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2差分格式的构造

2差分格式的构造
2差分格式的构造

§2. 差分格式的构造 1.

差分格式

对于描述流体流动的微分方程定解问题,用差分来近似方程及定解条件中的导数,就可以构造出该定解问题的差分格式。

【例】波动方程初边值定解问题

()()()()()()()22

2

22010

, , 0

, , , , 0

,0 , , a b t u u

c

a x

b t t x

u a t g t u b t g t t u x x a x b u x a x b

t ??=ì?抖?=# ??抖???????==>????í???=<

(注)根据特征线理论,边值函数 ()

a g t 和 ()

b g t 依赖于初始条件,不能随便给,否则会与初始条件矛盾,导致问题无解,这在数学上叫做定解条件的相容性。这里假定上面所给的定解条件是相容的。

计算区域的离散化:假设求解到 t T = 时刻,则问题的求解区域为

a x

b # ,0t T # 。为了进行差分近似,取定自然数 M (作为空

间网格的数目)和 N (作为时间网格的数目),空间 x 方向的步长取为

b a x M -D =

,时间 t 方向的步长取为 T

t N

D = ,记 n t n t =D ,

(0,1,2,,n N =L ) j x a j x =+D ,(0,1,2,,

j M =L )

求解区域里像 ()

,n j x t 这样的点称作网格点。

定解问题的离散化:在网格点 ()

,n j x t 处列出方程

2

2

2

2

2n

n

j

j

u

u

c

t x 抖=抖 对方程中的二阶时间导数和二阶空间导数,都采用中心差分近似,即

()()(

)()

11

2

2

2

2

,2,,n

n n n j j j j

u x t u x t u x t u t t t O +--+?=

+D 禗

()()(

)()

2

112

2

2

,2,,n

n n n

j j j j

u x t u x t u x t u x x x O +--+?=

+D 禗

代入原方程,就有

()()(

)()

()()(

)()

11

2

2

112

2

2

,2,,,2,,n n n j j j n n n

j j j u x t u x t u x t t

t u x t u x t u x t c

x

t O O +-+--++D D -+=+D D

略去误差项,得

()()()()()(

)

11

2

112

2

,2,,,2,,n n n j j j n n n

j j j u x t u x t u x t t u x t u x t u x t c

x +-+--+D -+?D

用 n j u 表示 ()

,n

j

u x t 的近似解(0,1,2,,j M =L ,0,1,2,,n N =L ),我们希望这一近似解能够使上述近似表达式还原成精确成立的等式(这样才能确切地使用它),也就是要求 n j

u 满足 11

1

122

2

22n n n n n n

j j j

j j j u u u u u u c

t

x

+-+--+-+=D D

此式是一个差分方程,称为原方程的差分近似。

(注)因为是在网格点 ()

,n j x t 处列出的方程,所以在近似时间导数时,空间自变量 x 的取值固定在 j x x = 处,而在近似空间导数时,时间自变量 t 的取值固定在 n t t = 时刻。

上述导出差分方程的过程比较繁琐,但我们可以把这一过程总结为: “用近似解的差分表达式代替原方程中的(偏)导数,得到其差分近似”。

对定解条件中的一阶时间导数,在网格点 ()

,n j x t 处有向前差分近似

()(

)()0

10

,,j j j

u x t u x t u

t

t

t

-?=

+D 禗

于是就有

()(

)()()10

1

,,j j j

u x t u x t t

x t

?O -+D =D

略去误差项,得

()(

)()10

1

,,j j j

u x t u x t x t

?

