初中数学定点问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题(含解析)

初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)

定点题型

定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.

解题思路：

这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值。

一、直线过定点问题：

解法1：取特殊值法

给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。

例1：求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。

解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。将（1，-1）点代入原方程得：

（m+1）· 1+（m-1）（-1）-2＝0 成立，所以该定点P为（1，-1）。

解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。

例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。

证明：由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k，∴（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。

解法3：方程思想

若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。

例3：若 2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线 ax＋by=5必过定点。

解：由已知得 ax+by=5（2a-3b），即 a（x-10）+b（y-15）=0 无论a，b为何值上式均成立，所以a，b的系数同时为0，所以过定点（10，15）。

解法4：直线系观点

过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x ＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。

例4：求证对任意的实数m，直线（m-1）x＋2（m-1）y＝m-5必过定点。

解：原式可整理为（x＋2y-1）m-（x＋y-5）＝0

1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点．

2．直线y=mx+2m+14过定点．

3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点．

4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点．

5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点．

6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点．

7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是．

8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．

9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点．

10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点．

11．不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1﹣k）y+7﹣k=0恒经过的定点坐标是．

二、抛物线过定点问题：

第一步：对含有变系数的项集中；

第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；

第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；

第五步：验算回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

1．已知抛物线y=2x2﹣（m2+1）x+2m2﹣1，不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P

点的坐标为（）

A．（2，﹣5）B．（2，5） C．（﹣2，5）D．不能确定

2．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：．

3．已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标．

4．抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A，直线l：y=x+m也过点A，则直线l的函数解析式

为．

5．抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是．

6．已知实数a、b、c满足不等式：|a|≥|b﹣c|，|b|≥|a+c|，|c|≥|a﹣b|，抛物线

y=ax2+bx+c恒过定点M，则定点M的坐标为．

7．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣2k+6经过定点Q．

（1）直接写出点Q的坐标；

（2）点M在第一象限内，∠QOM=45°，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM的解析式；

（3）在（2）条件下，过点M作MA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，点E为第一象限内的一动点，∠AEO=45°，点C为OB的中点（如图2），求线段CE长度的最大值．

8．已知函数y=ax2﹣4bx+3，

（1）求证：无论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点；

（2）当a、b满足什么条件时，图象与直线y=1有交点；

（3）若﹣1＜x＜0，a=1，当函数值y恒大于1时，求b的取值范围．

9．已知函数y=x2﹣（m2+4）x﹣2m2﹣12．

（1）当m取何值时，此函数有最小值﹣，求出此时x的值；

（2）求证：不论m取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标．

10．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B

（1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；

（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．

11．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+（1﹣m）上（其中m、n为正数）．

（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．（2010秋?扬州校级期末）直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点（﹣2，1）．

【解答】解：直线l：kx﹣y+2k+1=0 即k（x+2）﹣y+1=0，过直线x+2=0 和直线﹣y+1=0的交点（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．

2．直线y=mx+2m+14过定点（﹣2，14）．

【解答】解：∵y=mx+2m+14=m（x+2）+14，当x+2=0，即x=﹣2时，y=14，

∴直线y=mx+2m+14过定点（﹣2，14）．故答案为：（﹣2，14）．

3．（2014秋?温州校级期中）直线kx+3y+k﹣9=0过定点（﹣1，3）．

【解答】解：∵kx+3y+k﹣9=0，∴k（x+1）+3y﹣9=0，

∴，解得，∴直线kx+3y+k﹣9=0过定点（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．

4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点（，）．

【解答】解：∵a+b=3，∴a?+b?=1，∴直线ax+by=1恒过定点（，）．

故答案为：（，）．

5．（2012秋?广陵区校级期中）当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点（1，1）．

【解答】解：由于a+b+c=0，故点（1，1）满足直线方程ax+by+c=0，即点（1，1）在直线ax+by+c=0上，即直线ax+by+c=0必过定点（1，1），故答案为（1，1）．

