Romberg算法
数学与计算机学院数值计算实验报告
年级 2011 学号 2011434061 姓名张硕硕成绩
专业信息与计算科学实验地点主楼402 指导教师高少芹
实验项目 Romberg算法实验日期 2013.11 一、实验题目
Romberg算法
二、需求分析
(1)使用的相关开发工具为Matlab
(2)输入的形式以及输出的形式:
输入romberg（0,3*pi,10^-8）
输出形式:
T =
4.7124 0 0 0 0 0 0 0
1.3562 0.2375 0 0 0 0 0 0
1.6209 1.7091 1.8073 0 0 0 0 0
1.6622 1.6760 1.6738 1.6717 0 0 0 0
1.6717 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 0 0 0
1.6740 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 0
1.6746 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 0 1.6747 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 1.6748 p =
1.6748
(3)程序所能达到的功能
用Romberg算法可以计算规定精度的定积分。
(4)测试数据：
I=错误！未找到引用源。，eps=10^-8.
①%定义所求函数
function z=f(x)
z=sin(x);
End
②输入romberg(0,3*pi,10^-8);敲回车键。
结果见上题
三、程序流程图
四、数据结构及算法描述
1．输入a,b(积分下、上限)，eps(计算精度)
2．h=b-a
T0(0)=h*[f(a)+f(b)]/2 %编写或调用函数文件计算f(x)的值
l=1
3．（1）n=2^(l-1)
h:=h/n
f=0
（2）for k=0:n-1
f=f+f(a+(2k+1)h/2)
end
（3）T0(l)=T0(l-1)/2+h*f/2
4．for m=1:l
for k=1:l-m+1
Tm(k+1)=(4^mTm-1(k)-Tm-1(k-1))/(4^m-1)
end
end
5．if |Tl(0)-Tl-1(0)|<=eps
goto 6
else l:l+1
goto 3
end
6．输出 Tl(0)
五、调试分析
内容包括：
(1)调试过程中遇到的问题及解决方案：
①所求积分函数定义的m文件不能调用，反复修改，直至正确。
②精度出现问题，与所求函数精度不符，把Romberg主程序定义为一个
函数，精度即可输出正确。
(2)通过本实验使我学会了在计算机上使用数值方法计算定积分错误！未找
到引用源。的近似值，也对Romberg算法理解更深一步。
六、使用说明
输入romberg（0,1,10^-8）
七、测试结果
三、实验任务
（1）将上述程序录入计算机，并进行调试。
（2）用调试好的程序计算错误！未找到引用源。的近似值，取精度为eps=10^-8。
步骤一：先编制计算机函数值的程序
%把函数写入m文件，文件名为f.m
function z=f(x)
if(x~=0)
z=sin(x)/x;
else
z=1;
end
步骤二：执行上述Romberg算法，输出的T—数表为（参考）
T=
（3）用下列方法计算积分
的近似值，其中b分别取为0.1,0.3,0.5,0.7,0.9。
%把函数写入m文件，文件名为f.m
function z=f(x)
z=(1-(k*cos(x))^2)^(1/2);
end
romberg(0,2*pi,10^-8);
(1)k=0.1
T =
[ 6.2516904, 0.]