-?D

我们希望近似解也能够使上述近似表达式还原成精确成立的等式,也就是

要求 1j u 和 0

j

u 满足 ()10

1j j

j u u x t

?-=D

此式也是一个差分方程,称为定解条件的差分近似。

上述过程也可以总结为:

“用近似解的差分表达式代替定解条件中的(偏)导数,得到其差分近似”。

将上述两个过程综合在一起(如果原定解问题中还有其他含有偏导数的关系式,需将多个这样的过程综合在一起),就是

“用近似解的差分表达式代替定解问题中的(偏)导数,得到其差分近似”。 这样做的结果,将得到一组代数关系式,称为定解问题的差分近似,也叫作定解问题的差分格式,简称“格式”。

(注)由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似,所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。

具体到这里的定解问题,上面的过程给出如下的格式

()()

()11112220001022 1,2,, 1 , 1,2,,1 , , 1,2,,1 , 1,2,,1n n n n n n j j j j j j n n n n

a M

b j j j j u u u u u u

c t x j M n N u g t u g t n N u x j M u u ?+-+--+-+=D D =-=-===-==--D L L L L ()1 , 1,2,,1j x j M t

?ì??????????????í????????????==-????L 将它改写成便于计算的形式

()()()

0010121111 , 1,2,,1 , 1,2,,1

22 1,2,, 1 , 1,2,,j j j j j n n n n n n j j j j j j u x j M u u t x j M t u u c u u u u x j M n ??+-+-==-=+D =-骣D ÷?÷=+-+-?÷?÷D 桫=-=L L L L ()()

1 , , 1,2,,1

n n n n a M b N u g t u g t n N ì??????????????í??????-??????===-???L

其求解步骤如下:

0t =时刻(0n =) :()

00j j u x ?=

1t t =时刻(1n =) :()10

1j j

j u u t x ?=+D ,(1,2,,1j M =-L ) ()110a u g t = ,()1

1

M b u g t =

2

t t =时刻(2n =) :(

)

2

2111101122j j j j j j t u u c u u u u x +-骣D ÷?÷=+-+-?÷?÷

D 桫 ,(1,2,,1j M =-L )

()220a u g t = ,()2

2

M b u g t =

一般地,如果已经求出 1n t t -= 和 n t t = 两个时刻的近似解,则

1n t t +=时刻:()

2

1

1

1122n

n n n n n j

j j j j j t u u c u u u u x +-+-骣D ÷?÷=+-+-?÷?÷

D 桫 ,(1,2,,1j M =-L )

()110n n a u g t ++= ,()1

1

n n M b u g t ++=

对 1,2,,1n N =-L 反复进行这一步骤,直到求出 N t t T == 时刻的近似解。

差分格式

§1. 差分 1. 一阶导数的差分近似(差商) 导数的定义: ()()()0 000 lim x x f x f x f x x x ?-¢= - 导数的近似: ()()()10010 f x f x f x x x -¢?- (当 1x 与 0x 足够接近时) 这样的表达式称为差商,它可作为导数的近似,称为导数的差分近似。 误差分析 - 泰勒展开:将 ()1f x 在 0x 处做泰勒展开,有 ()()()()()()2100100101 2f x f x f x x x f x x x ⅱ?=+-+-+L 于是 ()()()() 1001010 f x f x f x x x x x -¢- =-- 各种差分近似: 取 0h >(称为步长),则可以有 向前差分近似(相当于取 100x x h x =+>) ()()() 000f x h f x f x h +-¢?

向后差分近似(相当于取 100x x h x =-<) ()()() 000f x f x h f x h --¢? 中心差分近似 (前差近似与后差近似的算术平均) ()()() 0002f x h f x h f x h +--¢? 2. 差分近似的一般形式 差分近似的一般形式可写成 ()()()() () ()()()022********* m m n n f x c f x c f x c f x h c f x c f x c f x c f x ------é ¢? ++ê?+ù++++ú? L L 或简写为 ()()01n j j j m f x c f x h =-¢?? 称为一阶导数 ()0f x ¢ 的一个 1m n ++ 点差分近似。这里 0 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n =+=---L L

Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

数值实验报告I 实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩 一、实验目的,内容 1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理; 2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异; 3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵; 二、算法描述 针对一个Poisson方程问题: 在Poisson方程五点差分格式的基础上,采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差,可以得到: 为了提高算子截断误差的精度,在(1)式中配凑出了差分算子的形式,将原Poisson方程代入(1)式有: 考虑,有:

将(3)代回(2)可得 得到Poisson方程的九点差分格式: 在计算机上实现(4)式,需要在五点差分格式 的基础上在等式两端分别增加一部分,将等式左侧新增的部分写成紧凑格式,有: 对于该矩阵,可以看成是两个矩阵的组合:

