常微分方程复习资料(可编辑修改word版)
常微分方程复习资料
一、填空题
1. 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．
2. 方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的基本解组是 ．
3. 一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． d y
4. 方程
d x 的常数解是
．
5. 方程
d y = x 2 + y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是
．
d x
6. 若 y =
(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，则方程 d y
d x
与 x 轴相交．
= (x ) y 的任一非零解
7. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，如果 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，那么它的任一非零解在 xoy 平面上 与 x 轴相切．
8. 向量函数组Y 1 (x ), Y 2 (x ), , Y n (x ) 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列
式W (x ) = 0 ， x ∈ I ．
9. 方程 x ( y 2 - 1)d x + y (x 2 - 1)d y = 0 所有常数解是 ．
10. 方程 y ' + 4 y = 0 的基本解组是 ．
d y
11. 方程
= d x
+ 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是
．
12．若 y = 1 (x ), 二、单项选择题
y = 2 (x ) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．
d y
1. 方程 d x
- 1 = x 3 + y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（
）．
（A ）上半平面
（B ）xoy 平面
（C ）下半平面 （D ）除 y 轴外的全平面 d y
2.
f ( y ) 连续可微是保证方程 = d x
f ( y ) 解存在且唯一的（
）条件．
（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分
3. 二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A ）构成一个 2 维线性空间（B ）构成一个 3 维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性
d y 4. 方程
d x
2
= 3y 3
过点(0, 0)有（
）．
(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解
5. n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A ） n 维 （B ） n + 1维 （C ） n - 1维 （D ） n + 2 维
d y 6. 方程
= d x
+ 2 （
）奇解．
（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个 7. 若 y = 1 (x ) ， y = 2 (x ) 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）． （A ）1 (x ) -2 (x ) （B ）1 (x ) +2 (x ) （C ） C (1 (x ) - 2 (x )) + 1 (x )
（D ） C 1 (x ) +2 (x ) 1 - y 2 y x - y =
1 - ( y )
2 x ? d y ? d y 8.
f ' (x , y ) 连续是方程 d y
= y d x f (x , y ) 初值解唯一的（ ）条件．
（A ）必要
（B ）必要非充分
（C ）充分必要
（D ）充分
d y
9. 方程
= d x 的奇解是（
）．
（A ） y = x
d y
（B ） y = 1
（C ） y = -1
（D ） y = 0
10.
方程 = d x 过点( 2
, 1) 共有（
）个解．
（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三
11. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ） n （B ） n -1 （C ） n +1 （D ） n +2 12. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ） 是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解
13. 如果 f (x , y ) ，
?f (x , y )
?y
d y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 d x f (x , y ) 的任一解的存在区间（
）．
（A ）必为(-∞, + ∞) 三、计算题
（B ）必为(0, + ∞) （C ）必为(-∞, 0) （D ） 将因解而定 求下列方程的通解或通积分：
1.
d y = y ln y d x
2.
d y = + y
d x x 3.
d y = y + xy 5
d x
4． 2xy d x + (x 2 - y 2 )d y = 0 5． y = xy ' + 2( y ')3
6.
d y
= d x xy 1 + x 2
7.
d y
+ 3y = e 2x
d x 8. (x 3 + xy 2 )d x + (x 2 y + y 3 )d y = 0 9．
e y ' + y ' - x = 0 10． yy ' + ( y ')2 = 0
11.
d y = d x y + tan y x x
12.
d y = d x y + 1
x
13. (x 2e y - y )d x + x d y = 0
14． y '(x - ln y ') = 1
15． yy ' + y '2 + 2x = 0
17．求下列方程组的通解．
?d x
= y + d t ?
? = -x ? d t
19．求下列方程组的通解
1 sin t 16．求方程 y ' - 5 y ' = -5x
2 的通解．
18．求方程 y ' - y =
1 e x 的通解．
2
五、证明题
?d x
= -x - 2 y d t
?
