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方程最新习题

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第三章一元一次方程

3.1.1 从算式到方程

一.课前预习(自主检测)

根据条件列出式子

1、数的关系:

①比a大10的数:;

②b的一半与7的差:;

③x的2倍减去10:;

④某数x的30%与这个数的2倍的积:;

⑤a的3倍与a的2的商:;

2、基本图形关系:

①正方形的边长为a,则面积为,周长为;

②长方形的长为a,宽为b,则面积为,周长为;

③圆的半径为r,则周长为,面积为;

④三角形的三边长分别为a、b、c,则周长为,若长为a的边上的高为h,则面积为;

⑤正方体的棱长为a,则体积为,表面积为;

⑥长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则长方体的体积为,表面积为;

⑦圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积为,体积为;

⑧梯形的上、下底长分别为a、b,高为h,则面积为。

3、其他关系:

①某商品原价为a元,降价20%后售价

为元;

②某商品原价为a元,升价20%后售价

为元;

③某商品原价为a元,打七五折后售价

为元;

④某商品每件x元, 买a件共要花元;

⑤汽车每小时行驶v千米,行驶t小时后的路

为千米;

1,x天完成这件工程的;

⑥某建筑队一天完成一件工程的

12

二.课堂练习(先做后议)

1:根据条件列出式子

①比a小7的数:;

②x的三分之一与9的和:;

③x的3倍减去x的倒数:;

④某数x的一半与b的积:;

⑤x与y的平方差:;

2:根据条件列出等式:

①比a大5的数等于8:;

:;

②b的一半与7的差为6

③x的2倍比10大3:;

④比a的3倍小2的数等于a与b的和:;

⑤某数x的30%比它的2倍少34:;

3:根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:

①用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?

解:设正方形的边长为x cm,列方程得:。

②某校女生人数占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?

解:设这个学校学生数为x,则女生数为,

男生数为,依题意得方程:

③练习本每本0.8元,小明拿了10元钱买了若干本,还找回4.4元。问:小明买了几本练习本?

解:设小明买了x本,列方程得:。

④长方形的周长为24cm,长比宽多2cm,求长和宽分别是多少。

解:设为 cm,则为 cm ,

依题意得方程:。

⑤A、B两地相距100千米,一辆小卡车从A地开往B地,3小时后离B地还有4千米,求小卡车的平均速度。

三.课堂检测(能力检验)

根据条件列出式子或方程:

①比a小5的数:;

②x的四分之一与8的和:;

③x的5倍减去x的绝对值:;

④x与b的积的相反数:;

⑤x与y的平方和:;

⑥边长为x的正方形面积为25:;

⑦长方形的长为a,宽比长小2,已知长方形的面积为20,得方程:;

⑧某校学生总数为x,其中男生占全体学生的51%,比女生多12人,得方程:。

四.课后练习(日清)

根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:

①用一根长为50cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?

②某校女生人数占全体学生数的44%,比男生少90人,这个学校有多少学生?

③练习本每本0.6元,小明拿了15元钱买了若干本,还找回4.2元。问:小明买了几本练习本?

用等式表示:

①比a小6的数等于80:;

:;

②x的一半与2的差为3

③x的2倍比30大6:;

④比a的2倍大2的数等于a与b的差:;

⑤x的25%比它的5倍少3:;

五.中考链接

设未知数列出方程:

①用一根长为100cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?

②长方形的周长为40cm,长比宽多3cm,求长和宽分别是多少。

③某校女生人数占全体学生数的55%,比男生多50人,这个学校有多少学生?

④A、B两地相距200千米,一辆小车从A地开往B地,3小时后离B地还有20千米,求小卡车的平均速度。

六.我想对你说

3.1.1一元一次方程

一.课前预习(自主检测)

问题1:

前面学过有关方程的一些知识,同学们能说出什么是方程吗?

答:叫做方程。

问题2:

判断下列是不是方程,是打“√”,不是打“×”:

①3+x ;( ) ②3+4=7;( )

③y x -=+6132;( )④61=x

;( ) ⑤1082->-x ;( ) ⑥ 132≠+-x ;( )

二.课堂练习(先做后议)

根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:

①用一根长为48cm 的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?

解:设正方形的边长为x cm ,列方程得: 。

②某校女生人数占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?

解:设这个学校学生数为x ,则女生数为 ,

男生数为 ,依题意得方程:

③练习本每本0.8元,小明拿了10元钱买了若干本,还找回4.4元。问:小明买了几本练习本? 解:设小明买了x 本,列方程得: 。

小结:

象上面问题3的①、②、③中列出的方程,它们都含有 个未知数(元),未知数的次数都是 ,这样的方程叫做一元一次方程。

(即方程的一边或两边含有未知数)

归纳:问题3的分析过程可以表示如下:

**分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。

三.课堂检测(能力检验)

1:判断下列是不是一元一次方程,是打“√”,不是打“×”:

①3+x =4;( ) ② 132=+-x ;( )

③y x -=+6132; ( )④61=x ;( ) ⑤1082->-x ; ( ) ⑥3+4x =7x ;( ) 问题4:如何求出使方程左右两边相等的未知

数的值?

