45==B A C B A ==
（2）边判别： 少用 少用 2
22c b a =+ c b a ≠= ???==+b
a c
b a 222
c b a ==
◆考点剖析
（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用
例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.
例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求22
11
OM ON +
的最大值和最小值．
变式1、在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，已知bc ac c a ac b -=-=2
2
2
,且， （１）求∠Ａ的大小； （２）求c
B
b sin 的值
变式2、在ΔABC 中，已知6
6
cos ,364==
B AB ，A
C 边上的中线BD=5，求sinA 的值
变式3、在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
510sin ,sin 510
A B =
= （I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。
（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用
例3、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
变式4、△ABC 中的三c b a ,,和面积Ｓ满足Ｓ＝2
2
)(b a c --，且2=+b a ，求面积Ｓ的最大值。
例4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
7,5,2
7
2cos 2sin 42
==+=-+c b a C B A ． （1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积．
变式5、已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积
例5、（2009浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos
25
A =，3A
B A
C ?=．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
变式6、已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.
(1) 求角C 的大小；
（2）求sin sin A B +的取值范围.
（三）考查三角形形状的判断
例6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为
3
1。 （1） 判断△ABC 的形状； （2） 求△ABC 的面积。
变式7、在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. (1)判断△ABC 的形状；
(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。
例7、在△ABC 中，已知2a b c =+，
2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。
变式8、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c
2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
变式9、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状。
（四）考查应用：求角度、求距离、求高度
例8、在湖面上高h 处，测得云彩仰角为α，而湖中云彩影的俯角为β，求云彩高.
变式12、如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取
A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14A
B km =，60BDA ?∠= ，135BCD ?∠=，求两景点B 与
C 的距离（假设,,,A B C
D 在同一平面内，测量结果保留整
数；参考数据：2 1.414,
3 1.732,5 2.236===）
◆课后强化
1．在△ABC 中，已知0
45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( )
Ａ.222＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜
2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ）
Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（
2
1
，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c
1
)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
Ａ．0
075,45,10===C A b Ｂ．0
80,5,7===A b a Ｃ．0
60,48,60===C b a Ｄ．0
45,16,14===A b a
5、在△ABC 中，已知)(22
22444b a c c b a +=++则角Ｃ＝（ ） Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0013545或 Ｄ．0120 6、△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量
(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23
π
8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定
9．已知△ABC 中，)sin()(2
2B A b a -+＝（2
2b a -）C sin 成立的条件是（ ）
Ａ．b a = Ｂ．090=∠C Ｃ．b a =且090=∠C Ｄ．b a =或090=∠C
10、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A ．
7
150
分钟 B ．
7
15
分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟
11．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β（α＞β）则A 点离地面的高AB 等于（ ） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)
cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ．
)cos(cos cos βαβ
α-a
12、已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ?<，15
4
ABC S ?=
，3,5a b ==，则BAC ∠=（ ）
A.． 30 B ．150- C ．0150 D ． 30或0
150
13．在ABC ?中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A = A
13 B 12 C 3
4
D 0 14、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则
A ．和都是锐角三角形
B ．和
都是钝角三角形
C ．是钝角三角形， 是锐角三角形
D ．是锐角三角形，
是钝角三角形
15. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 16、如果
b
a
B A =--cos 1cos 1，那么△AB
C 是
17．已知锐角三角形的边长为1、3、a ，则a 的取值范围是_________
18、（2009湖南）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ， AC 的取值范围为 .
19．如图，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15?，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45?，假设建筑物高50m ，设山对于地平面的斜度θ，则cos θ= .
20、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =
4
1（a 2+b 2－c 2
），则∠C 的度数是_______
21．在△ABC 中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC ＝４，求2
sin B
的值．
22．在△ABC 中，,,,c b a 分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若0
60,2+==A B a b ,求Ａ的值．
23、在锐角三角形ABC 中，A=2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，试求b
a
的范围。
24、在△ABC 中，3
,2π
=-=+C A b c a ，求sinB 的值。
25、在45,5
ABC B AC C ?∠=?==
中，, （1）求BC (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
26．已知锐角三角形ABC 中，边b a 、为方程02322
=+-x x 的两根,角A 、B 满足
03)sin(2=-+B A ，求角C 、边c 及Ｓ△ABC 。
27．在ABC ?中，已知内角3
A π
=
，边BC =.设内角B x =,周长为y .