． ? = 3x + 4 y ? d t
y 1 - y 2
=
1 - u
2 ? ? x
1. 设 f (x ) 在[0, + ∞) 上连续，且 lim
x →+∞ f (x ) = 0 ，求证：方程 d y
d x
+ y = f (x ) 的一切解 y (x ) ，均有 lim y (x ) = 0 ．
x →+∞
2. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中， p (x ), q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，求证：若 p (x ) 恒不为零，则该
方程的任一基本解组的朗斯基行列式W (x ) 是(-∞, + ∞) 上的严格单调函数．
d y
3. 设 f (x , y ) 在整个 xoy 平面上连续可微，且 f (x , y 0 ) ≡ 0 ．求证：方程 d x
= f (x , y )
的非常数解 y = y (x ) ，当 x → x 0 时，有 y (x ) → y 0 ，那么 x 0 必为- ∞ 或+ ∞ ．
4. 设 y = 1 (x ) 和 y = 2 (x ) 是方程 y '' + q (x ) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W (x ) ≡ C ， 其中C 为常数．
d y
5. 在方程 d x
f ( y )( y ) 中，已知 f ( y ) ，'(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，且(±1) = 0 ．求证：对任意 x 0 和
y 0 < 1 ，满足初值条件 y (x 0 ) = y 0 的解 y (x ) 的存在区间必为(-∞, + ∞) ．
6. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，已知 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续．求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．
参考答案
一、填空题
1．2 2． e x , x e x 3．开 4． y = ±1
5．
xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9． y = ±1, x = ± 1 10． sin 2x , cos 2x 11． D = {(x , y ) ∈ R 2 y > 0}，（或不含 x 轴的上半平面） 12．没有
二、单项选择题
1.D
2.B
3.C
4.A
5.A
6.A
7.C
8.D 9.D
10.B 11.A
12.C
13.D
三、计算题
1. 解 当 y ≠ 0 ， y ≠ 1时，分离变量取不定积分，得
d y
= d x + C
y ln y 通积分为
ln y = C e x
d y d u
2.
解 令 y = xu ，则 d x
x d u =
d x
= u + x d x ，代入原方程，得
分离变量，取不定积分，得
? d u = ? d x + ln C （ C ≠ 0 ）
通积分为：
arcsin y
= ln Cx
x
3. 解方程两端同乘以 y
-5 ，得 y -5 d y
= y -4 + x
d x
令 y -4 = z ，则- 4 y -5 d y = d z
，代入上式，得
d x d x
1 - u
2 =
?
通解为 -
1 d z
- z = x 4 d x
z = C e -4x - x + 1
4
原方程通解为
y -4 = C e -4x - x + 1
4
?M 4.
解 因为 ?y = 2x =
?N
，所以原方程是全微分方程． ?x
取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为
x
y 2
?0
2xy d x - ?
y 即
x 2 y - 1
y 3 = C
3 d y = C
5. 解 原方程是克莱洛方程，通解为 y = Cx + 2C 3
6. 解 当 y ≠ 0 时，分离变量得
d y = y x
d x 1 + x 2
等式两端积分得
ln y 即通解为
= 1 ln(1 + x 2 ) + ln C 2 y = C 7. 解 齐次方程的通解为
y = C e -3x
令非齐次方程的特解为
y = C (x )e -3x
代入原方程，确定出
原方程的通解为
C (x ) = 1 e 5x
+ C 5
y = C e -3x + 1
e 2x
5
?M ?N
8.
解 由于 ?y = 2xy =
，所以原方程是全微分方程． ?x
取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为 x (x 3 + xy 2 )d x + y y 3
d y = C
?
?