如方程3+x =4中,x =?

方程132=+-x 中的x 呢?

**解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。

:2: 检验2和-3是否为方程1332+=+x x 的解。

解:当x=2时,

左边= = ,

右边= = ,

∵左边 右边(填=或≠)

∴x=2 方程的解(填是或不是)

当x=3-时,

左边= = ,

右边= = ,

∵左边 右边(填=或≠)

∴x=6 方程的解(填是或不是)

四.课后练习(日清)

1、检验3和-1是否为方程)1(21-=+x x 的解。

2、x=1是下列方程( )的解:

A )21=-x ,

B )x x 3412-=-,

C 4)1(3=--x ),

D )254-=-x x

3、x=2是下列方程( )的解:

A )25=-x ,

B )x x 2413-=-,

C )22)1(3-=--x x ),

D )254-=-x x

4、在下列方程中,是一元一次方程的是( )

A )23+=-y x

B )02

=x C )23+-x D )032=-x

5、在 2+1=3, 4+x=1, y 2-2y=3x, x 2-2x+1 中,一元一次方程有 ( )

A )1个

B )2个

C )3个

D )4个

五.中考链接

1、已知方程232)1(2=-+-x x a 是关于x 的一元一次方程,则a= 。

2、检验2和3-是否为方程

212

5-=--x x 的解。

3、老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑,小明输入了700字,剩下的让小华输入,小华平均每分钟能输入50个字,问:小华要多少分钟才能完成?(请设未知数列出方程,并尝试求出方程的解)

六.我想对你说

3.1.2等式的性质

一.课前预习(自主检测)

1: 已知b a =,请用等于号“=”或不等号“≠”填空:

①3+a 3+b ;②3-a 3-b ;

③)6(-+a )6(-+b ;④x a + x b +;⑤y a - y b -;⑥3+a 5+b ;

⑦3-a 7-b ;⑧x a + y b +。

⑨)32(++x a )32(++x b ;

⑩)32(++x a )32(++x b 。

[等式的性质1]等式两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等。

2: 已知b a =,请用等于号“=”或不等号“≠”填空:

①a 3 b 3;②

4a 4

b ; ③a 5- b 5-;④2-a 2-b 。 [

等式的性质2]等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。

二.课堂练习(先做后议)

利用等式的性质解下列方程:

(1)267=+x ;(2)205=-x ;

(3)453

1=--x ;(4)10)1(2=+-x 。 解:(1)两边减7,得

72677-=-+x

∴=x 。

(2)两边 ,得

∴=x 。

(3)两边 ,得

两边 ,得

∴=x 。

(4)两边 ,得

两边 ,得

∴=x 。

**请检验上面四小题中解出的x 是否为原方程的解。

三.课堂检测(能力检验)

利用等式的性质解下列方程并检验:

(1)69=-x (2)102.0=-x ;

(3)2313=-

x (4)012=+-x ;

(5)20)1(4-=+x (6)

12

1=+x 。

四.课后练习(日清)

利用等式的性质解下列方程并检验:

(1)85=+x ; (2)01=--x ;

(3)24

12=-

-x ; (4)026=-x ;

(5)12)1(3-=+-x ; (6)

52

1-=+-x 。 五.中考链接

1、下列结论正确的是

A )x +3=1的解是x= 4

B )3-x = 5的解是x=2

C )35=x 的解是35=x

D )2

323=-x 的解是x = -1 2、方程12-=-x a x 的解是2=x ,那么a 等于( )

A) -1 B) 1 C) 0 D) 2

3、已知04-2=x ,则=-13x 。

4、已知t=3是方程a t -6= 18的解,则a=________

5、当y=_______时,y 的2倍与3的差等于17。

6、代数式x+6的值与3互为相反数,则x 的值为 。

六.我想对你说

3.2.1解一元一次方程(一)

----合并同类项与移项

一.课前预习(自主检测)

[问题] 南村侨联中学三年来共购买计算机210台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量是去年的4倍,前年学校购买了多少台计算机?

解:设前年购买计算机x 台,则去年购买 台,

今年购买 台,依题意得

要解这个方程,可以先把方程左边合并同类项,再用等式的性质解出x 的值,解法如下:

[例1] 解下列方程:

(1)9x —5 x =8 ; (2)4x -6x -x =-15;

(3)364155.135.27?-?-=-+-x x x x

解:(1)合并同类项得: =

两边 ,得

∴=x ;

(2) 合并同类项得: =

x 的系数化为1,得

=x ;

二.课堂练习(先做后议)

1: 解下列方程:

(1)6x —x = 4 ;

(2)-4x + 6x -0.5x =-0.3;

(3)463127.253.13?-?-=-+-x x x x .

(4)

;72

32=+x x

[思考]方程254203+=+x x 的两边都含有x 的项(x x 43与)和常数项(2520-与),怎样才能把它化成a x =(a 为常数)的形式呢?

