高考数学二轮复习专题讲义：专题二 三角函数与平面向量

专题二 三角函数与平面向量

【基础训练】

1．(2014·南京二模)已知| OA |=1,| OB |=2,∠AOB=120°, OC =12

OA +14 OB

,则 OA 与

OC 的夹角大小为 .

2．(2014·南通二调)在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则 AB ·

AC 的值为 .

3． (2014·常州期末)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,22

-a b c =3,则

c= .

4． (2014·苏州、无锡、常州、镇江调研)如图,在△ABC 中,BO 为AC 边上的中线,BG =2GO

,

设CD ∥AG ,若AD =15AB +λAC (λ∈R ),则λ的值为

.

(第5题)

5．在△ABC 中,已知tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB,若a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边,则2c ab

的最小值为 . 【例题讲解】

例1.(2014·苏州、无锡、常州、镇江一模)设函数f(x)=6cos 2

x-23sinxcosx.

(1) 求f(x)的最小正周期和值域;

(2) 在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B)=0且b=2,cosA=4

5,求a 和sinC

的值.

变式:(2014·南京学情调研)在锐角三角形ABC 中,A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知向量

m =1,cos 2?? ???A ,n =

3sin ,-2?? ? ???A ,且m ⊥n .

(1) 求角A 的大小;

(2) 若a=7,b=8,求△ABC 的面积.

例2.(2014·南通二调)在△ABC 中,已知 AB · AC =9, AB · BC =-16.求:

(1) AB 的值;

(2) sin(-)

sin A B C 的值.

变式:(2014·徐州三检)在△ABC 中,C=π

6,向量m =(sinA,1),n =(1,cosB),且m ⊥n .

(1) 求角A 的大小;

(2) 若点D 在边BC 上,且3 BD =

BC ,AD=13,求△ABC 的面积.

例3. 已知函数()sin()(0,||)2

f x M x M π

ω??=+><的部分图象如图所示．

（1）求 函 数()f x 的 解 析 式；

（2）在锐角ABC ?中，角A B C 、、的 对 边 分 别 是a b c 、、，

若cos cos 2B b C a c

=

-，求()2A f C +的取值范围．

变式:在ABC ?中，已知3tan tan tan tan 3A B A B ?--=．

（1）求C 的大小；

（2）设角,,A B C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且ABC ?是锐角三角形，求22a b +

的取值范围；

（3）若ABC ?的面积3=?ABC S ，求ABC ?周长的最小值．

【随堂检测及反馈】

1.(2013·山东卷)已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且|AB |=3,|AC |=

2.若AP

=λ

AB +AC ,且AP ⊥BC

,则实数λ的值为 .

2.设E,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,|AB

|=3,|AC |=6,则

AE ·AF

= .

3.(2013·南京三模)已知直线x=α

π0α2?

?<< ?

??与函数f(x)=sinx 和函数g(x)=cosx 的图象分别交于M,N 两点,若MN=1

5,则线段MN 的中点的纵坐标为

.

(例2)

4.已知向量OB =(2,0),OC =(2,2),CA =(2cos α,2sin α),则向量OA 与OB

的夹

角范围为 .

5.(2013·苏北四市模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,AD 为BC 边上的高且AD=BC,

则b c +c

b 的取值范围是 .

【学后反思】 【课后巩固】

1.已知锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若23cos 2

A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= .

2.已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点,且满足AP =x AB +y AC

,x,y ∈R ,则1x +4

y 的最小值

是 .

3.满足条件2,2AB AC BC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ．

4. 已知在△ABC 中,3(CA +CB )·AB =4|AB

|2

,那么tan tan A

B = .

