切线的判定(含答案)
一、证明题
1. 已知：三角形ABC 内接于O ⊙，过B 作直线EF
（1）如图，AB 为直径，要使得EF 是O ⊙的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况） ①_______________②_______________③_______________ （2）如图，AB 为非直径的弦，已知CBF A =∠∠ 求证：EF 是O ⊙的切线
2. 如图，AB 是O ⊙的直径，O ⊙交
BC 的中点于D ，DE AC ⊥
（1）求证：
BAD CED △∽△；（2）求证：DE 是O ⊙的切线．
3. 如图，PA 是O ⊙的切线，切点是A ，过点A 作AH OP ⊥于点H ，交O ⊙于点B ． 求证：PB 是O ⊙的切线．
4. 如图，A 、B 为⊙O 上的点，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．若AC 为∠BAD 的平分线．
求证：（1）AB 为⊙O 的直径（2）AC 2
＝AB ·AD
A F
F B
P
5. 如图，AB 是O ⊙的直径，C 为AB 延长线上的一点，CD 交O ⊙于点D ，且30A C ∠=∠=?． （1）说明CD 是O ⊙的切线；
（2）请你写出线段BC 和AC 之间的数量关系，并说明理由．
6. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若OA =10，AD =16，求AC 的长．
7. 如图，MP 切O ⊙
于点M ，直线PO 交O ⊙于点A 、B ，弦AC MP ∥，求证：MO BC ∥．
8. 如图，O ⊙是Rt ABC △的外接圆，点O 在AB 上，BD AB ⊥，点B 是垂足，OD AC ∥，连接CD ． 求证：CD 是O ⊙的切线．
A C E D A F O
B P 第16题 D B
A O
C
9. 如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°， （1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为3，求弧BC 的长．（结果保留π）
10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，取AC 的中点E ，连结DE 、OE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径是2
3
cm ，ED=2cm ，求AB 的长．
11. 已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC =，O ⊙
交BC 于D ，DE
AC ⊥于E ．
（1）请判断DE 与O ⊙的位置关系，并证明；
（2）连结AD ，若O ⊙的半径为5
2
，3AD
=，求DE 的长．
12. 如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB AC =，过点A 作AP BC ∥，交BO 的延长线于点P ． （1）求证：AP 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径58R BC ==，，求线段AP 的长．
13. 如图，直线l 切⊙O 于点A ，点P 为直线l 上一点，直线PO 交⊙O 于点C 、B ，点D 在线段AP 上，连结DB ，且AD=DB ．
（1）求证：DB 为⊙O 的切线．（2）若AD=1，PB=BO ，求弦AC 的长．
B
A
D
O
C
E
B
P D
14. 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．
（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；
（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．
15. 如图，O ⊙是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC =90°，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA=PB ． （1）求证：PB 是O ⊙的切线； （2）已知PA
BC =1，求O ⊙的半径．
16. 已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C .
（Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=?，求AP 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.
17. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D B C 、、三点，290DOC ACD ∠=∠=?．
（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果75ACB ∠=?，⊙O 的半径为2，求BD 的长．
C E
B
A O F
D
（图）
A
图①
A
D
图②
18. 如图，A 、B 是O ⊙上的两点，120AOB ∠=°，点D 为劣弧
AB 的中点.
（1）求证：四边形AOBD 是菱形；
（2）延长线段BO 至点P ，交O ⊙于另一点C ，且BP =3OB ，求证：AP 是O ⊙的切线.
19. 如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点
C 在O ⊙上，C
D AC =，0
120=∠ACD ，
（1）求证：CD 是O ⊙的切线；
（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.
20. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，且AD =DC ，CO 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作弦EF ⊥AB ，垂足为点G .
（1）求证：BC 是⊙O 的切线. （2）若AB =2，求EF 的长.
21. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ．
（1）求证：BC 与⊙O 相切； （2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数．
22. 如图，O ⊙的直径12AB BC =，的长为2π，D 在OC 的延长线上，且CD OC =. （1）求A ∠的度数； （2）求证：DB 是O ⊙的切线； （参考公式：弧长公式π180
n r
l =，其中l 是弧长，r 是半径，n 是圆心角度数）
23. 如图，AB 是⊙Ｏ的直径，∠A ＝30
，延长OB 到D ，使BD ＝OB ． （1）△OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； （2）求证：DC 是⊙Ｏ的切线．
4. 如图，AB 为O ⊙的直径，劣弧BC BE BD CE =，∥，连接AE 并延长交BD 于D ．
求证：（1）BD 是O ⊙的切线； （2）2
AB AC
AD =·．
D
D B
一、证明题
1. （1）①AB EF ⊥ ②CBF CAB =∠∠ ③FBA C =∠∠ ④90ABC CBF +=∠∠
⑤EBA FBA =∠∠以上答案均可选择，与序号无关
（2）证明：连结BO 并延长BO 交O 于H ，连结HC
BC BC =，H A ∴=∠∠
又
HB 是直径，90HCB ∴=∠
90H CBH ∴+=∠∠
又A CBF =∠∠
90CBF CBH ∴+=∠∠ HB EF ∴⊥
又OB 是半径，EF ∴是O 的切线
2. 解：（1）
AB 是O 的半径，
90ADB ∴=∠，
又
BD CD =，AB AC ∴=，B C =∠∠，
90CED ADB ==∠∠，
BDA CED ∴△∽△ （2）连接OD ，
OA OB =，BD CD =， OD AC ∴∥， 又DE AC ⊥，
OD DE ∴⊥，所以DE 是O 的切线
3. 连结OA OB ，，（图略）
1分 PA ∵是O 的切线，90OAP ∠=∴°，
2分 OA OB AB OP =⊥∵，，AOP BOP ∠=∠∴，
4分
又OA OB OP OP ==∵，，
()AOP BOP SAS ∴△≌△， 6分
90OBP OAP ∠=∠=∴°， PB ∴是O 的切线．
8分
说明：本题也可根据垂径定理得AH BH =，通过证明AOH BOH △≌△，得AOP BOP ∠=∠．
H
4. 证明：（1）连结BC AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠CAB 又CD 切⊙O 于点C
∴∠ACD ＝∠B (弦切角定理) ∵AD ⊥CD
∴∠ACD +∠DAC ＝90° 即∠B +∠CAB ＝90° ∴∠BCA ＝90°
∴AB 是⊙O 的直径（90°圆周角所对弦是直径） （2）∵∠ACD ＝∠B ∠DAC ＝∠CAB ∴△ACD ∽△ABC ∴
AD
AC
AC AB = ∴AC 2＝A B ·AD
5. 解：（1）连结OD ．
AB ∵是直径，90ADB ∠=?∴． 30A ∠=?∵，
60ABD ∠=?∴，OBD ∴△是等边三角形． 而ABD C BDC ∠=∠+∠，
30BDC ABD C ∠=∠-∠=?∴， 90ODC ∠=?∴，
即OD DC ⊥，故DC 是O 的切线．
（2）1
3
BC AC =
． OD DC ⊥∵，且30C ∠=?，BD BC =∴． 又在ABD △Rt 中，30A ∠=?，
12BD AB =∴，1
2BC AB =∴，
1
3
BC AC =∴．
6. （1）证明：∵∠BED =∠BAD ，∠C =∠BED
∴∠BAD =∠C ∵OC ⊥AD 于点F
∴∠BAD +∠AOC =90o ∴∠C +∠AOC =90o ∴∠OAC =90o ∴OA ⊥AC
∴AC 是⊙O 的切线. （2）∵OC ⊥AD 于点F ，∴AF =
2
1
AD =8
在Rt △OAF 中，OF=22AF OA -=6 ∵∠AOF =∠AOC ，∠OAF =∠C ∴△OAF ∽△OCA ∴
OA
OF
OC OA = 即 OC =3
50
61002==OF OA 在Rt △OAC 中，AC =3
40
2
2
=
-OA
OC ．
7. 证：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° ∵MP 为⊙O 的切线，∴∠PMO ＝90° ∵MP ∥AC ，∴∠P ＝∠CAB ∴∠MOP ＝∠B 从而，MO ∥BC ．
8. 证明：连接CO
OD AC COD ACO CAO DOB ∴∠=∠∠=∠∥．，
ACO CAO COD DOB ∠=∠∴∠=∠
又OD OD OC OB ==，． COD BOD ∴△≌△
90OCD OBD ∴∠=∠=°
OC CD ∴⊥，即CD 是O ⊙的切线
9. （1）证明：连结OC ， 30AC CD D =∠=，°， 30A D ∴∠=∠=° OA OC =，
230A ∴∠=∠=°， 160∴∠=°， 90OCD ∴∠=°．
CD ∴是O ⊙的切线． （2）160∠=°，
BC ∴的长=
π60π3
π180180
n R ??==． 答：BC 的长为π
10. 证明：（1）连结OD ．
