最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
模块综合检测(A)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z =2-i
2+i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
解析: ∵z =2-i 2+i =(2-i )2(2+i )(2-i )=4-4i -15=35-4
5i ,
∴复数z 对应的点的坐标为????35,-4
5,在第四象限. 答案: D
2.函数f (x )=x 3+4x +5的图象在x =1处的切线在x 轴上的截距为( ) A .10 B .5 C .-1
D .-3
7
解析: f ′(x )=3x 2+4,f ′(1)=7,f (1)=10,y -10=7(x -1),y =0时,x =-3
7.
答案: D
3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行;
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直,则必与另一条垂直; ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必与另一条相交. A .①②③ B .①③ C .①
D .②③
解析: 类比①的结论为:平行于同一个平面的两个平面平行,成立;类比②的结论为:一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直,成立;类比③的结论为:如果一个平面与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交,成立.
答案: A
4.函数y =x 3-3x 2-9x (-2 D .极小值-27,无极大值 解析: y ′=3x 2-6x -9=0,得x =-1,x =3,当x <-1时,y ′>0;当x >-1时,y ′<0. 当x =-1时,y 极大值=5,x 取不到3,无极小值. 答案: C 5.函数y =4x 2+1 x 的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,1) C .??? ?1 2,+∞ D .(1,+∞) 解析: 令y ′=8x -1x 2=8x 3 -1x 2>0,即(2x -1)(4x 2+2x +1)>0,且x ≠0,得x >1 2 . 答案: C 6.下列计算错误的是( ) A .? ?π -π sin x d x =0 B .? ?1 x d x =23 C .cos x d x =2cos x d x D .? ?π -π sin 2x d x =0 解析: 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果. 答案: D 7.用数学归纳法证明1n +1+1n +2+…+1 3n +1>1(n ∈N +)时,在验证n =1时,左边的代 数式为( ) A .12+13+1 4 B .12+13 C .12 D .1 解析: 当n =1时,不等式左边为11+1+11+2+13×1+1=12+13+1 4. 答案: A 8.函数y =ax 3-x 在(-∞,+∞)上的减区间是[-1,1],则( ) A .a =1 3 B .a =1 C .a =2 D .a ≤0 解析: x ∈[-1,1],y ′=3ax 2-1≤0,且y ′|x =±1=0, ∴3a =1,a =1 3. 答案: A 9.若z 1,z 2∈C ,则z 1z 2+z 1z 2是( ) A .纯虚数 B .实数 C .虚数 D .不能确定 解析:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则z1z2+z1z2=(a+b i)(c-d i)+(a -b i)(c+d i)=(2ac+2bd)∈R. 答案: B 10.设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(m∈R),若z对应的点在直线x-2y+1=0上,则m的值是() A.±15 B.15 C.-15 D.15 解析:log2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0, log2m2-3m-3 (m-3)2 =-1, m2-3m-3 (m-3)2 = 1 2,m=±15, 而m>3,所以m=15. 答案: B 11.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为() A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 解析:设m(x)=f(x)-(2x+4), 则m′(x)=f′(x)-2>0, ∴m(x)在R上是增函数. ∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0, ∴m(x)>0的解集为{x|x>-1}, 即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞). 答案: B 12.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是() A.C4H9B.C4H10 C.C4H11D.C6H12 解析:后一种化合物应有4个C和10个H, 所以分子式是C4H10. 答案: B 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知复数z =-1+i 1+i -1,则在复平面内,z 所对应的点在第__________ 象 限. 解析: z =-1+i 1+i -1=-1+i. 答案: 二 14.垂直于直线2x -6y +1=0并且与曲线y =x 3+3x 2-5相切的直线方程是________. 解析: 设切点为P (a ,b ),函数y =x 3+3x 2-5的导数为y ′=3x 2+6x ,切线的斜率k =y ′|x =a =3a 2+6a =-3,得a =-1,代入到y =x 3+3x 2-5,得b =-3,即P (-1,-3),y +3=-3(x +1),3x +y +6=0. 答案: 3x +y +6=0 15.