5.在ABC ?中，已知(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=． （1）求角A 的大小；

（2）设O 为ABC ?的外心（三角形各边中垂线的交点），当13BC =，ABC ?的面积

为33时，求AO BC ?u u u r u u u r

的值；

（3）设AD 为ABC ?的中线，当23BC =时，求AD 长的最大值． 6.已知ABC ?为锐角三角形，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且

222cos sin sin cos b a c C C

ac A A

--=-

． （1）求角A 的大小；

（2）设关于角B 的函数22()2cos sin()sin cos 6

f B B B B B π

=?+-+，求()f B 的值域．

专题二 三角函数与平面向量

【基础训练】

1．(2014·南京二模)已知| OA |=1,| OB |=2,∠AOB=120°, OC =12

OA +14 OB

,则 OA 与

OC 的夹角大小为 .

【答案】 60°

【解析】 按向量的加法法则画出向量

OC ,可知OC 平分∠AOB,所以∠AOC=60°.

2．(2014·南通二调)在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则 AB ·

AC 的值为 . 【答案】 -36 【解析】

AB · AC =( AD + DB )·( AD + DC )=2||

AD + AD · DC + DB · AD +

DB · DC =|

AD |2-2||

DC =-36.

3． (2014·常州期末)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,22

-a b c =3,则

c= . 【答案】 4

【解析】 方法一:由tanA=7tanB,可得sin cos A A =7sin cos B

B ,即sinAcosB=7sinBcosA,所以有

sinAcosB+sinBcosA=8sinBcosA,即sin(A+B)=sinC=8sinBcosA.由正、余弦定理可得c=8b ×

222-2+b c a bc ,即c 2=4b 2+4c 2-4a 2,又22

-a b c =3,所以c 2=4c,即c=4.

方法二:由tanA=7tanB,得sinAcosB=7sinBcosA,由余弦定理可得a ×222

-2+a c b ac =7×b ×

222

-2+b c a bc ,解得c 2=4b 2+4c 2-4a 2,下同方法一.

4． (2014·苏州、无锡、常州、镇江调研)如图,在△ABC 中,BO 为AC 边上的中线,BG =2GO

,设CD ∥AG ,若AD =15AB +λAC (λ∈R ),则λ的值为 .

(第5题)

65 【解析】因为BG =2GO ,所以AG =13AB +23AO =13AB +13AC

.又CD ∥AG ,可设CD =m AG ,从而AD =AC +CD =AC +3m AB +3m AC =13m AC ??+ ?

?? +3m AB .因为AD =15AB

+λAC ,所以3m =15,所以λ=1+3m =65.

5．在△ABC 中,已知tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB,若a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边,则2c ab

的最小值为 .

【答案】 2

3

【解析】 由tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB,得sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA,

即sinAsinBcosC=sinCsin(A+B)=sin 2C.由正、余弦定理有ab ×

222

-2+a b c ab =c 2,化简得3c 2=a 2+b 2

≥2ab,所以2c ab ≥23,即2c ab 的最小值为2

3.

【例题讲解】

例1.(2014·苏州、无锡、常州、镇江一模)设函数f(x)=6cos 2

x-2

3sinxcosx.

(1) 求f(x)的最小正周期和值域;

(2) 在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f(B)=0且b=2,cosA=4

5,求a 和

sinC 的值.

【分析】 (1) 把函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+B 的形式,求出最小正周期及值域; (2) 由f(B)=0,可求得B,再结合正弦定理、三角函数的和差公式求a 和sinC 的值.

【解答】 (1) f(x)=6×1cos22+x

-3sin2x

=3cos2x+3-

3sin2x

=23cos

π26?

?+ ?

??x +3, 所以f(x)的最小正周期T=2π

2=π,

值域为[3-2

3,3+23].

(2) 由f(B)=0,得cos π26??+ ?

?

?B =-32. 因为B 为锐角,所以π6<2B+π6<7π6,所以2B+π6=5π6,所以B=π3.因为cosA=4

5,A ∈

π0,2?? ?

??,所以sinA=

2

41-5?? ???=35. 在△ABC 中,由正弦定理得a=sin sin b A

B =3

25

32?

=435.