解:利用等式的性质1,得

∴ 。

∴=x 。

**像上面那样把等式一边的某项改变符号后移到另一边,叫做移项。

2 解下列方程:

(1)2385--=-x x ; (2)x x 23273-=+。

三.课堂检测(能力检验)

解下列方程:

(1)x x -=-32; (2)x x 21-=-;

(3)x 355-=; (4)x x x 3

212-

=-;

(5)x x x 58.42.13-=--;

(6)x x 21-=-;

[小结]

1,本节学习的解一元一次方程,主要步骤有①移项,②合并同类项, ③将未知数的系数化为1,最后得到a x =的形式。

2,移项时要注意,移正变负,移负变正。

四.课后练习(日清)

1,下列方程的变形是否正确?为什么?

(1)由53=+x ,得35+=x ( )

(2)由47-=x ,得47

-=x ( )

(3)由021=y 得2=y ( )

(4)由23-=x ,得23--=x ( )

2、直接写出下列方程的解

(1)22=-x ( )

(2) 123-=x x ( )

(3) 63=-x ( )

(4) 21

41

=x ( )

(5)x x =-2 ( )

五.中考链接

解下列方程:

(1) x x 237+=;

(2)x x x 25.132-=+-;

(3)x x 21-=-;

(4)x x 355-=-;

(5)x x x 58.42.13-=--;

6)x x x 3212-=-;

六.我想对你说

3.2.2解一元一次方程(二)----去括号

一.课前预习(自主检测)

1、叙述去括号法则,化简下列各式:

(1))2(24-+x x = ;

(2))4(12+-x = ;

(3))1(73--x x = ;

(4)x x 2)42

1(6+-= ; (5))1(3)4(2+---x x = 。

要去括号,就要根据去括号法则,及乘法分配律,特别是当括号前是“-”号,去括号时,各项都要变号,若括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号。

二.课堂练习(先做后议)

1:你会解方程8)2(24=-+x x 吗?这个方程有什么特点?

解:去括号,得 ,

合并同类项,得 ,

系数化为1,得 。

2:解方程)3(23)1(73+-=--x x x 。

注意:1、当括号前是“-”号,去括号时,各项都要变号。2、括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号。

解:去括号,得 ,

移项,得 ,

合并同类项,得 ,

系数化为1,得

3、解方程:

(1))3()2(2+-=-x x

(2))1(72)4(2--=+-x x x

(3))12(41)2(3--=+--x x x

三.课堂检测(能力检验)

1:列方程求解:

(1)当x 取何值时,代数式)2(3x -和)3(2x +的值相等?

(2)、当y 取何值时,代数式2(3y +4)的值比5(2y -7)的值大3?

2: 设未知数列方程解应用题:

一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度。

解:设船在静水中的平均速度为x 千米/时,则顺流行驶的速度为 千米/时,逆流行驶的速度为 千米/时,

根据 相等,得方程

去括号,得

移项,得

合并同类项,得

系数化为1,得

答:船在静水中的平均速度为 千米/时。

3:解方程:

(1))4(12)2(24+-=-+x x x

(2))131

(72)421

(6--=+-x x x

(3))12(1)2(3--=+-x x x

四.课后练习(日清)

解方程:

(1)5(x +2)=2(5x -1)

(2)4x +3=2(x -1)+1

(3)(x +1)-2(x -1)=1-3x

(4)2(x -1)-(x +2)=3(4-x )

五.中考链接

1 列方程求解:

(1)当x 取何值时,代数式4x -5与3x -6的值互为相反数

(2)一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/时。顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求无风时飞机的速度和两城之间的航程.

2: 已知 A= 3x +2 , B=4+2x

① 当x 取何值时, A=B;

② 当x 取何值时, A=B +1

六.我想对你说

3.2.3解一元一次方程(三)----去分母

一.课前预习(自主检测)

[复习]1、解方程:

(1)95)3(+=--x x ;(2))2

12(22--=-x x

2、求下列各数的最小公倍数:

(1)2,3,4

(2)3,6,8。

(3)3,4,18。

**在上面的复习题1中,可以保留分母,也可以去掉分母,得到整数系数,这样做比较简便。所以若

方程中含有分母,则应先去掉分母,这样过程比较简便。

二.课堂练习(先做后议)

1:解方程:4

3312-=-x x 解:两边都乘以 ,去分母,得

去括号,得 ,

移项,得 ,

合并同类项,得 ,

系数化为1,得

[变式练习]

解方程:65

5

314+=-x x

2:解方程:31

241213--+=-+x x x x

解:两边都乘以 ,去分母,得

去括号,得

移项, 得

合并同类项,得

系数化为1, 得

[变式练习] 解方程:63

2141+-=+-x x

三.课堂检测(能力检验)

解方程:(1)

5131+=-x x ;

(2)

51131+=--x x ;

(3)5

12131+-=+-x x ;

[小结]1、含有分母的方程的解法。

2、解一元一次方程的一般步骤为:①分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤ 系数化为1 .

四.课后练习(日清)

解方程:

(1)

4232+=-x x ; (2)21141+=--x x ;

(3)

2

23131x x --=--;

(4)

32213415x x x --+=-;

(5)

162312=+-+x x ;

(6)

5

124121223+--=-+x x x ;

(7)5222123--=--

x x x

(8)3

2221+-=--

x x x 。

五.中考链接

1、k 取何值时,代数式31+k 的值比2

13+k 的值小1?