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与直线y =0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27 4 ,则a 的值为________. 解析: 由题意可知,f ′(x )=3x 2+2ax +b ,f ′(0)=0 ∴b =0, ∴f (x )=x 2 (x +a ),有274=∫-a 0[0-(x 3+ax 2)]d x =-????x 44+ax 33| -a 0=a 412 ,∴a =±3. 又-a >0?a <0,得a =-3. 答案: -3 16.若Rt △ABC 中两直角边为a ,b ,斜边c 上的高为h ,则1h 2=1a 2+1 b 2,如图,在正方 体的一角上截取三棱锥P -ABC ,PO 为棱锥的高,记M =1PO 2,N =1P A 2+1PB 2+1 PC 2,那么 M ,N 的大小关系是________. 解析: 在Rt △ABC 中,c 2=a 2+b 2①,由等面积法得ch =ab , ∴c 2·h 2=a 2·b 2②,①÷②整理得1h 2=1a 2+1 b 2. 类比得,S 2△ABC =S 2△P AB +S 2△PBC +S 2 △P AC ③, 由等体积法得S △ABC ·PO =12 P A ·PB ·PC , ∴S 2△ABC ·PO 2=1 4P A 2·PB 2·PC 2④, ③÷④整理得M =N . 答案: M =N 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知曲线y =5x ,求: (1)曲线上与直线y =2x -4平行的切线方程; (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程. 解析: (1)设切点为(x 0,y 0),由y =5x , 得y ′|x =x 0=5 2x 0 . ∵切线与y =2x -4平行, ∴ 52x 0 =2,∴x 0=2516,∴y 0=254, 则所求切线方程为y -254=2????x -2516,即2x -y +25 8=0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y =5x 上, 故需设切点坐标为M (x 1,y 1),则切线斜率为5 2x 1. 又∵切线斜率为y 1-5x 1,∴5 2x 1=y 1-5x 1=5x 1-5x 1, ∴2x 1-2x 1=x 1,得x 1=4. ∴切点为M (4,10),斜率为5 4 , ∴切线方程为y -10=5 4 (x -4),即5x -4y +20=0. 18.(本小题满分12分)设复数z 满足|z |=1且(3+4i)z 是纯虚数,求复数z . 解析: 设z =a +b i(a ,b ∈R ),由|z |=1,得a 2+b 2=1.① (3+4i)z =(3+4i)(a +b i)=3a -4b +(4a +3b )i 是纯虚数,则3a -4b =0.② 联立①②解得??? a =45 ,b =3 5 或??? a =-45 , b =-3 5. 所以z =45+35i 或z =-45-3 5 i. 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 3+bx +1的图象经过点(1,-3)且在x =1处,f (x )取得极值.求: (1)函数f (x )的解析式;(2)f (x )的单调递增区间. 解析: (1)由f (x )=ax 3+bx +1的图象过点(1,-3)得a +b +1=-3, ∵f ′(x )=3ax 2+b , 又f ′(1)=3a +b =0, ∴由????? a +b =-43a +b =0得????? a =2 b =-6 , ∴f (x )=2x 3-6x +1. (2)∵f ′(x )=6x 2-6, ∴由f ′(x )>0得x >1或x <-1, ∴f (x )的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞). 20.(本小题满分12分)已知a >b >c ,求证:1a -b +1b -c ≥4a -c . 证明: 已知a >b >c ,因为a -c a -b +a -c b -c =a -b +b -c a -b +a -b +b -c b -c =2+b -c a -b +a -b b - c ≥2 +2 b - c a -b ·a -b b -c =4, 所以a -c a -b +a -c b -c ≥4,即1a -b +1b -c ≥4a -c . 21.(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ,那么高是多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 解析: 设该容器底面的一边长为x m ,则另一边长为(x +0.5)m ,此容器的高为h = 14.84-x -(x +0.5)=3.2-2x (0 于是,此容器的容积为V (x )=x (x +0.5)(3.2-2x )=-2x 3+2.2x 2+1.6x ,其中0 15 (舍去). 因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点,且x ∈(0,1)时,V ′(x )>0,函数V (x )单调递增;x ∈(1,1.6)时,V ′(x )<0,函数V (x )单调递减. 所以,当x =1时,函数V (x )有最大值V (1)=1×(1+0.5)×(3.2-2×1)=1.8(m 3),h =3.2-2=1.2(m). 即当高为1.2 m 时,长方体容器的容积最大,最大容积为1.8 m 3. 22.(本小题满分13分)设函数f (x )=x 2 2(x -1),给定数列{a n },其中a 1=a >1,a n +1=f (a n )(n ∈N +). (1)若{a n }为常数列,求a 的值; (2)判断a n 与2的大小,并证明你的结论. 解析: (1)若{a n }为常数列,则a n =a . 由a n +1=f (a n ),得a =f (a ). 因为f (x )=x 22(x -1),所以a =a 2 2(a -1). 又a >1,所以a =2(a -1),解得a =2. (2)当a =2时,由(1)知a n =2. 