所以sinC=sin(π-A-B)=sin 2π-3

?? ?

??A =32cosA+12sinA=34310+. 【点评】 本题考查倍角公式,正、余弦定理,求三角函数的值域,先把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的形式,通过求ωx+φ的范围,得函数f(x)的值域是最常用的方法.

变式:(2014·南京学情调研)在锐角三角形ABC 中,A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知向量

m =1,cos 2?? ???A ,n =

3sin ,-2?? ? ???A ,且m ⊥n . (1) 求角A 的大小;

(2) 若a=7,b=8,求△ABC 的面积. 【解答】 (1) 因为m ·n =0,

所以1

2sinA-32cosA=0.

因为0°

3,所以A=60°.

(2) 方法一:由正弦定理得sin a A =sin b B .又a=7,b=8,A=60°,则sinB=8

7sin60°

=437.因为△ABC 为锐角三角形,所以cosB=17.

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×17+12×437=53

14,

所以S △ABC =1

2absinC=10

3.

方法二:因为a=7,b=8,A=60°,所以由余弦定理可知,49=64+c 2

-2×8c ×1

2,即

c 2

-8c+15=0,解得c=3或c=5.

当c=3时,c 2

+a 2

-b 2

=9+49-64<0,所以cosB<0,不符合题意; 当c=5时,c 2

+a 2

-b 2

=25+49-64>0,所以cosB>0,符合题意.

所以S △ABC =1

2bcsinA=103.

例2.(2014·南通二调)在△ABC 中,已知 AB · AC =9, AB · BC =-16.求:

(1) AB 的值;

(2) sin(-)

sin A B C 的值.

【分析】 (1) 根据已知条件,将两式相减可求得AB,也可根据向量数量积公式,结合余弦定理,求出AB.

(2) 根据正弦的和差公式,再利用正弦定理、余弦定理求得结果.

【解答】 (1) 方法一:因为 AB · AC =9, AB ·

BC =-16,

所以 AB · AC - AB ·

BC =9+16=25,

即

AB·(

AC+

CB)=25,

即|

AB|2=25,故AB=5.

方法二:设角A,B,C的对边分别为a,b,c, 则由条件得bccosA=9,accosB=16.

两式相加得c(bcosA+acosB)=9+16=25, 即c2=25,故AB=c=5.

方法三:设角A,B,C的对边分别为a,b,c, 则由条件得bccosA=9,accosB=16.

由余弦定理得1

2(b2+c2-a2)=9,

1

2(c2+a2-b2)=16,

两式相加得c2=25,故AB=c=5.

(2) sin(-)

sin

A B

C=

sin cos-cos sin

sin

A B A B

C,

由正弦定理得sin(-)

sin

A B

C=

cos-cos

a B

b A

c=2

cos-cos

ac B bc A

c=2

16-9

c=

7

25.

【点评】本题考查向量的加法及向量的数量积公式,考查正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数.在三角形中的向量问题,可利用向量的数量积公式,转化为解三角形问题.

变式:(2014·徐州三检)在△ABC中,C=π

6,向量m=(sinA,1),n=(1,cosB),且m⊥n.

(1) 求角A的大小;

(2) 若点D在边BC上,且3

BD=

BC ,AD=13,求△ABC的面积.

【解答】(1) 由题意知m·n=sinA+cosB=0,

又C=π

6,A+B+C=π,

所以sinA+cos

5π

-

6

??

?

??

A

=0,

即sinA-

3

2cosA+

1

2sinA=0,

即sin π-6?? ?

?

?A =0, 又0

π2π-,63??

???, 所以A-π6=0,即A=π

6.

(2) 设| BD |=x,由3 BD =

BC ,得| BC |=3x.

由(1)知A=C=π

6,所以|

BA |=3x,B=2π3.

