相平面法

7-4 相 轨 迹

一、相轨迹的概念

设二阶系统可以用下列常微分方程描述

),(x x f x

= 或

),(x

x f dt

x

d = 式中),(x

x f 一般是x 和x 的非线性函数。该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。也可把时间t 作为参

变量，用x 与x

之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。

设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应

用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，x

x -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。

显然，如果把方程),(x x f x

=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速

度）来表示该质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运

动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x

x -的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的

一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t 的变化在x

x -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。

相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程

),(x x f x

= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =?

则有

12212(,)dx x dt dx f x x dt ?=????=?? 或 (,)dx

x dt

dx f x x dt

?=????=?? （7-20）

用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得

x

x x f dx x

d ),(1= （7-21）

解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。

为了便于理解，先讨论大家比较熟悉的线性二阶系统的相轨迹及其特点，以及绘制方法，然后再讨论非线性系统。另外，不少非线性元件的特性都可分段用直线来表示，故整个非线性系统的运动，可以分段用几个线性方程来描述。因此，熟悉线性系统的相迹，对讨论非线性系统的相迹也是很有好处的。

二、线性系统的相轨迹及其特点 1、二阶线性系统的相轨迹 设系统的微分方程式如下

022

=++n n x x ωξω （7-22）

取x

x -为相平面坐标，上式可写成为 2

(2)n n dx x x dt

dx x dt

ξωω?=-+????=??

或 x

x x dx x

d n n )2(2

ωξω+-= （7-23）

由时域分析法讨论可知，式（7-22）所示自由运动形式由特征方程式的根分布特点所决定。主要有以下几种情况：

（1）0=ξ的无阻尼等幅振荡 解析法求相轨迹方程：方法①，求解微分方程（7-22）

式得)(t x ，将)(t x 求导数得)(t x

，最后消去)(t x 和)(t x 中的中间变量t ，即可得相轨迹方程)(x f x

= 及相轨迹图。方法②，对式（7-23）进行积分，求出相轨迹方程)(x f x = 。这种方法只有当方程可以进行积分时才能采用。下面分析用这两种解析法求相轨迹方程。

方法①：当0=ξ时，微分方程（7-22）的解为

)sin()(?ω+=t A t x n （7-24） 对上式求导数得

)cos()(?ωω+=t A t x

n n （7-25） 式中2

2020n x x A ω +=是由初始条件决定的常量。将（7-24）式左、右两边乘以n ω，然

后平方并与式（7-25）的平方式相加，即消去t ，得相轨迹方程（椭圆方程）：

122222=+n A x

A x ω

显然相轨迹是一个椭圆。

方法②：当0=ξ时，方程（7-23）式为

x

x dx x

d n 2ω-

= （7-26） 对上式积分，同样可得相轨迹方程

122222=+n

A x

A x ω

（7-27）

当取不同初始值0x 、0x 时，式（7-27）在相平面上呈现一簇同心椭圆，如图7-35（a ）所示。

相轨迹随时间变化的方向：在x

x -平面的上半平面内，0>x ，x 随时间的增大而增大，所以相轨迹方向自左至右指向x 增加方向；在x

x -平面的下半平面内，0

7-35（a ）中箭头所示。

相轨迹的斜率：相迹与横坐标轴的交点)0,0(≠=x x

，由式（7-23）可知，∞=dx

x

d ，所以相轨迹垂直地穿过横坐标轴。由于在相平面上对应每一个给定的初始条件，根据解

析函数的微分方程解的唯一定理，可以证明通过初始条件确定的点的相轨迹只有一条。

因此由所有可能初始条件确定的相轨迹不会相交。只有在平衡点上，由于00=dx x

d 为不定，可以有无穷多个相轨迹逼近或离开它，可见这种点相应之下有点“不平常”，因此称为奇点。图7-35(a)中的坐标原点即为奇点。当0=ξ时，只有唯一的孤立奇点，而且奇点附近的相轨迹是一簇封闭曲线，这种奇点通常称为中心点。

（2）10<<ξ的欠阻尼衰减振荡 系统特征根为 d n j P ωξω±-=21、 方程（7-22）的解为

)cos()(?ωξω+=-t Ae t x d t n 可用上述同样的方法求得系统欠阻尼运动时的相轨迹方程

???? ??+=++x x x C x x x d n d n d n ωξωωξωωξω arctan 2exp )(02

22 （7-28） 式中0C 由初始条件所决定。方程（7-28）在相平面上是一簇绕坐标原点的螺旋线。相轨迹移动方向是从外卷入原点，不管初始状态如何，最终相轨迹总是卷向坐标原点，如图7-35（b ）所示。显然，坐标原点是奇点，而且奇点附近的相轨迹均向它卷入，这种奇点称为稳定的焦点。

（3）1>ξ的过阻尼运动 系统特征根为两个负实根

12

21-±-=ξωξωn n p 、

令 )1(21-+--=ξωξωn n q )1(22----=ξωξωn n q 同理，由方程（7-22）可解得相轨迹方程

12)()(102q q x q x C x q x +=+ （7-29） 式中0C 由初始条件确定的常数。方程（7-29）代表了一簇通过坐标原点的“抛物线”。当给定不同初始值时，其相轨迹如图7-35(c)所示。显然，坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。图中1和2为两条特殊的相轨迹。

