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2006年考研数学三真题及答案解析

2006年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n

n n n -→∞

+??

???

（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()

e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=

（3）设函数()f u 可微,且()1

f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d _____.z =

（4）设矩阵2112A ??

?-??

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}

max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2

n f x e x X X X -=

-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2

S ，则2

____.ES =

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22

lim

1h f h h

→=，则

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在

n a

∞

=∑收敛，则级数

(A)

n a

∞

=∑收敛 . （B ）

1(1)

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D)

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. [ ]

（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的

通解是

（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.

（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]

（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是

(A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.

(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ]

（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记

110010001P ??

= ? ???

，则

（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1

C PAP -=.

（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T

C PAP =. ［］（14）设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ，且

{}{}1211P X P Y μμ-<>-<

则必有

(A) 12σσ< (B) 12σσ>

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x

π-=

->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞

=；

(Ⅱ) ()0

lim x g x +

→. （16）（本题满分7分）

计算二重积分

d D

x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0a b π<<<时，

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

（18）（本题满分8分）

在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.

(Ⅰ) 求L 的方程；

(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8

时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）

求幂级数()()1

211

121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）

设4维向量组()()()T

1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+

()T

44,4,4,4a α=+，

问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T

121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组

0Ax =的两个解.

(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T

Q AQ =Λ；

（Ⅲ）求A 及6

32A E ?

?- ??

?，其中E 为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分13分）

设随机变量X 的概率密度为

()1

,1021

,024

0,X x f x x ?-<

　其他，

令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；

(Ⅲ)1,42F ??

???

. （23）（本题满分13分）

设总体X 的概率密度为

(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<

=-≤

其他,

其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.

（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计

2006年考研数学（三）真题解析

二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n

n n n -→∞

+??

???

【分析】将其对数恒等化ln e

N =求解.

【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e

n n n n n n n n n n -→∞-++????

- ? ???

→∞

+??

== ???

，

而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+??= ???

，所以1lim(1)ln 0n

n n n →∞

+??-= ???

. 故 ()101lim e 1n

n n n -→∞

+??

???

（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()

e f x f x '=，()21f =，则()3

22e .f '''=

【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()

f x f x '=，两边对x 求导得

()()

()

()e

f x f x f x f x '''==，

两边再对x 求导得 ()

()

23()2e

()2e

f x f x f x f x ''''==，又()21f =，

故 ()

323(2)2e 2e f f '''==.

（3）设函数()f u 可微,且()1

f '=

,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d 4d 2d .z x y =-

【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为

22(1,2)

(1,2)

(4)84z f x y x

x ?'=-?=?，

()

22(1,2)

(1,2)

(4)22z f x y y y

?'=-?-=-?，

所以 ()()()

1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y x

????=+

=-?

?????

. 方法二：对()2

4z f x y

=-微分得

()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y

'=-=-.

（4）设矩阵2112A ??

= ?-??

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .

【分析】将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行

计算即可.

【详解】由题设，有

()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11

211

A E -=

=-，所以2B =.

（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则

{}{}max ,1P X Y ≤=

. 【分析】利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】由题设知，X Y 与具有相同的概率密度

()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他

则 {}{}

{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤

{}()

011

1d 39

P X x ??=≤== ????.

【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：

则 {}{}

{}1max ,11,19

S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2

n f x e x X X X -=

-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2

S ，则2

2.ES =

【分析】利用样本方差的性质2

ES DX =即可. 【详解】因为

()d e d 02

x EX xf x x x +∞

+∞

--∞

-∞

===?

， 22

220

()d e d e d e 2e d 2

x x

x x EX x f x x x x x x x x +∞

+∞+∞+∞

---+∞--∞

-∞

====-+?

2e d 2e 2x x x

x x +∞

-+∞

--+∞=-+=-=?，

所以 ()2

202DX EX EX =-=-=，又因2

S 是DX 的无偏估计量，

所以 2

2ES DX ==.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

[ Ａ ]

【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.

【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线

()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ?>时，

00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ).

（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22

lim

1h f h h →=，则

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在

lim

1h f h h

→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22

lim

1h f h h

→=知，()20

lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则

()2

(0)lim ()lim 0x h f f x f h

→→===.

令2

t h =，则()()22

(0)

1lim

lim (0)h t f h f t f f h t

+→→-'===.

所以(0)f +'存在，故本题选（C ）. （9）若级数

n a

∞

=∑收敛，则级数

(A)

n a

∞

=∑收敛 . （B ）

(1)

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D)

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由

n a

∞

=∑收敛知

n n a

∞

+=∑收敛，所以级数

2n n n a a ∞

+=+∑

收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法：取1

(1)n

n a n

=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；

取(1)

n a =-.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的

通解是

（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.

