【最新整理】2019高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲一2

【最新整理】2019高中数学人教A 版选修4-4学案：第

二讲一2

圆的参数方程

(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，

y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝，sin ωt ＝，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方

程为(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的

时间．

(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为

r 的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0

为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM0转过的角

度．

(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R ，则圆的参数方程为(0≤θ

＜2π)．

[例1] O 为原点，以

∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．

[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解．

[解] 如图所示，

设圆心为O′，连O′M，∵O′为圆心，

∴∠MO ′x ＝2φ.

∴??? x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.

(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出

现错误，如本题容易把参数方程写成??? x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.

(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．

1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x ，写出它的参数方程．

解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y2＝1，

设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则

参数方程为(0≤θ＜2π)．

2．已知点P(2,0)，点Q 是圆上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，

并说明轨迹是什么曲线．

解：设中点M(x ，y)．则

????? x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即(θ为参数)

这就是所求的轨迹方程．

它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.

[例2] y 的最值．

[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参

数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．

[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有

x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，

故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2.

＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)．

∴－2≤2x ＋y ≤2.

即2x ＋y 的最大值为2，最小值为－2.