在△ABD 中,由余弦定理,

得(13)2=(3x)2+x 2

-2×3x ×x ×cos 2π

3,

解得x=1,所以AB=BC=3,

所以S △ABC =1

2BA ·BC ·sinB

=1

2×3×3×sin 2π3=934.

例3. 已知函数()sin()(0,||)2

f x M x M π

ω??=+><的部分图象如图所示．

（1）求 函 数()f x 的 解 析 式；

（2）在锐角ABC ?中，角A B C 、、的 对 边 分 别 是a b c 、、，

若cos cos 2B b C a c

=

-，求()2A f C +的取值范围． 解：（1）由图知：1M =，254()126

ππ

πω=-，∴2ω=，

∴函 数()sin(2)f x x ?=+，又函数经过点(,1)6π，||2π?<，∴6

π

?=，

∴()sin(2)6

f x x π

=+；

（2）由cos cos 2B b C a c =-得cos sin cos 2sin sin B B

C A C

=

-， 展开得sin cos 2sin cos cos sin B C A B B C ?=?-?，∴1cos 2

B =

，∴3B π=，

(

)()222A A C C f C f ++=+=()23C f π+=5sin()6

C π

+, 又在锐角ABC ?中，3

B π

=

，∴

6

2

C π

π

<<

，∴5463

C ππ

π<+

<

,

∴35sin()026C π-

<+<，∴()2

A f C +的取 值 范 围是3(,0)2-． 变式:在ABC ?中，已知3tan tan tan tan 3A

B A B ?--=．

（1）求C 的大小；

（2）设角,,A B C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且ABC ?是锐角三角形，求22a b +

的取值范围；

（3）若ABC ?的面积3=?ABC S ，求ABC ?周长的最小值．

解：（1）依题意：

tan tan 31tan tan A B

A B +=--，即tan()3A B +=-，又0A B π<+<，

∴23A B π+=，∴3

C A B ππ=--=; （2）由三角形是锐角三角形可得2

2

A B ππ?

2A ππ<<,

由正弦定理得sin sin sin a b c

A B C ==

,∴4sin sin sin 3

c a A A C =?=，4sin 3b B =， ∴2222161611

[sin sin ][(1cos2)(1cos2)]3322

a b A B A B +=+=-+-168(cos2cos2)33A B =-+

1684[cos2cos(2)]333

A A π

=-+-16813[cos 2()cos 2()sin 2]3322A A A =-+-+-

16813(cos 2sin 2)3322A A =--168sin(2)336

A π=+-， 62A ππ<<，∴ 52666A πππ<-<，∴ 1sin(2)126A π<-≤, 即2220

83

a b <+≤.

(3) 1

sin 342ABC S ab C ab ?==?=,又222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-,

∴222236a b c a b a b ab ab ab ab ab ++=+++-≥+-==. 当且仅当a b =时，取等号. ∴ABC ?周长的最小值是6. 【随堂检测及反馈】

1.(2013·山东卷)已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且|AB |=3,|AC |=

2.若AP

=λ

AB +AC ,且AP ⊥BC

,则实数λ的值为 .

712 【解析】由AP ⊥BC ,知AP ·BC =0,即AP ·BC =(λ

AB +AC )·(AC -AB )=(λ-1)AB ·AC -λ|AB

|2

+|AC |2=(λ-1)·3·2·cos120°-λ·32+22

=0,解得λ=7

12.

2.设E,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,|AB

|=3,|AC |=6,则

AE ·AF

= .

10 【解析】

AE ·AF =(AB +BE

)·(AC +CF )=13AB BC ??+ ??

? ·1-3AC BC ?? ??? =AB ·AC -19|BC |2+13BC

·(AC -AB )=29|BC |2=29×(62+32

)=10.

(第7题)

3.(2013·南京三模)已知直线x=α

π0α2??<< ?

??与函数f(x)=sinx 和函数g(x)=cosx 的图象分别交于M,N 两点,若MN=1

5,则线段MN 的中点的纵坐标为

.