（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.

【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是

[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为

[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).

【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：

*y y Y =+.

其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.

（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]

【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.

【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则

000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??'=??，即00000

00000(,)(,)0

(,)(,)0

x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .

消去0λ，得

00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ??''''-=, 整理得 000000001

(,)(,)(,)(,)

x y x y f x y f x y x y x y ??'''=

'.（因为(,)0y x y ?'≠），

若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.

（12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是

(A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关.

(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ A ] 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα=L ，则12(,,,)s A A A AB ααα=L .

所以，若向量组12,,,s αααL 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A αααL 也线性相关，故应选(Ａ).

（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记

110010001P ?? ?

= ? ???

，则

（Ａ）1

C P AP -=. （Ｂ）1

C PAP -=.

（Ｃ）T

C P AP =. （Ｄ）T

C PAP =. ［Ｂ］

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得

110110*********,010010010001001001001B A C B A --???????? ? ? ? ?

=== ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，

而 1110010001P --?? ?= ? ???

，则有1

C PAP -=.故应选（Ｂ）.

（14）设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ，且

{}{}

1211P X P Y μμ-<>-< 则必有

(A) 12σσ< (B) 12σσ>

【详解】由题设可得

12112

211X Y P P μμσσσσ?-??-?<>

则 12112121σσ????

Φ->Φ-

? ?

????

，即1211σσ????Φ>Φ ? ?????. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则

σσ>

，即12σσ<.

故选(A).

三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x

π-=

->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞

=；

(Ⅱ) ()0

lim x g x +

→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含

,0∞

?∞∞

型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.

【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?

?- ?

?==-+ ?

???

sin 11111lim 1

arctan arctan y x y

y x x x x y ππ→∞?

? ? ?-

?-=-=-

? ?+ ? ? ??

. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x

ππ+++→→→--+??

=-= ??? （通分） 2

22220001

12arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x x

ππππ+++

→→→-+-+-+++====

（16）（本题满分7分）计算二重积分

2d d D

y xy x y -??

，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.

【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.

【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x

后y ”积分较容易，所以

d d d d y

y xy x y y y xy x -=-??

()3

112

002122

d d 339

y xy y y y y

=--=

=?? （17）（本题满分10分）

证明：当0a b π<<<时，

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.

【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,sin 0x x x π<<>时），

故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是

()()0f b f a >=，即

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

（18）（本题满分8分）

在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.

(Ⅰ) 求L 的方程；

(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为

时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定

参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-

=，这是一阶线性微分方程，其中1

(),()P x Q x ax x

=-=，代入通解公式得 ()11d d 2

e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -????=+=+=+ ???

?，

又(1)0f =，所以C a =-.

故曲线L 的方程为 2

y ax ax =-(0)x ≠.

(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以

()2

0d D ax ax ax x ??=--?

?? ()22

0482d 33

a x x x a =-==?，

故2a =.

（19）（本题满分10分）

求幂级数()()1

211

121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x .

【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂

级数展开式计算和函数.

【详解】记121

(1)()(21)

n n n x u x n n -+-=-，则

21121

(1)()(1)(21)

lim lim (1)()(21)

n n n n n n n n

x u x n n x

x u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当2

1,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；

当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),

(21)(21)

n n

n n n n -----，均收敛，故所给幂级数的收敛域为[]1,1-

在()1,1-内，()

12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n n

n n x x s x x xs x n n n n -+-∞

∞

==--===--∑∑，

而 121122112

(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞

∞

--==-'''==-=-+∑∑，所以 1112

()(0)()d d arctan 1x

s x s s t t t x t ''''-===+??

，又1(0)0s '=，

于是 1()arctan s x x '=.同理

1110

()(0)()d arctan d x

s x s s t t t t '-=

()2

0201arctan d arctan ln 112

t t t t x x x t =-=-++?

，又 1(0)0s =，所以 ()2

11()arctan ln 12

s x x x x =-+.

故 ()

22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.

由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()

22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即

()

22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-. （20）（本题满分13分）

设4维向量组()()()T

1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+

()T

44,4,4,4a α=+，

问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.

【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则

312341234(10)12341

a A a a a a

++=

=+++.

于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.

当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===；当10a =-时，

1α 2α 3α 4α

9234183412741236A -?? ?-

?= ?- ?-??

，

由于此时A 有三阶非零行列式9

8340001

--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T

121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组

0Ax =的两个解.