[ 6.2516904, 6.2516904]
(2)k=0.3
T =
[ 5.9937768, 0.] [ 5.9937768, 5.9937768]
(3)k=0.5
T =
[ 5.4413981, 0.] [ 5.4413981, 5.4413981]
(4)k=0.7
T =
[ 4.4870918, 0.] [ 4.4870918, 4.4870918] (5)k=0.9
T =
[ 2.7387770, 0.] [ 2.7387770, 2.7387770]
八．附录
源程序
%输入a,b(积分上下限)，eps（计算精度）function p=romberg(a,b,eps)
h=b-a;
k=1;
T(1,1)=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;
err=1;
while(err>eps)
new=0;
for j=1:2^(k-1)
x=a+(2*j-1)*h/2;
new=new+f(x);
end
T(k+1,1)=(T(k,1)+h*new)/2;
for m=1:k
T(k+1,m+1)=(4^m*T(k+1,m)-T(k,m))/(4^m-1); end
err=abs(T(k+1,m+1)-T(k,m));
k=k+1;
h=h/2;
end
k,m
%输出T-数表
T
%输出积分值
p=T(k,k)
数值分析综述-《数值分析与算法》徐士良
第2章矩阵与线性代数方程组 一般的线性代数方程组，A非奇异可根据Cramer法则求解方程唯一解但是它的计算量很大。 高斯消元法的算法时间复杂度是O(n3)，可以解一系列的线性方程；所占数据空间符合原地工作的原则。但是算法对数值计算不稳定（当分母为0或很小时）。可以用在计算机中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。 解决高斯法中的不稳定性，在每次归一化前增加选主元（列选主元、全选主元）过程。但是列选主元法仍不稳定，不适求解大规模线性代数方程组。全选主元的高斯消去法，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。 高斯-约当消去法算法产生出来的矩阵是一个简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。相比起高斯消元法，此算法的效率比较低，却可把方程组的解用矩阵一次过表示出来。线性代数方程组的迭代解法 简单迭代法：迭代格式发散但迭代值序列不一定发散，但收敛格式收敛，迭代值序列收敛于方程组的准确解与选取迭代初值无关。 雅可比迭代法: 计算公式简单，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。但是收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。 高斯-赛德尔迭代法：较上面的迭代复杂，但是矩阵的条件相对宽松。 松弛法：需要根据经验去调整，收敛速度依赖松弛参数的选择，收敛条件的要求更宽松。共轭梯度法：是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 第3章矩阵特征值 乘幂法计算绝对值最大的特征值：其收敛速度受限于最大与次大特征值比值绝对值的大小，实际应用中采用加速技术。 求对称特征值的雅克比方法96：每进行一次选装变换钱都需要在飞对角线的元素中选取绝对值最大的元素，很费时间，雅克比过关法对此做了改进。 QR方法求一般实矩阵的全部特征值98下100下：重复多次进行QR分解费时，计算工作量很大。一般先进行相似变换然后进行QR分解。但是这样仍然收敛速度慢，一般是线性收敛。实际应用中使用双重步QR变换将带原点的QR算法中相邻两步合并一步，加速收敛避免复数运算。 第4章非线性方程与方程组 二分法：每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。优点是简单，但是不能计算复根和重根。 简单迭代法：直接的方法从原方程中隐含的求出x，从而确定迭代函数 (x)，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多。 埃特金迭代法113中：对简单迭代进行改进，使在其不满足收敛条件下迭代过程也收敛，在其收敛时加快收敛速度，减少迭代次数降低时间复杂度。 牛顿迭代法：其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，收敛速度快。而且该法还可以用来求方程的重根、复根。缺点：初值的选择会影响收敛结果。 牛顿下山法：保证函数值稳定下降，且有牛顿法的收敛速度。
浅谈几种综合国力测算方法
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研究生课程（论文类）试卷
2 0 1 6 /2 0 1 7 学年第一学期
课程名称：
国民经济统计学
课程代码：
论文题目： 浅谈几种综合国力测算方法
学生姓名：
专业﹑学号：
统计学
学院：
理学院
课程（论文）成绩： 课程（论文）评分依据（必填）：
任课教师签字： 日期： 年 月 日
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浅谈几种综合国力测算方法
摘要：综合国力，是国家实力和权力的综合体现。国家实力是指一国自己做事的 能力，是一个绝对概念。有学者把实力定义为“逾越障碍和影响结果的能力”[1] 。 权力则指一国促使别国做事的能力，是一个相对概念。有学者将权力定义为“促 使其他行为体做其原本不会去做的事情”[2] 。在国际竞争中，国家实力与权力这 两个概念的最根本区别在于：实力不以国家关系为前提，或无须以他国为参照系， 而权力则是以国家关系为前提。
一、中西方对综合国力观点的差异
对于综合国力的定义，中西方学者的观点存在若干差异，西方学者侧重于强 调国家权力的比较，其代表思想是以强权治为中心。20 世纪 80 年代美国中央情 报局前副局长克莱因说：“国家在国际舞台的实力是该国政府影响他国政府主动 或者被动去做某件事的能力，不论是通过说服、威胁甚至是通过武力。”而在今 天变化多端的国际环境下，西方学者认为，国家实力并不只是国家之间相互影响 的能力。而是利用经济、军事、外交或其他软实力相结合的方法来影响他国的能 力。
但中国学者则更偏向于国家实力的比较，认为综合国力更多的是强调国家的 和平与发展，即再保护本国国家利益的基础上，与他国互惠互利、和平共处。学 者黄硕风在其 2001 年出版的《综合国力新论》中说道：“综合国力是国家生存 与发展所拥有的全部实力，包括物质力、精神力及国际影响力”，学者王诵芬在 其 1996 年出版的《世界主要国家综合国力研究》中写道：“综合国力是国家拥 有的各种力量的有机总和，是国家赖以生存和发展的基础，也是强国确立国际地 位、发挥国际影响作用的基础。”
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重积分的计算方法
重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：