由O 、E 分别是BC 、AC 中点得OE ∥AB ． ∴∠1=∠2，∠B =∠3，又OB=OD ．
而OD=OC ，OE=OE ∴△OCE ≌△ODE ． ∴∠OCE=∠ODE ．
又∠C=90°，故∠ODE =90°． ∴DE 是⊙O 的切线． （2）在Rt △ODE 中，由3
2
OD =
，DE =2 得5
2
OE =
又∵O 、E 分别是CB 、CA 的中点
∴AB =2·5
252
OE =?=
∴所求AB 的长是5cm ．
11. 解:(1)DE 与⊙O 相切． 证明：连结OD ．
∵OB =OD ∴∠B =∠1∵AB =AC ∴∠B =∠C ∴∠C =∠1∴OD ∥AC (同位角相等，两直线平行) ∵DE ⊥AC ∴∠DEC =90°∴∠ODE =∠DEC =90°(两直线平行，内错角相等)∴OD ⊥DE ∵OD 为⊙O 半径∴DE 是⊙O 的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）
（2）∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB =90° ∴在Rt △BDA 中，∠ADB =90°∴BD =4
∵AB =AC ∴BD =CD =4
∵DE ⊥AC ∴S △ADC =AD CD ?21 S △ADC =DE AC ?2
1
∴
AD CD ?21=DE AC ?2
1
∴DE ?=?534 ∴DE =5
12
12. 解：（1）证明：过点A 作AE BC ⊥，交BC 于点E ． AB AC =，AE ∴平分BC ． ∴点O 在AE 上． 又AP BC ∥， AE AP ∴⊥．
AP ∴为O ⊙的切线． （2）
1
42
BE BC =
=， 3OE ∴=．
又
AOP BOE ∠=∠， OBE OPA ∴△∽△． BE OE AP OA ∴=． 即435
AP =． B
203
AP ∴=
．
13. （1）证明： 连结OD
∵ P A 为⊙O 切线 ∴ ∠OAD = 90°
∵ OA=OB ，DA=DB ，DO=DO ， ∴ΔOAD ≌ΔOBD ∴ ∠OBD =∠OAD = 90°， ∴P A 为⊙O 的切线 （2）解：在RtΔOAP 中， ∵ PB =OB =OA ∴ ∠OP A =30° ∴ ∠POA =60°=2∠C ， ∴PD =2BD =2DA =2 ∴ ∠OP A =∠C =30° ∴ AC =AP =3
14. 证明：（1）连接OD OE BD 、、．
AB 是O ⊙的直径，90CDB ADB ∴∠=∠=°， E 点是BC 的中点，DE CE BE ∴==． OD OB OE OE ODE OBE ==∴，，△≌△． 90ODE OBE ∴∠=∠=∴°，直线DE 是O ⊙的切线． （2）作OH AC ⊥于点H ，
由（1）知，BD AC ⊥，EC EB =．
OA OB OE AC =∴，∥，且1
2
OE AC =
． CDF OEF ∴∠=∠，DCF EOF ∠=∠．
CF OF =，DCF EOF ∴△≌△，DC OE AD ∴==． 45BA BC A ∴=∴∠=，°． OH AD OH AH DH ∴==⊥，．
1
3tan 3OH CH OH ACO CH ∴=∴∠==，．
15. 解：（1）证明：连接OB
OA OB OAB OBA =∴∠=∠，． PA PB PAB PBA =∴∠=∠，．
OAB PAB OBA PBA ∴∠+∠=∠+∠．
即PBO ∠．
又PA 是O ⊙的切线，
9090P A O P B O ∴∠=∴∠=°，°， OB PB ∴⊥．
又OB 是O ⊙的半径，
PB ∴是O ⊙的切线．
说明：还可连接OB 、OP ，利用OAP OBP △≌△来证明OB PB ⊥．
（2）解：连接OP ，交AB 于点D ．
PA PB =∴，
点P 在线段AB 的垂直平分线上． OA OB =∴，
点O 在线段AB 的垂直平分线上． OP ∴垂直平分线段AB ． 90PAO PDA ∴∠=∠=°
又APO DPA APO DPA ∠=∠∴，△∽△．
C
E
B
A
O
F D H （图）
P
2A P P O
A P P O D P D P P A
∴
=∴=，·． ()211
22
OD BC PO PO OD AP ==∴-=又，．
即22
12
PO PO -=，解得2PO =．
在Rt APO △中，1OA ==，
即O ⊙的半径为1．
16. 解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，
∴ 90BAP ∠=?.
在Rt △PAB 中，2AB =，30P ∠=?， ∴ 2
224BP AB
==?=.
由勾股定理，得AP ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)如图，连接OC 、AC ，
∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90BCA ∠=?，有90ACP ∠=?. 在Rt △APC 中，D 为AP 的中点， ∴ 1
2
CD AP AD =
=. ∴ DAC DCA ∠=∠. 又 ∵OC OA =， ∴OAC OCA ∠=∠.
∵ 90OAC DAC PAB ∠+∠=∠=?， ∴ 90OCA DCA OCD ∠+∠=∠=?. 即 OC CD ⊥.
∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
17. （1）证明：∵ OD OC =，90DOC ∠=?，
∴ 45ODC OCD ∠=∠=?． ∵ 290DOC ACD ∠=∠=?， ∴ 45ACD ∠=?．
∴ 90ACD OCD OCA ∠+∠=∠=?． ∵ 点C 在⊙O 上，
∴ 直线AC 是⊙O 的切线．
2分
（2）解：∵
OD =，90DOC ∠=?，
可求 CD =．
∵ 75ACB ∠=?，45ACD ∠=?， ∴ 30BCD ∠=?
． 作DE BC ⊥于点E ． ∴ 90DEC ∠=?．
∴ sin30DE DC =??= ∵ 45B ∠=?，
A
D
18. 证明：（1）连接OD .
1分
D 是劣弧AB 的中点，120AOB ∠=°
60AOD DOB ∴∠=∠=° 2分 又∵OA=OD ，OD=OB
∴△AOD 和△DOB 都是等边三角形 3分
∴AD=AO=OB=BD ∴四边形AOBD 是菱形 4分
（2）连接AC.
∵BP =3OB ，OA=OC=OB ∴PC=OC=OA
5分
12060AOB AOC ∠=∴∠=°°OAC ∴△为等边三角形
∴PC=AC=OC 6分
∴∠CAP =∠CP A
又∠ACO =∠CP A +∠CAP 30CAP ∴∠=°
90PAO OAC CAP ∴∠=∠+∠=° 7分 又OA 是半径
AP ∴是O ⊙的切线
8分
19. （1）证明：连结OC . ………………1分
∵ CD AC =，120ACD ?
∠=，
∴ 30A D ?
∠=∠=. ………………2分 ∵ OC OA =,
∴ 230A ?
∠=∠=. ………………3分
∴ 290OCD ACD ?
∠=∠-∠=. …………………………………………………4分 ∴ CD 是O ⊙的切线. ……………………………………………………………5分 （2）解:∵∠A=30o
， ∴ 1260A ?
∠=∠=. ……………………………6分
∴ 3
23602602ππ=?=OBC
S 扇形. …………………………………………………7分
在Rt △OCD 中, ∵
tan 60CD
OC ?=, ∴ 32=CD . …………………………8分 ∴ 323222
1
21=??=?=?CD OC S OCD Rt . …………………………9分
∴ 图中阴影部分的面积为-323
2π
. ………………………………………10分
20. （1）证法一、
连接OD ，则OD =OA ………………………（1分） ∴∠ADO = ∠A =45° ∴∠AOD =180°-45°-45°=90° ∵O 为AB 中点，D 为AC 中点
∴OD ∥BC ∴∠ABC =∠AOD =90°
∴直径AB ⊥BC
∴BC 是⊙O 的切线 ……………………………（5分） 证法二、
连接BD ……………………………（1分） ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°
又∵AD =DC ，∴AB =CB ∴∠ACD =∠CAB =45° ∴∠ABC =180°-∠ACB -∠CAB =90° 又∵AB 为AB 是⊙O 的直径
∴BC 是⊙O 的切线 …………………………… （5分） （2）解：在Rt △ABC 中，BC =AB ·tan ∠A =2×tan45°=2
在Rt △OBC 中，∴OC =22BC OB +=2221+=5 ……………（7分） ∵AB ⊥EF ∴∠EGO =90° ∴∠EGO =∠ABC 又∠EOG =∠COB
∴△OEG ∽△OCB …………………………（8分）
∴BC EG =OC
OE ∴
2EG =5
1
EG =
5
25
∵直径AB ⊥EF ∴EF =2EG =5
45 ………………………… （10分）
21. （1）证明：连接OE ，------------------------------1分
∵AB =AC 且D 是BC 中点， ∴AD ⊥B C ．
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE =∠DAE ．------------------------------3
∵OA =OE ， ∴∠OAE =∠OEA ． ∴∠OEA
=∠DAE ． ∴OE ∥AD ． ∴OE ⊥BC ．
∴BC 是⊙O 的切线．---------------------------6分 （2）∵AB =AC ，∠BAC =120°，
∴∠B =∠C =30°．----------------------------7分 ∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ∴∠EFG =30°．------------------------------10分
22. （1）解：设BOC n ∠=?， 据弧长公式，得
π6
2π180
n ?=， 60n =?. ································································································································· 2分
据圆周角定理，得1
302
A BOC ∠=∠=?. ··········································································· 4分
（2）证明：连接BC ，
60OB OC BOC =∠=?，，
BOC ∴△是等边三角形. ······································································································· 6分 60OBC OCB OC BC OB ∴∠=∠=?==，. OC CD =， BC CD ∴=.