以及 则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成,方法类似于五点差分格式。 对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数,可以采用中心差分格式进行近似代替,即: 写成相应的紧凑格式有:

该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和:

%计算误差 u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y); for i=1:N1-1 u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y); end u_v=u_m'; err_d=max(abs(u_d-u_v)); sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1); mesh(X,Y,sol) 四. 数值结果 针对课本P93给出的问题,分别采用步长,将计算出的误差列表如下: 步长五点差分格式误差九点差分格式误差 可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差,达到更高阶的精度。 五. 计算中出现的问题,解决方法及体会 在生成九点差分格式的时候,等号右端涉及到了对f的二阶偏导,我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导(仍然是符号函数)之后带入网格点,求f二阶偏导的精确解,但是代入过程相当繁琐,运行速度非常慢,最终我改变策略,选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值,最终得到了相对满意的结果。 教 师 评 语 指导教师:年月日

差分法求解偏微分方程MAAB

南京理工大学 课程考核论文 课程名称:高等数值分析 论文题目:有限差分法求解偏微分方程 姓名:罗晨 学号: 成绩: 有限差分法求解偏微分方程 一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程,偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程:具体求解的偏微分方程如下: 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性; 3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析;

4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程: 有限差分法(finite-differencemethods )是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下: ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+-(2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下: 11k k k k t t x x h τ ++-=?? -=?(2-2) 2.1古典显格式 2.1.1古典显格式的推导 由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)( )()(())i i k i k k k u u x t u x t t t o t t t ?=+-+-?(2-3) 当1k t t +=时有 21,112,(,)(,)( )()(())(,)()() i k i k i k k k k k i k i k u u x t u x t t t o t t t u u x t o t ττ+++?=+-+-??=+?+?(2-4) 得到对时间的一阶偏导数 1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t u o t ττ+-?+?(2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得 223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u u u x t u x t x x x x o x x x x ??=+-+-+-??(2-6) 当11i i x x x x +-==和时,代入式(2-6)得

对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种,在本节中将介绍以下3种有限差分格式:中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近,那么就得到了(1)式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ (3) 若令 h a τ λ=,2h v τ μ=,则(3)式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ (4) 从上式我们看到,在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ,它可以由时间层n 上的值n j u 1-,n j u ,n j u 1+直接计算出来。因此,中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解,将1 +n j u ,n j u 1+,n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开: )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式,有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ

有限差分法实验报告

工程电磁场 实验报告 ——有限差分法

用超松弛迭代法求解 接地金属槽内电位的分布 一、实验要求 按对称场差分格式求解电位的分布 已知: 给定边值:如图1-7示 图1-7接地金属槽内半场域的网格 给定初值)()(.1j 40 100 1j p 1 2j i -= --= ??? 误范围差: 510-=ε 计算:迭代次数N ,j i ,?,将计算结果保存到文件中 二、实验思想 有限差分法 有限差分法(Finite Differential Method )是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想:将场域离散为许多小网格,应用差分原理,将求解连续函数?的泊松方程的问题转换为求解网格节点上? =?= V 100 ? 0 =?0 =?

的差分方程组的问题。 泊松方程的五点差分格式 )(4 1 4243210204321Fh Fh -+++=?=-+++?????????? 当场域中,0=ρ得到拉普拉斯方程的五点差分格式 )(4 1 044321004321??????????+++=?=-+++ 差分方程组的求解方法(1) 高斯——赛德尔迭代法 ][)(,)(,)(,)(,)(,2 k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i 1k j i Fh 4 1 -+++=+++-+-+????? (1-14) 式中:??????=??????=,2,1,0,2,1,k j i , ? 迭代顺序可按先行后列,或先列后行进行。 ? 迭代过程遇到边界节点时,代入边界值或边界差分 格式,直到所有节点电位满足ε??<-+)(,)(,k j i l k j i 为止。 (2)超松弛迭代法 ][) (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,k j i 2k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i k j i 1k j i 4Fh 4 ?????α??--++++=+++-+-+ (1-15) 式中:α——加速收敛因子)21(<<α 可见:迭代收敛的速度与α有明显关系 三、程序源代码 #include #include #include double A[5][5]; void main(void) { double BJ[5][5];//数组B 用于比较电势 int s[100];//用于储存迭代次数 图1-4 高斯——赛德尔迭代法

