2021中考数学复习微专题《解二次函数中三角形面积最值问题》

解二次函数中三角形面积最值问题

一、灵割巧补，间接转化求最值这里的割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解，补是指将所求图形填上一部分然后用补后的图形面积减去所补的部分面积.两种做法的实质都是间接的求出所求图形的面积.

例1在如图所示的直角坐标系中，有抛物线2424455

y x x =-+.连接AC ，问在直线AC 的下方，是否在抛物线上存在一点N ，使NAC V 的面积有最大值?若存在请求出此值;若不存在请说明理由.

解析设N 点坐标为2424(,4)55

a a a -+，(0,5)a ∈，如图所示过点A 作直线平行于x 轴，过点N 作直线平行于y 轴，与x 轴交于点F ，与AC 相交于点G ，两直线相交于点D .容易求得直线

AC 的方程445y x =-+，得出G 点坐标(4(,4)5a a -+，求出NG 的长为2445a a -+，111222ACN ANG CGN S S S NG OF NG CF NG OC =+=?+?=?V V V 2210a a =-+，故当52a =时三角形面积有最大值252，此时N 点的坐标为5(,3)2

-.点拨本题中将三角形割开求解的方法在应用中是较为常见的，此种方法也可视为是铅垂法，即三角形的面积等于三角形的水平宽与铅垂高的积的一半，本题中就是演示了整个的推理以及求解过程.

二、直线平移，化为切线求最值切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，即通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时(此时就是相切)存在长度的极值，借此来直接求出点的坐标.此法不用求出面积的解析式就可直接求解，是解题的新思路.

例2如图所示，在平面直角坐标系中，有一抛物线2142

y x x =+-，在第三象限的抛物线上是否存在一动点M ，使ABM V 面积存在最大值?若存在，求出最值;若不存在，说明理由.

解析以AB 作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值.将直线

AB 平移，与抛物线存在交点时，两直线的距离就是高的长度.观察图形可知，当直线与抛物线相切时有最大值，此时切点即为M 点.直线AB 方程为4y x =--.设平移后的直线方程为y x a =-+，设直线与抛物线的交点(,)M b b a -+，与抛物线联立整理得242(4)0b b a +-+=，相切就是方程有两个相等实根，也就是0=V .得6b =-.代入求出交点坐标(2,4)M --.这时可利用上例中提到的割补法求出三角形面积.在做题时灵活运用各种方法往往会使解题过程更加简化.因此有AMB MHOB AMH AOB

S S S S =+-V V V 11422444422

=?+??-??=.点拨本题中抓住二次函数根的分布规律，利用切线解题，在创新中又不乏对于基础

知识的解答.学生不必再去求三角形面积的解析式，这对于激发学生的创新兴趣有很大的帮助，而本题中体现的割补法又是对第一点中介绍的补充，使其更为完善.

三、三角函数，活学活用求最值对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形

中只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角度就可以表示出其余的边长，这给长度的求解带来极大的便利.

例3如图所示，在平面直角坐标系中有一抛物线2

23y x x =--+，在第二象限内是否存在一点P ，使PBC V 的面积最大?若存在，求出此最大值;不存在请说明理由.

解析题中BC 的长度是确定的，若求PBC V 的面积时以BC 为底，这样就方便很多，

只需要求出高的最值就可以了，此时利用三角函数求长度.设三角形高为PM ，过点P 作PF 垂直于x 轴于点E ，并交BC 于点F .只需要将PM 的长度用三角函数表示出来.设P 点的坐标为2(,23)a a a --+，也很容易求出F 点坐标，再求出PF 的长为23a a --.22sin sin (3)2PM PF PFM PF OCB a a =∠=∠=

--.整理可得23327()228S a =-++等故当32a =-

时，面积有最大值278.点拨题中通过三角函数的引入以及特殊角的三角函数值巧妙地表示出了PM 的长度，进而得出问题答案.通过上面的求解过程可以看出，此种方法的应用对于题中条件的设定是比较苛刻的，学生要仔细审题，灵活运用此方法.