1
30CBD D OCB ∴∠=∠=∠=?. ····················································································· 8分
D
603090OBD OBC CBD ∴∠=∠+∠=?+?=?. AB BD ∴⊥.
DB ∴是O ⊙的切线. ············································································································ 10分
23. （1）解法一：∵∠A ＝30，∴∠COB ＝60． ………………2分 又OC ＝OB ，
∴△OCB 是等边三角形．
………………4分 解法二：∵AB 是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB ＝90． 又∵∠A ＝30， ∴∠ABC ＝60．
………………2分 又OC ＝OB ， ∴△OCB 是等边三角形． ………………4分 （2）证明：由（1）知：BC ＝OB ，∠OCB ＝∠OBC ＝60．
又∵BD ＝OB ，∴BC ＝BD ．
………………6分
∴∠BCD ＝∠BDC ＝1
2
∠OBC ＝30． ∴∠OCD ＝∠OCB ＋∠BCD ＝90， 故DC 是⊙Ｏ的切线．
………………8分
24. 证明：（1）
CB BE =，
12AC AE AC AE ∴∠=∠==，，，
2分 AB CE ∴⊥． 3分
CE BD AB BD ∴⊥∥，． 4分 BD ∴是O ⊙的切线．
5分
（2）连接CB ．
AB 是O ⊙的直径，90ACB ∴∠=°． 6分 90ABD ACB ABD ∠=∴∠=∠°，． 7分 12ACB ABD ∠=∠∴，△∽△．
8分 2AC AB
AB AD AC AB AD
∴
=∴=，·． 9分
（证法二，连接BE ，证明略）
D
B
(完整版)证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
“切线的判定与性质”教学设计及反思
“切线的判定”教学设计 教材分析： “切线的判定”是人教版九年义务教育24章第二节的内容，是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的。切线的判定定理、性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础。学好它，对今后数学、物理等学科的学习会有很大的帮助。 针对义务教材特点和我所教学生的实际水平，本着因材施教的教学原则，本节课在重点处理完本课内容切线的判定定理和例1后，我引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的两种类型，以及常用的两种辅助线作法。 设计理念： 为将新课程标准真正落实到本课的教学中，我改变了“复习引入—讲授新知—巩固新知—课堂小结—布置作业”这种传统的教学模式。对本课的教学内容进行开放性设计，注重引导学生在小组合作学习中探究和体验，落实在“做中学”。 教学目标： 1、通过学生自己探究（猜想、类比、演绎）过程，让学生发现切线的判定定理，并能说明方法的正确性。 2、在定理的发现过程中，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究的方法。 3、通过这节内容的教学，使学生获得猜想的认识过程以及“添加辅助线”的解决问题的方法。 4、培养学生动手操作的能力，通过直观教具的演示好指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的主动性和积极性。 教学重点：发现并证明切线的判定定理，认识切线在实际生活中的应用。 教学难点： 体验圆的切线证明问题中辅助线的添加方法。 教学准备： 1、教师课前制作的多媒体课件。 2、教师自制的课堂演示教具。 教学过程 一、问题的提出：（多媒体显示问题） 1.直线与圆有哪三种位置关系？判断的标准是什么？ 2.什么叫圆的切线？怎样判定一条直线是不是圆的切线？（学生先观察、猜想，在让学生和教师一道用自制教具进行演示） 通过以上演示探究，我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。为此，我们有必要学习切线的判定定理。
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
《切线性质与判定》练习题
《切线性质与判定》练习题 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（） A．80° B．60° C．40° D．20° 2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（） A．20° B．30° C．35° D．40° 第1题图第2题图第3题图 3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50° 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（） A．80° B．50°或130° C．100° D．40° 第4题图第5题图第6题图 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（） A．（5，3） B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5） 6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（） A．8 B．16 C．16π D．8π 8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（） A．50° B．60° C．70° D．75° 9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（） A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=A T C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠A TC=∠B 第7题图第8题图第9题图 11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（） ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．
(完整版)切线的判定与性质、切线长定理练习题
切线的判定与性质、切线长定理 1.如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12㎝，∠B ＝300，则∠ECB＝，CD＝。 2.如图，CA为⊙O的切线，切点为A。点B在⊙O上，如果∠CAB＝550，那么∠AOB 等于。 3.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是⌒ AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，（1）若PA=12，则△PDE的周长为____； （2）若△PDE的周长为12，则PA长为；（3）若∠P=40°，则∠DOE=____度。 (1题图) (2题图) (3题图) 4.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与 圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于该直径的直线的是切线。 其中正确命题有（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 5.如图，AB、AC与⊙O相切与B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一动点，则 ∠BPC的度数是。 6.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7.如图，⊙O分别与△ABC的边BC、CA、AB相切于D、E、F，∠A＝800，则∠EDF ＝。 （5题图）（6题图）（7题图） 8.点O是△ABC的内心，∠BAO＝200，∠AOC＝1300，则∠ACB＝。 9.已知：Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，BC＝3，则△ABC内切圆的半径 为。