利用中心差分格式数值求解导数

利用中心差分格式数值求解导数 目录 一、问题描述 (2) 二、格式离散 (2) 二阶导数中心差格式离散 (2) 追赶法求解线性方程组简述 (3) 计算流程图 (5) 三、程序中主要符号和数组意义 (5) 四、计算结果与讨论 (6) 五、源程序 (9)

一、问题描述 利用中心差分格式近似导数22/dx y d ,数值求解 ()x dx y d 2sin 22= ()10≤≤x 1 /,0/10====x x y y 步长分别取 0001.0,001.0,01.0, 05.0=?x 二、格式离散 将x 轴上[0,1]之间的线段按上述步长,等步长的离散为n 个小段,包括端点,共n+1个网格节点,示意图如下: 线段上边的数字表示x 轴上的坐标值,线段下边的数字表示节点编号,从0到n 编号。 二阶导数中心差格式离散 211222)2sin(x y y y dx y d x i i i ?+-==+- 整理为线性方程形式 )2sin(2211x x y y y i i i ?=+-+- 其中,x ? 为空间离散步长;i=1,2,……,n-1 包括边界条件的线性方程组如下:

边界条件 边界条件0 ) *)1(*2sin(2......... ..........) **2sin(2..................) *1*2sin(20 21221122100=?-?=+-??=+-??=+-=--+-n n n n i i i y x n x y y y x i x y y y x x y y y y 改写成矩阵形式: f Ay = 其中,?????? ????????????????????----=1012112112112101 A ,??????????????????????=-n n i y y y y y y 110 ,??????????????????????=-n n i f f f f f f 110 系数矩阵A 中仅三对角线上的数值不全为0,其余位置上的数值全为0,是 典型的对角占优的三对角矩阵,列向量f 中,)2sin(2x i x f i ??=,且10==n f f ,作为边界条件。 追赶法求解线性方程组简述 ????? ?????????????????=??????????????????????????----=---n n n n n i i i b a c b a c b a c b a c b A 1111110 01012112112112101

差分方法实验报告

实验报告 课程名称:计算方法 院系:数学科学系 专业班级:数应1001 学号:1031110139 学生姓名:姚海保 指导教师:沈林 开课时间:2012至2013学年第一学期

一、学生撰写要求 按照实验课程培养方案的要求,每门实验课程中的每一个实验项目完成后,每位参加实验的学生均须在实验教师规定的时间内独立完成一份实验报告,不得抄袭,不得缺交。 学生撰写实验报告时应严格按照本实验报告规定的内容和要求填写。字迹工整,文字简练,数据齐全,图表规范,计算正确,分析充分、具体、定量。 二、教师评阅与装订要求 1.实验报告批改要深入细致,批改过程中要发现和纠正学生实验报告中的问题,给出评语和实验报告成绩,签名并注明批改日期。实验报告批改完成后,应采用适当的形式将学生实验报告中存在的问题及时反馈给学生。 2.实验报告成绩用百分制评定,并给出成绩评定的依据或评分标准(附于实验报告成绩登记表后)。对迟交实验报告的学生要酌情扣分,对缺交和抄袭实验报告的学生应及时批评教育,并对该次实验报告的分数以零分处理。对单独设课的实验课程,如学生抄袭或缺交实验报告达该课程全学期实验报告总次数三分之一以上,不得同意其参加本课程的考核。 3.各实验项目的实验报告成绩登记在实验报告成绩登记表中。本学期实验项目全部完成后,给定实验报告综合成绩。 4.实验报告综合成绩应按课程教学大纲规定比例(一般为10-15%)计入实验课总评成绩;实验总评成绩原则上应包括考勤、实验报告、考核(操作、理论)等多方面成绩; 5.实验教师每学期负责对拟存档的学生实验报告按课程、学生收齐并装订,按如下顺序装订成册:实验报告封面、实验报告成绩登记表、实验报告成绩评定依据、实验报告(按教学进度表规定的实验项目顺序排序)。装订时统一靠左侧按“两钉三等分”原则装订。