2、一件工作由一个人做要50小时完成,现在计划由一部分人先做5小时,再增加8人和他们一起做10小时,完成了这项工作,问:先安排多少人工作?

线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题3 3-1.求下列齐次线性方程组的通解: (1)?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换,得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? , 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x , 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11(其中z 是自由未知量), 令1=z ,得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以,方程组的通解为

,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数. (2)??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换,得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?, 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x , 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x (其中43,x x 是自由未知量), 令34(,)T x x =(1,0)T ,(0,1)T ,得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ,T )0,1,0,1,1(2--=ξ, 所以,方程组的通解为

线性方程组典型习题及解答

线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解:将方程组的增广矩阵进行初等行变换,变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是,当2,1-≠λ时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,都等于3,等于未知量的个数,此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时,系数矩阵的秩为2,增广矩阵的秩为3,此时方程组无解; 当1=λ时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,都等于1,小于未知量的个数,此时方程组有无穷多解,即3211x x x --=,其中32,x x 为自由未知量。

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两个不同的解向量,则a 的取值如何? 解: 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解,r(A)= r(Ab)<3, 对增广矩阵进行初等行变换: 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ? -→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时,r(A)= r(Ab)=2<3, 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵, α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解,若α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T , 3α1+α2= (2,4,6,8)T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成, 又因为(α1+α2+2α3)-(3α1+α2) =2(α3-α1)=(0,-4,-6,-8)T , 是Ax=0的解, 即其基础解系可以是(0,2,3,4)T , 由A (α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 (α1+α2+2α3)是Ax=b 的一个解, 故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=(-9,1,2,11)T ,ξ2=(1,- 5,13,0)T ,ξ3=(-7,-9,24,11)T 是方程组 1223441 1223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解,求此方程组的通解。 分析:求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系,判断r(A)的秩。 解:A 是3×4矩阵, r(A)≤3,由于A 中第2,3两行不成比例,故r(A)≥2,又因为 η1=ξ1-ξ2=(-10,6,-11,11)T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量, 于是4- r(A)≥2,因此r(A)=2,所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结: 不要花时间去求方程组,太繁琐,由于ξ1-ξ2,ξ1-ξ3或ξ3-ξ1,ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系,ξ1,ξ2,ξ3都是特解,此类题答案不唯一。

线性方程组测试题

课程名称: 工程数学 考试章节: 线性方程组 考生姓名: 一、单选(每题3分,共30分) 1. 1、向量组 , , 线性相关,且秩为 ,则( ) A.s r = B .s r ≤ C.r s ≤ D .r s < 2. 已知向量T T )0,3,4, 1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α,则=β+α( ) A .T )1,1,2,0(-- B .T )1,1,0,2(-- C .T )0,2,1,1(-- D .T )1,5,6,2(--- 3. 下列命题中错误的是( ) A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4. 设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解,β是对应齐次方程组Ax=0的解,则Ax=b 必有一个解是( ) A. 21α+α B. 21α-α C. 21α+α+β D. 213 231α+α+β 5. 对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组 ()和齐次线性方程组, 下列说法中正确的是( ) A. 无非零解时, 无解 B.有无穷多解时,有无穷多解 C.无解时, 无非零解 D. 有唯一解时, 只有零解 6. 设21,αα是? ? ?=-=-+021 21321x x x x x 的二个解,则__________。 A. 21αα-是???=-=-+02021321x x x x x 的解 B. 21αα+是???=-=-+0 20 21321x x x x x 的解 C. 12α是?? ?=-=-+02121321x x x x x 的解 D. 22α是? ??=-=-+021 21321x x x x x 的解 二、填空(35分) 1.设()0,2,11 =α,()3,0,12-=α,()4,3,23=α,则32132ααα-+=______________ 2. 设 ()0,0,11=α,()0,1,12=α,()1,1,13=α,()3,2,1=β,且有 332211αααβx x x ++=,则=1x ______,=2x ______,=3x ______ 3. 对于m 个方程n 个未知量的方程组0=AX ,若有r A r =)(,则方程组的基础解系中有 ________个解向量。 4. 已知A 是4×3矩阵,且线性方程组B AX =有唯一解,则增广矩阵A 的秩是_________。 三. 计算(20分) 1.(10分) 已知向量组[][][] 123= 1 01,=035,=237T T T ααα,则求该向量 组的秩和一个极大线性无关组。 2. (5分) 设1α=(1,2,4),2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关,则求y 的值 A =Ax b ≠0b =0Ax =0Ax =Ax b =0Ax =Ax b =Ax b =0Ax =Ax b =0Ax