(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T

Q AQ =Λ；

（Ⅲ）求A 及6

32A E ?

?- ??

?，其中E 为3阶单位矩阵.

【分析】由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；

由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的

线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由T

Q AQ =Λ可得到A 和6

32A E ?

?- ??

【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以

1311331131A ??????

? ? ?

== ? ? ? ? ? ???????

，

则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T

(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应

3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.

又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=?=?，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中

12,k k 为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，

()()21221111012,3120,61112αββαβββ??-

-???? ?- ? ?=-=--= ? ? ? ? ? ?

-???? ?

再将12,,αββ单位化，得

1212312,,0ββαηηηαββ??

===== ? ? ? ?

? ? ??? ?

，令 []123,,Q ηηη=，则1

T Q

Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得

300Q AQ ??

??==Λ??

????. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T

300Q AQ ??

??==Λ??

????，所以

3111

0011101110

A Q Q ?? ?

?????? ? ?=Λ==? ? ? ?

?? ????? ? ??

?. 6

T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ????????-=-=- ? ? ??????

????? 66

6633

33302

2203322E ??????

?? ? ??? ??? ?

???? ? ?

???? ??? ? ?=-== ? ? ??? ? ???

?? ??? ? ????? ??? ? ??? ????

????

，

则666

T 333222A E Q EQ E ??????

-== ? ? ???????

（22）（本题满分13分）

设随机变量X 的概率密度为

()1

,1021

,024

0,X x f x x ?-<

　其他，

令()2

,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.

(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ) Cov(,)X Y ；

(Ⅲ) 1,42F ??

???

. 【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.

【详解】（I ）设Y 的分布函数为()Y F y ，即2

()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则

1) 当0y <时，()0Y F y =；

2) 当01y ≤<时，

(

()()Y F y P X y P X =<=<<

0d 4x x =

+=?

3) 当14y ≤<

时，(

()()1Y F y P X y P X =<=-<<

10111

d d 242

x x -=+=?.

4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以

1()()40,Y Y y f y F y y <

其他.

（II ） 22232

Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，

而 0

2101d d 244

x x EX x x -=+=??，22022

105d d 246x x EX x x -=+=??， 33

107d d 248

x x EX x x -=+=??，所以 7152

Cov(,)8463

X Y =-?=. (Ⅲ) 1,42F ??-

???211,4,422P X Y P X X ????

=≤-≤=≤-≤ ? ?????

11,22222P X X P X ???

?=≤--≤≤=-≤≤- ? ????

2111d 24

x -

-==?

. （23）（本题满分13分）

设总体X 的概率密度为

(),01,

;1,12,0,x f x x θθθ<

=-≤

其他,

其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.

（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计

【分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.

【详解】（Ⅰ）因为()12

(;)d d 1d 2

EX xf x x x x x x θθθθ+∞

-∞

=+-=

??，令 3

2X θ-=，可得θ的矩估计为 32

X θ=-).

（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则

()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=???-?-??-=-L L 1424314444244443个

个

. 两边取对数得

ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，

令d ln()

L N n N

θθθ

=-=

，解得

θ=

)

为θ的最大似然估计.

2006年考研数学三真题与答案

2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)。【答案】【解析】【方法一】记因为且故。【方法二】而为有界变量，则原式。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可导，且则。【答案】。【解析】本题主要考查复合函数求导。由知

综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数 (3)设函数可微，且则在点处的全微分。【答案】【解析】因为 , 所以。综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分 (4)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。【答案】2。【解析】因为，所以。综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—矩阵的线性运算 (5)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。【答案】。【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体的概率密度为为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。【答案】【解析】综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的

大学历年考研真题-2006年全国硕士研究生入学统一考试(数三)试题及答案

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006考研数学三真题及答案解析

2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006考研数二真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 (2) 设函数2 301sin ,0 (),0x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在0x =处连续，则a = (3) 广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? (4) 微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 (5) 设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则 x dy dx == (6) 设2112A ?? = ?- ?? ,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+,则B = . 二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0, f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x >，则( ) (A)0dy y << (B)0y dy << (C)0y dy << (D)0dy y << (8) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0 ()x f t dt ?是( ) (A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数 (C)在0x =间断的奇函数 (D)在0x =间断的偶函数 (9) 设函数()g x 可微，1() (),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( ) (A)ln 31- (B)ln 31-- (C)ln 21-- (D)ln 21- (10) 函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( ) (A)23x y y y xe '''--= (B)23x y y y e '''--= (C)23x y y y xe '''+-= (D)23x y y y e '''+-=