(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
28、ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。
29、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．
（Ⅰ）若ABC △，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
30、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足
B
C
A B C sin sin sin 2cos cos -=
. (1) 求角B 和边b 的大小； (2) 求△ABC 的面积的最大值。
31、（2005湖北）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.
32、已知△ABC 中，22（sin 2
A －sin 2
C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2.
（1）求∠C ；
（2）求△ABC 面积的最大值.
33、在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边c=7
2 ，且tanA+tanB= 3
tanA ·tanB － 3 ，又△ABC 的面积为S △ABC =33
2
，求a+b 的值。
◆详细解析
例1、解：由正弦定理，得C
c
A a sin sin =
∵Ａ＝２Ｃ ∴C c C a sin 2sin = ∴C c a sin 2= 又8=+c a ∴ c
c
cocC 28-= ①
由余弦定理，得
C
C c C
ab b a c 2
22222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②
入②，得 )(44
524516舍或???==??????
?=
=a c a c ∴5165
24=
=c a ，
例2、【解】由于O 为正三角形ABC
的中心，∴AO =
， 6
MAO NAO π
∠=∠=
，设MOA α∠=，则
23
3π
πα≤≤
， 在AOM ?中，由正弦定理得：sin sin[()]
6
OM
OA
MAO ππα=
∠-+，
∴6sin()6OM πα=+，在AON ?
中，由正弦定理得：6sin()
6
ON πα=-，
∴2211OM ON +222
12[sin ()sin ()]66
a ππαα=++-2
2121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3
sin 14
α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +
取得最大值218a ， 所以，当α=2,33or ππ时23
sin 4
α=，此时2211OM ON +
取得最小值215a ． 变式1、解（１）∵bc ac c a ac b -=-=2
22,∴bc a c b =-+222
在△ABC 中，由余弦定理得
2
1
22cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴∠Ａ＝060
（２）在△ABC 中，由正弦定理得a
b B 0
60sin sin =
∵0
260,=∠=A ac b ∴2
360sin 60sin sin 002===ca b c B b 变式2、解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且3
6
221==
AB DE ，设BE=x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：
BED ED BE ED BE BD cos 2222?-+=，
x x 6636223852??++=，解得1=x ，3
7
-=x （舍去）
故BC=2，从而3
28cos 22
22=?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC
又630sin =B ，故6
30
321
2sin 2
=A ，1470sin =
A 变式3、解（I ）∵A
B 、为锐角，510sin ,sin 510
A B == ∴ 2
225310
cos 1sin ,cos 1sin A A B B =-=
=-= 253105102
cos()cos cos sin sin .A B A B A B +=-=
?-?= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34
C π
=，∴ 2sin 2C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==得5102a b c ==，即2,5a b c b == 又∵ 21a b -=- ∴
221b b -=- ∴ 1b =
∴ 2,5a c =
=
例3、解：设AOB α∠=，在△AOB 中，由余弦定理得： 2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-??∠ 2212212cos 54cos αα=+-???=- 于是，四边形OACB 的面积为
S=S △AOB + S △ABC 213sin 24
OA OB AB α=?+ 13
21sin (54cos )24
αα=???+
- 5353
sin 32sin()434πααα=+=-+ 因为0απ<<，所以当32ππα-=，56
π
α=，即56AOB π∠=时，
四边形OACB 面积最大．
变式4、解∵ab b a c b a c 2)(22222+--=--)(22
22c b a ab -+-= 由余弦定理,得C ab c b a cos 2222=-+∴)cos 1(2)(2
2
C ab b a c -=--
B ac S sin 21
=
∴)cos 1(sin C C -= ∵1cos sin 22=+C C ∴015cos 32cos 172=+-C C
舍去）
或(1cos 1715
cos ==C C ∴178sin =C ∴)2(174
174sin 21a a ab C ac S -===
17
4)1(1742+--=a
∵,2=+b a ∴0＜a ＜2
∴当2,1==b a 时，Ｓmax =
174
例4、解：（1）由2
7
2cos 2cos 4,272cos 2sin 422C C C B A -=-+得 ∴ 4cos 2C －4cosC ＋１＝０
解得 2
1
cos =C ∵0°＜C ＜180°,∴C =60° ∴ C ＝60°
（2）由余弦定理得C 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即 7＝a 2＋b 2－ab ①
又a ＋b ＝5 ∴a 2＋b 2＋2ab ＝25 ②
由①②得ab ＝6
∴ S △ABC ＝2
3
3sin 21=C ab
变式5、解：如图，连结ＢＤ，则四边形面积
Ｓ＝Ｓ△ABD +Ｓ△BCD =
C C
D BC A AD AB sin 2
1
sin 21??+?? ∵A+C=1800 ∴sin Ａ= sin C ∴Ｓ＝
A CD BC AD A
B sin )(2
1
?+?=16 sin Ａ 由余弦定理,知在△ABC 中，
