利润管理-如何获取更多的利润 精品

如何获取更多的利润

例1 某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T（件）与每件的销售价x（元／件）可以看报是一次函数：T＝－3x＋207（45≤x≤69）

（1）写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差）。

（2）通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？

分析：每天总销售价为Tx，即（－3x＋207）x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45（－3x＋207），而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第（2）小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值范围确定最佳售价。

解：（1）由题意得：

Y＝（－3x＋207）x－45（－3x＋207）

＝（－3x＋207）（x－45）（45≤x≤69）

（2）由（1）知

y＝（－3x＋207）（x－45）

＝－3（x2－114x＋3105）

＝－3（－57）2＋432（45≤x≤69）

由图像知开口向下，存在最大值，且45＜57＜69。

∴当x＝57时

Y max＝432

亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？

评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：1．本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？

2．该服装的售价可以超过69元吗？

3．该函数的图像还可以向两端延伸吗？

例2 共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x（元）与产品的月销售量y（件）之间的关系如下表：

若月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？

（销售利润＝销售价－成本价）

分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。

①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y（件）与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。

②以表格形式给出了x（元）与y（件）的对应关系，并进而指出销售量y 是销售价x的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。

③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y（x的一次函数）与每件产品销售利润（x的一次函数）的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。

④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。例如，销售价x元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等。

解：设y ＝kx ＋b ，当x ＝130时，y ＝70；当x ＝150时，y ＝50，得方程组：???=+=+50

15070130b k b b 解得：1,200-==k b ∴ y ＝－x ＋200

设每日销售利润为Z 元，每件产品的销售利润是（x －120）元，于是

200120012001201600

)160( 24000

320 )

120)(200()120(22≤≤∴???≥-≥+-+--=-+-=-+-=--?=x x x x x x x x x y Z

∴当160=x 时，1600max =Z

即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。

例3 某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每张票价提高x 元，将有200x 张门票不能售出。

（1）求提价后每场电影的票房收入y （元）与票价提高量x （元）之间的函数关系式和自变量x 的取值范围。

（2）若你是经理，你认为电影院应该怎样决策（提价还是不提价），若提价，提价多少为宜？

分析：若提价x 元后，则每张票价变为（x ＋3）元，出售的门票总数为：（1000－200x ）张，则票房的收入变为：（x ＋3）·（1000－200x ）。

至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y 是提高的价x 的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。

解：（1）由题意知：

3000400200 )

3)(2001000(2++-=--=x x x x y

又?

??≥≤∴???≥≥-05020002001000x x x x ∴ x 的取值范围是：50≤≤x

（2）3000)1122(200+-+--=x x y

3200)1(2003000

200)1(20022+--=++--=x x

又510≤≤

∴当1=x 时，3200max =Y 。

∴ 电影院应每张门票提价1元为宜。

接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？

例4 某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件。已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。

（2）设生产A 、B 两种产品获总利润为y （元），其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 元间的函数关系式，并利用函数的性质说出（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

分析：本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有：不等式（组）、一次函数。解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。

（1）A 、B 两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组，从而确立A 、B 两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案。

（2）列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。

解：（1）设安排生产A 种产品。件，则生产B 件产品（50－x ）件。依题

意，得???≤-+≤-+290

)50(103360)50(49x x x x

解之，得3230≤≤x

∵x 为整数，∴x 只能取30，31，32。

相应的（50－x ）的组为20 19，18。。

所以生产的方案有三种：

第一种：生产A 种产品30件，B 种产品20件；。

第二种：生产A 种产品31件，B 种产品19件；’。

第三种：生产A 种产品32件，B 种产品18件。。

（2）设生产A 种产品件数为x ，则生产B 种产品的件数为50－x 。 依题意，得)50(1200700x x y -+=

60000500+-=x

其中x 只能取30 、31、32，

0500<-∴x

∴此一次函数中y 随x 的增大而减小。

∴当x ＝30时，y 的值最大。

故按第一种方案安排生产，获总利润最大，最大利润为：－500×30＋60000＝45000元。

例5 某工厂计划出售一种产品，固定成本为2000000元，球台生产成本为3000元，销售收入为5000元。求总产量x 对总成本Q 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 的函数关系，并作出简要分析。

解：总成本与总产量的关系

Q ＝2000000＋3000x ，

单位成本与总产量的关系

30002000000+=x

P 销售收入与总产量的关系：R ＝5000x 。

利润与总产量的关系20000002000-=-=x Q R L 。

分析：①从利润关系式可见，欲求较大的利润，应增加产量（在不考虑销售的情况下），若x ＜1000，则要亏损；若x ＝1000，则利润为零；若x ＞1000，则可盈利。这一点也可以从上面的图像中看出，两条直线的交点就是平衡点。 ②从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益。

例6 今拟建一排4门的猪舍（如图），由于材料的限制，围墙和墙的总长度只能造p 米，问x 为多少时，猪舍面积最大？

401025,502

5225,

22

p p x S p x x x p x p x S +??? ??--=<<-=-= ∴当10

p x =

米时，猪舍面积最大。 答：10p x =米时，猪舍面积最大。 说明：本题列式的关键，在于找出长方形的长2

5x p -和宽x 。对于求极值，是否采用配方法，则可以根据自己的习惯，本题所用的配方法是解决此类问题的通法。

现代生活中，信息显得十分重要，而报纸作为大众传媒的一种，是一种传递信息的重要载体。正因如此，我们很多人都有抽空着报纸的习惯。下面我们就来研究一下报摊卖报的问题，请你帮助业主设计一下最佳办法。

