近世代数符号集
近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
近世代数初步_习题解答(抽象代数)
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第四章
Chapter4 4.1 ? 1. G 4. G 4 Klein K4 . ? ?4 S4 . . (i)G 4 ? G 4 . (ii)G 4 ? ?a∈G,a2=e.? ?a,b∈G,(ab)2= e,, ab=(ab)?1=b?1a?1=ba, G Abel ? G～=K4. 2. G 6. G 6 S3 . G с 3 ? ? 2 ? с Abel ? a=b∈G, a=e,b=e, a,b 4 ? . G с 2 ? ? 3 ? |G| ? . G 2 a, 3 b. 1):a,b ? ab 6 ?? G= ab 6 . 2):a,b? ? G 6 . G k 3 ?j 2 ? 2k+j+1=6, (k,j)=(2,1) (1,3). k=2, G 3 {x,x?1,y,y?1}. xy? 3 ? xy 2 ? yx ? xy=yx, x,y 9 ? . (k,j)=(1,3). ? G S6 ? ?,? ?(b)= (1,2,3), ?(a)=σ. G 3 ? σ(1,2,3)σ?1= (σ(1),σ(2),σ(3)), {σ(1),σ(2),σ(3)}={1,2,3}. σ (1,2,3)? ? ? σ(1)=1,σ(2)=2,σ(3)=3,? σ(1)=1,σ(2)= 3,σ(3)=2. α= 456 σ(4)σ(5)σ(6) σ=(2,3)α, σ2=e, α2=e. σ,(1,2,3) ={(1,2,3),(1,3,2),e,(2,3)α,(1,2)α,(3,1)α} S3 64
65 G ～=S 3. 3. G r =st ?H G t . H ={g s |g ∈G }={h ∈G |h =e }. G = g 0 , {g s |g ∈G }={g s 0,g 2s 0,···,g ts 0},{h ∈G |h t =e }={g s 0,g 2s 0,···,g ts 0}, {g s 0,g 2s 0,···,g ts 0} G t ? G t . G ={g s |g ∈G }={h ∈G |h t =e } 4. G ?a,b ∈G.?[a,b ]=aba ?1b ?1 a,b . {aba ?1b ?1|a,b ∈G } ? G (1)? G . :1) α∈Aut G , α(G (1))=G (1);2) H G. G/H Abel ? H ?G (1). 1)α(G (1))=α( {aba ?1b ?1|a,b ∈G } )= {σ(a )σ(b )σ(a )?1σ(b )?1|a,b ∈G } =G (1).2)G/H Abel ?(G/H )(1)={e }?G (1)?H . 5. S G ? ? ?,ψ G H ? ?(x )=ψ(x ),?x ∈S. ?=ψ. ?a ∈G , G = S , a =y 1y 2···y n , y i ∈S y ?1i ∈S . ?(x )=ψ(x ),?x ∈S , ?(x ?1)=ψ(x ?1),?x ∈S ,? ?(y i )=ψ(y i ),?1≤i ≤n , ?(a )=ψ(a ), ?=ψ. 6. H G ? H =G . G = G ?H . H =G ?a ∈G , GH , aH ∩H =?, aH ?H , G ?H ?H ∪(G ?H )=G , G = G ?H . 7. G ? G с 2 . G k m ?m >1?? m k?(m ) ? ? . m ? ?(m ) ? ? . |G | ? с ?? ? 2 . 8. α∈S 3 ? . α= 1234567836548271 α= 1234567836548271 =(1358)(26).