2006数学三考研试题和答案

2006年数学三试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''= （3 微分(1,2d z （4）（5）{P （6）的简（7）0处的(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

（9）若级数 1n n a ∞ =∑收敛，则级数 (A) 1n n a ∞ =∑收敛 . （B ） 1 (1) n n n a ∞ =-∑收敛. (C) 11 n n n a a ∞ +=∑收敛. (D) 1 1 2n n n a a ∞ +=+∑ 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2 列得C ，记110010001P ?? ? = ? ??? ，则

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006考研数学三真题及答案

2006考研数学三真题及答案一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） ()11lim ______. n n n n -→∞+??= ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且 ()() e f x f x '=， ()21 f =，则 ()2____. f '''= （3）设函数()f u 可微,且 ()1 02f '= ,则 ()22 4z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ?? = ? -??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间 []0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤= _______. （6）设总体X 的概率密度为 ()()121,,, ,2x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2019年考研数学三真题及解析

2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121 ,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006年考研数学二真题答案解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 15 y = 4sin 11lim lim 5 5x x x x y x →∞→∞+ ==- （2）设函数2 30 1sin , 0(),0 x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在x =0处连续，则a = 13 2200()1 lim ()lim 33 x x sm x f x x →→== （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? 12 2222220 1 (1)11 11 0(1)2 (1)2(1) 22 xdx d x x x x +∞+∞ +∞ += =-? =+ =+++? ? （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是x y cxe -=)0(≠x （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 x dy dx ==e - 当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=-- 01 (1)1x x y y y y y e y xe e y e xe ==='' +=-=- =-+ (6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= . -1 2 解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得 |B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ?与分别为在点处对应增量与微分,若0x ?>，则[A] （A ）0dy y <

2006年全国考研数学二真题及答案.doc

2006年考研数学二真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）。 (1)曲线的水平渐近线方程为_________ 【答案】。【解析】故曲线的水平渐近线方程为。综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (2)设函数在处连续，则_________ 。【答案】。【解析】. 综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性。 (3)反常积分_________ 【答案】。【解析】

综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分。 (4)微分方程的通解为__________ 【答案】，为任意常数。【解析】即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程。(5)设函数由方程确定，则__________ 【答案】。【解析】等式两边对求导得将代入方程可得。将代入，得. 综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 (6)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，。则___________ 【答案】2。【解析】

因为，所以。综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理二、填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A)(B) (C)(C) 【答案】A。【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】

2006年考研数学一真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题（1）0ln(1) lim 1cos x x x x →+= -. （2）微分方程(1) y x y x -'=的通解是 . （3）设∑是锥面22z x y =+（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑ ++-=?? . （4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . （5）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = 16 . （6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 {}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（A ）0.dx y <

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______. n n n n -→∞ +??= ? ?? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102 f '=,则() 2 24z f x y =-在点(1,2)处的全微分( ) 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ??= ? -?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足 2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0 x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

2006年考研数学三真题及解析

2006年考研数学(三)真题、填空题：1 — 6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上 (2)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f '(x ) = e f (x ), f(2)=1，则f "'(2)= _____________ 1 f(u)可微且「(0)=?,则Z = f (4x 2 -y 2 )在点(1,2)处的全微分dz (4)设矩阵A = '2 1 , E 为2阶单位矩阵，矩阵 B 满足BA=B + 2E ，贝U B = 厂 1 2丿勺 (5)设随机变量X 与丫相互独立，且均服从区间 b,3 ］上的均匀分布，则 p{max (X,Y}兰1 = ________ 1 I (6) 设总体X 的概率密度为f x e*：::x ，川，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，则ES 2 = ___________ . 二、选择题：7— 14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . (7) 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f (x) ? 0, f (x) ? 0 , 为自变量x 在点x 0处的增量，逍与dy 分别为f (x)在点X 。处对应的增量与微分，若 x ?0,则 (8)设函数f x 在x = 0处连续，且lim 1^=1，则 t h 2 (1) lim (3)设函数 ,2 (A) 0 :: dy ： -y . (B) 0 ： y < dy . (C) y ■■■ dy < 0 . (D) dy ：： y ：： 0 (A) f 0 =0且仁0存在 (B) f 0 =1且f_ 0 存在 (C) f 0 =0且f 0存在 (D) f 0 二 1且f 0 存在 []

2006考研数一真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 0ln(1) lim 1cos x x x x →+= -. (2) 微分方程(1) y x y x -'=的通解是 . (3) 设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑ ++-=?? . (4) 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d = . (5) 设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = . (6)设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 {} max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A)0.dx y << (B)0.y dy << (C)0.y dy << (D)0.dy y << (8) 设(,)f x y 为连续函数，则 1 40 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθ? ?等于( ) (A) (,).x f x y dy ?? (B) (,).dx f x y dy ? ? (C) (,).y f x y dx ? ? (D) (,).f x y dx ? ? (9) 若级数 1n n a ∞ =∑收敛，则级数( ) (A) 1 n n a ∞ =∑收敛. (B) 1 (1) n n n a ∞ =-∑收敛.