(例2)

易错点分析:将MN=15转化为MN=|sin α-cos α|=1

5,将线段MN 的中点的纵坐标表示为

sin αcos α

2+是解决该问题的关键,同时要正确处理sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos

α的关系.

答案:7

10解析:易知y M =sin α,y N =cos α,则MN=|sin α-cos α|=15,

所以sin α+cos α=7

5,所以线段MN 的中点的纵坐标为M N y y 2+=sin αcos α2+=710. 4.已知向量OB =(2,0),OC =(2,2),CA =(2cos α,2sin α),则向量OA 与OB

的夹

角范围为 .

易错点分析:此题主要错在不能认识到点A 的轨迹是一个圆.

答案:π5π,1212????

?

? 解析:因为OC =(2,2),OB

=(2,0),所以B(2,0),C(2,2).因为CA =(2cos

α,2sin α),所以点A 的轨迹是以C(2,2)为圆心,2为半径的圆.过原点O 作此圆的切线,

切点分别为M,N,连接CM,CN(∠MOB<∠NOB),则向量OA 与OB

的夹角范围是∠MOB ≤

≤∠NOB.因为|OC |=22,|CM

|=|CN |=12|OC |,所以∠COM=∠CON=π

6,且∠COB=π4.所以∠MOB=π12,∠NOB=5π12,故π12≤

>≤5π12.

5.(2013·苏北四市模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,AD 为BC 边上的高且AD=BC,

则b c +c

b 的取值范围是 .

[2,5] 【解析】因为AD=BC=a,所以12a 2

=1

2bcsinA,解得sinA=2a bc ,再由余弦定理得

cosA=222-2b c a bc +=2

1-2b c a c b bc ??+ ???=

1-sin 2b c A c b ??+ ???,所以b c +c b =2cosA+sinA.又A ∈(0,π),所以由基本不等式和辅助角公式得b c +c

b 的取值范围是[2,5].

【学后反思】 【课后巩固】

1.已知锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若23cos 2

A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= .

5 【解析】 23cos 2A+cos 2A=0,即25cos 2

A=1.因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A=1

5.在

△ABC 中,根据余弦定理,得49=b 2+36-12b ·15,即b 2

-12

5b-13=0,解得b=5.

2.已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点,且满足AP =x AB

+y AC ,x,y ∈R ,则1x +4

y 的最小值

是 .

9 【解析】 由B,P,C 三点共线,且AP =x AB

+y AC ,故x>0,y>0且x+y=1,所以1x +4y =14x y ??+ ?

??(x+y)=5+y x +4x

y ≥5+24=9.

3.满足条件2,2AB AC BC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ． （2）2AB =Q （定长），可以以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标 系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，由2AC BC =可得2222(1)2(1)x y x y ++=-+，化

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

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第一节集合 考纲下载 1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 2.集合间的基本关系 B A

B 3.集合的基本运算 4.集合的运算性质 (1)A ∪B ＝A ?B ?A ，A ∩B ＝A ?A ?B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩?＝?； (3)A ∪A ＝A ，A ∪?＝A ； (4)A ∩?U A ＝?，A ∪?U A ＝U ，?U (?U A )＝A . 1．集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？ 提示：这4个集合互不相同，A 是以方程x 2＝0的解为元素的集合，即A ＝{0}；B 是函数y ＝x 2的定义域，即B ＝R ；C 是函数y ＝x 2的值域，即C ＝{y |y ≥0}；D 是抛物线y ＝x 2上的点组成的集合． 2．集合?，{0}，{?}中有元素吗？?与{0}是同一个集合吗？ 提示：?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．?与{0}不是同一个集合．

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．

B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；

2019高考数学真题汇编平面向量

考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

高三第二轮复习平面向量复习专题

数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】

由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

(完整版)2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．

1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F → ＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC → ＝3. (1) 求AB →·AC → 的值； (2) 求λ＋μ的值．