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 ●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A. 1.2映射 ●证明映射： ●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 ●满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 ●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般 A*B不等于B*A. ●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 2.1 半群 1.半群=代数运算+结合律，记作（S,） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都 不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定a0=e. 3.逆元
i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。 ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。 iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。 4.子半群 i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个 子半群 ii.T是S的子半群a,b T,有ab T 2.2 群 1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群. ii. 加群=代数运算为加法+交换群 iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩 阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合 SL(n,p). 2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元 =代数运算+结合律+单位元+逆元 =代数运算+结合律+?a,b G,ax=b,ya=b有解 3. 群的性质 i. 群满足左右消去律 ii.设G是群，则?a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解 iii.e是G单位元? e2=e iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群 4. 群的阶 群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。 Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群 ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群 2.3元素的阶
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
各国认证符号简述
各国认证符号简述 全球相互认证体系阿根廷产品安全认证 欧盟CE 认证德国GS 认证 法国NF 认 证 北欧四国认证 德国电磁兼容 标准认证德国VDE 认证 英国标准学会BS 认证意大利IMQ 认证 瑞士产品安 全 认证 荷兰产品安全 认证 俄罗斯产品安 全认证 比利时产品 安全认证 奥地利产品安全认证 波兰产品安全 认证 美国、加拿大UL 认证加拿大CSA 认证 美国FCC 产品安全认 证 中国CCC 强制认证 台湾产品安全 认证 日本电磁 干扰认证 日本PSE 认 证韩国产品安全 认证 澳大利亚 SAA 认证 沙特阿拉伯SASO认证 C-TICK电磁兼 容认证 CE标志是一种安全认证标志，被视为制造商打开并进入欧洲市场的护照。凡是贴有“CE”标志的产品就可在欧盟各成员国销售，无须符合每个成员国的要求，
从而实现了商品在欧盟成员国范围内的自由流通。 在欧盟市场“CE”标志属强制性认证标志，不论是欧盟内部企业生产的产品，还是其他国家生产的产品，要想在欧盟市场上自由流通，就必须加贴“CE”标志，以表明产品符合欧盟《技术协调与标准化新方法》指令的基本要求。这是欧盟法律对产品提出的一种强制性要求。CE两字，是从法语“Communate Europpene”缩写而成，是欧洲共同体的意思。欧洲共同体后来演变成了欧洲联盟（简称欧盟）。 CCC认证即是“中国强制认证”，其英文名称为“China Compulsory Certification”，缩写为CCC。目前的“CCC”认证标志分为四类：1、CCC+S 安全认证标志2、CCC+EMC 电磁兼容类认证标志3、CCC+S&E 安全与电磁兼容认证标志4、CCC+F 消防认证标志。 上述四类标志每类都有大小五种规格。 UL是英文保险商试验所（Underwriter Laboratories Inc.）的简写。UL安全试验所是美国最有权威的，也是界上从事安全试验和鉴定的较大的民间机构。它是一个独立的、非营利的、为公共安全做试验的专业机构。它采用科学的测试方法来研究确定各种材料、装置、产品、设备、建筑等对生命、财产有无危害和危害的程度；确定、编写、发行相应的标准和有助于减少及防止造成生命财产受到损失的资料，同时开展实情调研业务。总之，它主要从事产品的安全认证和经营安全证明业务，其最终目的是为市场得到具有相当安全水准的商品，为人身健康和财产安全得到保证作出贡献。 ROSH是《电气、电子设备中限制使用某些有害物质指令》（the Restriction of the use of certain hazardous substances in electrical and electronic equipment）的英文缩写。 RoHS一共列出六种有害物质，包括：铅Pb，镉Cd，汞Hg，六价铬Cr6+，多溴二苯醚PBDE，多溴联苯PBB。 2003年2月，欧盟议会和欧盟理事会以2002/95/EC号文正式公布：要求从2006年7月1日起进入欧盟的电气电子产品都应符合欧盟有毒有害物质禁用指令。
(完整版)《实变函数》考试说明解读