6．（2013春?启东市校级月考）直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点（﹣2，﹣3）．

【解答】解：直线（m﹣1）x+y+2m+1=0可化为﹣x+y+1+m（x+2）=0，

可得，解得，∴直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，

﹣3）

7．（2012秋?柯城区校级期中）直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是（3，﹣3）．

【解答】解：取a=，得方程为y+3=0，此时对应的直线设为l1；

再取a=0，得方程为﹣x+3=0此时对应的直线设为l2．

联解．得x=3且y=﹣3，所以直线l1与l2交于点A（3，﹣3）

A点即为所求直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点故答案为：（3，﹣3）

8．（2010?定西模拟）对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是

．

【解答】解：方程（m+n）x+12my﹣2n=0可化为（x+12y）m+（x﹣2）n=0

∵对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点

∴∴故定点坐标是

9．（2014春?海陵区校级期中）若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点（﹣，

）．

【解答】解：由于3p﹣2q=1，故直线px+3y+q=0，即px+3y+=0，即p（2x+3）+6y﹣1=0，由，求得，故直线经过定点（﹣，），故答案为：（﹣，）．

10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点．

【解答】解：直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0化为m（x+2y﹣1）﹣（x﹣3y﹣2）=0，

联立，解得．

∴直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点．故答案为：．2．（2014?涪城区校级自主招生）不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1﹣k）y+7﹣k=0恒经过的定点坐标是（﹣2，﹣5）．

【解答】解：①特殊值法：设k1=2，k2=0，代入函数关系式得：解得：．

②分离参数法：由（2k+1）x+（1﹣k）y+7﹣k=0，

化简得k（2x﹣y﹣1）+x+y+7=0，无论k取何值，只要成立，则肯定符合直线方程；

解得：．故直线经过的定点坐标是（﹣2，﹣5）．

1．（2015?秦皇岛校级模拟）已知抛物线y=2x2﹣（m2+1）x+2m2﹣1，不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）

A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．不能确定

【解答】解：∵不论m取何值，抛物线恒过某定点P，

∴令m=0，则y=2x2﹣x﹣1，令m=1，则y=2x2﹣2x+1，

解得∴P的坐标为（2，5），故选B．

1．（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：（0，3），（2，3）．

【解答】解：∵原函数化为y=mx（x﹣2）+3的形式，

∴当x=0或x﹣2=0时函数值与m值无关，∵当x=0时，y=3；当x=2时，y=3，

∴两定点坐标为：（0，3），（2，3）．故答案为：（0，3），（2，3）．

3．已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标（0，2）、（﹣2，0）．

【解答】解：依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

则，解得或．

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．故答案为（0，2）、（﹣2，0）．

4．抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A，直线l：y=x+m也过点A，则直线l的函数解析式为y=x．

【解答】解：∵y=x2+ax+a﹣2，∴（x+1）a=y+2﹣x2，

当x+1=0且y+2﹣x2=0时，即x=﹣1，y=﹣1，a为任意实数，

∴抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A（﹣1，﹣1），

把A（﹣1，﹣1）代入y=x+m得﹣1+m=﹣1，解得m=0，

∴直线l的解析式为y=x．故答案为y=x．

5．抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是（2，4）．

【解答】解：∵y=x2+mx﹣2m可化为y=x2+m（x﹣2），

∴当x=2时，y=4；且与m的取值无关；∴定点（2，4），故答案为（2，4）．

6．已知实数a、b、c满足不等式：|a|≥|b﹣c|，|b|≥|a+c|，|c|≥|a﹣b|，抛物线y=ax2+bx+c恒过定点M，则定点M的坐标为（﹣1，0）．

【解答】解：∵|a|≥|b﹣c|，|b|≥|a+c|，|c|≥|a﹣b|，

平方得：a2≥（b﹣c）2，b2≥（a+c）2，c2≥（a﹣b）2，

三式相加得：a2+b2+c2≥（b﹣c）2+（a+c）2+（a﹣b）2，

展开得：a2+b2+c2≥2a2+2b2+2c2﹣2bc+2ac﹣2ab，即0≥a2+b2+c2﹣2bc+2ac﹣2ab，

∴（a﹣b+c）2≤0，∴a﹣b+c=0，当x=﹣1时y=a﹣b+c=0，∴定点M的坐标为（﹣1，0）．

故答案为：（﹣1，0）．

7．（2014春?武昌区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣2k+6经过定点Q．

（1）直接写出点Q的坐标（2，6）；

（2）点M在第一象限内，∠QOM=45°，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM 的解析式；