A A BD cos 1620cos 42242222-=??-+= 在△CD
B 中,
C B
D cos 48522-=∴
C A cos 4852cos 1620-=-
又A C cos cos -=,2
1
cos -=A ∴Ａ＝1200
∴Ｓ＝16sin Ａ＝38
例5、解 （1）因为25cos
25A =，234cos 2cos 1,sin 255
A A A ∴=-==，又由3A
B A
C ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ?∴==
（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=
变式6、解：（1）由0m n ?=得()()()0a c a c b b a +-+-=2
2
2
a b c ab ?+-=
由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-=
== ∵0C π<< ∴3
C π
=
(2)∵3
C π
=
∴23
A B π
+=
∴sin sin A B +=2sin sin(
)3A A π+-22sin sin cos cos sin 33
A A A ππ=+- 33sin 22A A =+313(cos )22A A =+ 3)6
A π
=+
∵203
A π
<<
∴5666A πππ<+<
∴1sin()126
A π
<+≤ ∴33)326A π<+≤即3
sin sin 32
A B <+≤例6、解：（1） b=acosC ，∴由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）
B=)(C A +-π,
∴ sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC ，
∴cosAsinC=0,又A ，C ),0(π∈∴cosA=0，A=2
π，∴△ABC 是直角三角形。
（2） △ABC 的最大边长为12，由（1）知斜边a =12，又 △ABC 最小角的正弦值为
31，∴Rt △ABC 的最短直角边为123
1
?=4，另一条直角边为28 ∴S △ABC =2842
1??=162
变式7、解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+
可得12
sin 22=C 0cos =∴C 即C ＝90°
∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形
（2）内切圆半径 ()c b a r -+=
21
()1sin sin 2
1
-+=B A
2
1
221
4sin 22-≤
-??? ?
?+=πA ∴内切圆半径的取值范围是???
?
??-212,
例7、解：由正弦定理2sin sin sin a b c
R A B C
===得：sin 2a A R =
，sin 2b B R =， sin 2c
C R =。
所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R
=?，即：2
a bc =。 又已知2a
b
c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2
()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。 所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。
变式8、变式
8、解析：∵cos 2
B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝a
c
， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a
c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，
∴△ABC 为直角三角形．答案：B
例8、解：C 、C '关于点B 对称，设云高CE = x 则CD = x - h ，C’D = x + h ，
在Rt △ACD 中，α-=
α=
tan tan h
x CD AD 在Rt △AC’D 中，β
βtan tan 'h
x D C AD +==, ∴β+=α-tan tan h
x h x 解得 )
sin()sin(tan tan tan tan αβαβαβαβ-+?=-+?=h h x . 变式9、解：由正弦定理2sin sin sin a b c
R A B C
===得：sin 2a A R =，
sin 2b
B R
=，
sin 2c C R =
。所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R
=?，即：2a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2
()0b c -=，
因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。 所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。
变式11、解法一：由已知可得在?ACD 中，
AC=BC=30， AD=DC=103， ∠ADC =180?-4θ，∴θ2sin 3
10=)
4180sin(30θ-? 。 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ ∴cos2θ=
2
3
,得 2θ=30? ∴θ=15?， ∴在Rt ?ADE 中，AE=ADsin60?=15
答：所求角θ为15?，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h
在 Rt ?ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302 在 Rt ?ADE 中,x 2+h 2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15 ∴在 Rt ?ACE 中,tan2θ=
x
h +310=
3
3 ∴2θ=30?,θ=15? 答：所求角θ为15?，建筑物高度为15m
例9、解：在ACD ?中，由已知可得，30CAD ∠=
所以，AC =………
在BCD ?中，由已知可得，60CBD ∠=
6sin 75sin(4530)4
+=+=
由正弦定理，756sin 602
BC +==
6cos 75cos(4530)4-=+=
在ABC ?中，由余弦定理 222
cos AB AC BC AC BC BCA =+-?∠
2(cos75522
+=+-?=
所以，AB = 施工单位应该准备电线长
答：施工单位应该准备电线长km . 变式12、解：在△ABD 中，设BD=x ，
则BDA AD BD AD BD BA ∠??-+=cos 22
22，
即 60cos 1021014222??-+=x x 整理得：096102
=--x x 解之：161=x ，62-=x （舍去）， 由正弦定理，得：
BCD
BD
CDB BC ∠=
∠sin sin ,
∴2830sin 135
sin 16
=?=
BC ≈11(km). 答：两景点B 与C 的距离约为11.km.