《实变函数》考试说明 近世代数是广播电视大学数学专业（本科）的一门重要的专业基础课，本期近世代数期末考试内容是教材《实变函数》的内容。试题有填空题、证明题，试题的难易程度和教材《实变函数》的习题相当。希望同学们在期末复习时，做好教材《实变函数》中的每章的习题。 第一章集合 一提要 第一节集合及其运算。 第二节映射及其基数。 第三节可列集 第四节不可列集 二教学要求 1）理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2）掌握集之间的交、差、余运算。 3）掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4）理解集列的收敛、单调集列的概念。 5）掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6）理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 7）理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质， 理解不存在最大基数的定理的意义。
第二章点集 一．提要 第一节聚点、内点、界点等概念 第二节开集、闭集、完备集。 第三节直线上的开集、闭集及完备集的构造。 第四节点集间的距离 第五节康托集及其性质 二．基本要求 1）明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。 2）理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3）理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4）理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5）理解康托集的构造、特性。 第三章勒贝格测度论 一．提要 第一节勒贝格外测度及其内测度。 第二节勒贝格可测集及其性质。 第三节勒贝格可测集的构造。
二．基本要求 1）理解测度的意义。 2）理解外测度的意义，掌握其有关性质。 3）理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 4）了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 第四章勒贝格可测函数 一．提要 第一节点集上和函数。 第二节勒贝格右测函数。 3）可测函数列的收敛性。 4）可测函数的构造。 二．基本要求 1）掌握可测函数的定义及等价定义。 2）掌握可测函数的有关性质。 3）理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。 4）掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。 5）掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。 6）理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。
欧洲符号集(精神和文字)
魔法护身符： (1) 西方精神信仰符号： (2) 几个古埃及象形文字： (5) 印第安符号： (8) 加纳符号： (9) 卢恩符文 (Rune)： (11) 魔法护身符： 西方中世纪的魔法护身符 ,具有"封印"的力量,所代表的是看似固定的 "北极星 "。 这是古埃及的护身符 "何露斯之眼 "。 "何露斯 "是古埃及国王俄塞里斯和伊希斯的孩子。他曾经历尽艰辛为父报仇 ,将古埃及人民从邪恶的统治中解救出来。 在与杀父仇人 "塞特"的搏斗中左眼曾被夺走 ,在月神 "骚特 "的帮助下才夺了回 来 ,并打败了 "塞特"。 他把夺回的眼睛献给了成为冥神的父亲 "奥西里斯 "。 而"右眼 "被埃及人当做了 "战胜邪恶、远离痛苦、辨别善恶、守护健康和幸福 "的护身符。 他的左眼和右眼后来被分别比作月亮和太阳。
这个符号是高卢人 (公元前 6 世纪时的古代北欧高卢地区居民 )常用的护身符 "太阳轮 "。在日本 ,这个符号有 "积极 "的含义。 电气领域它代表特定类型的 " 电动马达 "。炼金术时代这是代表 "孔雀石 "的符号。 这个符号最早记录在一个距今 2.4 万年的象牙护身符上 ,该护身符由 "克罗马农人"( Cro-Mag nonman )制造 ,符号本身由点排成。当时多指 "太阳 ",祈求得到太阳的保护。在古希腊这个符号意味着 "水或大海 "。 西方精神信仰符号： 这个符号在 "佛教 "中象征着 "生命的车轮 "以及不受轮回之苦。在" 基督教 " 中有 "永恒 "的涵义。 在美国西南部的印第安人部落中意味着 "永久定居 "。
这个符号象征着权威和神圣的权利 ,并能够判断什么是正确的和哪些是 错误的 方还是 "正义 " 的象征。这个符号在西方象征 "心灵从人间到天堂的朝圣之旅 "。 这个符号源自已知最早的古代北欧字母。 古希腊象征 "波塞冬或海王星 "。 自中世纪 ,这个符号开始象征 " 邪恶的魔鬼和地 "高精神层次 "的符号 ;后被基督教吸纳用以象征 "圣三一 ;在今天的西 这是一个古老的
最新近世代数复习提纲
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以 n k d ，故n k d =。
注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -=L L 。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
《近世代数》模拟试题2及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解 §1、素元、唯一分解 一、整除、单位、相伴元 定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。 定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。 单位元必是单位，反之不然。 例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元?b=±a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元?g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。 推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。 二、素元 定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。 定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0 ≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。 