高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数(第2课时)课堂探究新人教A选修2-2创新
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数（第2课时）课
堂探究 新人教A 版选修2-2
探究一 求曲线上一点处的切线方程
求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程的步骤：(1)求出P 点的坐标(x 0，f (x 0))；(2)求出函数在x 0处的变化率f ′(x 0)，从而得到曲线在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；(3)利用点斜式写出切线方程．
【典型例题1】已知曲线y ＝13x 3上一点P ? ??
??2，83， (1)求点P 处切线的斜率；
(2)写出点P 处的切线方程．
思路分析：本题考查导数的几何意义．根据导数的几何意义知，函数f (x )在点x ＝x 0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程．
解：(1)∵y ＝13
x 3， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－13x 3Δx
＝lim Δx →0 x 2Δx ＋x (Δx )2＋13
(Δx )3
Δx ＝lim Δx →0 ????
??x 2＋x Δx ＋13(Δx )2 ＝x 2
，
∴y ′|x ＝2＝22＝4.
∴点P 处切线的斜率为4. (2)∵由(1)知点P 处切线的斜率为4，且点P 的坐标为? ??
??2，83， ∴在点P 处的切线方程是y －83
＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0. 探究二 求切点的坐标
1．求切点坐标的一般思路
(1)先设切点坐标(x 0，y 0)．
(2)求导函数f ′(x )．
(3)求切线的斜率f ′(x 0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.
(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0，得切点坐标．
2．切点问题的处理方法
(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
【典型例题2】(1)曲线f (x )＝－1x 2在点P 处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，则点P 的坐标为__________．
(2)曲线f (x )＝2x 2
－x 在点P 处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则点P 的坐标为__________．
思路分析：设出切点的坐标，求出切线斜率，由斜率间的关系及曲线方程求得切点坐标． 解析：(1)设切点P 为(x 0，y 0)，则 k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝lim Δx →0 －1(x 0＋Δx )2＋1x 02Δx ＝lim Δx →0 －x 02＋(x 0＋Δx )2x 02(x 0＋Δx )2
Δx
＝lim Δx →0 2x 0＋Δx x 02
(x 0＋Δx )2＝2x 03. ∵切线方程为2x ＋y ＋3＝0，
∴切线斜率为－2.
∴2
x 0＝－2.∴x 0＝－1.
∴f (x 0)＝f (－1)＝－1.
∴切点P 为(－1，－1)．
(2)设切点P 为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)
＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2－(x 0＋Δx )－(2x 02
－x 0)Δx
＝lim Δx →0 4x 0Δx ＋2Δx 2－Δx Δx
＝lim Δx →0
(4x 0＋2Δx －1)＝4x 0－1. ∵在点P 处的切线与x ＋y －1＝0垂直，∴4x 0－1＝1.
∴x 0＝12. ∴f (x 0)＝f ? ????12＝2×? ????122－12
＝0.
∴切点P 为? ??
??12，0. 答案：(1)(－1，－1) (2)? ??
??12，0 探究三 导数几何意义的综合应用
导数几何意义的综合应用，主要是根据函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数即曲线f (x )在点x 0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系求解相关问题．
【典型例题3】求曲线f (x )＝x 2＋1和g (x )＝x 3＋x 在其交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．
解：由f (x )＝g (x )，得x 3－x 2＋x －1＝0，
即(x －1)(x 2＋1)＝0，∴x ＝1.∴交点为(1,2)．
∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝lim Δx →0 (1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx
＝lim Δx →0
(2＋Δx )＝2， ∴曲线f (x )在(1,2)点处的切线l 1的方程为
y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .
令y ＝0，得x ＝0，即切线与x 轴交于(0,0)．
又∵g ′(1)＝lim Δx →0
g (1＋Δx )－g (1)Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋(1＋Δx )－(13＋1)Δx
＝lim Δx →0 4Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3
Δx
＝lim Δx →0 (4＋3Δx ＋(Δx )2)＝4， ∴曲线g (x )在(1,2)点处的切线l 2的方程为 y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2.
令y ＝0，得x ＝12，即切线与x 轴交于? ??
??12，0， ∴两条切线与x 轴围成的三角形面积为S ＝12×12×2＝12
. 探究四 易错辨析
易错点：对导数的几何意义理解不够而导致出错
【典型例题4】求过曲线y ＝f (x )＝x 3
上的点(1,1)的切线方程．
错解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1
＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx ，
∴Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx
＝(Δx )2＋3Δx ＋3.
∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
[(Δx )2＋3Δx ＋3]＝3， 即f ′(1)＝3.
所以所求切线的方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.
错因分析：求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程．前者可能会有多个结果，而后者通常只有一个结果．例如，如图所示的图象，l 1，l 2，l 3都是过点P 的切线，其中l 3是在点P 处的切线．过曲线上一点的切线和在某一点处的切线是两个不同的概念．
正解：设切线与曲线y ＝f (x )切于点(x 0，x 03)，
则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝(Δx )3＋3(Δx )2·x 0＋3Δx ·x 02Δx
＝(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 02
.
∴lim Δx →0 Δy Δx
＝3x 02，即f ′(x 0)＝3x 02. 故切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)．而该切线经过点(1,1)，所以1－x 03＝3x 02(1－x 0)，
解得x 0＝1或x 0＝－12
. 所以切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋18＝34? ??
??x ＋12. 即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.
反思 (1)求某点处的切线，该点就是切点，因此可直接求出切线斜率(该点处导数的值)，写出切线方程．
(2)求过某点的切线，要注意该点不一定是切点．
因此，在解题时先设出切点，再求出切线斜率(该点处导数的值)，根据切点与斜率写出切线方程，最后再将该点坐标代入．在解题过程中不必考虑该点是否为切点．