差分格式稳定性及数值效应比较实验

差分格式稳定性及数值效应比较实验 5090719044 张赟F0907102 一实验目的: 1.以一阶线性双曲线方程为例,使用Matlab工具分析4种差分格式的误差。 2.了解4种差分格式的稳定性 二实验问题: 对于一阶线性双曲型方程: 取a=1,2,4, h=0.1, τ=0.08, 对不同的差分格式(迎风格式,Lax-Friedrichs格式,Lax-Wendroff格式,修正迎风格式)及不同的a值进行迭代计算。通过将计算结果与精确解来进行比较,来讨论分析差分格式的稳定性。 三实验原理: 1.迎风格式: 这种格式的基本思想是简单的,就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替,格式如下: 运算格式: https://www.sodocs.net/doc/7617328539.html,x-Friedrichs格式:

运算格式: https://www.sodocs.net/doc/7617328539.html,x-Wendroff格式: 这种格式构造是采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到,运算格式: 4.修正迎风格式(目标点范围跟踪格式): 其中是取整数部分,=。根据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。 四四种格式理论分析: 通过求差分格式的增长因子G(τ, k),来判定差分格式是否稳定。 1.迎风格式: 记,则, 得, 即。 所以。 则在,满足von Neumann条件,格式稳定。 以下格式用相同方法求解稳定性条件。 https://www.sodocs.net/doc/7617328539.html,x-Friedrichs格式: ,在时稳定。

https://www.sodocs.net/doc/7617328539.html,x-Wendroff格式: ,在时稳定。 4.修正迎风格式(目标点范围跟踪格式): , 其中,的成立条件为。而恒成立,故格式无条件稳定。 五实验结果: a=1() 迎风格式Lax-Friedrichs格式 Lax-Wendroff格式修正迎风格式

3差分格式

§3. 热传导方程 上一节曾指出,由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似,所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。下面以热传导方程为例,对此展开讨论。为简单起见,先不给出定解条件。 考虑热传导方程 2 2u u t x 抖=?? 方程中出现了一阶时间导数 u t ?? 和二间空间导数 22u x ?? 。 对于一阶时间导数 u t ?? ,常用的差分近似就有三种,记 向前差分近似 1n n n j j j u u u t t +-?ü 禗 向后差分近似 1 n n n j j j u u u t t --?ü 禗 中心差分近似 11 2n n n j j j u u u t t +--?ü 禗 这里,我们用“ü”代表上一节推导差分近似的过程。

前面已经看到,二阶导数通常用中心差分近似。对这里的二阶空间导数的中心差分近似为 2 11 2 2 2n n n n j j j j u u u u x x +--+?ü 禗 但是也可以考虑其他可能的方案。由泰勒展开,有 ()1 2 232 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O +抖抖= +D +=+D 抖抖?L ()1 2 2 3 2 2 222 n n n n j j j j u u u u t t x x t x x O -抖抖= -D +=+D 抖抖?L 所以,如果用 1 2 2 n j u x +?? 或 1 2 2 n j u x -?? 代替 2 2 n j u x ?? ,虽然会引入新的误差,但这种误差与差分近似已有的误差为同一量级的,因而还是可以接受的。这样一来,二阶空间导数的差分近似又有了两种新的方案 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x +++++--+抖苘 抖D 1 1112 2 11 2 2 2 2n n n n n j j j j j u u u u u x x x ----+--+抖苘 抖D

差分方法的稳定性

差分方法的稳定性 1.实验内容 对于一阶线性双曲线型方程: 其中初值 取空间长度h=0.01,对于不同的差分格式(迎风格式,Lax-Friedrichs 格式,Lax-Wendroff 格式,Beam-Warming 格式以及蛙跳格式)及不同的网格比(时间来讨论和分析差分格式的稳定性。 2.算法思想与步骤 2.1迎风格式 这种格式的基本思想是简单的,就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特 征线方向一侧的单边差商来代替,格式如下: 运算格式: 2.2 Lax-Friedrichs 格式

