整式的乘除复习讲义

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一米辅导学科教师授课讲义

【知识点梳理】

一、 同底数幂的乘法

同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=?(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,

在应用法则运算时,要

注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??（其中m 、n 、p 均为正数）；

⑤公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为正整数）

二．幂的乘方与积的乘方

1. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.

2. ),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==.

3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，

如将（-a ）3化成-a 3

4．底数有时形式不同，但可以化成相同。

5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n

（a 、b 均不为零）。

6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n

为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三. 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即

n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数, 且m>n).

2. 在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义.

③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p

p a a 1=-( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如

41(-2)2-=,8

1)2(3-=-- ④运算要注意运算顺序.

四. 整式的乘法

1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘

与指数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2．单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一

项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序。

3．多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘

ab x b a x b x a x +++=++)())((2，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a ）和（nx+b ）相乘可以得到

ab x ma mb mnx b nx a mx +++=++)())((2

五．平方差公式

1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即

22))((b a b a b a -=-+。

其结构特征是：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

六．完全平方公式

1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，

即2222)(b ab a b a +±=±；

口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

2．结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现222)(b a b a ±=±这样的错误。

七．整式的除法

1．单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

2．多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

【典例讲解】

（一）填空题

1．x 10＝（－x 3）2·_________＝x 12÷x （ ）

2．4（m －n ）3÷（n －m ）2＝___________．

3．－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________．

4．（2a －b ）（）＝b 2－4a 2．

5．（a －b ）2＝（a ＋b ）2＋_____________．

6．（3

1）－2＋0＝_________；4101×0.2599＝__________． 7．203

2×1931＝（ ）·（ ）＝___________． 8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．

9．（x －2y ＋1）（x －2y －1）2＝（ ）2－（ ）2＝

_______________．

10．若（x ＋5）（x －7）＝x 2＋mx ＋n ，则m ＝__________，n ＝

________．

（二）选择题（每小题2分，共计16分）

11．下列计算中正确的

是………………………………………………………………（ ）

（A ）a n ·a 2＝a

2n （B ）（a 3）2＝a 5 （C ）x 4·x 3·x ＝x 7 （D ）a 2n －3÷a 3－n ＝a 3n －6

12．x 2m ＋1可写

作…………………………………………………………………………（ ）

（A ）（x 2）m ＋1 （B ）（x m ）2＋1 （C ）x ·x 2m （D ）（x m ）m ＋1

13．下列运算正确的

是………………………………………………………………（ ）

（A ）（－2ab ）·（－3ab ）3＝－54a 4b 4

（B ）5x 2·（3x 3）2＝15x 12

（C ）（－0.16）·（－10b 2）3＝－b 7

（D ）（2×10n ）（21×10n ）＝102n

14．化简（a n b m ）n ，结果正确的

是………………………………………………………（ ）

（A ）a 2n b mn （B ）n m n b a 2 （C ）mn n b a 2

（D ）n m n b a 2 15．若a ≠b ，下列各式中不能成立的

是………………………………………………（ ）

（A ）（a ＋b ）2＝（－a －b ）2 （B ）（a ＋b ）（a －b ）＝（b ＋a ）（b －a ）

（C ）（a －b ）2n ＝（b －a ）2n （D ）（a －b ）3＝（b －a ）3

16．下列各组数中，互为相反数的

是…………………………………………………（ ）

（A ）（－2）－3与2

3 （B ）（－2）－2与2－2 （C ）－33与（－31

）3 （D ）（－3）－3与（3

1）3

17．下列各式中正确的

是………………………………………………………………（ ）

（A ）（a ＋4）（a －4）＝a 2－4 （B ）（5x －1）（1－5x ）＝25x 2－1

（C ）（－3x ＋2）2＝4－12x ＋9x 2 （D ）（x －3）（x －9）＝x 2－27

18．如果x 2－kx －ab ＝（x －a ）（x ＋b ），则k 应

为…………………………………（ ）

（A ）a ＋b （B ）a －b （C ）b －a （D ）－a －b

（三）计算

19．（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2；

（2）4a 2x 2·（－52

a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）； （3）（2a －3

b ）2（2a ＋3b ）2；

（4）（2x ＋5y ）（2x －5y ）（－4x 2－25y 2）；

（5）（20a n －2b n －14a n －1b n ＋1＋8a 2n b ）÷（－2a n －3b ）；

（6）（x －3）（2x ＋1）－3（2x －1）2．

20．用简便方法计算：

（1）982； （2）899×901＋1； （3）（7

10）2002·（0.49）1000．

（四）解答题

21．已知a 2＋6a ＋b 2－10b ＋34＝0，求代数式（2a ＋b ）（3a －2b ）＋4ab 的值．

22．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求22

2b a ，a 2－ab ＋b 2的值．

23．已知（a ＋b ）2＝10，（a －b ）2＝2，求a 2＋b 2

，ab 的值．

24．已知a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，求证a ＝b ＝c ．

（五）解方程组与不等式 25．?

??+=-+=+-++.

3)3)(4(0)2()5)(1(xy y x y x y x 26．（x ＋1）（x 2－x ＋1）－x （x －1）2＜（2x －1）（x －3）．