在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）
(精选)实验二 数值方法计算积分
实验二数值方法计算积分 学号：姓名：指导教师：实验目的 1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法； 2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用； 3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积 方法计算积分的原理。 一、用不同数值方法计算积分 10x ln xdx=-94. (1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关 于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小 的h，使得精度不能再被改善？ (2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。 二、实现实验 1、流程图： 下图是龙贝格算法框图：
2、 算法： (1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h 2∑-=1 1 )](n k xk f ； (2) 复合辛普森公式：Sn=6h [f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1 )2/1(n k x f ]； 以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。 (3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式 1、Sn= 34T2n-31 Tn 2、 Cn=1516S2n-151 Sn 3、 Rn=6364C2n-631 Cn 从而实现算法。 3、 程序设计 （1）、复合梯形法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0. 001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); （2）、复合辛普森法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0 .001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); （3）龙贝格法： function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4; end; M=1; tol=10; k=0; T=zeros(1,1); h=b-a; T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
【免费下载】数值分析的几个简单算法实现
数值分析的几个简单算法实现 Matlab6.5 function x=Aitken(fname,x0,N,e) k=1;e=1e-5;x2=x0+2*e; while abs(x2-x0)>e&k
end disp(x); end %牛顿法 function x=newton(fname,dfname,x0,e,N) if nargin<5;N<500;end; if nargin<4;e=1e-4;end; x=x0;x0=x+2*e;k=0; while abs(x0-x)>e&k
几种常用数值积分方法的比较汇总
学科分类号110.3420 州 GUIZHOU NORMAL COLLEGE 本科毕业论文 题目—几种常用数值积分方法的比较_____________ 姓名潘晓祥学号1006020540200 院（系）数学与计算机科学学院 __________________ 专业数学与应用数学年级_____________2010级 指导教师雍进军职称______________________讲师 二O—四年五月
贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月曰
贵州师范学院本科毕业论文（设计）任务书
研究方法: 本论文主要通过对相关文献和书籍的参考，合自己的见解，复化求积公式，Newton —Cotes求积公式,Romberg求积公式，高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度，求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较完成期限和采取的主要措施： 本论文计划用6个月的时间完成，阶段的任务如下： (1) 7月份查阅相关书籍和文献； (2) 8月份完成开题报告并交老师批阅； (3) 9月份完成论文初稿并交老师批阅； (4) 10月份完成论文二搞并交老师批阅； (5) 11月份完成论文三搞； (6) 12月份定稿. 主要措施：考相关书籍和文献，合自己的见解，老师的指导下和同学的帮助下完成 主要参考文献及资料名称： [1] 关治?陆金甫?数学分析基础(第二版) [M].北京：等教育出版社.2010.7 [2] 胡祖炽.林源渠.数值分析[M]北京：等教育出版社.1986.3 [3] 薛毅.数学分析与实验[M] 北京：业大学出版社2005.3 [4] 徐士良.数值分析与算法[M].北京：械工业出版社2007.1 [5] 王开荣.杨大地.应用数值分析[M]北京:等教育出版社2010.7 [6] 杨一都.数值计算方法[M].北京:等教育出版社.2008.4 [7] 韩明.王家宝.李林.数学实验(MATLAB版[M].上海：济大学出版社2012.1 [8] 圣宝建.关于数值积分若干问题的研究[J].南京信息工程大学.2009.05.01. : 42 [9] 刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较[J].南京职业技术学院.2009. [10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M].北京理工大学出版社.2010.4. 指导教师意见: 签名： 年月日
数值分析计算方法
《计算方法》实验内容 一．实验一：用两种不同的顺序计算 644834.110000 1 2 ≈∑=-n n ，分析其误差的变化。 1.实验目的：通过正序反序两种不同的顺序求和，比较不同算法的误差；了解在计算机中大数吃小数的现象，以后尽量避免；体会单精度和双精度数据的差别。 2.算法描述：累加和s=0； 正序求和： 对于n=1,2,3,......,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和： 对于n=10000,9999,9998,.....,1 s+=1.0/(n*n); 3.源程序： #双精度型# #include