运算格式: 2.3 Lax-Wendroff格式 这种格式构造采用Taylor级数展开和微分方程本身得到 运算格式: 2.4 Bean-Warming格式(二阶迎风格式) 借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实,可以构造出多种差分格式。 A,B,C和D 层上网格点P 假定C.F.L条件成立,过P点特征线与BC交于点Q, ①用B,C两点值进行线性插值,得到的是迎风格式; ②用B,D两点值进行线性插值,得到的是Lax-Friedrichs格式; ③用B,C和D三点值进行抛物型插值,得到的是Lax-Wendroff格式。 如果我们采用A,BC三点来进行抛物型插值,可以得到 这就是Beam-Warming格式。

2.5 蛙跳格式 运算格式: 保持精度的阶数相同,一般我们用Lax-Wendroff格式或Beam-Warming格式。 2.6 目标点范围跟踪格式(迎风格式的改进) 下面的分析将会得到这是一个无条件稳定结构。 3.数据分析与作图 3.1迎风格式

稳定性分析: 记,则,得

研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告

2015 年秋季学期研究生课程考核 (读书报告、研究报告) 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院(系):理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人

研究有限差分格式稳定性的其他方法 摘要 偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题,而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此,研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性,但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的,所以在本篇论文中,将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法,分别是:Hirt启示型方法、直接方法(或称矩阵方法)和能量不等式方法。 关键字:偏微分方程;有限差分格式;稳定性 Abstract The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method. Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability 1 前言 微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关,在初始时刻所要满足的定解条件,称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题,称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题,称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题,称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解,或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法,它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分,然后在网格点上,按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解。此外,还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性),等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点,容易在计算机上实现。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性,但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的,所以在本篇论文中,将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法,分别是:Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。 2 Hirt启示性方法 2.1 方法概述 Hirt启示性方法是一种近似分析方法。主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似

Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

数值实验报告I 、实 验目 的 , 内 容 1、 理解Poisson 方程九点差分格式的构造原理; 2、 理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异; 3、 学会利用matlab 的spdiags(),kron() 函数生成系数矩阵; 、算法描述 针对一个Poisson 方程问题: Au 二厂 f (x, y) 在Poisson 方程五点差分格式的基础上,采用 Taylor 展开分析五点差分算子的截断误差,可以 得到: AhU(x,> ¥j) 二 Au(xh yj) + —Jhi 厂 h2 a/ + h/ 12 亦 yj - J - 2u(x lF Yj - 1)+ u(xi -(, Yj - 1) hi^ufxn yj - J u(x jh yj) , 0u(xi,y 」)\ + hj 扩 \ h,十 Yj) 卜一 <2—癌L 时 0/ (1) 为了提高算子截断误差的精度,在⑴式中配凑出了差分算子的形式,将原Poisson 方程代入(1) 式有: yj) = ¥」) / 水 Uhi ," 十 0(h 4) 昇舟1 ,有: /u(x I , yj) 1 i --^luxxCxj. Yj 十 1)- 2u xx (Xir yj + Uxxfxj, Vj - Jl + 0(h 『)=— hj h? u(Kj + 1, yj + 1)- 2u(x j t yj + 1)+ u(xj - v yj + i) h,护u(x lh yj 4 1) - ------- 2 考虑 h/ u(xj + ir yj) - 2u(xj. y 」)+ 12 i- Yj) 2hiVu(x b yj + 0(h 4)二 Au(x lT V J ) + — UlXi + 1

一阶中心差分格式

中心差分格式的程序实现 数学10-1班 余帆 10072121 1、考虑问题 考虑二阶常微分方程边值问题: f qu dx u d Lu =+-=22 (1) βα==)(,)(b u a u 其中q ,f 为[a,b]上的连续函数,βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式 将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+= , h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分,i x 为网格节点,h 为步长。 差分格式为: . ,,1,,2,1202 1 1βα==-???==++--=-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差 将方程(1)在节点离散化,由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344 2222 1 1h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3 44 2h dx x u d h u R i i O +? ?????-=