（3）在（2）条件下，过点M作MA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，点E为第一象限内的一动点，∠AEO=45°，点C为OB的中点（如图2），求线段CE长度的最大值．

【解答】解：（1）y=kx﹣2k+6=k（x﹣2）+6，则当x﹣2=0，即x=2时，y的值与k无关，

则G的坐标是（2，6）；（2）延长BQ，AM交于点F．连接OF，作QG⊥OF于点G．

则四边形AOBF是正方形，△QFG是等腰直角三角形，且OA=OB=BF=AF=6，BQ=2，

则QF=4，∴QG=QF×=4×=2，在直角△OBQ中，OQ===2，

∴直角△OQG中，OG===4．∵正方形AOBF中，∠AOB=90°，∠AOF=45°，又∵∠QOM=45°，∴∠QOG+∠FOM=∠FOM+∠AOM=45°，∴∠QOG=∠AOM，又∵∠OGQ=∠AOM

∴△OQG∽△OMA，∴，即，∴AM=3，∴M的坐标是（6，3）．

设直线QM的解析式是y=kx+b，则，解得：，则直线的解析式是：y=﹣x+；（3）∵∠AEO=45°，∴E在以OA的斜边的等腰直角三角形直角顶点为圆心，以OA为弦的圆上，且弦OA所对的圆心角是90°的圆上，设圆心是N，则N的坐标是（3，3），圆的半径是3，

又∵点C为OB的中点，∴C的坐标是（0，3），则CN∥x轴，

则当E是CN的延长线与圆N的交点时，线段CE最长，则最大的长度是：3+3．

8．（2014秋?长沙校级期中）已知函数y=ax2﹣4bx+3，

（1）求证：无论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点；

（2）当a 、b 满足什么条件时，图象与直线y=1有交点；

（3）若﹣1＜x ＜0，a=1，当函数值y 恒大于1时，求b 的取值范围．

【解答】证明：（1）∵当x=0时，y=ax 2﹣4bx +3=3，∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，3）， ∴论a 、b 为何值，函数图象经过y 轴上一个定点（0，3）；解：（2）∵象与直线y=1有交点， ∴1=ax 2﹣4bx +3，ax 2﹣4bx +2=0，∴△=（﹣4b ）2﹣8a ≥0，解得：a ≤2b 2．

（3）∵﹣1＜x ＜0，a=1，函数值y 恒大于1，∴1+4b ＞1，解得：b ＞0．

9．已知函数y=x 2﹣（m 2+4）x ﹣2m 2﹣12．

（1）当m 取何值时，此函数有最小值﹣，求出此时x 的值；

（2）求证：不论m 取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标．

【解答】（1）解：y 最小===﹣，

m 4+16m 2﹣17=0（m 2﹣1）（m 2+17）=0∵m 2+17≠0，∴m=±1，∴y=x 2﹣5x ﹣14

x=﹣=﹣=，当m=±1时，此函数有最小值﹣，此时x=；

（2）证明：∵此函数可以写成y=（x +2）?[x ﹣（m 2+6）]，

∴函数与x 轴的交点为（﹣2，0），（m 2+6，0），∴不论m 取任何实数，抛物线都过一定点，定点坐标是（﹣2，0）．

10．（2016?广州）已知抛物线y=mx 2+（1﹣2m ）x +1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B

（1）求m 的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，并求出点P 的坐标；

（3）当＜m ≤8时，由（2）求出的点P 和点A ，B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m 值．

【解答】（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当m ≠0时，

∵抛物线y=mx 2+（1﹣2m ）x +1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B ，

∴△=（1﹣2m ）2﹣4×m ×（1﹣3m ）=（1﹣4m ）2＞0，∴1﹣4m ≠0，∴m ≠，

∴m 的取值范围为m ≠0且m ≠；

（2）证明：∵抛物线y=mx 2+（1﹣2m ）x +1﹣3m ，∴y=m （x 2﹣2x ﹣3）+x +1，

抛物线过定点说明在这一点y 与m 无关，显然当x 2﹣2x ﹣3=0时，y 与m 无关，

解得：x=3或x=﹣1，当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0）， ∵P 不在坐标轴上，∴P （3，4）；（3）解：

|AB |=|x A ﹣x B |=

====||=|

﹣4|，∵

＜m ≤8，∴≤＜4，∴﹣≤﹣4＜0，∴0＜|﹣4|≤，∴|AB |最大时，||=，解得：m=8，或m=（舍去），∴当m=8时，|AB |有最大值，

此时△ABP 的面积最大，没有最小值，则面积最大为：|AB |y P =×

×4=．

11．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+（1﹣m）上（其中m、n为正数）．

（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：把（﹣，﹣）代入y=x+（1﹣m）得﹣+（1﹣m）=﹣，