2019年中考数学专题复习 函数与几何综合 含解析

函数与几何综合专题 解答题 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交 于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．

4．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值； （Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说 明理由． 6．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q． （1）试确定三角板ABC的面积； （2）求平移前AB边所在直线的解析式； （3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．

中考数学专题复习题及答案

2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）

2020中考数学复习微专题：最值(“胡不归”问题)

2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题） 突破与提升策略 【故事介绍】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归胡不归…”（“胡”同“何”） 而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家 2 驿道 【模型建立】 如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为 V 2，且V 1

121121=V AC BC BC AC V V V V ? ?++ ??? ，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】 构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ． M 将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小． M 【模型总结】 在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型． 而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 kPB 的等线段．

1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一 个动点，则CD + 的最小值是_______． A B C D E ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2 sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH =． H E D C B A A B C D E H 问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此 时 CD DH CH BE +===． 【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： E D C B 则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

重庆中考数学材料阅读24题练习题

2017年重庆中考材料阅读练习题 1、2017届南开（融侨）中学九上入学 24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质： （1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。数字111经过 三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。 （2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。 2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一 23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198； （2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。

3、2017届南开（融侨）中学九上期末 25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”． （1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”) （2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x =上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。 4、2017届一中九上月考三 24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得 a n b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7 a n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被 7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-?=， 因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律． （2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．

专题05 数据的收集整理与描述-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题05 数据的收集整理与描述 一、基础知识 1.总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体； 2.个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体； 3.样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本； 4.样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 5.全面调查：考察全面对象的调查叫全面调查. 全面调查也称作普查，调查的方法有：问卷调查、访问调查、电话调查等. 全面调查的步骤： （1）收集数据；（2）整理数据；（3）描述数据（条形图或扇形图等）. 6．抽样调查：若调查时因考察对象牵扯面较广，调查范围大，不宜采用全面调查，因此，采用抽样调查. 抽样调查只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况.抽样调查的意义： （1）减少统计的工作量； （2）抽样调查是实际工作中应用非常广泛的一种调查方式，它是总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查. 7．判断全面调查和抽样调查的方法在于： ①全面调查是对考察对象的全面调查，它要求对考察范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况. ②注意区分“总体”和“部分”在表述上的差异. 在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小. 调查方法：问卷，观察，走访，试验，查阅资料。 8．扇形统计图：生活中，我们会遇到许多关于数据的统计的表示方法，它们多是利用圆和扇形来表示整体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图. （1）扇形统计图的特点： ①用扇形面积表示部分占总体的百分比； ②易于显示每组数据相对于总体的百分比； ③扇形统计图的各部分占总体的百分比之和为100％或1. 在检查一张扇形统计图是否合格时，只要用各部分分量占总量的百分比之和是否为100％进行检查即可.

2017年重庆中考数学24题特殊数字类——阅读理解专题

重庆中考数学——阅读理解专题 1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818?=，∴1|8；Θ155?-=-，∴5|5--；Θ5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ； （2）若7|21k +，且k 为整数，满足??? ??≤≥-53134k k ，求k 的值. 2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n b a =，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得 n a =3 ，即n a 3=。 （1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。 （2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 1011031132332222222=+→=+→=+→， 1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→， 所以32和70都是“快乐数”． （1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ． ． 5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”； （2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.

中考数学《压轴题》专题训练含答案解析

压轴题 1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式； （2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。 解：（1）42033 y x =- + （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似． 当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ， ∵t>2.5，∴ 符合条件． ②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ， ∵t>2.5，∴ 符合条件．

综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似． （3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标； （2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）(31)E ，；(12)F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=． 设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠． ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =，2 2 1(2)5n ∴+-=． 解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）

