直线与圆
一、选择题:
1.若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22
++2-4=0的圆心,则a 的值为 (A )-1 (B) 1 (C) 3 (D) -3
.
2.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离12C C =
(A)4 (B)4282【答案】C
【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为:222()()x m y m m -+-=,将(4,1)带入方程整理得:210170m m -+=,12=
C C 22(10)4178.-?= 二、填空题:
3.若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直,则实数m =_______
【答案】1
【解析】:121212,,12k k k k m =
=-∴?=-直线互相垂直,,即12()1,12m m ?-=-∴= 4.已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=
(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为 .
(2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 .
答案:5,16
6.已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x 轴上.则C 的方程为___________.
答案: ()2
2210x y -+= 解析:直线AB 的斜率是k AB =311152
-=--,中点坐标是(3,2).故直线AB 的中垂线方程()223y x -=-,由()223,0,
y x y -=-???=??得圆心坐标C (2,0),223110+=故圆的方程为()2
2210x y -+=。 10.过原点的直线与圆22
2440x y x y +--+=相交所得弦的长为2,则该直线的方程为
【答案】20x y -=
12.(本小题满分13分) 设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-?=,,其中实数满足,
(I )证明1l 与2l 相交;
(II )证明1l 与2l 的交点在椭圆22
2x +y =1上.
【命题意图】:本题考察直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。
【解析】:(1)(反证法)假设1l 与2l 不相交,则1l 与2l 必平行,12k =k ∴ 代入12k k 20+=得
21k 20+=,与1k 是实数相矛盾。从而12k k ≠,即1l 与2l 相交。
(2)(方法一)由12k 1k 1
y x y x =+??=-?得交点p 的坐标(x,y )为
2121
212x k k k k y k k ?=?-??+?=?-?
, 而
2222222
222121121212222222121211212128()82422x +y =2()()1()24k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++====---+-++ 所以1l 与2l 的交点p 的(x,y )在椭圆22
2x +y =1上 (方法二)1l 与2l 的交点p 的(x,y )满足:12
k 1k 1y x y x =+??=-?,0x ≠,从而 121k 1
k y x y x -?=???+?=??
,代入12k k 20+=得1120y y x x -+?+=,整理得 222x +y =1
所以1l 与2l 的交点p 的(x,y )在椭圆22
2x +y =1上
【解题指导】:两直线111222:x+:y=k x l y k b l b =+,的位置关系判定方法:
(1)121212//=k ,l l k b b ?≠且
(2)1212k l l k ?≠与相交
(3)121212k ,l l k b b ?==与重合且
证明两数不等可采用反证法的思路。
点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可,或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。
13.(本小题满分12分)
如图,直线l :y=x+b 与抛物线C :x 2=4y 相切于点A 。
(1) 求实数b 的值;
(11) 求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
【解析】(I )由24y x b x y
=+??=?得2440x x b --= (*) 因为直线l 与抛物线C 相切,所以2
(4)4(4)0b ?=--?-=,解得1b =-.
(II )由(I )可知1b =-,故方程(*)即为2440x x -+=,解得2x =,将其代入2
4x y =,得y=1,故点A(2,1).
因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆心A 到抛物线C 的准线y=-1的距离等于圆A 的半径r,
即r=|1-(-1)|=2,所以圆A 的方程为22(2)(1)4x y -+-=.
【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.
14.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,曲线与162
+-=x x y 坐标轴的交点都在圆C 上,
(1)求圆C 的方程;
(2)如果圆C 与直线0=+-a y x 交于A,B 两点,且OB OA ⊥,求a 的值。
分析:用待定系数求圆的方程;由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。 解:(Ⅰ)曲线)0,223(),0,223(),1,0(,162-++-=轴交点为与轴交点为与x y x x y 因而圆心坐标为),,3(t C 则有1)22()1(32222=∴+=-+t t t 半径为3)1(322=-+t ,所以圆方程是9)1()3(2
2=-+-y x (Ⅱ)设点),(),,(2211y x B y x A 满足???=-+-=+-9
)1()3(0
22y x a y x
解得:012)82(22
2=+-+-+a a x a x 0416562>--=?∴a a
4
41656)28(22,1a a a x --±-= 2
12,422121+-=?-=+∴a a x x a x x a x y a x y y y x x OB OA +=+==+∴⊥22112121,,0,
1,0)(222121-=∴=+++∴a a x x a x x
点评:本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用,要对每一点熟练把握。
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
直线与圆的方程测试题 (本试卷满分150分,考试时间120分钟) 一、单项选择题(本大题共18小题,每小题4分,共72分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出,错选、多选或未选均无分. 1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5,则y=( ) A.-9 B.-1 C.-9或-1 D. 12 2. 数轴上点A 的坐标是2,点M 的坐标是-3,则|AM|=( ) A.5 B. -5 C. 1 D. -1 3. 直线的倾斜角是3 2π,则斜率是( ) A.3-3 B.3 3 C.3- D.3 4. 以下说法正确的是( ) A.任意一条直线都有倾斜角 B. 任意一条直线都有斜率 C.直线倾斜角的范围是(0,2 π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π) 5. 经过点(4, -3),斜率为-2的直线方程是( ) A. 2x+y+2=0 B.2x-y-5=0 C. 2x+y+5=0 D. 2x+y-5=0 6. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是( ) A.x=0 B.y=0 C.x=2 D.y=2 7. 直线在y 轴上的截距是-2,倾斜角为0°,则直线方程是( ) A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=0 8. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分且必要条件 D.非充分非必要条件 9. 直线3x-y+2 1=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.相交不垂直 D.相交且垂直 10.下列命题错误.. 的是( ) A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直 B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数 C. 两条平行直线的倾斜角相等 D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合 11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是( ) A. 2x+y+2=0 B. 2x-y-2=0 C. 2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 12. 直线ax+y-3=0与直线y=2 1x-1垂直,则a=( ) A.2 B.-2 C. 21 D. 2 1- 13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是( )
指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下:
指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.
指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.