（4）01<<-ξ的负阻尼发散振荡 系统特征根为具有正实部的一对共轭复数根，方程（7-22）的解)(t x 为发散振荡，因此，对应的相轨迹是发散的螺旋线如图7-35(d)

所示。由于随∞→t 时，∞→)(t x ，∞→)(t x

，因此相轨迹远离坐标原点。显然坐标原点为不稳定的焦点。

（5）1-<ξ的单调发散运动

系统特征根为二个正实根，其相轨迹如图7-35(e)所示。同理，坐标原点为不稳定的节点。

（6）系统微分方程为 02

=-x x n ω

系统特征根为实根n ω±，由于

2

n

x dx dx x

ω=

对上式积分[与式（7-26）类同]，得相轨迹方程

122

222=-A x A x n ω

（7-30）

式中2

022x x A n -=ω 。方程（7-30）是一簇等边双曲线，如图7-35（f ）所示。坐标原

点为奇点，其附近相轨迹像马鞍形，故称这种奇点为鞍点。由图7-35（f ）可见，图中曲线1和2为两条特殊的相轨迹。

综上所述，二阶系统的运动形式与系统特征根的分布有密切的关系，不同的特征根分布，对应着不同的运动形式，以及不同的奇点类型。它们的对应关系如图7-35所示。

2、特殊二阶线性系统的相轨迹 系统微分方程分别为

（1）M x =

由方程可见，系统的两个特征根位于[]s 平面的坐标原点。

因为这dx

x d x x

=，则有 Mdx x d x

= 对上式进行积分，得系统的相轨迹方程 A Mx x =-2

2

1 式中02

2

1Mx x A -= ，相轨迹是一簇抛物线，如图7-36(a)、(b)、(c)所示。

（2）M x x T =+

由上式可见：系统的两个特征根分别为0、

T

1

-。另外，

M x = 满足方程M x x T =+ ，因此，M x

= 为一条相轨迹。 由于dx

x

d x x =，将它代入方程M x x T =+

并整理成如下形式 x

T x M dx x d -=

显然上式是系统相轨迹的斜率方程。

令a dx

x

d = ，a 为常数，则有等倾线（即等斜率线）方程 1

+=Ta M x 当a 取不同数值时，可获得不同的等倾线（这里是一簇水平线）。 当∞→a 时，0=x

，表明相轨迹垂直穿过x 轴。 当T a 1-→时（在0>T 的条件下），∞=x ，表明相平面无穷远处的相轨迹斜率为T 1

-。

当0=a 时，M x

= ，显然M x = 既是一条相轨迹又是一条等倾线。因为相轨迹互不相交，故其他相轨迹均以此线为渐近线。

该系统的相轨迹大致图形如图7-36)()()(f e d 、、

和图7-36)()()(i h g 、、 所示。 在描述非线性系统运动特性的相轨迹中，除了上面所介绍的“奇点”外，还有一种奇线—— 一种封闭的相轨迹曲线，通常称为极限环。它表示实际系统具有一种特殊运动方式—— 自振。在极限环附近的相轨迹，可能卷向极限环或从极限环卷出。因此，极限环将相平面分隔成内外两个部分。极限环内部（或外部）的相轨迹，决不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。

如果在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环，则该极限环称为稳定极限环。系统呈现稳定的自振，如图7-37（a ）所示。

如果极限环附近的相轨迹都是从极限环附近发散出去，则极限环称为不稳定极限环。这时，环内为稳定区，环外为不稳定区。如果相轨迹起始于稳定区内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点。但是如果相轨迹起始于不稳定区，则随着时间增加，该相轨迹将发散出去，如图7-37)

(b所示。

如果起始于极限环外部各点的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹却收敛于极限环，如图7-37)

(d所示，则这种极限

(c所示。或相反，如图7-37)

环称为半稳定极限环。

非线性系统也可能没有极限环，也可能有一个或几个极限环。

通过上述二阶系统相轨迹的分析可知，用解析法求相轨迹是比较麻烦的，特别是对非线性系统，有时可能无法求出相轨迹的解析表达式。因此，解析法本身局限性比较大。图解法虽然避免了直接求解微分方程，但是作图比较繁琐。因此，工程上一般借助于计算机及绘图仪来完成相轨迹的绘制。这里限于篇幅不作介绍。