中考数学专题训练函数综合题人教版

中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四）

5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3

中考数学专题复习基础训练及答案

基础知识反馈卡·1.1 时间：15分钟 满分：50分 一、选择题(每小题4分，共24分) 1．－4的倒数是( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－1 4 2．下面四个数中，负数是( ) A ．－5 B ．0 C ．0.23 D ．6 3．计算－(－5)的结果是( ) A ．5 B ．－5 C.15 D ．－1 5 4．数轴上的点A 到原点的距离是3，则点A 表示的数为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3 D ．6或－6 5．据科学家估计，地球年龄大约是4 600 000 000年，这个数用科学记数法表示为( ) A ．4.6×108 B ．46×108 C ．4.6×109 D ．0.46×1010 6．如果规定收入为正，支出为负．收入500元记作500元，那么支出237元应记作( ) A ．－500元 B ．－237元 C ．237元 D ．500元 二、填空题(每小题4分，共12分) 7．计算(－3)2＝________. 8.1 3 -＝______；－14的相反数是______． 9．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图J1－1－1，则a ______b (填“<”、“>”或“＝”)． 图J1－1－1 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7.__________ 9．__________ 三、解答题(共14分) 10．计算：︱－2︱＋(2＋1)0－-113?? ???.

时间：15分钟满分：50分 一、选择题(每小题4分，共12分) 1．化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为() A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3 2．衬衫每件的标价为150元，如果每件以8折(即按标价的80%)出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为() A．30元B．60元C．120元D．150元 3．下列运算不正确的是() A．－(a－b)＝－a＋b B．a2·a3＝a6 C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2D．3a－2a＝a 二、填空题(每小题4分，共24分) 4．当a＝2时，代数式3a－1的值是________． 5．“a的5倍与3的和”用代数式表示是____________． 6．当x＝1时，代数式x＋2的值是__________． 7．某班共有x个学生，其中女生人数占45%，用代数式表示该班的男生人数是________．8．图J1－2－1是一个简单的运算程序，若输入x的值为－2，则输出的数值为 ____________． 输入x―→x2―→＋2―→输出 图J1－2－1 9．搭建如图J1－2－2(1)的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图J1－2－2(2)、(3)的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管. 图J1－2－2 答题卡 题号12 3 答案 4.____________ 7.____________8.____________9.____________ 三、解答题(共14分) 10．先化简下面代数式，再求值： (x＋2)(x－2)＋x(3－x)，其中x＝2＋1.

专题19 作图问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题19 作图问题 一、基础知识 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 作图﹣基本作图包括（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 1.利用角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识. 2.圆的性质；比如：90°的圆周角所对应弦是直径． 3.平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 4.菱形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题关键． 5.其他知识。 二、对理解本节课知识点的例题及其解析 【例题1】已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D． 求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等． 【例题2】下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2 （1）在直线l上任取两点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ．

所以直线PQ就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是． 三、作图问题训练题及其答案和解析 1.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是（） A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD 2.如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（） A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧 C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧

中考数学专题训练--函数综合题

中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A

° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A

x

(1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22

重庆2020中考专题训练之材料阅读题(pdf版,无答案)

2019年材料阅读题专题 一．方程类 1．阅读下面的内容 用换元法求解方程组的解 题目：已知方程组①的解是， 求方程组②的解． 解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即 所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： （1）若方程组的解是，则方程组的解为； （2）若方程组①的解是，求方程组②的解．

2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．

3．阅读材料： 材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝ 根据上述材料解决下面问题； （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．

中考数学专题训练z

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到四边形EDCF，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到四 边形E1D1F F 1，它的面积记作S 1，照此规律作下去，则Sn = ． 2.如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n 的边长是( )（A）（B）（C）（D） 3．如图，在直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点 （n，0）……直线l n⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，……l n 分别交于点B1，B2，B3，……B n。如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的 面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，……四边形A n－1A n B n B n－1的面积记作 S n，那么S2011=_______________________。 5.如图，点A1、A2、A3、…在平面直角坐标系x轴上，点B1、B2、 B3、…在直线y＝ 3 3 x+1上，△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均 为等边三角形，则A2014的横坐标 . 1 3 1 - n n 3 1 1 3 1 + n2 3 1 + n 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 5 4 y=x A2 A3 B3 B2 B1 S1 S2 S3 A1 y=2x （第3题） 1/ 2