当a ≠2时,因为a 1=a ,a n +1=f (a n )=a 2n 2(a n -1), 所以a 2=a 21 2(a 1-1)=a 22(a -1) . 所以a 2-2=a 2 2(a -1)-2=a 2-4a +42(a -1)=(a -2)22(a -1)>0, 即a 2>2. 因为a 3-2=a 22 2(a 2-1)-2=(a 2-2)22(a 2-1)>0, 所以a 3>2. 猜想当n ≥2时,a n >2. 下面用数学归纳法证明: ①n =2时,a 2>2,显然猜想成立. ②假设当n =k (k ≥2)时,猜想成立,即a k >2. 当n =k +1时,a k +1=f (a k )=a 2k 2(a k -1), 所以a k +1-2=a 2k -4a k +4 2(a k -1)=(a k -2)22(a k -1). 由a k >2,知a k +1-2>0,所以a k +1>2. 根据①和②可知,当a ≠2时,对于一切不小于2的正整数n 都有a n >2. 综上所述,当a =2时,a n =2;当12(n ≥2);当a >2时,a n >2. 模块综合检测(B) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数z 的共轭复数z =1+2i(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析: 求出复数z ,再确定z 对应的点的坐标. ∵z =1+2i ,∴z =1-2i ,∴z 在复平面内对应的点位于第四象限. 答案: D 2.已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则该函数的图象是( ) 解析: 根据导函数值的大小变化情况,确定原函数的变化情况.从导函数的图象可以看出,导函数值先增大后减小,x =0时最大,所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小,在x =0时变化率最大.A 项,在x =0时变化率最小,故错误;C 项,变化率是越来越大的,故错误;D 项,变化率是越来越小的,故错误.B 项正确. 答案: B 3.“因为指数函数y =a x 是增函数(大前提),而y =????13x 是指数函数(小前提),所以函数y =????13x 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( ) A .大前提错误导致结论错 B .小前提错误导致结论错 C .推理形式错误导致结论错 D .大前提和小前提错误导致结论错 解析: 推理形式没有错误,而大前提“y =a x 是增函数”是不正确的,当01时,y =a x 是增函数. 答案: A 4.若复数z =1+b i 2+i (b ∈R ,i 是虚数单位)是纯虚数,则复数z 的共轭复数是( ) A .35i B .-35i C .i D .-i 解析: 因为z =1+b i 2+i =(1+b i )(2-i )(2+i )(2-i ) =2+b 5+2b -1 5i 是纯虚数,所以2+b =0且2b - 1≠0, 解得b =-2. 所以z =-i ,则复数z 的共轭复数是i. 答案: C 5.类比平面内正三角形“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( ) ①棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等. A .① B .② C .③ D .①②③ 解析: 三个性质都是正确的,但从“类比”角度看,一般是“线→面”、“角→二面角”. 答案: B 6.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-1处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图象可能是( ) 解析: 由题意知f ′(-1)=0, 当x <-1时f ′(x )<0,当x >-1时f ′(x )>0, ∴当x <-1时,x ·f ′(x )>0, 当-1 7.若??1a ? ???2x +1 x d x =3+ln 2且a >1,则实数a 的值是( ) A .2 B .3 C .5 D .6 解析: ??1a ????2x +1x d x =(x 2+ln x )| a 1=a 2+ln a -1=3+ln 2,所以a =2. 答案: A 8.观察式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<7 4,…,则可归纳出一般式子 为( ) A . 1+122+132+…+1n 2<1 2n -1(n ≥2) B . 1+122+132+…+1n 2<2n +1 n (n ≥2) C . 1+122+132+…+1n 2<2n -1 n (n ≥2) D . 1+122+132+…+1n 2<2n 2n +1(n ≥2) 解析: 由合情推理可得. 答案: C 9.在平面内有n (n ∈N +,n ≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若n 条直线把平面分成f (n )个平面区域,则f (9)等于( ) A .18 B .22 C .37 D .46 解析: f (3)=7, f (4)-f (3)=4, f (5)-f (4)=5, … f (n )-f (n -1)=n . 以上各式相加: ∴f (n )=7+4+5+…+n ∴f (9)=7+4+5+…+9=7+6×(4+9) 2=46. 答案: D 10.已知直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )相切,则a 的值为( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2 解析: 设直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )的切点为(x 0,y 0),则y 0=1+x 0,y 0=ln(x 0 +a ). 又y ′=1 x +a , ∴y ′|x =x 0= 1 x 0+a =1,即x 0+a =1. 又y 0=ln(x 0+a ), ∴y 0=0.∴x 0=-1.∴a =2. 答案: B 11.