钢筋的平面表示法

一、箍筋表示方法： ⑴ φ10@100/200(2) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为双肢箍。 ⑵ φ10@100/200(4) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为四肢箍。 ⑶ φ8@200(2) 表示箍筋为φ8，间距为200，双肢箍。 ⑷ φ8@100(4)/150(2) 表示箍筋为φ8，加密区间距100，四肢箍，非加密区间距150，双肢箍。 一、梁上主筋和梁下主筋同时表示方法： ⑴ 3Φ22，3Φ20 表示上部钢筋为3Φ22, 下部钢筋为3Φ20。 ⑵ 2φ12，3Φ18 表示上部钢筋为2φ12, 下部钢筋为3Φ18。 ⑶ 4Φ25，4Φ25 表示上部钢筋为4Φ25, 下部钢筋为4Φ25。 ⑷ 3Φ25，5Φ25 表示上部钢筋为3Φ25, 下部钢筋为5Φ25。 二、梁上部钢筋表示方法：（标在梁上支座处） ⑴ 2Φ20 表示两根Φ20的钢筋，通长布置，用于双肢箍。 ⑵ 2Φ22+（4Φ12）表示2Φ22 为通长，4φ12架立筋，用于六肢箍。 ⑶ 6Φ25 4/2 表示上部钢筋上排为4Φ25，下排为2Φ25。 ⑷ 2Φ22+ 2Φ22 表示只有一排钢筋，两根在角部，两根在中部，均匀布置。 三、梁腰中钢筋表示方法： ⑴ G2φ12 表示梁两侧的构造钢筋，每侧一根φ12。 ⑵ G4Φ14 表示梁两侧的构造钢筋，每侧两根Φ14。 ⑶ N2Φ22 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧一根Φ22。 ⑷ N4Φ18 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧两根Φ18。 四、梁下部钢筋表示方法：（标在梁的下部） ⑴ 4Φ25 表示只有一排主筋，4Φ25 全部伸入支座内。 ⑵ 6Φ25 2/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，下排筋4Φ25。 ⑶ 6Φ25 （-2 ）/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，不伸入支座，下排筋4Φ25，全部伸入支座。 ⑷ 2Φ25 + 3Φ22（-3）/ 5Φ25 表示有两排筋，上排筋为5根。2Φ25伸入支座，3Φ22，不伸入支座。下排筋 5Φ25，通长布置。 五、标注示例： KL7（3）300×700 Y500×250 φ10@100/200(2) 2Φ25 N4Φ18 （-0.100） 4Φ25 6Φ25 4/2 6Φ25 4/2 6Φ25 4/2 4Φ25 □———————————□———————□———————————□ 4Φ25 2Φ25 4Φ25

自动控制原理例题详解-相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析： 要求： 1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是e e - 之间关系的方程（或c c - ）。会画相轨迹（模型中是给具体数的）。※※关键是确定开关线方 程。 2. ※※※如果发生自持振荡，计算振幅和周期。 注意相平面法一般应： 1）按照信号流向与传输关系。线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一 起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有c 或者e 的运动方程。 2）※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定很关键。 3）※※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t 法） 不同线性分区对应的相轨迹方程，即c c - 和e e - 之间关系。 4）※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。 例2 问题1. 用相平面法分析系统在输入r (t ) = 4.1(t )时的运动情况。 问题2. 如果发生自持振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。 解：问题1：1）设系统结构图，死区特性的表达式： 0,||2 2,22,2x e x e e x e e =≤?? =->??=+<-? 2）线性部分： 2 ()1 ()C s X s s =，则微分方程为：c x = 3）绘制e e - 平面相轨迹图。因为e r c =-，c r e =-，c r e =- ，c r e =- 。代入则 e x r =-+ （1） 当0t >，0r = ，0r = 。代入，则各区的运动方程0,||2I 2,2II 2,2III e e e e e e e e =≤--?? =->---??=--<----? 由于非线性特性有3个分区，相平面e e -分为3个线性区。 注意，当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性。 4） 系统开关线：2e =±。 5） 由题意知初始条件(0)(0)(0)4e r c =-=，(0)(0)(0)0e r c =-= 在II 区，则从

8-1已知具有理想继电器的非线性系统如图8-1所示,试用相平面法分析

第八章 习题 8-1已知具有理想继电器的非线性系统如图8-1所示，试用相平面法分析： 图8-1 （1）T d =0时系统的运动； （2）T d =0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）T d =2,并考虑实际继电器有延迟时系统的运动。 8-2 设三个非线性系统的非线性环节一样，其线性部分分别为 (1)1 ();(0.11) G s s s = + (2)2 ();(1)G s s s = + (3)2(1.51) ()(1)(0.11) s G s s s s += ++ 用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高。 8-3某单位反馈系统，其前向通路中有一描述函数4 ()j e N A A π-=的非线性元件， 线性部分的传递函数为15 ()(0.51) G s s s =+，试用描述函数法确定系统是否存在 自振？若有，参数是多少？ 8-4已知非线性系统的结构图如图8-2所示，图中非线性环节的描述函数 6 ()(0),2 A N A A A +=>+试用描述函数法确定： 图8-2 (1)使该非线性系统稳定，不稳定以及产生周期运动时，线性部分的k 值范围； (2)判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 8-5非线性系统如图8-3所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。

图8-3 8-6试用描述函数法说明图8-4所示系统必然存在自振，并确定c 的自振振幅和频率，画出c,x,y 的稳态波形。 图8-4 8-7某线性系统的结构图如图8-5所示，试分别绘制下列三种情况时，变量e 的相轨迹，并根据相轨迹分别作出相应的e(t)曲线。 图8-5 （1）J=1，K 1=1，K 2=2，初始条件e(0)=3, (0)0;(0)1,(0) 2.5e e e ===- ; （2）J=1，K 1=1，K 2=0.5，初始条件e(0)=3, (0)0;(0)3,(0)0e e e ==-= ; （3）J=1，K 1=1，K 2=0，初始条件e(0)=1, (0)1;(0)0,(0)2e e e === ; 8-8设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+ 试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。 8-9试确定下列方程的奇点及类型，并用等倾线法绘制它们的相平面图： （1）||0x x x ++= ； （2）0x x sign x ++= ； （3）0x sin x += ；