整理得m2﹣mn+m﹣n=0，∵（m﹣n）（m+1）=0，∴m=n或m=﹣1（舍去），

∴二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，0），∵m为正数，

∴二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，∴抛物线开口向上，

∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）解：存在．

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），∴抛物线与x轴的另一个交

点坐标为（﹣1，0），即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣1，0）和（0，0）．

初中数学中考考点汇总讲课教案

初中数学中考考点汇 总

第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分） 1、有效数字

浙教版初中数学中考培优题(含答案)

1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人

【中考必备】初三数学难题集锦

初中数学难题集锦 1．（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. ⑴求∠A 的度数； ⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥ 2．（本小题满分10分） 已知抛物线2y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线112 y x =--上，且过点A (4，0)． ⑴求这个抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. ⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使A D C D -的值最大，请直接写出点D 的坐标. 3．（本小题满分12分） 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒． ⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值； ⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； 图1Q P D C B A A B 备用图A B C D

3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA⊥x 轴于点A ，点D 在FA 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C. （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－3 2x 2+b x +c ，经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值； （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 5．如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，， ，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． （1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式； （3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长． 试探究：AEF △的最大面积？

初中数学知识点及考点联系

初中数学知识框架及知识点之间的联系初中数学六册书共29各章节，每个章节难度不同，在中考中占的分数值不同，在学校学习期间学习时间也不相同，对学生的要求也不同； 南通市学校学习这些章节时间和学期分布不尽相同，一般来说市区的学校学习的比较快，二中，三中，学习的比较慢，初三上学期的时候会学习最后几个章节的知识点，分别是二次函数，圆，相似，锐角三角形，占用的时间不是很多，周期短，学的比较快，但是这几个章节是中考的重点章节，大概占35--40，这个时候一点掉队会导致孩子在数学上没有信心； 数学一共29个章节，初一两册书，一共10个章节，主要的考点有： （1）有理数，这个章节是小学与初中的衔接，也是初中数学的开篇和基础部分，初中的一些数学基础概念和知识点都在这一章节中体现，这个章节考试一般只有5分左右，但是知识点和概念对整个中学阶段的学习非常的重要，比如，绝对值，幂运算，在以后的高中数学学习中任然会有所涉及，高中不会详细讲解，初中打好基础是关键，学习好这一章节对后面整个数学数的分类比较清晰，如果基础知识和基础的概念不到位，学习实数的时候还要重新回顾这一章节的内容，不但时间上不允许，还可能导致学习新知识的掉队，下面的链接会帮助你更好的理解和掌握有理数内容； https://https://www.sodocs.net/doc/7e16186408.html,/view/2f1cab00647d27284b7351c5.html

（2）整式的加减，本章节对基础概念和计算的要求比较高，基础概念一定要搞明白什么是单项式，什么是多项式，什么是同类项以及他们之间的区别和联系，计算的时候要认真仔细，是初中第一次接触较为复杂的计算，为以后的计算打下一个良好的基础，以后解一元一次方程，分式方程，因式分解都需要合并同类项，下面的链接有整式的训练 https://https://www.sodocs.net/doc/7e16186408.html,/view/95403fefb8f67c1cfad6b8b7.html （3）一元一次方程，本章节是方程的基础，以后要学习的二元一次方程及二元一次方程组，三元一次方程，一元二次方程，最终都要化简成一元一次方程来解答，关于一元一次方程的解法一定要熟练，不然会影响以后方程的学习，如果这章节的内容掌握的很熟练，二元一次方程，一元二次方程，分式方程只需要掌握化成一元一次方程的解法即可；下面的练习可以训练方程的解法和方程的应用https://https://www.sodocs.net/doc/7e16186408.html,/view/e66b05f39b6648d7c0c74657.html https://https://www.sodocs.net/doc/7e16186408.html,/view/278a896ea0116c175e0e4836.html?from =search （4）图形的认识，几何的基础，考试中一般不会直接体现，但是后面几何中一些角，线段，射线的概念正在本章中体现，这一章节主要是概念的训练，弄清楚各个概念之间的区别于联系，是几何的日门知识，对平行线和三角形问题有相当重要的帮助； （5）相交线与平行线，本章知识是几何的开端，这一章节教授一些几何一些基本性质和几何的证明方法与步骤，是后面证明题书写

