D = （27﹪高分组的平均分－27﹪低分组的平均分）÷满分值 （2）利用积差系数r 计算区分度D当两个变量都是正态连续变量，而且两者之间呈线性关系，表示这两个变量之间的相关成为积差相关。积差相关的使用条件a、两个变量都是由测量获得的连续性数据。如百分制分数。b、两个变量的总体都呈正态分布，或接近正态分布，至少是单峰对称的分布。c、必须是成对的数据，而且每对数据之间是相互独立的。d 、两个变量之间呈线性关系。积差相关系数r的计算在计算机上是很容易进行的。积差相关系数r的公式如下：r=（无法显示）原谅！下面我们利用Excel表来演示一下具体的操作方法。 3、试卷分析的几个特殊问题（1）选择题反应模式分析。即：被试者对备选答案的反应情况。若备选答案应选项被全体应试者所选，题过易或有某种暗示；若未被一人所选，题太难；若干扰项无一人所选，说明迷惑性不足，若全体学生同选一个干扰项，可能定错了答案，也可能教学出了问题。若高分组答案集中在两个答案上，且选择率相近，说明可能有两个答案或另一个答案也有道理。若高分组与低分组选择选项接近或稍低。说明该题与被试水平无关。若题目未答人数太多，或选择所有备选答案人数相近，说明题目过难或题目本身出错，被试无法解答或凭猜测作答。 试卷分析的四个度：难度、区分度、信度、效度 一、难度是指试题的难易程度，它是衡量试题质量的一个重要指标参数，它和区分度共同影响并决定试卷的鉴别性。一般认为，试题的难度指数在－之间比较合适，整份试卷的平均难度最好在左右，高于和低于的试题不能太多。 1、难度的两种定义： （1）P=1—x/w x为某题得分的平均分数，w为该题的满分。这种定义法，难度值小时表明试题容易，值大时表明试题难，最小值为0，最大值为1。 《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)( 三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 各种利息计算方法例题 利息计算基本公式：利息=本金×利率×存期=本金×天数×日利率=本金×月数×月利率 税后利息=利息×80% 天数计算=月×30天+另头天数（如4月24日即为144天）利率表示法：%代表年利率，‰代表月利率，万分比代表日利率。 1、活期储蓄存单：按实际存期有一天算一天，大小月要调整。现行日利率为每天0.2元。 例：2006年2月18日存入的活期存单一张，金额为1000元，于06年05月08日支取。问应实付多少利息？ 解：（158-78-1）天×0.1万×0.2元×80%=1.26元 2、定期存款利息计算： A、提前支取按活期存单的计算方法计算。 B、到期支取的利息=本金×年利率×年数 C、过期支取的利息=到期息＋过期息（到期息参照B，过期息参照A）实付利息=应付利息×80% 例：※2006年03月16日存入一年期存款一笔，金额为50000元，于2006年9月3日支取，利率为2.25%,问应付给储户本息多少？ 解：实付息=（273-106+4）天×5万×0.2元×80%=136.80元 本息合计=50000+136.8=50136.80元 ※2001年6月16日存入五年期存款一笔,金额为20000元,利率为2.88%, 于2006年6月16日支取,问应实付多少利息? 解：实付息=20000×2.88%×5年×80%=2304元. ※2003年01年27日存入三年期存款一笔,金额为12000元,利率2.52%,于2006年6月16日支取,问实付利息为多少? 解：到期息=12000×2.52%×3年=907.2元 过期息=(196-57+1)×1.2万×0.2元=33.60元 实付利息=(到期息+过期息)×80%=(907.2+34.08)×0.8=752.64元. 3、利随本清贷款利息计算：方法与活期存单一样，按头际天数有一天算一天。逾期归还的，逾期部分按每天3/万计算。（现行计算方法是按原订利率的50%计算罚息） ※例：某户于2006年2月3日向信用社借款30000元，利率为10.8‰,定于2006年8月10日归还,若贷户于2006年7月3日前来归还贷款时,问应支付多少利息? 解：利息=（213-63+0）天×(10.8‰÷30)×30000元=1620元. ※例：某户于2005年10月11日向信用社借款100000元,利率为9.87‰,定于2006年5月10日到期,贷户于2006年6月15日前来归还贷款,问应支付多少利息? 解：利息=（160+360-311+2）天×100000元×(9.87‰÷30)+(195-160+1)天×100000元×(9.87‰÷30×1.5)=6941.90+1776.60=8718.50元 4、定活两便利息计算：存期不足三个月按活期存款利率计算。三个月以上六个月以下的整个存期按定期三个月的利率打六折计算，六个月以上一年以下的整个存期按定期六个月的利率打六折计算，超过一年的整个存期都按一年期利率 数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。 5．改进欧拉法的公式为 。 三、计算题（每小题12分 ，共60分） 1. 