实验十一：非线性系统的相平面分析

第 1 页 实验十一 非线性系统的相平面分析 一、实验目的 (1)掌握非线性系统的模拟方法。 (2)用相平面分析法分析继电型非线性系统、饱和型非线性系统的瞬态响应和稳态误差。 二、实验设备 序 号 型 号 备 注 1 DJK01 电源控制屏 该控制屏包含“三相电源输出”等几个模块。 2 DJK15控制理论实验挂箱 或DJK16控制理论实验挂 箱 3 慢扫描示波器 4 万用表 三、实验线路及原理 相平面法是分析一阶和二阶非线性系统的有效方法。通过作出的相轨迹，就能直观的知道系统的运动情况。 图11-1 非线性控制系统

第 2 页 图11-2 理想继电器特性的模拟线路图 图11-1为一具有理想继电器特性的非线性系统的框图，图11-2为理想继电器特性的具体接线参考图。由图11-1得 Km C C =+。 。。 ,0, 0m e m m e >?=??=?+e KM C C e KM C C 令 r(t) = R，则 r(t)=0。因为 r –c =e， 所以e = -c 。于是上式改写为 ） ，（），（。。。。。。0000<=?+>=++e KM e e e KM e e

第 3 页 初始条件 e（0）= r（0）- c（0）=R ，用等倾线法作出该系统的相轨迹如图11-3所示。由图可见，系统从初始点A 出发，最后运动到坐标原点。这不仅表明该系统稳定，而且由图还能确定系统的超调量δ%=0F/0A ×100%。和稳定误差为零等性能指标。 图11-3 四、思考题 (1)实验中如何获得c 和c 的信号？如何获得e 和e 的信号？ (2)试说明e ?e 相轨迹和c ?c 相轨迹间的关系。 (3)你是如何从相平面图上得到超调量σρ和稳态误差ess 的？ 五、实验方法 (1)用相轨迹分析图8-54所示的具有理想继电器特性的非线性系统在阶跃信号作用下的瞬态响应和稳态误差。 ①根据图8-54设计相应的实验线路图，其中M=5V，K=1。 ②在系统的输入分别为3V 和1V 时，用示波器观察系统e ?e

混凝土结构施工图平面整体表示方法制图规则和构造详图

平法讲座 ########公司 2014年7月

目录 第一部分基本概念 (1) 第二部分柱平面表示法 (3) 一、注写 (3) 二、抗震KZ钢筋构造 (5) 三、非抗震KZ钢筋构造 (8) 四、柱钢筋制作安装质量通病 (9) 第三部分梁平面表示法 (10) 一、注写 (10) 二、抗震KL、WKL纵向钢筋构造 (12) 三、梁配筋构造 (15) 四、非抗震KL同抗震KL的异同点 (16) 五、梁钢筋制作安装质量通病 (16) 第四部分剪力墙平面表示法 (17) 一、墙柱 (17) 二、墙身 (20) 三、墙梁 (22) 四、洞口平面表示法 (24)

第一部分基本概念 1、接头百分率 （1）排扎接头连接区段长度为1.3L，区段内接头面积百分率梁板墙不宜＞25%，柱不宜＞50%，确有必要增加时梁不应＞50%，其他构件可放宽。 （2）机械连接及焊接接头连接区段为35d（d为较大直径）且不小于500mm，凡接头中心点位于该区段内的接头均属于内一区段，区段内接头百分率，受拉区不宜＞50%，接头不宜设在抗震框架梁、柱端加密区。直接承受动力荷载的不宜采用焊接接头。 2、HPB235钢筋：180°弯钩，内直径≥2.5d，平直段长度不应小于3d，箍筋弯钩内直径不小于受力钢筋，一般结构弯90°，平直部分不宜小于5d，抗震结构应为135°，平直部分不应小于10d且不应小于75。 3、抗震等级 钢筋混凝土房屋根据烈度、设防类型、结构类型和房屋高度，场地类别采用不同的抗震等级并应符合相应计算和构造措施要求。 4、锚固长度 L 1、L 1E 纵向受拉钢筋绑扎搭接长度l1E、l1 纵向受拉钢筋搭接长度修正数 注：当不同直径的钢筋搭接时，其l1E与l1值按较小的直径计算；在任何情况下l1不得小于300mm；式中ζ为搭接长度修正数。

钢筋混凝土梁平面表示法(习题教学)