2020年九年级中考数学复习微专题《因式分解》专题提升练习(无答案)

2020年中考数学复习微专题 《因式分解》高频考点专题提升练习 一． 因式分解的定义 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A ．8a 2b ＝2a?4ab B ．－ab 3－2ab 2－ab ＝－ab(b 2＋2b) C ．4x 2＋8x －4＝4x ? ????x ＋2－1x D ．4my －2＝2(2my －1) 2．下列分解因式正确的是( ) A ．x 2－y 2＝(x －y)2 B ．a 2＋a ＋1＝(a ＋1)2 C ．xy －x ＝x(y －1) D ．2x ＋y ＝2(x ＋y) 3. 若多项式x 2－mx －21可以分解为(x ＋3)·(x －7)，则m ＝________． 4. 因式分解：a 2b －4ab ＋4b ＝____________． 5．利用因式分解计算：7.56×1.09＋1.09×6－12.56×1.09＝________． 二．提公因式分解因式 1. 多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．x 2－1 D ．(x －1)2 2. 把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是( ) A ．3x ()x 2－4x ＋4 B ．3x ()x －42 C ．3x ()x ＋2()x －2 D ．3x ()x －22 3．把x 3＋4x 分解因式的结果是( ) A ．x(x 2＋4) B ．x(x ＋2)(x －2) C ．x(x ＋2)2 D ．x(x －2)2

4. 若一个长方体的体积为(a3－2a2b＋ab2)立方厘米，高为(a－b)厘米，则这个长方体的底面积是________平方厘米． 5. 分解因式：4x2－12xy； 三．公式法分解因式 1.将4x2＋1再加上一项，不能化成(a＋b)2形式的是( ) A．4x B．－4x C．4x4 D．16x4 2. 若(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，则(a＋b)2＝________. 3. 若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内分解因式，则k的值可以是________(写出一个即可)． 4. 分解因式： （1）(x＋y)2＋64－16(x＋y)； (2)9(a＋b)2－(a－b)2. 5. 给出三个多项式：a2＋3ab－2b2，b2－3ab，ab＋6b2，请任选两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式．

2019年重庆中考数学材料阅读题专题

2019年重庆中考数学材料阅读题专题 一．方程类 1．阅读下面的内容 用换元法求解方程组的解 题目：已知方程组①的解是， 求方程组②的解． 解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即 所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： （1）若方程组的解是，则方程组的解为； （2）若方程组①的解是，求方程组②的解．

2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．

3．阅读材料： 材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝ 根据上述材料解决下面问题； （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．

2018年中考数学专题训练试卷及答案

2018年中考数学专题训练试卷及答案

目录 实数专题训练 (4) 实数专题训练答案 (8) 代数式、整式及因式分解专题训练 (9) 代数式、整式及因式分解专题训练答案 (12) 分式和二次根式专题训练 (13) 分式和二次根式专题训练答案 (16) 一次方程及方程组专题训练 (17) 一次方程及方程组专题训练答案 (21) 一元二次方程及分式方程专题训练 (22) 一元二次方程及分式方程专题训练答案 (26) 一元一次不等式及不等式组专题训练 (27) 一元一次不等式及不等式组专题训练答案 (30) 一次函数及反比例函数专题训练 (31) 一次函数及反比例函数专题训练答案 (35) 二次函数及其应用专题训练 (36) 二次函数及其应用专题训练答案 (40) 立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练 (41) 立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练答案 (45) 三角形专题训练 (46) 三角形专题训练答案 (50) 多边形及四边形专题训练 (51) 多边形及四边形专题训练答案 (54) 圆及尺规作图专题训练 (55)

