2019-2020学年河南省新乡市卫辉市九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年河南省新乡市卫辉市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，最小的数是（）
A．﹣2020B．2020C．D．
2．（3分）共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保，据相关部门2018年11月统计数据显示，郑州市互联网租赁自行车累计投放超过49万辆，将49万用科学记数法表示正确的是（）
A．4.9×104B．4.9×105C．0.49×104D．49×104
3．（3分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，你认为从左面看到的这个几何体的形状图是（）
A．B．C．D．
4．（3分）已知点P（3a﹣3，1﹣2a）关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．
C．D．
5．（3分）下列说法中，正确的是（）
A．为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式
B．在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C．小强班上有3个同学都是16岁，因此小强认为他们班学生年龄的众数是16岁
D．给定一组数据，则这组数据的中位数一定只有一个
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
7．（3分）从九年级一班3名优秀班干部和九二班2名优秀班干部中随机抽取两名学生担任升旗手，则抽取的两名学生刚好一个班的概率为（）
A．B．C．D．
8．（3分）某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长8dm、宽为5dm的矩形内画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积等于22dm2（如图），若设彩纸的宽度为x分米，则可得方程为（）
A．40﹣10x﹣16x＝18B．（8﹣x）（5﹣x）＝18
C．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18D．40﹣5x﹣8x+4x2＝22
9．（3分）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（）
A．18.75米B．18.8米C．21.3米D．19米
10．（3分）如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）的平方根是．
12．（3分）一个不透明布袋里共有5个球（只有颜色不同），其中3个是黑球，2个是白球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球是一黑一白的概率是．
13．（3分）已知点A（2，y1），B（﹣2，y2），C（0，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x+4的图象上，y1，y2，y3的大小关系是．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF ＝．
15．（3分）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为．
三、解答题（本大题共8题，共75分，请认真读题）
16．（8分）先化简，再求值：（1﹣），其中a是方程a（a+1）＝0的解．
17．（9分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查了个家庭；
（2）将图①中的条形图补充完整；
（3）学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度；
（4）若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？
18．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC＝CD，连接AD交⊙O于点E，过点C 作CF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AE＝2，sin∠BAE＝，求CF的长．
20．（9分）被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点，学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大玉米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表．
项目内容
课题测量郑州会展宾馆的高度
测量示意图如图，在E点用测倾器DE
测得楼顶B
的仰角是α，前进一段距离
到达C点用测倾器CF测
得楼顶B的仰角是β，且
点A、B、C、D、E、F均
在同一竖直平面内
测量数据∠α的度数∠β的度
数EC的
长度
测倾器
DE
，CF的
高度
40°45°53米 1.5米……
请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）
21．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
22．（10分）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：的值为；∠AMB的度数为，
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．
23．（11分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）设点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①求PN的最大值；
②若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，请直接写出点M的坐标．
2019-2020学年河南省新乡市卫辉市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：∵﹣2020＜﹣＜＜2020，
∴所给的各数中，最小的数是﹣2020．
故选：A．
2．【解答】解：49万＝4.9×105．
故选：B．
3．【解答】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，
所以从左面看到的这个几何体的形状图是：
故选：D．
4．【解答】解：∵点P（3a﹣3，1﹣2a）关于x轴的对称点在第三象限，
∴P点在第二象限，
∴，
解得：＞a，
如图所示：．
故选：B．
5．【解答】解：A、调查市场上酸奶的质量情况，破坏性较强，应该用抽样调查，故此选项错误；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩不稳定，故本选项错误；
C、虽然小强班上有3个同学都是16岁，但不一定是班里学生人数最多的，所以不一定是众数，故本选项错误；
D、给定一组数据，则这组数据的中位数一定只有一个，故本选项正确；
故选：D．
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，
∴，
解得：k＞﹣1．
故选：A．
7．【解答】解：画树形图得：
∴一共有20种情况，抽取的两名学生刚好一个班的有8种，
∴抽取的两名学生刚好一个班的概率为＝．