一、梁上主筋和梁下主筋同时表示方法： ⑴3Φ22，3Φ20 表示上部钢筋为3Φ22, 下部钢筋为3Φ20。 ⑵2φ12，3Φ18 表示上部钢筋为2φ12, 下部钢筋为3Φ18。 ⑶4Φ25，4Φ25 表示上部钢筋为4Φ25, 下部钢筋为4Φ25。 ⑷3Φ25，5Φ25 表示上部钢筋为3Φ25, 下部钢筋为5Φ25。 二、梁上部钢筋表示方法：(标在梁上支座处) ⑴2Φ20 表示两根Φ20的钢筋，通长布置，用于双肢箍。 ⑵2Φ22+(4Φ12) 表示2Φ22 为通长，4φ12架立筋，用于六肢箍。 ⑶6Φ25 4/2 表示上部钢筋上排为4Φ25，下排为2Φ25。 ⑷2Φ22+ 2Φ22 表示只有一排钢筋，两根在角部，两根在中部，均匀布置。 三、梁腰中钢筋表示方法： ⑴G2φ12 表示梁两侧的构造钢筋，每侧一根φ12。 ⑵G4Φ14 表示梁两侧的构造钢筋，每侧两根Φ14。 ⑶N2Φ22 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧一根Φ22。 ⑷N4Φ18 表示梁两侧的抗扭钢筋，每侧两根Φ18。 四、梁下部钢筋表示方法：(标在梁的下部) ⑴4Φ25 表示只有一排主筋，4Φ25 全部伸入支座内。 ⑵6Φ25 2/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，下排筋4Φ25。 ⑶6Φ25 (-2 )/4 表示有两排钢筋，上排筋为2Φ25，不伸入支座，下排筋4Φ25，全部伸入支座。

⑷2Φ25 + 3Φ22(-3)/ 5Φ25 表示有两排筋，上排筋为5根。2Φ25伸入支座，3Φ22，不伸入支座。下排筋5Φ25，通长布置。 1、箍筋表示方法： ⑴ φ10@100/200(2) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为双肢箍。 ⑵ φ10@100/200(4) 表示箍筋为φ10 ，加密区间距100，非加密区间距200，全为四肢箍。 ⑶ φ8@200(2) 表示箍筋为φ8，间距为200，双肢箍。 ⑷ φ8@100(4)/150(2) 表示箍筋为φ8，加密区间距100，四肢箍，非加密区间距150，双肢箍。 2、梁上主筋和梁下主筋同时表示方法： ⑴ 3Φ22，3Φ20? 表示上部钢筋为3Φ22, 下部钢筋为3Φ20。 ⑵ 2φ12，3Φ18 表示上部钢筋为2φ12, 下部钢筋为3Φ18。 ⑶ 4Φ25，4Φ25 表示上部钢筋为4Φ25, 下部钢筋为4Φ25。 ⑷ 3Φ25，5Φ25 表示上部钢筋为3Φ25, 下部钢筋为5Φ25。 3、梁上部钢筋表示方法：（标在梁上支座处） ⑴ 2Φ20 表示两根Φ20的钢筋，通长布置，用于双肢箍。 ⑵ 2Φ22+（4Φ12）表示2Φ22 为通长，4φ12架立筋，用于六肢箍。 ⑶ 6Φ25 4/2 表示上部钢筋上排为4Φ25，下排为2Φ25。 ⑷ 2Φ22+ 2Φ22 表示只有一排钢筋，两根在角部，两根在中部，均匀布置。 4、梁腰中钢筋表示方法： ⑴G2φ12 表示梁两侧的构造钢筋，每侧一根φ12。 ⑵ G4Φ14

相平面分析法

1.含有死区继电器特性的非线性系统框图如图2-1所示。 图2-1 系统框图 系统中非线性部分的输入输出关系为： 非线性部分的输入与输出关系可用下式表示： 试用等倾线法绘制其相轨迹。 解：

首先在图2-2中设q为不同值时画出一系列等倾线。在每条等倾线上按q值求出α=arctan q，并按该倾角画出短线短。相轨迹应以该斜率穿过等倾线。如果系统外部输入为r=0，在初始状态x1(0)=3情况下，其相轨迹如图2-2所示。由图可见，在给定条件下，x是单调衰减的。由于存在死区非线性特性，x1不能衰减到0，存在稳态误差。 图2-2 用等倾线法绘制图2-1所示系统的相轨迹 2.如图2-3所示，非线性控制系统，在t=0时，加上一个幅度为6的阶跃输入， 图2-3 继电控制系统

系统的初始状态为e(0)=6，e(0)=0，问系统经过多长时间可到达原点。 图2-4 继电控制系统的相轨迹 3.试分析图2-5所示具有摩擦阻力的系统。图中F f表示摩擦阻力，它包括 图2-5 系统框图

或 在图2-6中画出了当系统参量为K=1.25，f c=0.25，f v=0.25时的相轨迹。 图2-6 图2-5系统的相轨迹

图2-5所示系统的稳定性没有问题，但稳态误差可能比较大，也就是要求系统总是最终收敛到状态平面的原点是难于做到的。在实际中，对于具有干摩擦非线性的系统，为提高稳态精度，可用反复加入微小的正、负输入信号，以克服由于干摩擦带来的稳态精度不高的缺点。 4.非线性控制系统如图2-7所示，令K=1。讨论下面情况下的e-e相轨迹：当输入信号为阶跃信号r(t)=R，系统的初始状态为0。 图2-7 系统框图 解：首先根据控制系统框图，设法得到各分区的线性方程。由 得到：；将代入方程，有：

