平面二阶偏微分方程组的边值问题

一阶偏微分方程基本知识资料

一阶偏微分方程基本 知识

一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,, ,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组

()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。 注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。 将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到 22y x dt dy x dt dx y +=-， 即 () 22y x dt dx y dt dy x +-=-， 亦即 1arctan -=?? ? ?? dt x y d 。 积分得

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各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----

一阶线性偏微分方程

第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组

一阶偏微分方程基本知识

一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程与一阶拟线性偏微分方程的解法,因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题,所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1、1首次积分的定义 从第三章我们知道,n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y Λ, ( 1、1) 在变换 ()1'12,,,,n n y y y y y y -===L ( 1、2) 之下,等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=??L L M M M M L ( 1、3) 在第三章中,已经介绍过方程组( 1、3)通解的概念与求法。但就是除了常 系数线性方程组外,求一般的( 1、3)的解就是极其困难的。然而在某些情况下,可以使用所谓“可积组合”法求通积分,下面先通过例子说明“可积组合”法,然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念与性质,以及用首次积分方法来求解方程组( 1、3)的问题。先瞧几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- ( 1、4) 解:将第一式的两端同乘x ,第二式的两端同乘y ,然后相加,得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x , ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 与()22x y +就是可以分离,因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+, ( 1、5) 1C 为积分常数。( 1、5)叫做( 1、4)的首次积分。

第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解

第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解 本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。 典型的偏微分方程：扩散方程t xx u ku =，t u k u =?；波动方程2tt xx u c u =，2tt u c u =?。这是本课程讨论的主要两类方程。 偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程 例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)u x t （即x 处在时刻t 的污染物的密度） 。如果流速是c ，问题：(,)u x t 满足什么样的方程？ 解 如图，在[,]x x x +?内的流体，经过时间t ?，一定处于[,]x c t x x c t +?+?+?。所含污染物应相同，即 (,)(,)x x x x c t x x c t u t d u t t d ξξξξ+?+?+?+?= +?? ? ， 由此 (,)(,)u x t u x c t t t =+?+?， 从而， 0t x u cu +=。 【End 】 可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。 例2 （扩散方程） 假设水流静止，在t ?时间内，流经x 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k ： ()x u dm t k dt ku dt x ?==?， 所以，在时间段12[,]t t 内，通过12[,]x x 的污染物为 2 1 2 1 [(,)(,)]t x x t k u x t u x t dt -?。 在时刻1t 和2t ，在12[,]x x 内的污染物分别为2 1 1(,)x x u x t dx ?和2 1 2(,)x x u x t dx ? ，由物质守恒定律 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 (,)(,)[(,)(,)]x x t x x x x t u x t dx u x t dx k u x t u x t dt -=-??? 由1t ，2t 的任意性，

二阶线性偏微分方程的分类与小结

第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=

xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为

第二章 二阶线性偏微分方程的分类

第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1．把下列方程化为标准形式： （1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程，其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。 方法一：用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出： ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη

一阶偏微分方程初步

第六章 一阶偏微分方程初步 6.2 一阶常微分方程的首次积分 1.求下列方程的首次积分及通积分。 （1）???????==z y dx dz y z dx dy 22 （上式为（1）式，下式为（2）式） 解：（2）式除以（1）式可得 3 3 z y dy dz = 即033=-dy y dz z 积分可得： 14 4c y z =- 从而求得一个首次积分：44y z -=φ 其次，由???==dx y zdz dx z ydy 22 （上式为（3）式，下式为（4）式） 将（3）和（4）相加可得：()dx z y zdz ydy 22+=+ 即dx z y zdz ydy 22222=++ 积分可得到又一个首次积分x e z y 22 2+=ψ。于是微分方程组的通积分为 ?????=+=-2222144c e z y c y z x （2）???????-=-=y x x dt dy y x y dt dx （上式为（1）式，下式为（2）式） 解：（1）式除以（2）式，可得,x y dy dx =即ydy xdx =