麦克斯韦方程组浅析

麦克斯韦方程 摘要:本文对麦克斯韦方程组作了全面的分析和阐述,主要包括:麦克斯韦方程组的建立与推导,麦克斯韦方程组的表现形式及其意义,麦克斯韦方程组的应用等三个方面的内容。 关键词:麦克斯韦方程组 库仑定律 毕奥—萨伐尔定律 法拉第定律 引言:麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在1865年英国皇家学会上发表的《电磁场的动力学理论》中提出来的。麦克斯韦在全面深入的审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上,经过长达十年的研究后才得到的成果。可以说,麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本性质和规律,构成完整的经典电磁场理论体系。它与洛伦磁力方程共同组成经典电磁学的基础方程,其重要性不言而喻。 一 、麦克斯韦方程组的建立与推导 1、麦克斯韦方程组的建立 麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心,因此麦克斯韦方程组的建立过程实际上就是经典电磁学理论的建立过程。 到1845年,关于电磁现象的三个基本实验定律:库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律已经被总结出来,这为麦克斯韦方程组的建立提供了理论基础。此外,19世纪30年代,法拉第创造性的提出了场和场线的概念,结束了长期以来科学历史上关于超距作用与近距作用的争论。随后,场的思想逐渐完善,科学家们建立了较为成熟的电磁场概念,这对麦克斯韦的工作具有极大的帮助。 1855年,麦克斯韦开始了电磁学基础理论方面的研究。在随后的十年里,他相继发表了《论法拉第力线》、《论物理力线》、《电磁场的动力学理论》等三篇论文。麦克斯韦建立电磁理论的过程大致可分为三步:第一步,麦克斯韦分析总结了电磁学已有的成果,提出感生电场的概念;第二步,他设计了电磁作用的力学模型,对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释。第三步,他把近距作用理论引向深入,明确地提出了电磁场的概念,并且全面阐述了电磁场的含义,建立了电磁场的普遍方程即麦克斯韦方程组。【1】 2、麦克斯韦方程组的推导 我们先来考察一下库仑定律: r e F 2 00 14r q q πε= 因为q F E =,所以E = r e 2 004r q πε。 (1)电场高斯定律推导 (a) 对于真空中静止的单个点电荷,作任意的高斯面,电荷位于面内。则有:

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组; $ 若()r A n >,则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0(A 为m n ?矩阵)通解的三步骤 (1)?? →A C 行 (行最简形); 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=++ +1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

关于麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组▽-----乐天10518 关于热力学的方程,详见“麦克斯韦关系式”。麦克斯韦方程组(英语:Maxwell's equations)是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。它含有四个方程,不仅分别描述了电场和磁场的行为,也描述了它们之间的关系。 麦克斯韦方程组Maxwell's equations 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与的四个基 本方程。 方程组的微分形式,通常称为麦克斯韦方程。在方程组中,电场和磁场已经成 为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律,并预言了 电磁波的存在。 麦克斯韦提出的涡旋电场和假说的核心思想是:变化的磁场可以激发涡旋电场, 变化的电场可以激发涡旋磁场;电场和磁场不是彼此孤立的,它们相互联系、相互激 发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来,建立 了完整的体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组在中的地位,如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方 程组为核心的电磁理论,是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的的完美 统一,为物理学家树立了这样一种信念:物质的各种相互作用在更高层次上应该是统 一的。另外,这个理论被广泛地应用到技术领域。 [] 历史背景

1845年,关于电磁现象的三个最基本的实验定律:库仑定律(1785年),安培—毕奥—萨伐尔定律(1820年),法拉第定律(1831-1845年)已被总结出来,法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。 概念的产生,也有麦克斯韦的一份功劳,这是当时物理学中一个伟大的创举,因为正是场概念的出现,使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来,普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。 1855年至1865年,麦克斯韦在全面地审视了、—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上,把数学分析方法带进了电磁学的研究领域,由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 [] 积分形式 麦克斯韦方程组的积分形式: 麦克斯韦方程组的积分形式: 这是1873年前后,麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。 (1)描述了电场的性质。在一般情况下,电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场,而感应电场是涡旋场,它的电位移线是闭合的,对封闭曲面的通量无贡献。 (2)描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发,也可以由变化电场的位移电流所激发,它们的磁场都是涡旋场,磁感应线都是闭合线,对封闭曲面的通量无贡献。 (3)描述了变化的磁场激发电场的规律。 (4)描述了变化的电场激发磁场的规律。 变化场与稳恒场的关系: 当 时, 方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程:

线性方程组-练习

1.设向量组123,,ααα线性无关,向量1β可由123,,ααα线性表示,而向量2β不能由123,,ααα线性表示,则对于任意常数k ,必有( )A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关; (B )12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关; (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2.n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 ( D ) (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. (1)若两个向量组等价,则它们所含向量的个数相同; (2)若向量组}{21r ααα,,, 线性无关,1+r α可由r ααα ,21,线性表出,则向量组}{121+r ααα,,, 也线性无关; (3)设}{21r ααα,,, 线性无关,则}{121-r ααα,,, 也线性无关; (4)}{21r ααα,,, 线性相关,则r α一定可由121,-r ααα ,线性表出;以上说法正确的有( A )个。 A .1 个 B .2 个 C .3 个 D .4个 4.向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为( C ). A .()()R A R B =; B .()R A n =且()R B m =; C .()()(,)R A R B R A B ==; D .m n = 5.讨论a ,b 取什么值时,下面方程组有解,对有解的情形,求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案:a =0,b =2有解;其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6.试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:

线性方程组练习题

线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1.判断下列向量组是否线性无关: (1)????? ??-11 2,????? ??-840,????? ??-311; (2)??????? ??01014,??????? ??1521,??????? ??1202,?????? ? ??7024。 2.讨论下面向量组的线性相关性: ???????? ??12211,???????? ??-15120,???????? ??-141b a 。 3.设????? ??=1111a ,????? ??=3211a ,???? ? ??=t 311a 。 (1)问当t 为何值时,321,,a a a 线性相关? (2)问当t 为何值时,321,,a a a 线性无关? (3)当321,,a a a 线性相关时,问3a 是否可以由1a ,2a 线性表示?若能,写出具体表达式。 4.设有向量组 ??????? ??+=11111t a ,??????? ??+=22222t a ,??????? ??+=33333t a ,?????? ? ??+=t 44444a 。 问:(1)当t 为何值时,4321,,,a a a a 线性相关? (2)当t 为何值时,4321,,,a a a a 线性无关? 5.设321,,a a a 线性无关,问当参数l ,m 满足何种关系时,12a a -l ,23a a -m ,31a a -也线性无关? 6.设m a a a ,,,21 线性无关,作 211a a b +=,322a a b +=,…,m m m a a b +=--11,1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7.设21,a a 线性无关,b a b a ++21,线性相关,问b 能否由21,a a 线性表示? 8.设321,,a a a 线性相关,432,,a a a 线性无关。问: (1)1a 能否由32,a a 线性表示; (2)4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9.若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ,T k )1,1,1(2+=a ,T k )1,1,1(3+=a 唯一

解线性方程组

课程设计阶段性报告 班级:学号:姓名:申报等级: 题目:线性方程组求解 1.题目要求:输入是N(N<256)元线性方程组Ax=B,输出是方程组的解,也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解,也可以采用其它方法。 2.设计内容描述:将线性方程组做成增广矩阵,对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素,从而得到上三角矩阵,再对得到的上三角矩阵进行回代操作,即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍:我使用Dev-C++环境编译的,调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数,FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号,ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码: #include #include #include //在列向量中寻找绝对值最大的项,并返回该项的标号 int FindMax(int p,int N,double *A) { int i=0,j=0; double max=0.0; for(i=p;imax) { j=i; max=fabs(A[i*(N+1)+p]); } } return j;

//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i

深入浅出讲解麦克斯韦方程组

深入浅出讲解麦克斯韦方程组 前一段时间给大家发过一篇《世界上最伟大的十个公式》,排在第一位的是麦克斯韦方程,它是电磁学理论的基础,也是相对论假定光速不变的依据,可见排在十大公式之首,理所应当!为了让大家更好地理解该方程,我们找到了一篇由孙研发表在知乎上的关于麦克斯韦方程的非常完美的讲解,呈现个大家。在文章的最后,我们还为大家附上了一段讲解麦克斯韦方程的英文动画视频,如果你英文比较好,不妨看一下。以下是正文: 有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组?感觉到基本不太可能啊,你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么??那既然这样,我只能躲躲闪闪,不细谈任何具体的推导和数学关系,纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。 1. 力、能、场、势 经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=m a这个公式,剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好,它是个向量vector(既有大小又有方向),所以即便是简单的受力分析,想解出运动方程却难得要死。很多时候,从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分(能量=功=力×距离),所以和力是有紧密联系的,而且能量是个标量scalar,加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力,从能量出发,算运动方程比牛顿力学要简便得多。 在电磁学里,我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式,具体不谈,单看这个公式就会发现力和电荷(或电荷×速度)程正比。那么我们便可以刨去电荷(或电荷×速度)的部分,仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说,场是某种遍布在空间中的东西,当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子,就可以理解为一个电荷制造了电场,而另一个电荷在这个电场中受到了力,反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情,刨去能量中的电荷(或电荷×速度),剩下的部分便是势potential。 一张图表明关系: 积分 力--->能 || 场<---势 微分

线性方程组习题课

线性方程组求解 习题课

一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解:对Jacobi 迭代法,迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=,得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ,由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法,迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然,其特征值为1230,0.5λλλ===-

故()0.51s B ρ=<,由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ,11220a a ≠, 112221120a a a a -≠。证明:解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明: 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-,故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ?

线性方程组练习题(免费下载)