例10、解 (1)在Rt △PAB 中，∠APB=60° PA=1 ∴AB=3 (千米)
在Rt △PAC 中，∠APC=30°，∴AC=3
3
(千米) 在△ACB 中，∠CAB=30°+60°=90°
)/(3026
1
330330
)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
1010
3
330
3==BC
AB
sinCDA=sin(∠ACB －30°)=sinACB·cos30°－
cosACB·sin30°
=
2010)133()10103(121232-=-?- 在△ACD 中，据正弦定理得
CDA AC DCA AD sin sin =∴133920
10
)133(1010333sin sin +=
-?
=?=CDA DCA AC AD 答 此时船距岛A 为
13
3
9+千米 变式13、310，南偏东?30
1、A
2、B
3、D
4、D
5、C
6、解：222
//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-=，利用余弦定理可得
2cos 1C =，即1cos 23
C C π
=
?=，故选择答案B 。 8、答案：A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2
＝a 2
＋b 2
，a ＋b >c 新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2
＋(b ＋x )2
－(c ＋x )2
＝x 2
＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．
9、D 10、A 11、A 12、
C
13、解析：∵ C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分, ∴
:3:2AC BC =,
,sin sin sin 2BC AC AC A B A
==∴
23,sin 2sin cos A A B =∴3
cos 4A = 14、解：
的三个内角的余弦值均大于0，则
是锐角三角形，若
是锐
角三角形，由，得
，那么，，
矛盾.所以
是钝角三角形。故选D 。
15. D
16、等腰三角形
17、102
2＜a＜ 18、答案 2 )3,2( 解析 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ
=∴=?=
由锐角ABC ?得0290045θθ<
又01803903060θθ<-
3045cos 22
θθ<
<<， 2cos 2,3).AC θ∴=∈
19、[解析] 在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15?, ∠ACB = 45?-15? = 30? 由正弦定理：
15
sin 30sin 100BC
= ∴BC = 200sin15?
在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45?, ∠CDB = 90? + θ
由正弦定理：)
90sin(15sin 20045sin 50θ+=
?c os θ =13- . 20、答案：45° 解：由S =
41（a 2+b 2－c 2
）得21ab sin C =41·2ab cos C ∴tan C =1∴C 4
π 21、解：由条件,5,2==a c Ｓ△ABC ＝
B ac sin 214sin 5sin 2521==??=B B ∴5
4sin =B 当B 为锐角时，5
3cos =B 由512cos 12sin 2=-=B B ∴552sin =B
当B 为钝角时，5
3
cos -
=B 由542cos 12sin 2=-=B B ∴5522sin =
B 22、解：∵Ｂ＝Ａ＋060 ∴)60sin(sin 0+=A B A A B cos 2
3
sin 21sin +
= 又A R B R a b sin 4sin 2,2== ∴A B sin 2sin =
∴A A A cos 23sin 21sin 2+= A A cos 3sin 3= ∴,33
tan =A 又∵001800＜A＜ ∴030=A 23、【解】在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C<900
，即：000000453090318090290<
???<-<
由正弦定理知：
(
)
3,2cos 2sin 2sin sin sin ∈===B B
B B A b a ，故所求的范围是：
(
)
3,2。
24、解：由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB
由22;22C
A C A C C A C A A --
+=-++=
得B C
A C A sin 22
cos 2sin 2=-+
即B C A sin 6
cos 2sin =+π
即2sin 23sin C A B += ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π∴Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）
222C A B +-=π∴2
sin
)22cos(2cos C
A C A
B +=+-=π ∴2
cos 232cos 2sin 2B
B B =
∵02cos
≠B ∴ 432sin =B ∴4
13
)43(12cos 2=
-=B ∴8
39
4134322cos 2sin 2sin =??==B B B
25、解：（1
）由cos sin C C =
sin sin(18045)sin )
A C C C
=--=
+ 由正弦定理知sin sin AC BC A B =?==
（2
）sin 2sin 5
AC AB C B =
?==，1
12BD AB ==
由余弦定理知
CD ==26、解：02322
=+-x x ，得 X 1=13-, X 2=13+
∵C C B A sin )sin()sin(=-=+π∴2
3
sin =C 由于△ABC 为锐角三角形， ∴Ｃ＝060
由余弦定理，得 C ab b a c cos 2222-+=
660cos )13)(13(2)13()13(cos 2022212
221=+--++-=-+=C x x x x
∴6=C Ｓ△ABC ＝060sin )13)(13(2
1
sin 21+-=C ac 23=
27、解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π
=>>3
，，得20B π<<3．
应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =
==π3
，
2sin 4sin sin BC AB C x A π??