故选：B．
8．【解答】解：若设彩纸的宽度为x分米，
则（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，
故选：C．
9．【解答】解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴＝，
即＝，
∴MN＝1.6×200÷15≈21.3（m），
答：楼房MN的高度为21.3m．
故选：C．
10．【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C10在x轴下方，
相当于抛物线C1向右平移3×9＝27个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C10的解析式为y＝（x﹣27）（x﹣27﹣3）＝（x﹣27）（x﹣30），
∵P（28，m）在第10段抛物线C10上，
∴m＝（28﹣27）（28﹣30）＝﹣2．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【解答】解：的平方根是±2．
故答案为：±2
12．【解答】解：设黑球为A、B、C；白球为1，2，
列树状图为：
所有可能情况有25种，其中两次摸出的球是一黑一白的结果有12，
两次摸出的球是一黑一白的概率为＝，
故答案为：．
13．【解答】解：x＝2时，y1＝4﹣4+4＝4，
x＝﹣2时，y2＝4+4+4＝12，
x＝0时，y3＝4，
∴y2＞y1＝y3，
故答案为y2＞y1＝y3，．
14．【解答】解：设AP＝x，PD＝4﹣x，由勾股定理，得AC＝BD＝＝5，∵∠P AE＝∠CAD，∠AEP＝∠ADC＝90°，
∴Rt△AEP∽Rt△ADC；
∴＝，
即＝﹣﹣﹣（1）．
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB，
∴＝﹣﹣﹣（2）．
故（1）+（2）得＝，
∴PE+PF＝．
另解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，∴PE+PF＝＝．
15．【解答】解：如图，
由翻折的性质，得
AB＝AB′，BE＝B′E．
①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN＝x，得
B′E＝．
△B′EN∽△AB′M，
＝，即＝，
x2＝，
BE＝B′E＝＝．
②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN＝x，得
B′E＝，
△B′EN∽△AB′M，
＝，即＝，
解得x2＝，BE＝B′E＝＝，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8题，共75分，请认真读题）
16．【解答】解：原式＝?
＝，
由于a（a+1）＝0，
∴a＝0或a＝﹣1，
由分式有意义的条件可知a＝0需要舍去，
∴a＝﹣1，
∴原式＝．
17．【解答】解：（1）本次抽样调查的家庭数是：30÷＝200（个）；
故答案为：200；
（2）学习0.5﹣1小时的家庭数有：200×＝60（个），
学习2﹣2.5小时的家庭数有：200﹣60﹣90﹣30＝20（个），
补图如下：
（3）学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×＝36°；
故答案为：36；
（4）根据题意得：
3000×＝2100（个）．
答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．
18．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）＝|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）＝1+4|m|，
而|m|≥0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是1，
∴|m|＝2，
解得：m＝±2，
∴原方程为：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4．
即m的值为±2，方程的另一个根是4．19．【解答】解：（1）连接OC．
∵BC＝CD，OB＝OA，
∴OC∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
（2）连接BE．
∵AB是直径，
∴∠BEA＝90°，
∵sin∠BAE＝＝，设BE＝2k，AB＝3k，则AE＝k，
∵AE＝2，
∴k＝2，BE＝4，
∵CF∥BE，BC＝CD，
∴EF＝DF，
∴CF＝BE＝2．
20．【解答】解：由题意可得：设BN＝FN＝x，
则tan40°＝＝≈0.84，
解得：x＝278.25，
故AB＝278.25+1.5≈280（米），
答：郑州会展宾馆的高度为280米．
21．【解答】解：（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）根据（1）得：
y＝﹣10x2+110x+2100，
y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
22．【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝40°，OA＝OB，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∠OAB+∠OBA＝180°﹣40°＝140°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∴＝1，∠AMB＝180°﹣∠MAH﹣∠HAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝40°，故答案为：1；40°；
（2）∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，
在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，
∴＝tan30°＝，
同理，＝，
∴＝，
∴＝，
又∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，
∴∠AMB＝180°﹣∠CAO﹣∠OAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝90°，
∴＝，∠AMB＝90°．
23．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+c交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0＝﹣2+c，解得c＝2，
∴B（0，2），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
将点A、B的坐标代入抛物线表达式并解得：
y＝﹣x2+x+2；
（2）①M（m，0），则P（m，），N（m，﹣m2+m+2），
∴PN＝﹣m2+m+2﹣＝﹣m2+4m（0≤m≤3）；
当m＝时，线段PN有最大值为3；
②由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），
∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，
当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠NBP＝90°，
∴∠NBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）．