相平面法

7-4 相 轨 迹 一、相轨迹的概念 设二阶系统可以用下列常微分方程描述 ),(x x f x = 或 ),(x x f dt x d = 式中),(x x f 一般是x 和x 的非线性函数。该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。也可把时间t 作为参 变量，用x 与x 之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。 设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应 用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，x x -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。 显然，如果把方程),(x x f x =看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速 度）来表示该质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运 动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x x -的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的 一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t 的变化在x x -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。 相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程 ),(x x f x = 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =? 则有

平面整体表示方法

平面整体表示方法（平法）专题讲座 一、概述： 1、平法的产生： 国内传统设计方法效率低、质量难以控制。日本的结构图纸没有节点构造详图，节点构造详图由建筑公司（施工单位）进行二次设计，设计效率高、质量得以保证。美国的结构设计只给出配筋面积，具体配筋方式由建筑公司搞。据此中国传统的设计方法也必须改革。 2、平法的原理： 设计流程：设计结构体系—〉结构分析（力学分析）—〉结构施工图设计。 结构设计是一种是商品，有使用价值和价值，是一种特殊的商品，分为创造性劳动和重复性劳动（非创造性劳动）。现在由结构工程师完成创造性设计部分（创造性劳动），节点构造、节点外构造不是结构工程师的劳动成果，是抄的规范。（注：节点构造是算不出来的，是由研究人员试验出来的。）传统的单构件正投影表示方法将创造性劳动和非创造性劳动混在一起，节点内构造和节点外构造的设计属于重复性劳动（非创造性劳动）。基于此产生了结构标准化、构造标准化的思路，用数字化、符号化的表示方法即平面整体表示方法表示创造性设计。平面整体设计方法，含表示方法和标准图两部分。节点构造标准化后，施工公司的劳动量加大。 3、平法的应用： 1991年9月份平法开始在山东应用于工程，开始推广平法。构造图适合于所有的构件，平法一张图上都有，走哪看哪，非常方便。平法推出后，有坚决支持、坚决反对、不表态三种人，后来将专利贡献给国家，成为国家标准。 平法是给从事结构设计与施工的专业人员看的，提高了科技含量，不让非专业人员看懂，设计方法的改革也促进了施工单位技术人员水平的提高。平法是结构设计领域的一次革命，提高效率两倍以上，能够使中国结构界不合理的人员配置情况得到改善。现在，3个建筑师配1个结构师。 二、柱平法： 1、定义疑问： （1）嵌固部位是指地下室顶板处，地面以下的结构构造（含地下室部分）划归基础结构（待出图集）。嵌固部位以下箍筋也划归到基础结构部位，不归本图集。 （2）柱钢筋总截面为柱截面面积b×h，梁钢筋总截面为梁有效截面面积b×h0，h0为梁高扣单排钢筋35mm、双排钢筋60mm后的数值。 （3）水平段钢筋≥0.45lae,垂直段钢筋≥15lae，达不到以上要求时，将钢筋调细（等面积代换钢筋）。

相平面法

7.2 相平面法 相平面法是Poincare. H 于1885年首先提出来的，它是求解一、二阶线性或非线性系统的一种图解法，可以用来分析系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。 7.2.1 相平面的基本概念 1．相平面、相轨迹 设一个二阶系统可以用常微分方程 0),(=+x x f x &&& (7-5) 来描述。其中是),(x x f &x 和的线性或非线性函数。在非全零初始条件(,)或输入作用下，系统的运动可以用解析解和描述。 x &0x 0x &)(t x )(t x &取x 和构成坐标平面，称为相平面，系统的每一个状态均对应于该平面上的一点。当变化时，这一点在x &t x -平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就叫做相轨迹，如图7.8(a) 所示。 x & 图7-8 相轨迹 2．相平面图 相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件或输入作用下的运动过程，可以用来对系统进行分析和研究。 7.2.2 相轨迹的性质 1．相轨迹的斜率 相轨迹在相平面上任意一点处的斜率为 ),(x x &

d d d (,d d d )?== &&&&x x t f x x x x t x （7-6） 只要在点处不同时满足和),(x x &0=x &0),(=x x f &，则相轨迹的斜率就是一个确定的值。这样，通过该点的相轨迹不可能多于一条，相轨迹不会在该点相交。这些点是相平面上的普通点。 2．相轨迹的奇点 相平面上同时满足和0=x &0),(=x x f &的点处，相轨迹的斜率 d (,)d 00?==&&&x f x x x x 即相轨迹的斜率不确定，通过该点的相轨迹有一条以上。这些点是相轨迹的交点，称为奇点。 显然，奇点只分布在相平面的x 轴上。由于在奇点处，0==x x &&& ，故奇点也称为平衡点。 3．相轨迹的运动方向 相平面的上半平面中，，相迹点沿相轨迹向0>x &x 轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面0