=
=- ?3??
． 因为y AB BC AC =++，
所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<<
??3???，
（2
）因为1
4sin cos sin 2y x x x ??=+++ ? ?2??
5x x ππππ?
??=+
+<+< ??6666???
，
所以，当x ππ
+
=62
，即x π=3时，y
取得最大值
28、解：如图，连结11A B
，由已知22A B =
1220
60
A A ==， 1221A A A
B ∴=，又12218012060A A B =-=∠， 122A A B ∴△
是等边三角形，1212A B A A ∴==
1A
2A
120
105
解三角形题型总结
解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中，.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小； 2、三角形形状问题 例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1）试确定-ABC形状。 b cosB 2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。b cos A 4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。 5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在厶ABC中， 若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2 ::: c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角. 例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ， 2、求角或者边 例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角.
例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小； (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 , 1 n sin B = —，C = 一，则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1，贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。 3 例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A = sin C
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．
高中解三角形题型大汇总
解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______
中考专题复习解三角形
1．（10分） 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决 定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：， ）．
高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案解析
数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】
三角函数与解三角形专题训练
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式： 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.
3 5 6
1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .
解三角形题型总结原创
解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.
四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）
(新高考地区使用)专题01 三角函数与解三角形
三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；
（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；
高二解三角形综合练习题
解三角形 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝( ) A．1 B.3 C．2 D．3 2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合 C．垂直D．相交但不垂直 3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( ) A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D．0 5．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3＋6 2 D. 3＋39 4 6．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为( ) A．1C.7解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
高考解三角形专题(一)及答案
解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
高中数学专题练习-三角函数及解三角形
高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时，
，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1
图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点
高中数学解三角形题型完整归纳
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
2017高考真题专题解三角形
2017高考解三角形汇总 1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0, a =2, c=√2, 则C= A.π12 B. π6 C. π4 D. π3 2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________ 4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB ????? ·AC ????? =?6,S △ABC =3,求A 和a 。 5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2. （1）求c ；
解三角形专项练习(含解答题)
解三角形专练 1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 2.在ABC ?中，若0 120,2==A b ，三角形的面积3= S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A ． B ．2 C ．．4 3.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 150 4.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B ． C ． D ． 5.在三角形ABC 中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则C cos 的值是 B. 22 C. 21 D. 21- 6.在△ABC 中，若22 tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若 2226 5b c a bc +-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.3 5 8.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 9.在ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，?=45A ,则这样的三角形有（ ）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个 10.已知锐角A 是ABC ?的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221 sin cos 2A A -= ,则下列各式正确的是 ( ) A. 2b c a += B. 2b c a +< C. 2b c a +≤ D. 2b c a +≥ 11.在ABC ?中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ?的面积是 A ．34 B ．38 C ．34或38 D ．3 12.在ABC ?中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22 a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6π B ．4 π C ．3π D ．2 3π 13.若?ABC 的三角A:B:C=1:2:3 ，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ） A.1:2:3 B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30 B ．60 C 90 D.120 15.在?ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为 2221 () 4S a b c =+-，则角C 为 ( ) A ．30 B 45 C ．60 D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝ 2 ，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 17.设?ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案
专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1．A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=?-=-C C ，所以由余弦定理， 得222 32cos 251251()325 =+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C ， 所以=AB A ． 2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222 1sin 24 a b c ab C +-=， 所以222sin cos 2a b c C C ab +-= =，所以在ABC ?中，4 C π =．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+， 即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得 1sin 342a c π== ，则2 a c =．在△ABC 中，由余弦定理可得 222222295 322 b a c c c c c =+-= +-= ，则b =． 由余弦定理，可得22 22 2 2 59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】 11 sin 22 AB BC B ??= ，∴sin 2B =，所以45B =或135B =． 当45B = 时，1AC = =， 此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾； 当135B = 时，AC = =．