4.运行结果： 双精度型运行结果： 单精度型运行结果： 5.对算法的理解与分析：舍入误差在计算机中会引起熟知的不稳定，算法不同，肯结果也会不同，因此选取稳定的算法很重要。选取双精度型数据正反序求和时结果一致，但选用单精度型数据时，求和结果不一致，明显正序求和结果有误差，所以第一个算法较为稳定可靠。 二．实验二： 1、拉格朗日插值 按下列数据 x i -3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 y i 1.0 1.5 2.0 2.0 1.0 作二次插值，并求x 1=-2，x 2 =0，x 3 =2.75时的函数近似值 2牛顿插值 按下列数据 x i 0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72 y i 1.0440 3 1.0846 2 1.1180 3 1.1560 3 1.19817 1.23223 作五次插值，并求x 1=0.46，x 2 =0.55，x 3 =0.60时的函数近似值. 1.实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析各自的优缺点。 2.算法描述： 3.源程序： 拉格朗日插值： #include
数值分析与算法变步长梯形求积法计算定积分
变步长梯形求积法计算定积分 1．原理： 变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。 主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+; 2．C++语言实现方式： 通过每次的T n值和新增的函数值点计算T2n，再通过判断|T n-T2n|的大小来判断是否达到精度要求。 3．源程序如下： #include"" #include"" double f(double x)//预先输入的待积分函数 { double s; s=log(x*x); return(s); } double ffts(double a,double b,double eps) { int n,k; double fa,fb,h,t1,p,s,x,t; fa=f(a);
fb=f(b); n=1; h=b-a; t1=h*(fa+fb)/2; p=eps+1; while(p>=eps) { s=0; for(k=0;k<=n-1;k++) { x=a+(k+*h; s=s+f(x); } t=t1/2+h*s/2; p=fabs(t1-t); cout<<"步长n为:"< 目录 第一章数值积分计算的重述 (1) 1.1引言 (1) 1.2问题重述 (2) 第二章复化梯形公式 (3) 2.1 复化梯形公式的算法描述 (3) 2.2 复化梯形公式在C语言中的实现 (3) 2.3 测试结果 (4) 第三章复化simpson公式 (6) 3.1 复化simpson公式的算法描述 (6) 3.2 复化simpson公式在C语言中的实现 (6) 3.3 测试结果 (7) 第四章复化cotes公式 (8) 4.1 复化cotes公式的算法描述 (8) 4.2 复化cotes公式在C语言中的实现 (9) 4.3 测试结果 (10) 第五章Romberg积分法 (11) 5.1 Romberg积分法的算法描述 (11) 5.2 Romberg积分法在C中的实现 (12) 5.3 测试结果 (13) 第六章结果对比分析和体会 (144) 参考文献 (16) 附录 (16) 数值积分?-10 2 dx e x （一） 第一章 数值积分计算的重述 1.1引言 数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。 在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 ()() () b a f x d x F b F a =-? 其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge 现象。如7n >时,Newton-Cotes 公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的Newton-Cotes 公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复化的基本思想。本文主要 第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为 一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2) 显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域. 工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用） [由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用] 一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045…,取* x = 2.71828 b) 数学家祖冲之取 113355 作为π的近似值. c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字) c) 算法数值稳定性 (不超过60字) 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3 x 时的相对误差约等于x 的相对 误差的3倍。 4) 计算球体积3 34r V π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对 误差的允许范围。 5） 计算下式 341 8 )1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P ）（ 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 ?????=-==- ,2,1,1102 10n y y y n n 如果取 * 041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到 10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. 插值问题: 1) 设函数 )(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为 54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式 )(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数 山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名：论文作者签名： 年月日年月日 浅谈复积分的计算方法 摘要 复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来. 本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨. 