《线性代数》第三章练习题 一、思考题 1、设有线性方程组b AX =,其中A 为n 阶方阵,j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值,判断下列命题是否正确? (1)若0≠A ,则b AX =有唯一解; (2)若0=A ,且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠,则b AX =无解; (3)若0=A ,且),,2,1(0n j A j ==,则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确?其中A 为n m ?矩阵。 (1)非齐次线性方程组b AX =,当n m <时,有无穷多解;当n m =时,有唯一解;当n m >时,无解; (2)齐次线性方程组0=AX ,当n m <时,必有非零解; (3)非齐次线性方程组b AX =,当m A r =)(时,必相容。 3、设向量组4321,,,αααα线性无关,判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。 4、判断下列命题是否正确? (1)若向量组m ααα,,,21 线性相关,则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ,使得 02211=+++m m k k k ααα ; (2)若向量组m ααα,,,21 线性相关,且有02211=+++m m k k k ααα ,则 m k k k ,,,21 必不全为零; (3)若当数021====m k k k 时,02211=+++m m k k k ααα ,则向量组m ααα,,,21 线性无关; (4)若02211=+++m m k k k ααα ,必有021====m k k k ,则向量组m ααα,,,21 线性无关; (5)向量β不能由m ααα,,,21 表示,则βααα,,,,21m 线性无关; (6)若向量组m ααα,,,21 线性无关,则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合; (7)若向量组m ααα,,,21 线性无关,向量组s βββ,,,21 线性无关,则向量组 m ααα,,,21 ,s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题 1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解,则下列哪个也是b AX =的解 ( ) (A )332211X k X k X k ++; (B )332211X k X k X k ++,1321=++k k k ; (C )321)(X X X k ++ ; (D ) 32211)(X k X X k +-。 2.设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系,则下列哪组也是0=AX 的一基础解系( ) (A )133221,,,ξξξξξξ+-; (B )312321,,ξξξξξξ++-; (C ) 13321,ξξξξξ-++ ; (D ) 3121,,ξξξξ- 。 3.设A 是n 阶矩阵,并且0=A ,则A 的列向量中 ( ) (A )必有一个向量为零向量 ; (B)必有两个向量的对应分量成比例; (C )必有一个向量是其余向量的线性组合 ; (D )任一向量是其余向量的线性组合。 4.如果4),,,(21=m r ααα ,则下列正确的是 ( ) (A )如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ,则该部分组包含的向量个数一定不超过4;

3线性方程组典型习题解析

3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断

1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=()() A A A A A A A A A A A ?? ???????? ? ?秩秩无解;秩秩有唯一解, 秩秩秩秩有无穷多解,且基础解系个数为 -秩秩秩不可能 3.1.3 线性方程组的解空间 1、齐次线性方程组的解空间 (作为线性方程组的一个特殊情形,在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解 的关系,我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间) 定理:对于数域K 上的n 元齐次线性方程组的解空间W 的维数为 A dim(W)=n-秩()=n-r , 其中A 就是方程组的系数矩阵。那么,当齐次线性方程组[(*)--ii)] 有 非零解时,它的每个基础解系所含解向量的数目都等于A n-秩()。 2、 非齐次线性方程组的解空间 我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系,那么我们可 首先求出非齐次线性方程组的一个解γ0(称其为方程组特解);然后在求对应的导出组的解空间(设该解空间的基础解系为ηηη12n-r ,,...),则(*)解空间的维数为n-r,且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为: 2.................()k k k γηηη+?0112n-r n-r ++...+ 我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解、

麦克斯韦方程组的理解

麦克斯韦方程组的积分形式: 麦克斯韦方程组的积分形式: (in matter) 这是1873年前后,麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。 其中:(1)描述了电场的性质。在一般情况下,电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场,而感应电场是涡旋场,它的电位移线是闭合的,对封闭曲面的通量无贡献。 (2)描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发,也可以由变化电场的位移电流所激发,它们的磁场都是涡旋场,磁感应线都是闭合线,对封闭曲面的通量无贡献。 (3)描述了变化的磁场激发电场的规律。 (4)描述了变化的电场激发磁场的规律。 变化场与稳恒场的关系: 当 变化场与稳恒场的关系 时, 方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程: (in matter) 在没有场源的自由空间,即q=0, I=0,方程组就成为如下形式:

(in matter) 麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。 编辑本段 微分形式 麦克斯韦方程组微分形式:在电磁场的实际应用中,经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上,就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法,可得: (in matter) 注意:(1)在不同的惯性参照系中,麦克斯韦方程有同样的形式。 (2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题,还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中,电磁场量与介质特性量有下列关系: 在非均匀介质中,还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件,原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场,即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。 编辑本段 科学意义 (一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电

第三章习题与复习题(线性方程组)---高等代数

习题3.1 1.用消元法解下列线性方程组 (1)2x x 3x 1 1 2 3 2x 2x 6 1 3 4x 2x 5x 7 1 2 3 (2) 2 x 1 4x 1 2x 1 6 x 1 x 2 2x 2 x 2 3x 2 3x 3 5x 3 4x 3 5x 3 1 4 1 11 (3) x 1 3x 1 2x 1 3x 2 x 2 x 2 x 3 5x 3 2x 3 x 4 3x 4 2x 4 6 6 8 (4) x 1 3x 1 5x 1 x 2 2x 2 x 2 4x 2 x 3 x 3 2x 3 3x 3 x x 5 3x 5 6x 5 3x x 4 5 1 4 x 4 2x 4 3 2 2.设线性方程组 x x tx 1 2 3 4 x tx x t 1 2 3 2 x x 2x 4 1 2 3 t 为何值时方程组无解? t 为何值时方程组有解?有解时,求其解. 3.设线性方程组 x x 2x 3x 1 1 2 3 4 x 3x 6x x 3 1 2 3 4 3x x ax 15x 3 1 2 3 4 x 5 x 10x 12x b 1 2 3 4 (1) a , b 为何值时方程组有唯一解? (2)a,b 为何值时方程组无解? (3)a,b 为何值时方程组有无穷多解?并求其一般解. 习题3.2

1.设 1 1,1,1, 2 , 2 2, 1, 0, 1 , 3 1, 2, 0, 2 ,求(1)1(2)2 1 3 2 5 3 2 3 2. 设n 维向量(1,0, ,0) , (0,1, ,0) , , (0,0, ,1), 1 2 n 求a a a . 1 1 2 2 n n 3. 设2, 2, 0,4,2 , 2,1, 3, 1,1 ,求向量, 使 2 4 . 4.设 1 2, 0,1 , 2 3,1, 1 满足2 3 1 4 2 ,求.

