求函数值域常见的五种方法

求函数值域常见的五种方法

求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．

一、 判别式法

思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．

例1 求函数的4

312--=x x y 值域． 解：原式整理成01432

=---y yx yx ， )4()41()1(∞+?-?--∞∈，，，x ，且0≠y ，

∴0)14(492≥++=?y y y .

解得0≥y 或25

4-≤y ． 当 25

4-=y 时，)41(23，-∈=x ． 又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]25

4--+∞?∞，（． 二、 配方法

例2 求函数x x y 21-+=的值域． 解：由已知得2

121)21(21+-+--=x x y 1)121(2

12+---=x

∴所求函数的值域是

]1-，（∞． 三、 单调性法

思路：利用函数的图象和性质求解.

例3 当)0,2

1(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．

解：由已知得)1lg(2

x y -=， ∵)0,2

1(-∈x ，∴)41,0(2∈x ． 又2x -在)0,2

1(-∈x 上递增， ∴)1,43(12

∈-x ． 又u y lg =在)1,4

3(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,4

3(lg ． 四、 反函数法

例4 求函数x

x y -+=11的值域． 解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得01

1≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-

∴函数的值域为),1[)1,(+∞?--∞．

五、 换元法

例5 求函数x x y --=1的值域。 解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么4

5)21

(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．

∴原函数的值域是]1,(-∞．