10.若直角三角形斜边长为10㎝，其内切圆半径为2㎝，则它的周长为。 11.如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O 相交于E，若AB＝5，EA＝1，则⊙O的半 径为。 12.如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC＝1300，则∠A的度数是。 13.如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，若∠FOD＝∠EOD＝1350，则 △ABC是（） A.等腰三角形； B.等边三角形； C.直角三角形； D. 等腰直角三角形； E F D O C A B （11题图）（12题图）（13题图） 14.如果两圆的半径分别为6cm和4cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15.若已知Rt△ABC中，斜边为26cm，内切圆的半径为4cm，那么它的两条直角边的长分 别为（）cm A、7、27 B、8、26 C、16、18 D、24、104 16.已知两圆的半径分别是方程0 2 3 2= + -x x的两根，圆心距为3，则两圆的位置关系是__________． 17.两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则两圆的圆心距等于（）cm。 A. 7 4+ B. 7 4- C. 7 4+或7 4- D. 41 18.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，?从这点到圆的最短距离为 （）． A．3 9B．()1 3 9-C．()1 5 9-D．9 19.如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC 是⊙O的切线。
直线与圆知识点及经典例题
圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。 说明： 1 、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程 将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题：形如的方程的曲线是不是圆 将方程左边配方得： (1)当〉0时，方程(1 )与标准方程比较，方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当〉0时，方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点： ( 1 )和的系数相同,不等于零； ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离；(2) 相切--- 求切线；( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d = r时，直线与圆相切；当d
《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思
《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思 教学目标 1、记住圆的切线的判定定理，并能判定一条直线是否是圆的切线； 2、记住切线的性质定理； 3、会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。 重点： 切线的判定定理和切线判定的方法 难点： 切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。 学习流程 一、揭示目标 二、自学指导 1、复习下列内容 (1)、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种? (2)、直线与圆相切有哪几种判断方法？ (3)、思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如和过点A作⊙o的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作OA的垂线 2、知识导入： ______ 如图：直线BC和⊙O的位置关系是____，直线BC叫⊙O的_____，公共点Ａ叫 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？ 3、思考探索； (1)、直线l垂直于半径OA，直线l是⊙O的切线吗？ (2)、直线l经过半径OA的外端A，直线l是⊙O的切线吗？
小结： 判定一条直线是圆的切线的三种方法 （1)、利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。 (２)、利用定理：与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 (３)、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4、例题精析： 例1、（教材103页例1）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线。 o A B C 练习1： AB是⊙O的直径,TB=AB, ∠TAB=45°直线BT是⊙O的切线吗？为什么？ 练习2、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线 例2.如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC是⊙O 的切线。 练习3、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为83厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线ＡＢ相切。
圆证明切线的练习题
圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.
证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
切线的判定和性质教学设计 人教版〔优秀篇〕
《切线的判定和性质》教案 第16课时：切线的判定和性质（二） 教学目标： 1、使学生理解切线的性质定理及推论； 2、使学生初步运用切线的性质证明问题． 3、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力 教学重点： 切线的性质定理和推论1、推论2． 教学难点： 本节中要利用“反证法”来证明切线的性质定理．学生对这种间接证明法运用起来不太熟练．因此在教学中教师可指导学生复习第一册几何中“垂线段最短”．指出反证法在本节中的三大步骤是： （1）假设切线AT不垂直于过切点的半径OA， （2）同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则由直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾． （3）承认所要的结论AT⊥OA． 教学中的疑点是性质定理的推论1和2．教学中要采用直观演示，让学生直接从观察中得到推论内容． 教学过程： 一、新课引入： 我们已经学习过用不同的方法来判定一条直线是圆的切线．本课我们来学习圆的切线会产生怎样的性质． 二、新课讲解： 实际上我们学到的圆的切线的定义，本身就产生了切线的一种性质．那就是圆的切线和圆只有一个公共点．除此之外，圆的切线还有哪些性质呢？请同学们动手在练习本上画一画想一想． 学生动手画，教师巡视全班，若只有少数几个学生产生结论，教师可适当点拨学生围绕切线、切点、过切点的半径、半径所在直线，广泛展开讨论． 最终教师指导学生完成切线的性质定理和推论1和2． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 分清定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．结合“过已知点只有一条直线与已知直线垂直”，通过演示、观察得到三个要点中只要发生两个，定能产生第三个．从而产生切线性质定理的推论． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心． 在总结两个推论时，学生只要把意思表达对了，不一定要一字不差，然后由教师和学生一起得到结论． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 圆的切线的性质定理是强调切线所产生的位置关系．因此我们在解决圆的切线的问题时，常常需要作出过切点的半径．这作为辅助线的规律之一教师在例题中就要强化．而推论1是对切点的认定；推论2是对圆的直径的认定．它们各自的作用务必使同学们清楚．