4、数值例子 x x q e x u x sin 1)()(+== x e x f x sin )(= 其中[]1 ,0∈x 5、求解 由f qu dx u d Lu =+-=22, x e x f x sin )(= x x q e x u x sin 1)()(+== 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来,得到矩阵形式为 ????????????? ?+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ????????????-121N u u u = ?????? ? ????? ??++-βα 12 2 212N f h f h f h 系数矩阵A=??? ? ? ? ? ??? ? ???+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ,我们可以利用高斯消去 法求得u (x )的数值解。 6、实验结果 程序输出结果: 取N=10; 逼近解u1 真解u 1.10521961652189 1.10517091807565 1.22149147782632 1.22140275816017

偏微分方程上机实验报告.doc

上机实验2:五点差分格式法 偏微分方程(Matlab )实验报告 ——五点差分格式法 一、 实验题目 设G 是形如下图的十字形域,由五个相等的单位正方形组成,用五点差分格式求下列边值问题的数值解: 22 2 21,u u G x y ??+=-???于u=0,于G 二、 实验原理 取定沿X 轴和Y 轴方向的步长1h 和2h ,() 12 22 1 2 h h h =+,作两族与坐 标轴平行的直线:x=i 1h ,y=j 2h ,,0,1,2,i j =±± 若(,i j x y )为正则内点,沿x,y 方向分别用二阶中心差商代替 xx yy u u 和则得 1,1,,1,1 2 212 22[ ]i j ij i j i j ij i j ij u u u u u u f h h +-+--+-+-+ = 特别取正方形网格:12h h h ==,则原差分方程可简化为 2 1,,11,,11()44 ij i j i j i j i j ij h u u u u u f --++-+++= 三、 实验程序 1)function uxy = EllIni2Uxl(x,y) format long ;

uxy = 0; 2)function uxy = EllIni2Uxr(x,y) format long; uxy = y*(2-y); 3)function uxy = EllIni2Uyl(x,y) format long; uxy = 0; 4)function uxy = EllIni2Uyr(x,y) format long; if x < 1 uxy = x; else uxy = 2 - x; end 5)function u = peEllip5(nx,minx,maxx,ny,miny,maxy) format long; hx = (maxx-minx)/(nx-1); hy = (maxy-miny)/(ny-1); u0 = zeros(nx,ny); for j=1:ny u0(j,1) = EllIni2Uxl(minx,miny+(j-1)*hy); u0(j,nx) = EllIni2Uxr(maxx,miny+(j-1)*hy); end for j=1:nx u0(1,j) = EllIni2Uyl(minx+(j-1)*hx,miny); u0(ny,j) = EllIni2Uyr(minx+(j-1)*hx,maxy); end A = -4*eye((nx-2)*(ny-2),(nx-2)*(ny-2)); b = ones((nx-2)*(ny-2),1).*(-1); for i=1:(nx-2)*(ny-2) if mod(i,nx-2) == 1 if i==1 A(1,2) = 1; A(1,nx-1) = 1; b(1) = - u0(1,2) - u0(2,1); else if i == (ny-3)*(nx-2)+1 A(i,i+1) = 1; A(i,i-nx+2) = 1;

偏微分中心差分格式实验报告(含matlab程序)

二阶常微分方程的中心差分求解 学校:中国石油大学(华东)理学院 姓名:张道德 一、 实验目的 1、 构造二阶常微分边值问题: 22,(),(), d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=<

11122 222222333222122112 100121012010012 00N N N u f q h h u f q h h h u f q h h h q u f h h ---???? ??+-???? ??? ???? ???????-+-? ?????? ???????????=-+? ?????? ???????????-???? ????????-+????? ?? ????? 可以看出系数矩阵为三对角矩阵,而对于系数矩阵为三对角矩阵的方程组可以用“追赶法”求解,则可以得出二阶常微分方程问题的数值解。 四、 举例求解 我们选取的二阶常微分方程边值问题为: 2 22242,01 (0)1,(1), x d u Lu x u e x dx u u e ?=-+=-<