1989考研数三真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点12 2,π π??+ ???处的切线方程是__ _ . (2) 幂级数 n n ∞ =的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组 1231231 230,0,0 x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=? 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为 ()00sin 0212 ,x ,F x A x, x ,,x , π π ? ? ?? 则A =__________,6P X π? ?<=??? ? . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ . 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()232x x f x ,=+-则当0x →时 ( ) (A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A) ()()f x dx f x '=? (B) ()()df x f x =? (C) ()()d f x dx f x dx =? (D) ()()d f x dx f x =? (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( ) (A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例

2006数学三考研试题和答案

2006年数学三试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1. n n -+??= （()f x ， ()2f （（B （[]0,3{P （为()()121,,, ,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 2. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>， x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0 x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

[ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记 110010001P ?? ?= ? ??? ，则 C =C =（2 2 μ> 三（15）（本题满分7分）设()1sin ,,0,0 1arctan x y y y f x y x y xy x π-=->>+,求 (Ⅰ) ()() lim ,y g x f x y →+∞ =；

2006考研数学二真题及答案解析

2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（A ）0.dy y <

2006考研数三真题及解析

dz 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1-6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1 n n 1 (1) n lim _________ (2) 设函数 f x ( )在x 2的某领域内可导,且 f x e f x , f 2 1 , 则 f 2 ______ (3) 设函数 f (u ) 可微,且 f 0 ,则 z f 4x 2 y 2 在点(1,2)处的全微分 1,2 _____ 2 1 (4) 设矩阵 A , E 为2阶单位矩阵,矩阵 E 满足 BA B 2E ,则 B _________ 1 2 (5) 设随机变量 X 与Y 相互独立,且均服从区间0,3 上的均匀分布,则 P max X Y , 1 _________ (6) 设总体 X 的概率密度为 f x e x x ,x x 1, 2 ,......x n 为总体 x 的简单随机样本,其样本方差 S 2 ,则 E S 2 =__________ 二、选择题：9-14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数 y f x ( ) 具有二阶导数，且 f (x ) 0, f ( )x 0 ， x 为自变量 x 在 x 0 处的增量， y 与dy 分别为 f (x ) 在点 x 0 处对应的增量与微分，若 x 0，则( ) (A)0 dx y . (B)0 y dy . (C) y dy 0. (D) dy y 0.

f h 2 (8)设函数f x 在x0处连续,且lim0 h 2 1,则( ) h (A) f 0 0且f ' 0 存在(B) f 0 1且f ' 0 存在 (C) f 0 0且f ' 0 存在(D) f 0 1且f ' 0 存在 (9)若级数a n 收敛,则级数( ) n1 (A) a n 收敛( B) 1n a n 收敛 n 1 n1 a n a n 1 收敛 (C) a n a n 1 收敛(D) n 1 n 1 2 (10)设非齐次线性微分方程y P x y ( ) Q x( ) 有两个的解y 1 x , y 2 x ,C 为任意常数,则该方程通解是( ) (A)C y 1 x y 2 x (B) y 1 x C y 1 x y 2 x (C)C y 1 x y 2 x (D) y 1 x C y 1 x y 2 x (11)设f x y , 与x y , 均为可微函数,且y x, y0 ,已知x0, y 0 是f x,y在约束条件x, y0 下的一个极值点,下列选项正确的是( ) (A) 若f x x0 , y 0 0,则f y x0 , (B) 若f x x0, y 0 0,则

2005年考研数学三真题与解析

2005年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . （2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则 }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2 3 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+= 221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若 ∑∞ =1 n n a 发散， ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ =-11 2n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 发散 . （B ） ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =-1 1 2n n a 发散. (C) )(1 21 2∑∞ =-+n n n a a 收敛. (D) )(1 212∑∞ =--n n n a a 收敛. [ ] （10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是

2006年考研数学三真题及答案解析

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大学历年考研真题-2006年全国硕士研究生入学统一考试(数三)试题及答案

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