初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析)-

初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析)- -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析) 一．选择题（共13小题） 1．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（） A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b 2．不等式2x+3＞3x+2的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C． D． 3．若关于x的不等式3﹣x＞a的解集为x＜4，则关于m的不等式2m+3a＜1的解为（） A．m＜2 B．m＞1 C．m＞﹣2 D．m＜﹣1 4．关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 5．不等式组的最小整数解是（） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 6．已知点P（1﹣2a，a+3）在第二象限，则a的取值范围是（） A．a＜﹣3 B．a＞C．﹣＜a＜3 D．﹣3＜a＜ 7．不等式组的整数解的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．无数个 8．已知且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为（） A．﹣1＜k＜﹣B．＜k＜1 C．0＜k＜1 D．0＜k＜ 9．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D．

10．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（） A．x2 B．＜x＜x2C．＜x D．x＜x2＜ 11．三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是（）A．39 B．36 C．35 D．34 12．“一方有难，八方支援”，雅安芦山4?20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（） A．60 B．70 C．80 D．90 13．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 二．填空题（共12小题） 14．不等式组的解集是． 15．不等式5x﹣3＜3x+5的所有正整数解的和是． 16．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．17．若不等式x＜2的解集都能使关于x的一次不等式（a﹣3）x＜a+5成立，则a的取值范围是． 18．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是．19．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k ≥1的解集在数轴上如图表示，则k的取值范围是．

初中数学知识要点及典型例题

初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念

(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)； 零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念

初一数学难题大全

一、填空。 1．如果下降5米，记作－5米，那么上升4米记作（）米；如果＋2千克表示增加2千克，那么－3千克表示（）。 2．海平面的海拔高度记作0m，海拔高度为＋450米，表示（），海拔高度为－102米，表示（）。 3．如果把平均成绩记为0分，＋9分表示比平均成绩（），－18分表示（），比平均成绩少2分，记作（）。 4．＋8.7读作（），－25 读作（）。 5．数轴上所有的负数都在0的（）边，所有正数都在0的（）边。 6．在数轴上，从表示0的点出发，向右移动3个单位长度到A点，A点表示的数是（）；从表示0的点出发向左移动6个单位长度到B点，B点表示的数是（）。 7．比较大小。 －7○ －5 1.5○52 0○－2.4 －3.1○3.1 二、判断。 1．零上12℃（＋12℃）和零下12℃（－12℃）是两种相反意义的量。………（） 2．数轴上左边的数比右边的数小。………………………………………………（） 3．在8.2、－4、0、6、－27中，负数有3个。…………………………………（） 三、选择。（将正确答案的序号填在括号里）。 1．规定10吨记为0吨，11吨记为＋1吨，则下列说法错误的是（）。 A、8吨记为－8吨 B、15吨记为＋5吨 C、6吨记为－4吨 D、＋3吨表示重量为13吨 2．以明明家为起点，向东走为正，向西走为负。如果明明从家走了＋30米，又走了－30米，这时明明离家的距离是（）米。 A、30 B、－30 C、60 D、0 3．数轴上，－12 在－18 的（）边。 A、左 B、右 C、北 D、无法确定 4．一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少不少于（）克。 A、155 B、150 C、145 D、160

中考数学总复习培优专题精选经典题

初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）

浙教版初中数学八年级上下册知识点及典型例题汇总

数学八年级上册知识点及典型例题 第一章 平行线 1.1同位角、内错角、同旁内角 如图：直线l 1 , l 2 被直线l 3 所截，构成了八个角。 1. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1 , l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。 2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的异侧，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。 3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的同旁，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。 想一想 问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？ 确定前提（三线） 寻找构成的角（八角） 确定构成角中的关系角 问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？ 结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。 1．2 平行线的判定（1）