中心差分格式

中心差分格式 1、考虑问题 考虑二阶常微分方程边值问题: f qu dx u d Lu =+-=22 (1) βα==)(,)(b u a u 其中q ,f 为[a,b]上的连续函数,βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式 将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+=, h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分,i x 为网格节点,h 为步 长。 差分格式为: .,,1,,2,120211βα==-???==++-- =-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差 将方程(1)在节点离散化,由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344222211h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3442h dx x u d h u R i i O +??????-= 4、数值例子

x x q e x u x sin 1)()(+== 其中[]1,0∈x 5、求解 由f qu dx u d Lu =+-=22,且已知 x x q e x u x sin 1)()(+== 可得x e x f x sin )(= 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来,得到矩阵形式为 ??????????????+--+--+-21222 1211 21 12h q h q h q N ????????????-121N u u u =??????????????++-βα122212N f h f h f h 系数矩阵A=?????? ????????+--+--+-212 221211211 2h q h q h q N ,我们求出矩阵A 极其逆便可求得u (x )的数值解。 6、参考文献 《偏微分方程数值解法》李荣华 高等教育出版社 《科学计算中的有限差分法》 《MATLAB 程序设计教程》刘卫国 中国水利水电出版社

油藏数值模拟实验报告课案

数值模拟上机 实验1:三对角系数矩阵的解法 隐式差分格式 出发点在(i,n +1),取关于t 的一阶向后差商和关于x 的二阶差商。 取 对于一维渗流问题的隐式差分方程组的系数矩阵为三对角矩阵,追赶法(THOMAS )就是用来求解三对角矩阵方程组的一种比较简单、 应用也极为广泛的解法。 它的基本思路是将三对角矩阵A 分解成两个特定形式的三对角矩阵的乘积。 i n i i n i i n i i d p b p a p c =++++++-11 11 1 t p p x p p p n i n i n i n i n i ?-= ?+-++-+++12 11 111 22 t x δ?=?() n i n i n i n i p p p p -=++-++++-11 111 21δδδ

追赶法程序如下: Dim m As Integer, n As Integer, i As Integer Dim P(1 To 10) As Single, x(1 To 10) As Single, y(1 To 10) As Single, a(1 To 10) As Single, b(1 To 10) As Single, c(1 To 10) As Single, d(1 To 10) As Single Dim l(1 To 10) As Single, u(1 To 10) As Single n = InputBox("请输入方程个数") For i = 1 To n a(i) = InputBox("a(" & i & ")=?") Print "a(" & i & ")="; a(i); Next i Print For i = 1 To n - 1 b(i) = InputBox("b(" & i & ")=?") Print "b(" & i & ")="; b(i); 1 d 2 d x N d i d a c b 1 p 2 p x N p i p

2差分格式的构造

§2. 差分格式的构造 1. 差分格式 对于描述流体流动的微分方程定解问题,用差分来近似方程及定解条件中的导数,就可以构造出该定解问题的差分格式。 【例】波动方程初边值定解问题 ()()()()()()()22 2 22010 , , 0 , , , , 0 ,0 , , a b t u u c a x b t t x u a t g t u b t g t t u x x a x b u x a x b t ??=ì?抖?=# ??抖???????==>????í???=<

b a x M -D = ,时间 t 方向的步长取为 T t N D = ,记 n t n t =D , (0,1,2,,n N =L ) j x a j x =+D ,(0,1,2,, j M =L ) 求解区域里像 () ,n j x t 这样的点称作网格点。 定解问题的离散化:在网格点 () ,n j x t 处列出方程 2 2 2 2 2n n j j u u c t x 抖=抖 对方程中的二阶时间导数和二阶空间导数,都采用中心差分近似,即 ()()( )() 11 2 2 2 2 ,2,,n n n n j j j j u x t u x t u x t u t t t O +--+?= +D 禗 ()()( )() 2 112 2 2 ,2,,n n n n j j j j u x t u x t u x t u x x x O +--+?= +D 禗 代入原方程,就有 ()()( )() ()()( )() 11 2 2 112 2 2 ,2,,,2,,n n n j j j n n n j j j u x t u x t u x t t t u x t u x t u x t c x t O O +-+--++D D -+=+D D

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