相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析 x x 2x s x =1 x sx =x 2s x =1s x ※稳定焦点 不稳定焦点 1s 2 中心点 x x 2x s x =1x s x =220 n n x x x ζωω+-= 2 20n n x x x ζωω++=例已知线性系统的运动方程0=++e b e a e ，分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时，参数a 和b 的取值范围。 解：由方程求出两根为1,2 s = (a)稳定焦点10<<ζ，系统具有一对负实部共轭复根，0>a 、b a 42 <且0>b ； (b)鞍点，系统具有符号相反的两个实极点0

非线性控制系统的相平面分析法

7-5 非线性控制系统的相平面分析法 相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。 一、线性控制系统的相平面分析 1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求 系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ?=　作用下，在e e -平面上的相轨迹。 建立系统微分方程式，由图示系统可得 Ke c c T =+ 因为c r e -=，代入上式得 r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->?=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r 因此上式可写成 0=++Ke e e T （7-32） 方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条 件是0)0(R e =和0)0(=e 。e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a) 所示。根据e e -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差 为零。因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在c c -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。 2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r = 及0)(=t r 。因此，方程（7-31）可以写成 0V Ke e e T =++ 或 0)(0=-++K V e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有 0V Ke e e T =++ννν （7-33） 在v v e e -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。 应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在v v e e -平面上的奇点的位置是坐标原点，而在e e -平面上奇点坐标为)0,(0K V 点。又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。

空间图形在平面内的表示方法教案

空间图形在平面内的表示方法教案 教学目标：会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。 教学重点：画水平放置的平面图形的直观图。 教学过程： 一、复习： 确定平面的三个推论 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。 二、新授： 1．水平放置的平面图形的直观图 直观图：表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。 画空间图形的直观图，一般都遵守统一的规则 例1、画水平放置的正六边形的直观图。 画法：略 例2、画水平放置的正六边形的直观图。 画法：略 例3、画棱长为2厘米的正方体的直观图。 画法：略 2．上面画直观图的画法叫做斜二测画法。 这种画法的规则是： （1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox 、Oy ，再取Oz 轴。使∠xOz=900,且∠yOz=900； （2）画直观图时，把它们画成对应的轴x O ''、y O ''、z O ''，使045='''∠y O x （或1350），0 90='''∠z O x 。y O x '''所确定的平面表示水平平面； （3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴、y '轴或z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y

轴的线段，长度为原来的一半。 3．说明：应用斜二测画法画直观图时，为了简便，如果要求不太严格，那么长度和角度可“适当地”选取，只要有一定的立体感就可以了。例如，三角形的直观图可“适当地”画成三角形，长方形地直观图可“适当地”画成平行四边形。但习题中要求用斜二测画的，还应该按要求画。 三、做练习：第10页第1、2、3题 小结：1.直观图的概念 2．斜二测画法的规则 五、布置作业：习题9.1第8、9题。

自动控制原理学生实验：非线性系统的相平面分析讲解

非线性系统的相平面分析 实验一典型非线性环节 一.实验要求 1. 了解和掌握典型非线性环节的原理。 2. 用相平面法观察和分析典型非线性环节的输出特性。 二.实验原理及说明 实验以运算放大器为基本元件, 在输入端和反馈网络中设置相应元件 (稳压管、二极管、电阻和电容组成各种典型非线性的模拟电路,模拟电路见图 3-4-5 ~ 图 3-4-8所示。 1.继电特性 理想继电特性的特点是:当输入信号大于 0时,输出 U 0=+M,输入信号小于 0,输出 U 0=-M。 理想继电特性如图 3-4-1所示, 模拟电路见图 3-4-5, 图 3-4-1中 M 值等于双向稳压管的稳压值。 图 3-4-1 理想继电特性图 3-4-2 理想饱和特性 注:由于流过双向稳压管的电流太小(4mA ,因此实际 M 值只有 3.7V 。 实验步骤:

(1 将信号发生器 (B1 的幅度控制电位器中心 Y 测孔, 作为系统的 -5V~+5V输入信号 (Ui : B1单元中的电位器左边 K3开关拨上(-5V ,右边 K4开关也拨上(+5V 。 (2模拟电路产生的继电特性: 继电特性模拟电路见图 3-4-5。 图 3-4-5 继电特性模拟电路 ①构造模拟电路:按图 3-4-5安置短路套及测孔联线,表如下。 (b 测孔联线 ②观察模拟电路产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的 X-Y 选项 慢慢调节输入电压(即调节信号发生器 B1单元的电位器,调节范围 -5V~+5V ,观测并记录示波器上的 U 0~Ui 图形,如下图:

由图得 M=3.77V (3函数发生器产生的继电特性 ①函数发生器的波形选择为‘继电’ ,调节“设定电位器1” ,使数码管右显示继电限幅值为 3.7V 。 ②测孔联线: ③观察函数发生器产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的 X-Y 选项 慢慢调节输入电压(即调节信号发生器 B1单元的电位器,调节范围 -5V~+5V ,观测并记录示波器上的 U 0~Ui 图形。实验结果如下

