导数与函数专题 第1练：导数概念及其运算

一、选择题

1．若函数y ＝f (x )在x ＝a 处的导数为A ，则li m

Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a －Δx )Δx

为( ) A ．A

B ．2A C.A 2 D ．0 2．(2016·云南统一检测)函数f (x )＝ln x －2x x

在点(1，－2)处的切线方程为( ) A ．2x －y －4＝0

B ．2x ＋y ＝0

C ．x －y －3＝0

D ．x ＋y ＋1＝0

3．曲线y ＝ax cos x ＋16在x ＝π2

处的切线与直线y ＝x ＋1平行，则实数a 的值为( ) A ．－2π

B.2π

C.π2 D ．－π2

4．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13

x 3＋ax 2＋(

a 2

－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )

A.13

B ．－23 C.73 D ．－13或53

5．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23

上的任意一点，则P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )

A.????0，π2∪???

?5π6，π B.????2π3，π C.????0，π2∪????2π3，π D.????π2，5π6

6．(2016·昆明模拟)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 015(x )等于( )

A ．sin x

B ．－sin x

C ．cos x

D ．－cos x

7．(2017·长沙调研)曲线y ＝13

x 3＋x 在点???1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.29

B.19

C.13

D.23

8．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′????π6，则f ????－π3与f ???

?π3的大小关系是( ) A ．f ????－π3＝f ???

?π3 B ．f ????－π3>f ????π3 C ．f ????－π3

?π3 D ．不确定

二、填空题

9．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是____________．

10．已知函数f (x )＝－f ′(0)e x ＋2x ，点P 为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线l 上的一点，点Q 在曲线y ＝e x 上，则|PQ |的最小值为________．

11．(2016·黄冈模拟)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.

12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 015＝________.

答案精析

1．B [由于Δy ＝f (a ＋Δx )－f (a －Δx )，

其改变量对应2Δx ， 所以0()()lim x f a x f a x x

?→+?--?? ＝0

()()2lim 2x f a x f a x x ?→+?--?? ＝2f ′(a )＝2A ，故选B.]

2．C [f ′(x )＝1－ln x x 2

，则f ′(1)＝1，故函数f (x )在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.]

3．A [设y ＝f (x )＝ax cos x ＋16，则f ′(x )＝a cos x －ax sin x ，又因为曲线y ＝ax cos x ＋16在x ＝π2处的切线与直线y ＝x ＋1平行，所以f ′(π2)＝－a π2＝1?a ＝－2π

，故选A.] 4．D [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，

∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除．

若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53

； 若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，

∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13

.] 5．C [因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，

所以切线倾斜角α的取值范围是????0，π2∪???

?2π3，π.] 6．D [∵f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝cos x ，

f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，…，

∴f n (x )＝f n ＋4(x )，故f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x ，

∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.]