群论02_第二章

2.第二章群论自测练习

第二章 群论 自测练习 一、概念解释 1. 置换 2. 群的方程定义 ３群的公理化定义 ４. 群的阶 ５.循环群 6. 群的指数 二、判断题 1．对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。 2.任何一个子群都同一个变换群同构。 3． 设1H ,2H 均为群Ｇ的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） ４. 群G 的不变子群N 的不变子群Ｍ未必是G 的不变子群。（ ) 5.4S 的置换??? ? ??=34124321π是一个4—循环置换。 ６. 群G 中元素a 的逆元存在,但不一定唯一。 三、选择题 １. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。 A. ),(+N Ｂ. ),(+Q C. ),(*+Z ， 其中是非零整数集合 Ｄ． ),(+C 2. 设e 是群G 的单位元,b a ,是G 的两个元素，则( )。 A. 111)(---=b a ab B. 222)(---=b a ab Ｃ. 若e a =2，则1-=a a D.ba ab = 3.精确到同构, 4阶群有( )个。 A. 1 B. ２ C. 3 D. 4 ４. 以下结论正确的是 （ )。 A.全体非零整数对普通乘法作成一个群 B.全体奇数对普通加法作成一个群 Ｃ.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群 D.、实数域上行列式等于１的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群 5. 若,H K 分别是群G 的20１1阶， 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ） 。 A.１阶子群 B.２0１1阶子群 C.2０12阶子群 D.２01１?2０１2阶子群 6． 以下结论正确的是 ( )。 A ．无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限 B.无限群中至少有一个无限阶元

第2章 群论

第二章群论 群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。 在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是： 一、群在的定义及其基本性质七、循环群； 二、单位元、逆元、消去律；八、子群； 三、有限群的另一定义；九、子群的陪集； 四、群的同态；十、不变子群、商群； 五、变换群；十一、同态与不变子群。 六、置换群； §2.1 群的定义 ●课时安排约1课时 ●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35 群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。 定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。 （2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元； （3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元； （4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。 定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。 例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。 例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。 例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。 习题选讲：P38 1，3 ●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。 ●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。 ●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。 ●布置作业 P35 1，3（2） ●教学辅导