圆的切线性质和判定教学设计
切线的判定和性质教学设计 【教学目标】 一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理,并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线． 二、过程与方法:以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据,探究切线的判定 定理和性质定理,领会知识的延续性,层次性。 三、情感态度与价值观:让学生感受到实际生活中存在的相切关系,有利于学生把实际的问 题抽象成数学模型。 【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理,并运用. 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】 一、导语:通过上节课的学习,我们知道，直线和圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 而相切最特殊,这节课我们专门来研究切线。 师生行为:教师联系近期所学知识,提出问题,引起学生思考,为探究本节课定理作铺垫。 二、探究新知 (一）切线的判定定理 1.推导定理:根据“直线l和⊙O相切d=r”,如图所示，因为d=r直线l和⊙O相切，这 里的ｄ是圆心O到直线l的距离，即垂直,并由d=r就可得到l经过半径ｒ的外端，即半径ＯA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 分析: 1、垂直于一条半径的直线有几条? 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线? 3、去掉定理中的“经过半径的外端"会怎样？去掉“垂直于半径”呢？ 师生行为:学生画一个圆,半径ＯA,过半径外端点A的切线l,然后将“d＝r直线ｌ和⊙O 相切”尝试改写为: 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 设计意图:过学生亲自动手画图，进行探究,得出结论。 思考1：根据上面的判定定理,要证明一条直线是⊙O的切线,需要满足什么条件? 总结:①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线. 思考2:现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线? ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ③切线的判定定理. 师生行为:教师引导学生汇总切线的几种判定方法 思考3：已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 2. 定理应用
切线的判定和性质
切线的判定和性质（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步使用它解决相关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的水平； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系? ２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义能够判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这
时我们来观察直线l与⊙O的位置． 发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理． （二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可． 图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例能够看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． （三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线．
关于圆的切线的练习题经典
圆的切线 1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离 用数量关系表示是：如果O 0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,那么: (1)直线I和O O相交1 d
例4、已知：如图所示，AB为半圆0的直径，直线 MN于点E, BE交半圆于点F, AD=3cm BE=7cm (1 )求0 0的半径； (2)求线段DE的长. 例5、如图所示，AB为O 0的直径，BC CD为O 0的切线, 求证：AD// 0C 例6、已知如图所示，在梯形ABCD中, AD// BC, / D=90°, AD+ BC=AB以AB为直径作O 0, 求证：O 0和CD相切. 例7如图，AB是半圆0的直径，AD为弦， (1)求证：BC是半圆0的切线； (2)若0C // AD , 0C 交BD 于E, BD=6 , 例8、如图，AB为O 0的直径，弦CD丄AB于点M，过点B作BE // CD，交AC?的延长线于点E,连结BC. (1) 求证：BE为O 0的切线； 1 (2) 如果CD=6 , tan/ BCD= ，求O 0 的直径. 2 例9如图，AB为O 0的直径，BC切O 0于B, AC交O 0于P, CE=BE , E在BC上.求证：PE是O 0的切线. B E
切线的判定和性质切线的判定和性质(一)
切线的判定和性质 切线的判定和性质（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置． 发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理． （二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可． 图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． （三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC 的外端，只需证明OC⊥OB。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，” ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线． 练习1判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线．
《切线的判定与性质》专题练习题含答案
人教版九年级数学上册第二十四章圆24．2点和圆、直线和圆的位置关系 切线的判定与性质专题练习题 1．下列说法中，正确的是() A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 2．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA 与⊙O的位置关系是_________． 3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线． 5.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠
AOD的度数为() A．70°B．35°C．20°D．40° 6．如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于() A．20°B．25°C．30°D．40° 7．如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为() A．8B．6C．5D．4 8．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.