积分后得122c y x =-。从而求得一个首次积分2 2y x -=φ （2）-（1）可得1)(=-dt x y d 即dt x y d =-)( 积分可得2c t x y =--。从而有得到一个首次积分t x y --=ψ 于是微分方程组的通积分为 ? ??=--=-2122c t x y c y x （3）xy dz xz dy yz dx == 解：由xz dy yz dx =，可得0=-ydy xdx 。积分可得：122c y x =- 从而求得一个首次积分22y x -=φ 由xy dz xz dy =，可得0=-zdz ydy ，积分可得222c z y =-。于是又得到一个首次积分： 22z y -=ψ 于是微分方程组的通积分为 ???=-=-2 22122c z y c y x （4）x y dz z x dy y z dx -=-=- 解：利用合比定理可得： x y dz z x dy y z dx -=-=-=()0z y x d ++ 由此可得()0=++z y x d ，于是得到一个首次积分： z y x ++=φ 另外，我们有()()()() 2222222 22z y x d x y z zdz z x y ydy y z x xdx ++=-=-=- 于是得到另一个首次积分222z y x ++=ψ。于是微分方程的通积分为： ???=++=++2 2221c z y x c z y x

各种类型的微分方程及其相应解法

各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土 01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我 们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法1可.分离变量的方程 dy g ( y )dy?f (x )dx ,或 ?f (x )g (y ) dx 其特点是可以把变量 x 和 y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例 1.求微分方程 dx?xyd?y 2 dx?ydy 的通解 . 解 2 先合并 dx 及 dy 的各项 ,得 y (x 1)dy ( y 1)dx ?? ? 设 2 1 0, 1 0, y dy? 1 dx y ? ? x ? ? 分离变量得 2 x?1 y ?1 两端积分 y dy? 1 dx 得 1 ln | 2 1| ln | 1| ln | | 2 x? 1 y ?1 2 2 2 ( x?1) 2 2 2 ?C ( x?1) 2 . 于是 y ?1 ??C 记 C??C , 则得到题设方程的通解y ?1 1 1 2.齐次方程 dy y （1） ?f ( ) dx x dy （2） ?f (ax?by?c )（a ，b 均不等于 0） dx 例 2 求解微分方程 dx dy . 2 2 ? 2 x ?xy?y 2 y ?xy y 2 y ? ?? dy 2 2? ? 解 原方程变形为 2y ?xy ? x x , ? 2 2 ? ? 2 dx x ?xy?y y y ? ? 1? ?? ? x x ? ? y dy du 2 du 2u ?u , 令 u? , 则 ?u?x , 方程化为 u?x ? 2 x dx dx dx 1 ?u?u ?1 ? 1 1 ? 2 1 ? dx 分离变量 得 ? ? ? ?? ? ?du? , ?2 ?u?2 u? u?2 u?1? x 两边积分得

一阶线性偏微分方程

第七章 一阶线性偏微分方程 例7-1 求方程组 ()()()yz B A Cdz xz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不相等的常数。 解 由第一个等式可得 xyz ydy A C B xyz xdx C B A -=-， 即有 0=---ydy A C B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y A C B x C B A z y x Φ=---= ),(。 由第二个等式可得 xyz zdz B A C xyz ydy A C B -=-， 即有 0=---zdz B A C ydy A C B ， 两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z B A C y A C B z y x Ψ=---= ),(。 由于，雅可比矩阵 ??????????------=????? ????????ψ??ψ??ψ ??Φ??Φ??Φ ?=?ψΦ?z B A C y A C B y A C B x C B A y y x z y x z y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 122C y A C B x C B A =--- 222C z B A C y A C B =--- 。

评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 ()() ???????-+--=-+-=11d 2222y x y x dt dy y x x y dt x 的通解。 解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x 即 dt y x y x y x d )1)((2)(222222-++-=+ 这个方程关于变量t 和22y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为 1222221),,(C e y x y x t y x t =+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，得到 )(22y x dt dx y dt dy x +-=-， 即有 1arctan -=?? ? ??x y dt d 由此得到原方程组的另一个首次积分 2arctan ),,(C t x y t y x =+=ψ 。 由于，雅可比矩阵为 ()() ????????????++-++=?????????????ψ??ψ ??Φ??Φ ?=?ψΦ?22222222222222),(),(y x x y x y e y x y e y x x y x y x y x t t ，

二阶线性偏微分方程的分类与小结

二阶线性偏微分方程的分类与小结

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第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 １ 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中 f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数, 假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且 221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=，),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ ＝x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =，),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=,y y y u u u ηξξξ+=

xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高,由变换的可逆性,方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为