复习画两条平行线的方法： 提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？ （直线l 1，l 2被AB 所截） （2）画图过程中，什么角始终保持相等？ （同位角相等，即∠1＝∠2） （3）直线l 1，l 2位置关系如何？ （ l 1∥l 2） （4）可以叙述为： ∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （ ？ ） 语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说：同位角相等，两直线平行。 几何叙述：∵∠1＝∠2 ∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行） 想一想 o o A B L 1 L 2 （图形的平移变换） 抽象成几何图形 A B 2 1 L 1 L 2 1 2 a c b 若a⊥b,b⊥c 则a c

初中数学易错题集锦及答案

答案：D 初中数学易错题及答案 1. 4 的平方根是.（A ） 2 （B ） ?、2 （C ） _2 （ D ） 2 . 解：..4 = 2 , 2的平方根为二'”2 2. 若|x|=x ，则x 一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 答案：B （不要漏掉0） 3. 当 x 时，|3-x|=x-3。答案：x-3 丸，贝U x3 4. 乎_分数（填“是”或“不是” 答案：三 是无理数，不是分数。 5. 尺的算术平方根是 _______ 。 答案："6 = 4, 4的算术平方根=2 6. _________ 当m= 时，J _m 2有意义 答案：-m 2 X ）,并且m 3 4 X ），所以m=0 x 5 +x —6 7分式 2 -的值为零，贝u x= ______________ ■ x -4 (A) a ：：： -2， (B ) a - -2 ， (C ) a ■ -2 ， (D ) a 一 -2 . 2 - 答案：I x-6=0 ... x 「2,X 2 二 [x 2 -4 H0 8.关于x 的一元二次方程（k -2）x 2 -2（k -1）x k 0总有实数根?则K [k —2式0 答案：i . /-k<3 且 k = 2 9.不等式组 x= -2, a .的解集是x> a ，则a 的取值范围是. _3「.x 「3

10. 关于X的不^-<3等式4x-a"的正整数解是1和2：则a的取值范围是。 4 答案：2且3 4 11. 若对于任何实数X，分式于」总有意义，则C的值应满足______ . x +4x +c 答案：分式总有意义，即分母不为0，所以分母X2+4X+C =0无解，--C〉4 12. 函数v=也土中，自变量x的取值范围是 x+3 x -1 -0 、，‘ 答案：「X昌 |x +3鼻0 13. 若二次函数y =mx2-3x+2m-m2的图像过原点，贝U m = _______________ . m = 0 2- m = 2 2m - m =0 14 .如果一次函数y=kx的自变量的取值范围是-2辽x乞6，相应的函数值的范围是 -11兰y兰9，求此函数解析式________________________ . 1 x = - 2 _|_x = 6 \ x =-2_|_x = 6 t . t，、“ 答案：当时，解析式为：时，解析式为 |y--11y=9 l y=9 y--11 15.二次函数y=x2-x+1的图象与坐标轴有 _______ 交点。 答案：1个 16 .某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________ 元. 答案：6元 17. 直角三角形的两条边长分别为8和6，则最小角的正弦等于________ . 答案：3 或口5 4

初三数学知识点考点归纳总结

初三数学知识点考点归纳总结 一、相似三角形7个考点 考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小 考核要求：1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3：相似三角形的概念 考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 考点4：相似三角形的判定和性质及其应用 考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质，并能较好地应用. 考点5：三角形的重心 考核要求：知道重心的定义并初步应用. 考点6：向量的有关概念 考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 二、锐角三角比2个考点 考点8：锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念，30度、45度、60度角的三角比值. 考点9：解直角三角形及其应用 考核要求：1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点

考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数 考核要求：1通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法，知道符号的意义. 考点11：用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求：1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原. 考点12：画二次函数的图像 考核要求：1知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像，体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13：二次函数的图像及其基本性质 考核要求：1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质. 注意：1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点 考点14：圆心角、弦、弦心距的概念 考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断. 考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16：垂径定理及其推论 垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系 直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆 的位置关系中，常需要分类讨论求解. 考点18：正多边形的有关概念和基本性质

初三数学圆的专项培优练习题(含答案)

初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1

A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。

中考数学经典难题解答集锦

经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点， 连接EB2并延长交C2Q 于H 点，连接FB2并延长交A2Q 于G 点， 由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 求∠DEN ，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN ＝∠MFC ． 连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG ∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN 同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN ＝∠MFC 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： B

初中数学知识点总结公式考点

中考复习资料总结 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系及点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y=3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是正比例函数. 2．函数y=4x+1是一次函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2).