切线的判定与性质定理的教案
课题：圆的切线的判定与性质 主稿：饶爱红审核：备课组上课日期：______周课时数：_____ 总课时数：_____ 知识与技能：1、理解圆的切线的判定与性质， 2、会利用圆的切线的判定与性质解题， 3、了解用反证法证明切线的性质定理的过程。 过程与方法：学生预习、小组讨论、合作探究、共同讲解、综合应用 情感态度与价值观：培养学生的自主学习的能力和团结协作的精神。 教学重点：利用圆的切线的判定与性质解题 教学过程备注本期导学 1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么？ 3、如何应用它们解题？ 知识回顾 1.直线和圆有哪些位置关系？ 。。。。相切、相离、相交 2.什么叫相切？ 。。。。直线与圆只有一个交点 3.我们学习过哪些切线的判断方法？ 。。。。1、与圆只有一个交点，2、d＝r 新知探究 1、设问 切线的判定还有什么方法吗？ 切线还有什么性质吗？ 2、引入思考 提问：如图，直线Ｌ经过点Ａ，并且垂直半径OA,，问L与圆O是什么关系？ OA既是半径，又是点O到直线L的距离,所以d＝r ，由前面所学的可知，直线L与圆是相切 的关系。 给出切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何符号表达： ∵OA是半径，OA⊥l于A ∴l是⊙O的切线。 3、例题讲解 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连结OC(如图)。 ∵OA＝OB,CA＝CB, ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴AB⊥OC。 ∵OC是⊙O的半径 ∴AB是⊙O的切线。 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴OE＝OD ∵OD是⊙O的半径 ∴AC是⊙O的切线 4、归纳总结 (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂 线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径 5、练习 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线 6、用反证法推出切线的性质定理，并利用它练习课后习题。 课堂小结 学生小结，说出本节课的知识点和重点。 练习与作业： 练习册和课后习题 教学反思：
切线的性质和判断定理
1 圆的切线判定和性质（复习教案） 华容东山中学 刘公文 学习目标： 1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。 2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法 复习指导 1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？ 2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？ 3、通过作图2，你是怎样得出圆的切线判定和性质的？ （二）过程与方法： 1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力； 2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。 （三）情感态度与价值观： 形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。 教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用． 教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程． 教学方法：先学后教，当堂训练 教学过程： 一、切线的判定及性质： 1、作图1：过⊙O 外一点P 作直线， (设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想) 作图2：若点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？ （请学生上黑板按要求作图） （设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解，自然过渡到圆的切线性质） 归纳小结：判断直线与圆相切的方法有哪些？圆的切线的性质是什么？ （设计意图：概括归纳切线的判定和性质，形成切线的判定与性质知 识体系） 2、课堂检测： (1)已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系为 。 （2）PA 切⊙O 于点A,PA=4,OP=5,则⊙O 的半径是____ （设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时 在性质应用时体现辅助线做法指导：见切线，连半径，得垂直，同时体会转化的数学思想） （3）已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ． ①求证：直线AB 是⊙O 的切线． ②若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 的长。 （设计意图：本题是对圆的判定及性质的综合应用。从判别方法说， 可以从数量关系证明，也
关于圆的切线的练习题 经典
m e r b e g o 圆的切线 一、1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 用数量关系表示是：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：（1）直线l 和⊙O 相交d
t h 例4、已知：如图所示，AB 为半圆O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，AD⊥MN 于点D ，BE⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD=3cm ，BE=7cm ， （1）求⊙O 的半径；（2）求线段DE 的长. 例5、如图所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点， 求证：AD∥OC，. 例6、已知如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，AD ＋BC=AB ，以AB 为直径作⊙O，求证：⊙O 和CD 相切. 例7如图，AB 是半圆O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A ． （1 ）求证：BC 是半圆O 的切线； （2）若OC ∥ AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长． 例8、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长 线于点E ，连结BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD=6，tan ∠BCD= ，求⊙O 的直径．1 2 例9如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．
切线的判定和性质知识点与对应习题2013
切线的判定和性质知识点与对应习题2013.11 知能点1： 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的识别方法有三种： （1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 （3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 辅助线的作法： 证明一条直线是圆的切线的常用方法有两种： （1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“点已知，连半径，证垂直。”应用的是切线的判定定理。 （2）当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d ）等于半径(r)，记为“点未知，作垂直，证半径”。应用的是切线的识别方法（2）。 知能点2： 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线的作法： 有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。记为“见切线，连半径，得垂直。” 中考考点点击： 切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。 对应习题 一、填空 （1）如图1，PA 是⊙O 切线,切点为A ，PA=2√3，∠APO=30°,则⊙O 半径为°＿＿。 （2）如图2，已知直线AB 是⊙O 切线，A 为切点，∠OBA=52°,则∠AOB=＿. （3）如图3，点A 、B 、D 在⊙O 上，∠A=25°，OD 的延长线交直线BC 于点C,且∠OCB=40°,直线BC 与⊙O 的位置关系为＿＿。 (图1) （图2） （图3） (4)已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系为＿＿。 二、计算题 PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，∠OAB=30°，求∠APB 的度数 P
切线的判定和性质教案
切线的判定和性质教案 切线的判定和性质（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． 教学过程设计 （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系? ２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置． 发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理． （二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． （三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练'''' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，” ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线． 练习1判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． (5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切． 采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由， 练习P106，1、2 目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
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