例7 某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的以每份0.04元退回报社，在一个月（30天）里，有20天每天可销售400份，其余的10天仅售250份。但每天从报社买的份数必须相同，他应每天从报社购多少份，才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式，从而解决问题。 解：设每天从报社购进x 份（400250≤≤x ），每月售出（20x ＋10×250）份，退回10（x －250）份，由于卖出获利，退回亏损均为0.08元，则 y ＝0.08（20＋2500）－ 0.08（x －250）×10＝0.8＋400

这显然是一个k ＞0的一次函数，函数值y 随着自变量x 的增大而增大的，所以

当x ＝400时， y max ＝720（元）。

答：应每天从报社购400份，才能使每月获利润最大，最大利润是720元。 说明：此题是一道十分典型的应用题。它适用于卖报、卖书、卖书刊。随着数字的变化，可编撰成一道道试题。但是解法却是不变的，应注意此题的解法。 例8 某房地产公司要在荒地ABCDE （如图）上画出一块长方形地面（不改变方向），建造一幢8层楼公寓。问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到 1m 2）。

分析：在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、DE 作垂线，即可保持原来方位，画得一块长方形土地。显然，土地面积决定于P 在AB 上的位置。

解：建立如图所示的坐标系，则AB 的方程为过A （0，20）、B （30，0）则的一条直线。设直线 AB 的方程为y ＝ ka ＋b 则又因为A 、B 两点在直线上，

??

???-==∴???=+=∴322003020k b b k b 2032+-=∴x y 。由于P 点在直线上，故可得P 点的坐标为20)3

220,(+-x x （∴ P 点坐标满足函数的解析式），则长方形的面积为：

)30(322080)100(≤≤?????

???? ??---=x x x S 化简得：)30(60003

20322≤≤++-=x x x S 对函数的解析式进行配方得

3

18050)5(32 60003

50)5(32 6000)5510(3

222222+--=++--=+-+--=x x x x S 当3503220,5=-==x y x 时，)m (3

18050max 2=S 。 说明：由此题可见，公寓占地面积与楼房层数无关，并非所有信息都是有用的，这也是应用题与通常题目的一个重要区别。

例9 某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5％，已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（建筑费用与购地费用之和），公司应把楼建成几层？

解：设该楼建成x 层，则根据题意得每平方米的购地费用为：

x

x 10001001000000=÷（元） 每平方米的建筑费用为：400＋400（x －5）·5％（元），所以每平方米的平均综合费用为：

30022002200305020 210155020 155020 30201000 1000%5)5(4004002

2+≥++???? ??-=????????++???? ??-=??? ??++=++=

+

?-+=x x x x x x x x

x x y 即得含费用最少为)3002200(+

可见公司应该把楼房建成7层。

上面的例子是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一。这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。有多少家梦想住人宽广静适的套房啊！下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。

例10 某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金，办法如下：

设职工每月工资为x 元，交纳公积金后实得数为y 元，求y 与x 之间的关系式，并画出图像。

解：①当0＜x ＜100时，y ＝x

②当100≤x ＜200时

y ＝100＋（x －100）（1－5％）＝0.95x ＋5

②当200≤x ＜300时

y ＝100＋100（1－5％）＋（x －200）（1－10％）=0.9x ＋15

②当30≥x 时

y ＝100＋100（1－5％）＋100（1－10％）＋（x －300）（1－15％） ＝0.85x ＋30

???????≥+<≤+<≤+<<=∴)3(

3085.0)3200(

1595.0)200100( 595.0)1000( x x x x x x x x y 说明：此题系分段函数，其对x 的取值范围的讨论具有典型性，即应本着既不重复，也不遗漏的原则。凡关于一些保险费的交纳等问题也可仿上类似地求解。 某生产队有60米长的一段篱笆，现用来围一个矩形的苗圃，一面可以利用一条小溪作天然屏障，问应怎样围法，可使苗圃面积最大？

分析：此题可利用长和宽的关系，建立函数，设法求出最大值。

解法一：配方法

设矩形宽是x ，则矩形的长为)260(x -令苗圃的面积为y ，则

450)15(2602)260(22+--=+-=-=x x x x x y

∴当15=x 时，450max =y 。

解法二：极值定理法

由解法1得：

450)15260(15,152602)

(60)260(2)260(22

1)260(max =?-==-=∴=-+-??=-=y x x x x x x x x x y 时即当是常数

答：苗圃长30米，宽15米时，最大面积为450米。

说明：这类面积解法都是常规的解法，但解法2是竞赛内容。

例11 某校办工厂现在年产值是15万元，如果增加100元投资，一年可增加250元产值。

（1）求总产值y （万元）与新增加的投资额x （万元）之间的函数关系式。

（2）如果增加1.5万元投资，年产值可达多少？

分析：（1）依题意，b kx y +=，这里15=b 万元，关键是确定k 的值，因为增加100元投资，一年可增250元产值，则每增加1万元投资，一年可增加

2.5万元产值。所以总产值y 与新增加的投资x 之间的函数关系式为：

x y 5.215+=，这是一个一次函数。

（2）当5.1=x 万元，75.185.15.215=?+=y （万元）。因此，如果增加1.5万元投资，年产值可达到18.75万元。