《与数列相关的不等式证明问题》(老师用)
与数列相关的不等式证明问题
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．放缩的方向是放缩为能求和的数列，一般地放缩为能拆项求和的数列或等比数列．
类型一：直接利用不等式的常见证明方法
例1已知数列｛x n ｝中，x 1>0，x 1≠1，)(1
3)3(*
2
2
1
N n x x x x n n n n ∈+++求证：对任意 的n ∈N +，或x n >x n+1，或x n+1>x n .
证:(用作差法证明.) )1(1
3)
1)(1(213)3(2
22
1+-+=-++=-+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x
由x 1>0及递推关系式，知x n >0，则①式符号由1-x n 决定，∴ 只要比较x n 与１的大小即可. 再用作差法比较.
,1
3)1(113)3(12
2
22
1+-=-++=-+n n n n n n x x x x x x 则11-+n x 与x n -1同号，所以x n -1与x 1-1也同号. 当x 1>1时，x n >1，由①得x n >x n+1；
当0
类型二:通过放缩n S 或n a 转化
高考中放缩的主要方法有五种：
1．利用分式的基本性质放缩； 2．利用函数的单调性放缩； 3．利用不等式性质放缩． 4．利用二项式定理放缩； 5．利用定积分放缩． 一、先求和再放缩：
例2．已知数列{2n
n a ?}的前n 项和96n S n =-. (1) 求数列{n a }的通项公式；
(2) 设2
||(2log )3n n a b n =-，数列{1
n
b }的前 n 项和n T ，求证：当1n ≥时，13n T ≥.
解：(1)1n =时，1123a S ?==, ∴13
2
a =.
当2n ≥时，126n
n n n a S S -?=-=-，∴62n n a -=．∴通项公式3
,1,26, 2.2n n
n a n ?=??=??-≥??
(2)当1n =时，1212log 32b =-=，∴1111
3
T b =
=；
2n ≥时，2
6(2log )(1)32n n b n n n =-=+?，∴1111(1)1
n b n n n n ==-++ ， ∴12111111111151
()()()32334161
n n T b b b n n n =+++=+-+-++-=-
++ ． n T 随着n 的增大而增大，∴25111
6123
n T T n =-
≥=>+. ∴ 当1n ≥时，1
3n T ≥．
例3．位于函数413
3+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系
列点的横坐标构成以2
5
-为首项,1-为公差的等差数列{}n x .
(１)求点n P 的坐标；
(２)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*
N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k .
求证:10
1
11113221<
+++-n n k k k k k k . 解: (１)由于n P 的横坐标构成以25
-为首项,1-为公差的等差数列{}n x ,
故153
(1)(1)22
n x x n d n n =+-=---=--.
又),(n n n y x P 位于函数4
13
3+=x y 的图象上,
所以y 4
53413)23(34133--=+--=+=n n x n n . 所求点),(n n n y x P 的坐标为()4
5
3,23----n n .
(２)证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2()n n n y a x x y =-+,
即235
()324
n y a x n n =++--.
由抛物线n C 过点)1,0(2
+n D n ,于是有22351()324
n n a n n +=+--.
由此可得235
1,()324n a y x n n ==++--.
故32)2
3
(200+=++='===n n x y k x x n .
所以
)2)(3
21
121(21)32)(12(111≥+-+=++=-n n n n n k k n n , 于是
??
????+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n
)3
2151(21+-=n 101<.
即10
111113221<+++-n n k k k k k k .
（二）先放缩再求和
例4．已知不等式],[log 2
1
131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数．设数列{}n a 的各项为正且满足1
1
1),0(--+≤
>=n n n a n na a b b a )4,3,2( =n ，证明：]
[log 222n b b
a n +<， 5,4,3=n ．
证明：由条件1
1--+≤
n n n a n na a 得：n a a n n 1
111+≥-，
n a a n n 1111≥-∴-)2(≥n ，111121-≥---n a a n n ，…，2
1
1112≥-a a ．
以上各式两边分别相加得：
2
1111111++-+≥- n n a a n ， 2111111++-++≥∴ n n b a n ][log 2
1
12n b +>=
b n b 2][log 22+ )3(≥n ， ∴ ]
[log 222n b b
a n +<
)3(≥n ． 点评：本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明． 放缩通项,裂项(或迭代)求和
例5已知正项数列{}n a 满足a a =1 （10< n n a a a +≤ +求证 （1）();11a n a a n -+≤ （2） .111 <+∑=n k k k a 证明(1)将条件n n n a a a +≤+11变形，得11 11≥-+n n a a . 于是，有 ,1112≥-a a ,11123≥-a a ,11 13 4≥-a a ………… 1111 ≥--n n a a 将这n-1个不等式叠加，得 ,11 1-≥-n a a n 故 ().11a n a a n -+≤