定义复数的一种运算z 1* z 2= |z 1|+| z 2 | 2 (等式右边为普通运算),若复数z =a +b i ,且正实数a ,b 满足a +b =3,则z *z 的最小值为( ) A .92 B .322 C .32 D .94 解析: z *z =|z |+|z |2=2a 2+b 2 2=a 2+b 2 =(a +b )2-2ab ,又∵ab ≤????a +b 22=94, ∴-ab ≥-9 4,z *z ≥ 9-2×9 4 = 92=322 . 答案: B 12.函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (1)=0,当x >0时,有xf ′(x )-f (x ) x 2 >0恒成立, 则不等式f (x )>0的解集为( ) A .(-1,0)∪(1,+∞) B .(-1,0)∪(0,1) C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-∞,-1)∪(0,1) 解析: 由题意知g (x )=f x x 在(0,+∞)上是增函数,且g (1) =0, ∵f (x )是R 上的奇函数, ∴g (x )是R 上的偶函数. f (x ) x 的草图如图所示: 由图象知:当x >1时,f (x )>0, 当-1 ∴不等式f (x )>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 答案: A 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为________. 解析: 根据题意先求出P ,Q 的坐标,再应用导数求出切线方程,然后求出交点. 因为y =1 2x 2,所以y ′=x ,易知P (4,8),Q (-2,2),所以在P ,Q 两点处切线的斜率的 值为4或-2. 所以这两条切线的方程为l 1:4x -y -8=0,l 2:2x +y +2=0, 将这两个方程联立方程组求得y =-4. 答案: -4 14.??01 (1-x 2 +x )d x =________. 解析: ??01 1-x 2d x =14π, ??01 x d x =12x 2| 10=12-0=12, ∴??01(1-x 2+x )d x =14π+12. 答案: 14π+12 15.通过类比长方形,由命题“周长为定值l 的长方形中,正方形的面积最大,最大值为l 2 16 ”,可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析: 表面积为定值S 的长方体中,正方体的体积最大,最大值为???? S 63 2. 答案: 表面积为定值S 的长方体中,正方体的体积最大,最大值为????S 63 2 16.若函数f (x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是________. 解析: f ′(x )=3x 2+2x +m 要使f (x )是R 上的单调函数, 需使Δ=4-12m ≤0, ∴m ≥13. 答案: m ≥1 3 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)若复数z =1+i ,求实数a ,b 使得az +2b z =(a +2z )2. 解析: 由z =1+i ,可知z =1-i ,代入az +2b z =(a +2z )2,得a (1+i)+2b (1-i)=[a +2(1+i)]2,即a +2b +(a -2b )i =(a +2)2-4+4(a +2)i. 所以? ???? a +2 b =(a +2)2 -4,a -2b =4(a +2), 解得????? a =-4,b =2或????? a =-2, b =-1. 18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln(1+x )-x +k 2x 2(k ≥0).当k =2时,求曲线y = f (x )在点(1,f (1))处的切线方程. 解析: 当k =2时,f (x )=ln(1+x )-x +x 2, f ′(x )=1 1+x -1+2x . 由于f (1)=ln 2,f ′(1)=3 2 , 所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -ln 2=3 2(x -1), 即3x -2y +2ln 2-3=0. 19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:当n ∈N *时,1+22+33+…+n n <(n +1)n . 证明: (1)当n =1时,左边=1,右边=2,1<2,不等式成立. (2)假设当n =k (k ∈N *)时不等式成立,即1+22+33+…+k k <(k +1)k ; 那么,当n =k +1时,左边=1+22+33+…+k k +(k +1)k + 1<(k +1)k +(k +1)k + 1=(k +1)k (k +2)<(k +2)k + 1=[(k +1)+1]k + 1=右边,即左边<右边, 即当n =k +1时不等式也成立. 根据(1)和(2)可知,不等式对任意n ∈N *都成立. 20.(本小题满分12分)设函数f (x )=x 3 3-(a +1)x 2+4ax +b ,其中a ,b ∈R . (1)若函数f (x )在x =3处取得极小值1 2,求a ,b 的值; (2)求函数f (x )的单调递增区间; (3)若函数f (x )在(-1,1)内有且只有一个极值点,求实数a 的取值范围. 解析: (1)因为f ′(x )=x 2-2(a +1)x +4a , 所以f ′(3)=9-6(a +1)+4a =0,得a =3 2. 由f (3)=1 2 ,解得b =-4. (2)因为f ′(x )=x 2-2(a +1)x +4a =(x -2a )(x -2), 令f ′(x )=0,得x =2a 或x =2. 当a >1时,f (x )的单调递增区间为(-∞,2),(2a ,+∞); 当a =1时,f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞); 当a <1时,f (x )的单调递增区间为(-∞,2a ),(2,+∞). (3)由题意可得? ???? a <1, f ′(-1)·f ′(1)<0,