相平面分析matlab程序

相平面分析matlab 程序 《应用非线性控制》，程代展译 1、P13：质量-弹簧系统 (1) 2、P14：非线性二阶系统 (2) 3、P15：一阶非线性系统 (3) 4、P17：卫星控制系统 (4) 5、P26：课后习题 (7) 题2.2 画下列系统的相图 (7) 题2.4卫星控制系统 (10) 1、P13：质量-弹簧系统 0x x += x D x 相平面分析 clear clc x=1; %修改此值 Dx=0; n=1; t=0; Dt=0.001; for i=1:8000 DDx=-x; Dx=Dx+DDx*Dt; x=x+Dx*Dt; Dx_store(n)=Dx; x_store(n)=x;

n=n+1; t=t+Dt; end figure(1) plot(x_store,Dx_store) xlabel('x') ylabel('Dx') title('相平面分析') hold on 2、P14：非线性二阶系统 20.630x x x x +++= x D x 相平面分析 clear clc % x=-6; %i=1:10000 % Dx=10; % x=-8; %i=10000 % Dx=15; % x=5; %i=1:1700 % Dx=7; % x=4; %i=2000 % Dx=8; % x=-7; %i=1:1500 % Dx=10; % x=-5; %i=1:1200

Dx=4; n=1; t=0; Dt=0.001; for i=1:1200 DDx=-0.6*Dx-3*x-x^2; Dx=Dx+DDx*Dt; x=x+Dx*Dt; Dx_store(n)=Dx; x_store(n)=x; n=n+1; t=t+Dt; end figure(1) plot(x_store,Dx_store) xlabel('x') ylabel('Dx') title('相平面分析') hold on 3、P15：一阶非线性系统 34x x x =-+ x D x 相平面分析 clear clc x=1.999; %i=1:2000 %x=2.001; %i=1:700 %x=-1.999; %i=1:3000

建筑结构平法施工图的平面整体表示方法

上海济光职业技术学院 毕业实践报告（论文） 建筑结构平法施工图的平面整体表示方法 姓名：方利祥

建筑结构平法施工图的平面整体表示方法 、 、- 刖言 图纸则是其重要的表达方式。设计图纸的水平与质量的 然而，设计只是纸面上的想象与构思， 必须经过施工阶 因此，要使建筑工程达到高水平， 设计方与施工方互相 协调、密切配合是关键。要达到建筑工程的高水平，即建筑施工高速度、高质量、高效益和 低消耗的要求，优秀、科学的设计施工图将会起到决定性的作用。 平法施工图是一种符合中 国国情、技术先进、与国际接轨的优秀、科学的施工图。采用平法施工图，可以实现设计方 与施工方的识图同步，减少施工单位与设计单位在识图问题上的沟通， 既节省时间提高效率, 又减少失误增加安全系数， 施工企业可全面提高施工水平， 取得可观的经济效益和社会效益。 本人在实习过程中多次进行梁、板、柱的配筋的核对工作，因此接触到大量的平法施工 图，对梁、板、柱平法施工图的中各信息的表示有一定的认知；且后期进行梁、板、柱平法 施工图的绘制，既在平法施工图上注写梁、板、柱的编号、尺寸、配筋等信息，对平法施工 图中各种信息标注以及绘制规范有所领悟。 固查阅资料写下此篇报告，以总结本人在实习过 程中对平法施工图中各信息的表示方法的学习成果。 设计是工程建设的核心与灵魂, 高低，直接关系到工程项目的优劣。 段才能真正地形成实际上的建筑物。

建筑结构平法施工图的平面整体表示方法 目录 前言 一、平法施工图概述 1.1 平法施工图表示方法的概念和产生 1.2 平法施工图表示方法与传统表示方法的区别和发展历程 1.3 平法施工图基本内容 二、平法施工图中梁的平面表示法 2.1 平面注写方式 2.2 截面注写方式 三、平法施工图中板的平面表示法 3.1 有梁楼盖板的平面表示法 3.2 无梁楼盖板的平面表示法 四、平法施工图中柱的平面表示法 4.1 列表注写方式 4.2 截面注写方式 五、心得体会谢词参考文献

非线性系统的相平面分析法

实验五 非线性系统的相平面分析法 一、实验目的 1. 进一步熟悉非线性系统的电路模拟研究方法； 2. 熟悉用相平面法分析非线性系统的特性。 二、实验设备 同实验一。 三、实验内容 1. 用相平面法分析继电型非线性系统的阶跃响应和稳态误差； 2. 用相平面法分析带速度负反馈的继电型非线性控制系统的阶跃响应和稳态误差； 3. 用相平面法分析饱和型非线性控制系统的阶跃响应和稳态误差。 四、实验原理 非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在二维空间特殊情况下的应用。它是一种 不用求解方程，而用图解法给出x 1=e ，x 2=e 的相平面图。由相平面图就能清晰地知道系统的动态性能和稳态精度。 本实验主要研究具有继电型和饱和型非线性特性系统的相轨迹及其所描述相应系统的动、静态性能。 1. 未加速度反馈的继电器型非线性闭环系统 图5-1为继电器型非线性系统的方框图。 图5-1 继电型非线性系统方框图 由图5-1得 0=-+KM c c T (0>e ) 0=++KM c c T (0e ) (5-1) 0=-+KM e e T (0