1
即
x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 = C 9. 解 令 y ' = t ，则原方程的参数形式为
?x = t + e t
?
y ' = t 由基本关系式
1 + x 2
y
积分有
d y = y 'd x = t (1 +
e t )d t
y = 1
t 2 + e t (t - 1) + C
2
得原方程参数形式通解
?x = t + e t ? ? y = 1 t 2 + e t
(t - 1) + C ?? 2
10. 解 原方程为恰当导数方程，可改写为
( yy ')' = 0
即
分离变量得
yy ' = C 1 y d y = C 1d x
积分得通积分
1 y 2
= C x + C
2 1 2
11. 解 令 y = u ，则d y = u + x d u
，代入原方程，得
x d x d x
u + x d u = u + tan u ， x d u = tan u
d x d x
当tan u ≠ 0 时，分离变量，再积分，得
? d u = ? d x + ln C tan u x
即通积分为： ln sin u = ln x + ln C sin y = Cx x
12. 解 齐次方程的通解为
y = Cx
令非齐次方程的特解为
y = C (x )x
代入原方程，确定出原方程的通解为
C (x ) = ln x + C y = Cx +
x ln x 13. 解 积分因子为
(x ) =
原方程的通积分为 x (e x
-
1 x 2
y )d x +
d y = C
?
1
x 2
?
1
即
e x + y
= C , x
C = e + C 1
）
14.
解 令 y ' = p ，则原方程的参数形式为
?x = 1
+ ln p
? ?
??
y ' = p p
2 1
由基本关系式
d y
= y ' ，有 d x
d y = y 'd x = p ? (- 1
p 2 + 1 )d p
p
积分得
= (1 - 1 )d p
p
y = p - ln p + C 得原方程参数形式通解为 ?
x = 1
+ ln p ?
?
??
y = p - ln p + C 15. 解 原方程可化为
( yy ' + x 2 )' = 0 于是
y d y
+ x 2 = C
d x 1
积分得通积分为
1
y 2 = C x - 1
x 3 + C
2 1
3 2
（6 分）
16. 解
对应齐次方程的特征方程为
2
- 5= 0 ，
特征根为1 = 0 ，2 = 5 ，
齐次方程的通解为 y = C 1 + C e 5x
因为= 0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y (x ) = x ( Ax 2 + Bx + C ) 代入原方程，比较系数确定出
A = 1 ，
B = 1 ，
C = 2
3 5 25
原方程的通解为
y = C + C e 5x + 1 x 3 + 1 x 2 + 2
x
1
2 3 5 25
17. 解 先解出齐次方程的通解 ? x ? = C ? cos t ? + C
?sin t ? ? y ? 1 ?- sin t ? 2 ?cos t ? ? ? ? ? ? ?
令非齐次方程特解为 ?~x ? = ? cos t ?
?sin t ? ?~y ? C 1 (t )?- sin t ? + C 2 (t )?cos t ? ? ? ? ? ? ?
C ' (t ), C '
(t ) 满足 1 2
? cos t sin t ??C ' (t )? ? 1 ?
?- ?? 1
' ? = ?sin t ?
? sin t cos t ???C 2 (t )?? ??
0 ?? 解 得 C '
(t ) = cos t , C ' (t ) = 1
1
sin t 2
积分，得 C 1 (t ) = ln sin t ，
C 2 (t ) = t p
1
x
? 通解为
? x ? = C ? cos t ? + C ?sin t ? + ?cos t ln sin t + t sin t ? ? y ? 1 ?- sin t ? 2 ?cos t ? ?- sin t ln sin t + t cos t ?
? ? ? ? ? ? ? ?
18. 解对应的齐次方程的特征方程为：
2
- 1 = 0
特征根为： 1 = 1, 2 = -1
故齐次方程的通解为： y = C e x + C e -x
1
2
因为
= 1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
y (x ) = Ax e x
代入原方程，有
故原方程的通解为 2 A e x + Ax e x - Ax e x
= 1 e x ， 可解出 2 y = C e x + C e -x
+ 1 x e x
A = 1 ． 4 1 2
4
19. 解方程组的特征方程为
A -
E =
- 1 - 3
- 2 = 0
4 - 即
特征根为
2
- 3+ 2 = 0
1 = 1，
2 = 2
1 = 1对应的解为
? x 1 ? = ?a 1 ?e t ? y ? ?b ? ? 1 ? ? 1 ?
其中 a 1 , b 1 是1 = 1对应的特征向量的分量，满足
?- 1 - 1 - 2 ??a 1 ? = ?0? ? 3 4 - 1??b ? ?0? ? ?? 1 ? ? ?