求矛盾方程组； ??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2．用列主元法解方程组 ??? ??=++=++=++4 26453426352321 321321x x x x x x x x x 3．已知方程组 ???? ? ?????=????????????????????----131********x x x a a a a （1） 写出雅可比法迭代公式； （2） 证明2 计算方法试卷 一、选择题 1、设求方程()0=x f 的根的切线法收敛，则它具有_ C ____敛速。 A ：线性 B ：超越性 C ：平方 D ：三次 2、二分法求()0=x f 在[]b a ,内的根，二分次数n 满足_ B ____。 A ：只与函数()x f 有关 B ：只与根的分离区间及误差限有关 C ：与根的分离区间、误差限及()x f 有关 D ：只与误差限有关 3、下列求积公式中用到外推技术的是_ B ____。 A ：梯形公式 B ：复合抛物线公式 C ：龙贝格公式 D ：高斯型求积公式 4、用选主元法解方程组b AX =，是为了_ B ____。 A ：提高运算速度 B ：减少舍入误差 C ：增加有效数字 D ：方便计算 5、234.1=x ，有三位有效数字，则相对误差限≤r ε_ B ____。 A ：1 105.0-? B ：2 105.0-? C ：3 105.0-? D ：2 101.0-? 二、填空题 1、乘幂法是求实方阵 按规模最大特征值与特征向量的一种迭代方法。 2、二阶阶差()()()[]2 02110210,,,,x x x x f x x f x x x f --= 3、已知3=n 时，科兹系数() 8130= C ，()8331=C ，()8332=C ，则() 8 133=C 4、求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是()() n n n n n x f x f x x x ' 11+-- =+ 5、n 个求积节点插值型求积公式代数精确度至少为1-n 次。 6、数值计算方法中需要考虑误差为截断误差、舍入误差。 三、计算题 求抛物线插值多项式并求?? ? ??21f 的近似值。 例1 已知数据表 xk 10 11 12 13 f(xk) 2.302 6 2.397 9 2.484 9 2.564 9 试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．并回答用线性插值计算f(11.75)，应取 哪两个点更好？ 解因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数．已知x0=11, y0=2.397 9，x1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9 P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x) P2(x)= f(11.75)?P2(11.75)= =2.463 8 若用线性插值，因为所求点x＝11.75在11与12之间，故应取x=11,x=12作线性插值合适．注：在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果 差些．第五章插值与最小二乘法 5.1 插值问题与插值多项式e x 实际问题中若给定函数是区间上的一个列表函数 ，如果,且f(x)在区间上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式在区间上近似f(x)，使 (5.1.1) 就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间. 通常，其中是一组在上线性无关的函数族，表示组成的函数空间表示为 (5.1.2) 这里是(n+1)个待定常数，它可根据条件(5.1.1)确定.当 时，表示次数不超过n次的多项式集合， ，此时 (5.1.3) 称为插值多项式，如果为三角函数，则为三角插值，同理还有 分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、×、÷运算，故常用的就是多项式、分段多项式或有理分式，本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论. 从几何上看，插值问题就是求过n+1个点的曲线，使它近似于已给函数，如图5-1所示. 插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础. 本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式. 讲解： 插值多项式就是根据给定n+1个点，求一个n次多项式： 使 即统计学计算题例题及计算分析
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