圆及尺规作图专题训练答案 (59) 轴对称专题训练 (60) 轴对称专题训练答案 (64) 平移与旋转专题训练 (65) 平移与旋转专题训练答案 (70) 相似图形专题训练 (71) 相似图形专题训练答案 (75) 图形与坐标专题训练 (76) 图形与坐标专题训练答案 (81) 图形与证明专题训练 (82) 图形与证明专题训练答案 (85) 概率专题训练 (86) 概率专题训练答案 (90) 统计专题训练 (91) 统计专题训练答案 (95)

中考数学专题练习函数含答案

中考数学专题练习函数含 答案 The document was prepared on January 2, 2021

《函数》 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．在平面直角坐标系中，点A(－2，3)在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2．线段EF 是由线段PQ 平移得到的，点P （﹣1，4）的对应点为E （4，7），则点Q （﹣3，1）的对应点F 的坐标为( ) A ．（﹣8，﹣2） B ．（﹣2，﹣2） C ．（2，4） D ．（﹣6，﹣1） 3.函数1 x y x = +中的自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．1x ≠- C ．0x > D ．x ≥0且1x ≠- 4. 若点 在函数 的图象上，则 的值是（ ） B.－2 D. －1

5. 对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（ ） A ．函数值随自变量的增大而减小 B ．函数的图象不经过第三象限 C ．函数的图象与x 轴的交点坐标是（0，4） D ．函数的图象向下平移4个单位长度，可以得到2y x =-的图象 6. 对于函数x y 6 = ，下列说法错误的是 （ ） A. 图像分布在一、三象限 B. 图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大 D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小 7. 关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是（ ） A ．顶点坐标为(1，2-) B ．对称轴是直线1x = C ．开口方向向上 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小

8. 设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数x k y = 图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是 ． 10.在平面直角坐标系中，与点M （-2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 . 11.一次函数62+=x y 的图象与x 的交点坐标是 . 12．反比函数k y x =的图象经过点（2，－1），则k 的值为 . 13．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 . 14.小明放学后步行回家，如果他离家的路程s (米)与步行时间(t 分钟)的函数图象如图，他步行回家的平均速度是 米/分钟． 15.如图，已知A 点是反比例函数(0)k y k x =≠的图象上一点，AB y ⊥轴于 B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为 .

重庆中考数学阅读专题.

重庆中考数学阅读专题 1. 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． （1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由； （2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m． 2. （2017?重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字

对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）； （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值． 3. （2016?重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1； （2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

2020中考数学专题训练试题(含答案)

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2020中考数学专题训练试题（含答案） 目录 实数专题训练 (5) 实数专题训练答案 (9) 代数式、整式及因式分解专题训练 (11) 代数式、整式及因式分解专题训练答案 (15) 分式和二次根式专题训练 (16)

分式和二次根式专题训练答案 (21) 一次方程及方程组专题训练 (22) 一次方程及方程组专题训练答案 (27) 一元二次方程及分式方程专题训练 (28) 一元二次方程及分式方程专题训练答案 (33) 一元一次不等式及不等式组专题训练 (34) 一元一次不等式及不等式组专题训练答案 (38) 一次函数及反比例函数专题训练 (39) 一次函数及反比例函数专题训练答案 (45) 二次函数及其应用专题训练 (46) 二次函数及其应用专题训练答案 (53) 立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练 (55) 立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练答案 (62) 三角形专题训练 (64) 三角形专题训练答案 (71) 多边形及四边形专题训练 (72) 多边形及四边形专题训练答案 (78) 圆及尺规作图专题训练 (79)

圆及尺规作图专题训练答案 (85) 轴对称专题训练 (87) 轴对称专题训练答案 (94) 平移与旋转专题训练 (95) 平移与旋转专题训练答案 (104) 相似图形专题训练 (106) 相似图形专题训练答案 (113) 图形与坐标专题训练 (114) 图形与坐标专题训练答案 (123) 图形与证明专题训练 (125) 图形与证明专题训练答案 (131) 概率专题训练 (132) 概率专题训练答案 (140) 统计专题训练 (141) 统计专题训练答案 (148)