关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 Discussion on the computational methods of complex integration 《数值分析与算法》喻文健，清华大学出版社，例题matlab源程序 %P33 example 2-2 a=1.0; b=1.5; while b-a>eps x=a+(b-a)/2 if f_ex22(a)*f_ex22(x)>0 a=x; else b=x; end end %P36 example 2-4 x=1.5 for i=1:10 x=(x+2)^(1/4) end %P42 example 2-7 x=1.5 for i=1:10 x=(3*x^4+2)/(4*x^3-1) end %P54 example2-9 x01=1; x02=2; x0=[x01;x02]; for i=1:8 x01=x0(1,1); x02=x0(2,1); f01=x01+2*x02-2; f02=x01^2+4*x02^2-4; J01=[1,2]; J02=[2*x01,8*x02]; s0=inv([J01;J02])*[f01;f02]x1=x0-s0 x0=x1; end P94 example 3-14 A=[5 -1 -1;-1 3 -1;-1 -1 5]; A(:,1)=A(:,1)./sqrt(A(1,1)); A(2,2)=sqrt(A(2,2)-A(2,1)^2); A(3,2)=(A(3,2)-A(3,1)^2)/A(2,2); A(3,3)=sqrt(A(3,3)-A(3,1)^2-A(3, 2)^2); %%% P111, 6 n=12; a=hilb(n); x=ones(n,1); b=a*x; b=b+10^(-7)*ones(n,1); L=chol(a,'lower'); %Cholesky y=ones(n,1); y(1)=b(1)/L(1,1); for i=2:n y(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1)*y(1:i-1,1)))/L(i,i);%% L lower end M=L'; x(n)=y(n)/M(n,n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-sum(M(i,i+1:n)*y(i+1: n,1)))/M(i,i);%% L' upper end r=b-a*x; delt_x=x-ones(n,1); norm_r=norm(r,inf) % norm of r norm_delt_x=norm(delt_x,inf) % norm of delt_x 埃特金迭代法求解方程的根 1．原理： 埃特金迭代法是利用两次迭代结果通过计算得到下一个x的值，这样加快了迭代式的收敛速度。 x’n+1=ψ(xn); x’’n+1=ψ(x’n+1); x n+1=x’’n+1-(x’’n+1-x’n+1)2/(x’’n+1-2x’n+1+xn); 利用这种方法求解方程的根会更快地得到结果。 2．C++语言实现方式： 设置一个x变量，通过循环得到每次迭代后的结果存入x作为下次迭代的值，实现若干次的迭代。当迭代满足输入要求的精度或者达到迭代次数时退出循环并输出迭代次数。 3．源程序如下： #include"math.h" #include { x0=v; flag=1; } else x0=v-(v-u)*(v-u)/(v-2*u+x0); cout<<"迭代第"< 几种特殊积分的计算方法 1前言 积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念. 在古印度数学（英语：Indian mathematics）的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理.数学分析的创立始于17 世纪以牛顿（Newton, I.）和莱布尼茨（Leibniz, G.W.）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy, A.-L.）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass, K.(T.W.)）为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析（参见“分析学”）.数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容.微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学则从总体上研究微小变化（尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分，求积分的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容.牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分 6 数值积分 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且原函数为)(x F ，则可用牛 顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a -=?计算定积分。然而很多函数 无法用牛顿―莱布尼兹公式求定积分。 一个简单被积函数，例如错误!未找到引用源。dx cx bx a ?++2，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x >> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x) ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2 所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数)(x P n 来近似代替被积分函数)(x f ，然后通过求?b a n dx x P )(得?b a dx x f )(的近似值。 6.1 插值型求积公式 设?=b a dx x f I )(* ，插值型求积公式就是构造插值多项式)(x P n ，使 ?=≈b a n dx x P I I )(*。 构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a b a x a f b a b x x P --+--= ，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=?? ? ???--+--==??称为梯形公式。 三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲数值积分 (论文)
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