可解得 a 1 = 1, b 1 = -1．
同样可算出2 = 2 对应的特征向量分量为所以，原方程组的通解为
a 2 = 2,
b 1 = -3．
? x ? = ? e t ?
? 2e 2t ? ? y ? C 1 ?- e t ? + C 2 ?- 3e 2t ? ? ? 五、证明题
? ? ? ?
1. 证明 设 y = y (x ) 是方程任一解，满足 y (x 0 ) = y 0 ，该解的表达式为
? f (s )e (s -x
0 )
d s
y (x ) = y 0 + x 0
取极限
e x - x 0
e x - x 0
?
f (s )e (s -x
0 )
d s
lim y (x ) = lim
y 0
+ lim x 0
x →+∞
x →+∞
e x - x 0 ? = 0 + ? x →+∞
0, ( x - x )
e x - x 0
若 ∞
f (s )e ( s - x 0 ) d s < ∞ x 0 ? lim ?x →+∞ f (x )e 0 e
x - x 0
= 0, 若 ∞
f (s )e ( s - x 0 ) d s = ∞ x 0
2. 证明 设 y 1 (x ) ， y 2 (x ) 是方程的基本解组，则对任意 x ∈ (-∞, + ∞) ，它们朗斯基行列式在
x
? ?
x
x (-∞, + ∞) 上有定义，且W (x ) ≠ 0 ．又由刘维尔公式
x
W (x ) = W (x 0 )e -? x 0
p ( s )d s ， x x
∈ (-∞, + ∞)
W '(x ) = W (x 0 )e -?x 0 p ( s )d s p (x )
由于W (x 0 ) ≠ 0 ， p (x ) ≠ 0 ，于是对一切 x ∈ (-∞, + ∞) ，有
W '(x ) > 0 或 W '(x ) < 0
故 W (x ) 是(-∞, + ∞) 上的严格单调函数． 3. 证明 由已知条件，方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一
解都可延展到平面的无穷远。 （2 分）
又由已知条件，知 y = y 0 是方程的一个解。
假如方程的非常数解 y = y (x ) 对有限值 x 0 有lim y (x ) = y 0 ，那么由已知条件，该解在点(x 0 , y 0 ) 处可向
x → x 0
x 0 的右侧（或左侧）延展．这样，过点(x 0 , y 0 ) 就有两个不同解 y = y 0 和 y = y (x ) ．这与解的唯一性矛盾，因此 x 0 不能是有限值．
4. 证明 如果 y = 1 (x ) 和 y = 2 (x ) 是二阶线性齐次方程
y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0
的解，那么由刘维尔公式有
W (x ) = W (x 0 现在， p (x ) ≡ 0 故有
)e
-
?x 0 p (t )d t
-? 0d t
W (x ) = W (x 0 )e 0 = W (x 0 ) = C
5. 证明 由已知条件，该方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然 y = ±1 是方程的两个常数解．
任取初值(x 0 , y 0 ) ，其中 x 0 ∈ (-∞, + ∞) , y 0 < 1 ．记过该点的解为 y = y (x ) ，由上面分析可知，一方面
y = y (x ) 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 y = 1，下方不能穿过 y = -1，否则
与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为(-∞, + ∞) ．
6. 证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是
(-∞, + ∞) ．
显然，该方程有零解 y (x ) ≡ 0 ．
假设该方程的任一非零解 y 1 (x ) 在 x 轴上某点 x 0 处与 x 轴相切，即有 y 1 (x 0 ) = y 1
'(x 0 ) = 0，那么由解的惟一性及该方程有零解 y (x ) ≡ 0 可知 y 1 (x ) ≡ 0, x ∈ (-∞, + ∞) ，这是因为零解也满足初值条件
y 1 (x 0 ) = y 1
'(x 0 ) = 0，于是由解的惟一性，有 y 1 (x ) ≡ y (x ) ≡ 0, x ∈ (-∞, + ∞) ．这与 y 1 (x ) 是非零解矛盾． x 0