例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中，素元就是不可约多项式。 定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。 定理3整环I的一个非零元a有真因子?a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。 三、唯一分解 定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元） （ii）若同时 a=q1q2…q s（q i是I的素元） 那么r=s 并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得 q i=εi p i (εi是 I的单位) 零元和单位都不能唯一分解。 例3 在整环I={}Z +, 3中： a∈ - b a b （1）ε是单位1 = ?。 ? ε = 1 ε2± （2）若4 α2=，则α是素元。 （3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）： ()()3 + - = - ? = 1 1 3 2 2 4-
近世代数知识点
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1 集合 A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A. 1.2 映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark ：映射满足结合律！ 1.3 卡氏积与代数运算 { (a,b ) la €A,b €B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4 等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：? a€A,a~a; 2 对称性：? a,b€R, a~b=>b ~a€R; 3 传递性：? a,b,c€R,a~b,b ~c =>a ~c€R. Remark :对称+传递工自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群 2.1 半群 1. 半群=代数运算 +结合律，记作（ S,°） Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii. 若半群中的元素可交换，即 a°b=b °a, 则称为交换半群。 2. 单位元 i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不 存在；若都存在，则左单位元 =右单位元 =单位元。 ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元 = 单位元。 iii. 在有单位元的半群中，规定 a0=e. 3. 逆元 i. 在有单位元 e 的半群中，存在 b, 使得 ab=ba=e, 则 a 为可逆元。 ii. 逆元具有唯一性，记作 a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。 iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。 4. 子半群 i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个 子半群
欧洲符号集(炼金)
炼金术(Al chemy)符号 此符号出现于公元前700年的希腊文明中,用在"工程图纸"的绘画中。17世纪的"炼金术"和"化学"中代表"蒸馏醋或醋酸"。 在西方表意文字往往是"水"的标志。 这个符号在"炼金术和早期化学"中代表"砷和酸"。 在17世纪的化学和炼金术中代表"坩埚、盐酸和盐"。 也被称为"拐杖交叉","耶路撒冷交叉"和"交叉的圣十字架"。
这个符号最早被用于约三千年前的"古巴比伦"。 代表"水星",传说中的"水星赫尔墨斯"。 其在"占星学"和"心理学"中象征"智慧、过程"。 解剖学中代表"神经系统"。 在炼金术中代表"不稳定的、可升华或蒸馏的、元素汞"。并认为其能分解其他金属或结合本身得到"汞合金"。 在药理学中表示"危险的毒药"。 最早刻画于西撒哈拉岩画上的符号。 在炼金术中代表"本质上最好的、最珍贵和酒精"。 早期天文学中代表"太阳的中心"。 地质方面表示为"地势平坦"。 在现代社会最普遍的是代表(打开)"阀门"。 这个符号在炼金术中意味着"融化或液态的形式"。
在炼金术中这是蒸煮、蒸馏过程的标志。 也代表使用的"玻璃容器",加热液体并让出来的气体在容器口凝结。 这个符号在炼金术中代表黄金、金矿、合金。 曾在"炼金术"中被当做"铵盐"的符号。 有时被用于代表"天王星"。 该符号在中世纪(约公元476年至公元1453年的欧洲)的炼金术中意味着"夜晚"。
该符号在一些古炼金术中代表"水银"。 该符号在17世纪的西方表意文字中代表"炼金术"。 也被用作象征四个基本要素:"中间的小圈代表水、方形代表土、三角形象征火、最外层圆圈象征空气"。 该符号在炼金术中代表"硫或含硫量"。在中世纪时,符号上部分的三角形指"火"。 在炼金术中,这个符号也象征"地狱的硫火",象征地狱的原因是"向下的箭头"。 该符号也指小行星"帕拉斯"(取自希腊传说中的海之信使特里同的女儿,在与雅典娜玩战争游戏时被误杀,雅典娜为纪念她改名为帕拉斯·雅典娜。)
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-4
近世代数课后习题参考答案 第四章 整环里的因子分解 1 素元、唯一分解 1. 证明：0不是任何元的真因子。 证 当0≠a 时 若b a 0=则0=a 故矛盾 当0=a 时，有00ε= （ε 是单位） 就是说0是它自己的相伴元 2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n (2 是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 证 １）I 的单位 总可以把m 表为 p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说 1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然 ２）I 的素元 依然是k p p m k ,(2=的限制同上） 我们要求 ⅰ）0≠p ⅱ）1±≠p ⅲ）p k 2只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数 故p m k 2=而p 是奇素数是n m 2 是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？ 证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12 =ε 时， 事实上，若bi a +=ε是单位 则11-=εε 2 ' 2 2 1ε ε = 即2 '2 1εε=