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

2020高考数学二轮专题复习 三角函数

三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

高考数学二轮复习 专题5 平面向量

高考数学二轮复习 专题5 平面向量 专题五 平面向量 【重点知识回顾】 向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键 在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。 在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力 因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → →→ 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一 实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e → → → → → =+ 的一组基底。 向量的坐标表示

i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标 () 表示。 ()() 设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()() λλλλa x y x y → ==1111，， ()() 若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 . 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b → → → → → → =||||cos θ [] θθπ为向量与的夹角，，a b →→ ∈0 数量积的几何意义： a b a b a b → → → → → ·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos θ （2）数量积的运算法则 ①··a b b a → → → → = ②··()a b c a c b c → →→ → → → → +=+ ()()③·，·，a b x y x y x x y y →→ ==+11221212 注意：数量积不满足结合律····()()a b c a b c → → → → → → ≠ ()() （）重要性质：设，，，31122a x y b x y →→ == ①⊥···a b a b x x y y → → → → ?=?+=001212

高三数学总深刻复习讲义

工程學院基礎數學題庫 第五章空間中的直線與平面 第六章球面方程式 第七章矩陣與行列式

第五章 空間中的直線與平面 5-1.空間中直線與平面的概念 1.設ABCD 為正四面體，各面均為正三角形，其稜長為1，為M 的CD 中點， 求 AB 與CD 兩歪斜線間的距離？ 若∠AMB ＝θ，求cos θ＝？ 【 a 22； 3 1 】 【解】 a a a 2 2 )2()23( 22=- 餘弦定理a 2＝θcos 23232434322??? -+a a a a ,cos θ＝3 1 2.四面體A-BCD 中,2,4======BD CD BC AD AC AB ， 求四面體A-BCD 之體積？

【 3 11 2 】 【解】G 是△ABC 重心3 3232== DE DG 3 44 )332( 42 2=-=AG ，體積＝311234433131=??=???AG BCD 3.如圖，OA 垂直平面E ，AB 垂直直線L ，已知OA ＝9，AB ＝12， BC ＝20，求OC ＝？【三垂線定理】 【 25 】 【解】2222129AB OA OB +=+=＝15,222 22015BC OB OC +=+=＝25 4.空間中O 點在平面E 的垂足為A 點，OA ＝3，L 為平面E 之 直線，由A 作直線L 的垂線交於B 點，AB ＝2，C 為直線L 之 點，已知OC ＝7，求BC ＝？ 【三垂線定理】

【 6 】 【解】1323AB OA OB 2222=+=+=,)13(-7OB -OC BC 22 2==＝6 5.有一四面體OABC ，它的一個底面ABC 是邊長4的正三角形， 且知OA ＝OB ＝OC ＝a ，如果直線OA 與直線BC 間的公垂線段長 (亦即此兩直線間的距離)是3，則a ＝？(以最簡分數表示) 【 3 8 】 【解】4a OM 2-=,作AO MN ⊥於點N 設ON ＝a －3，222OM MN ON =+2222)4a ()3()3a (-=+-，a ＝3 8 6.設ABCD 為四面體，底面為BCD ，側稜AB ＝4，AC ＝AD ＝5， 底邊BC ＝BD ＝5，CD ＝6，令平面ACD 與平面BCD 所定的兩面角 度量為銳角θ，求cos θ＝？ 【 21 】【解】△ABM 為正三角形，θ＝60°，則cos60°＝2 1 7.長方體如圖,若3,3,2===AE AD AB ，若△ABD 與△BDE 所在平面

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)

第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．

(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝??? cos πx ，x ∈[0，1 2 ]， 2x －1，x ∈(1 2 ，＋∞)，则不等式 f (x －1)≤1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0， 所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示． ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1 2.设与曲线交 于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1 2]， ∴πx ＝π3，∴x ＝1 3 . 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34 . 根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1 3. ∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1 2上及其下方的图象满足， ∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1 3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同