麦克斯韦Maxwell方程组各个物理量介绍

麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的: ?高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷,终止于负电荷。计算穿过某给定闭曲面的电场线数量,即其电通量,可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说,这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。 ?高斯磁定律表明,磁单极子实际上并不存在于宇宙。所以,没有磁荷,磁场线没有初始点,也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说,进入任何区域的磁场线,必需从那区域离开。以术语来说,通过任意闭曲面的磁通量等于零,或者,磁场是一个螺线矢量场。 ?法拉第感应定律描述含时磁场怎样生成(感应出)电场。电磁感应在这方面是许多发电机的运作原理。例如,一块旋转的条形磁铁会产生含时磁场,这又接下来会生成电场,使得邻近的闭循环因而感应出电流。 ?麦克斯韦-安培定律阐明,磁场可以用两种方法生成:一种是靠电流(原本的安培定律),另一种是靠含时电场(麦克斯韦修正项)。在电磁学里,麦克斯韦修正项意味着含时电场可以生成磁场,而由于法拉第感应定律,含时磁场又可以生成电场。这样,两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间(更详尽细节,请参阅条目电磁波方程)。 自由空间: 在自由空间里,不需要考虑介电质或磁化物质的问题。假设源电流和源电荷为零,则麦克斯韦方程组变为:、 、 、 。

对于这方程组,平面行进正弦波是一组解。这解答波的电场和磁场相互垂直,并且分别垂直于平面波行进的方向。电场与磁场同相位地以光速传播: 。 仔细地观察麦克斯韦方程组,就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。根据法拉第感应定律,时变磁场会生成电场;根据麦克斯韦-安培定律,时变电场又生成了磁场。这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。 第一种表述: 将自由电荷和束缚电荷总和为高斯定律所需要的总电荷,又将自由电流、束缚电流和电极化电流总合为麦克斯韦-安培定律内的总电流。这种表述采用比较基础、微观的观点。这种表述可以应用于计算在真空里有限源电荷与源电流所产生的电场与磁场。但是,对于物质内部超多的电子与原子核无法纳入计算。事实上,经典电磁学也不需要这么精确的答案。 第二种表述: 以自由电荷和自由电流为源头,而不直接计算出现于介电质的束缚电荷和出现于磁化物质的束缚电流和电极化电流所给出的贡献。由于在一般实际状况,能够直接控制的参数是自由电荷和自由电流,而束缚电荷、束缚电流和电极化电流是物质经过极化后产生的现象,采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易[7]。 注意:麦克斯韦方程组中有B、E两个矢量未知量,共6个未知分量;方程个数是8个(散度是标量,所以两个高斯定律是两个方程;旋度是矢量,法拉第电磁感应定律和安培定律是6个方程;加起来共8个方程)

麦克斯韦方程组的推导及说明

13-6麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律,可总结归纳成以下四条基本定理: 静电场的高斯定理: 静电场的环路定理: 稳恒磁场的高斯定理: 磁场的安培环路定理: 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律,对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上,提出了涡旋电场和位移电流的概念: 1.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念,揭示出变化的磁场可以在空间激发电场,并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系,即 上式表明,任何随时间而变化的磁场,都是和涡旋电场联系在一起的。 2.麦克斯韦提出的位移电流的概念,揭示出变化的电场可以在空间激发磁场,并通过全电流概念的引入,得到了一般形式下的安培环 路定理在真空或介质中的表示形式,即 上式表明,任何随时间而变化的电场,都是和磁场联系在一起的。综合上述两点可知,变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的,它们永远密切地联系在一起,相互激发,组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。 在麦克斯韦电磁场理论中,自由电荷可激发电场,变化磁场也可激发电场,则在一般情况下,空间任一点的电场强度应该表示为 又由于,稳恒电流可激发磁场,变化电场也可激发磁场,则 一般情况下,空间任一点的磁感强度应该表示为 因此,在一般情况下,电磁场的基本规律中,应该既包含稳恒电、磁场的规律,如方程组(1),也包含变化电磁场的规律,

根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念,变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场,而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此,电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是: 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间,由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位 移通量等于零,故有: 2.电场的环路定理由本节公式(2)已知,涡旋电场是非保守场,满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同,都是涡旋状的场,磁感线是闭合线。因此,磁场的高斯定理仍适用,即 4.磁场的安培环路定理由本节公式(3)已知,变化的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为 在变化电磁场的上述规律中,电场和磁场成为不可分割的一个整体。 将两种电、磁场的规律合并在一起,就得到电磁场的基本规律,称之为麦克斯韦方程组,表示如下 上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式。 将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式。微分形式的方程组如下

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