但2 22 b a +=ε 是一正整数，同样2 ' ε也是正整数， 因此，只有12 =ε 反之，若12 2 2 =+=b a ε ，则0,1=±=b a 或1,0±==b a 这些显然均是单位 此外，再没有一对整数b a ,满足122=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。 （２）适合条件52 =α 的I 的元α一定是素元。 事实上，若52 =α 则0≠α 又由α)1(也不是单位 若2 2 2 5,λβ α βλα=== 则12=β或52=β ββ?=12是单位λαβλ?=?-1 2 是α的相伴元 λλ β ?=?=152 2 是单位βαλβ?=?-1 是α的相伴元 不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。 （３）I 的元5不是素元。 若βα=5则2 2 25λβ= 这样，2 β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当152 2 =?=λ β 由)1(λ是单位 此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52 =β 的情形 5,2 2 2 =+=+=b a bi a β β可能的情形是 ???==21b a ??=-=21b a ???-==21b a ???-=-=21 b a ???==12b a ? ??-==12b a ???=-=12b a ???-=-=12 b a 显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52 =β 的β是素元，故知５是素元之积 （４）５的单一分解 )21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-= )21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-= i ±±,1均为单位 ２ 唯一分解环 １．证明本节的推论 证 本节的推论是； 一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ，
近世代数习题解答(张禾瑞)四章
近世代数习题解答 第四章 整环里的因子分解 1 素元、唯一分解 1. 证明：0不是任何元的真因子。 证 当0≠a 时 若b a 0=则0=a 故矛盾 当0=a 时，有00ε= （ε 是单位） 就是说0是它自己的相伴元 2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n (2是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 证 １）I 的单位 总可以把m 表为 p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说 1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然 ２）I 的素元 依然是k p p m k ,(2=的限制同上） 我们要求 ⅰ）0≠p ⅱ）1±≠p ⅲ）p k 2只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数 故p m k 2=而p 是奇素数是 n m 2是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？ 证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12=ε 时， 事实上，若bi a +=ε是单位 则11-=εε 2'221εε= 即2'21εε= 但222b a +=ε是一正整数，同样2'ε也是正整数， 因此，只有12=ε 反之，若1222=+=b a ε，则0,1=±=b a 或1,0±==b a 这些显然均是单位
此外，再没有一对整数b a ,满足12 2=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。 （２）适合条件52=α的I 的元α一定是素元。 事实上，若52=α则0≠α 又由α)1(也不是单位 若2225,λβαβλα=== 则12=β或52=β ββ?=12是单位λαβλ?=?-12是α的相伴元 λλβ?=?=1522是单位βαλβ?=?-1是α的相伴元 不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。 （３）I 的元5不是素元。 若βα=5则2225λβ= 这样，2β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当1522=?=λβ由)1(λ是单位 此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52=β的情形 5,222=+=+=b a bi a ββ可能的情形是 ???==21 b a ???-=1b a ???=1b a ???-=-=21b a ???=1b a ???-==12b a ???=-=12b a ???-=1b a 显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52=β的β是素元，故知５是素元之积 （４）５的单一分解 )21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-= )21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-= i ±±,1均为单位 ２ 唯一分解环 １．证明本节的推论 证 本节的推论是； 一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ， n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。 用数学归纳法证 当2=n 时，由本节定理３知结论正确。 假定对1-n 个元素来说结论正确。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为