7．反比例函数x y 2 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数及众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 知识点8：直线及圆的位置关系

中考数学初中数学 旋转(大题培优)及详细答案

中考数学初中数学 旋转(大题培优)及详细答案 一、旋转 1．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，设CE ＝a ，CF ＝b ． （1）如图1，当a ＝42时，求b 的值； （2）当a ＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b 的值； （3）如图3，请直接写出∠EAF 绕点A 旋转的过程中a 、b 满足的关系式． 【答案】（1）422）b ＝8；（3）ab ＝32． 【解析】 试题分析：（1）由正方形ABCD 的边长为4，可得AC ＝2 ，∠ACB ＝45°． 再CE ＝a ＝2∠CAE ＝∠AEC ，从而可得∠CAF 的度数，既而可得 b=AC ； （2）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得； （3）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得. 试题解析：（1）∵正方形ABCD 的边长为4，∴AC ＝2，∠ACB ＝45°． ∵CE ＝a ＝2∴∠CAE ＝∠AEC ＝ 452 ? ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠EAF －∠CAE ＝22.5°，∴∠AFC ＝∠ACD －∠CAF ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠AFC ，∴b=AC ＝CF ＝42 （2）∵∠FAE ＝45°，∠ACB ＝45°，∴∠FAC ＋∠CAE ＝45°，∠CAE ＋∠AEC ＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC ． 又∵∠ACF ＝∠ECA ＝135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴AC CF EC CA =，∴42442 =∴CF ＝8，即b ＝8． （3）ab ＝32． 提示：由（2）知可证△ACF ∽△ECA ，∴∴ AC CF EC CA =，∴4242 =，∴ab ＝32． 2．（探索发现） 如图，ABC ?是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ?绕点A 逆时针旋转 60?得到AEF ?，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：

中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题

初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称

点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

中考数学好题难题集锦

中考数学好题难题集锦 一、分式： 1、如果abc=1，求证++=1． 2、已知+=，则+等于多少？ 3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 4、已知M=、N=，用“+”或“﹣”连接M、N，有三种不同的形式，M+N、M ﹣N、N﹣M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2．

二、反比例函数： 5、一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）“E”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围． 6、如图是一个反比例函数图象的一部分，点A（1，10），B（10，1）是它的端点． （1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．

7、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于_________． 8、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

初中数学培优教材勾股定理专题(附答案_全面、精选)

初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理容：在RT △中， 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（） A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 （3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积 （5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。 （6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。 （8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（） A、6 B、8 C、10 D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、，则+++=_____________。【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下 图的面积吗？对比两种不同的表 示方法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法， 论证勾股定理：

2020年初三数学难题集锦

作者：非成败 作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13 初中数学难题集锦组题：韩松 1．（本小题满分10分） 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点D，已知∠D＝30°. ⑴求∠A的度数； 4，求图中阴影部分 ⑵若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝3 的面积. 2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分） 【材料一】：如图⑴，直线l上有1A、2A两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点1A、2A的距离之和最小，很明显点P的位置可取在1A和2A之间的任何地方，此时距离之和为1A到2A的距离. 如图⑵，直线l上依次有1A、2A、3A三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点1A、2A、3A的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点2A处，此时距离之和为1A到3A的距离. (想一想，这是为什 么？)

不难知道，如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 四个点，同样要确定一点P ，使它到各点的距离之和最小，则点P 应取在点2A 和3A 之间的任何地方；如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，则相应点P 的位置应取在点3A 的位置. 【材料二】：数轴上任意两点a 、b 之间的距离可以表示为a b -. 【问题一】：若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、25A 共25个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 ； 若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、50A 共50个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 . 【问题二】：现要求112397x x x x x x +++-+-+-+ +-的最 小值， 根据问题一的解答思路，可知当x 值为 时，上式有最小值为 . 3. （本小题满分10分） 如图①，一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，B 、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离1y 、2y （千米）与行驶时间 x （时）的关系如图②所示． 图⑴ 图⑵ 3 2 l 12 l 1 y （千米） x （时） 乙 甲 图② 图①