第四章 方差分析

第四章 方差分析

一、填空题

1、方差分析就是通过对实验数据进行分析，检验方差 时，各正态总体的 是否相等，以判断各因素对试验指标的影响是否相等。

2、单因素方差分析的数学模型为 。

3、在单因素方差分析中，总偏差平方和分解公式为 。

4、对于具有s 个水平的单因素A 实验方差分析（水平i A 对应的总体为),(2σμi N （i =1,2,…,s ），现取样，设各水平下的样本容量之和为n ,以T e A S S S ,,分别表示因素A 的效应平方和、误差平方和、总偏差平方和，则 （1）T e A S S S ,,之间的关系是___________； （2）在s μμ==...1成立的条下，

~)

/()

1/(s n S s S E A --___________；

（3）在显著性水平α下，假设“s H μμ==...:10，s H μμ,...,:11不全相等”的拒绝域形式是_________

4、方差分析的目的是_______ .

解：推断各因素对试验结果影响是否显著．

5、在一个单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下重复次数分别为：5，7，6，8 那么误差平方和的自由度 ，因子A 的平方和的自由度为 。

6、单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．

二、简述题

1、简述方差分析解决什么问题。

2、单因素方差分析的数学模型是什么？

3、单因素方差分析中的总偏差平方和分解公式是什么？

4、单因素方差分析中，总偏差平方和、组间偏差平方和（因子平方和）、组内偏差平方和（误差平方和）分别是由什么引起的？

5、方差分析的检验一般用什么检验法？

6、方差分析的目的及思想（结合单因素）。

三、单选题

1、方差分析是一个（ ）问题。

A 、假设检验

B 、参数估计

C 、随机试验

D 、参数检验

2、在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A 总离差 B 组间误差 C 组内误差 D A,B,C 全错

3、∑∑==-s

i n j i ij i

X X 112)(是（ ）

A 组内平方和

B 组间平方和

C 总离差平方和 D

4、单因素方差分析中，数据i ij n j r i X ,,2,1;,,2,1, ==可以看作是取自（ ）。

A 、一个总体),(~2σμN X

B 、r 个总体r i N X i i ,,2,1),,(~2 =σμ

C 、r 个总体r i N X i i ,,2,1),,(~2 =σμ

D 、n 个总体i i i n j r i N X ,,2,1;,,2,1),,(~2 ==σμ

四、计算题

1、为了改进录音效果，今比较三种不同磁粉的录音带的放音效果，用这三种不同的磁粉(记为321,,A A A )的录音带录音，假设),(~211σμN A ，),(~222σμN A ，

),(~233σμN A ，得到的数据已汇总成方差分析表如下

(1)(2)问这三种磁粉的平均放音效果有无显著差异(0.05α=)？

2、我校硕士研究生《数理统计》课实行选课、考教分离制，由全校统一命题进行考试，试卷批改也是集体阅卷、流水进行，成绩出来以后要进行多项分析，现从参加该课程考生中随机选取部分学生作为样本, 对任课教师的教学效果进行评价，抽样数据如下：

经计算：∑∑===11

1517i j ij x ，85.75=x ，∑∑===11

2

115851

i j ij x 设各成绩值总体服从同方差的正态分布，试仅从学生成绩角度用方差分析法检验各个教师的教学水平是否有明显差异(0.05)α=？

3、养鸡场要检验四种饲料配方对小鸡增重是否相同，用每一种饲料分别喂养了6只同一品种同时孵出的小鸡，共饲养了8周，每只鸡增重数据如下：（克） 配方：370，420，450，490，500，450

配方：490，380，400，390，500，410 配方：330，340，400，380，470，360

配方：410，480，400，420，380，410

问：四种不同配方的饲料对小鸡增重是否相同？（05.0=α，

1.3)20,3(05.0=F ，部分数据的计算结果为83.14245,83.58195

==A T Q Q ）

4、有三台机器生产规格相同的铝合金薄板，为检验三台机器生产薄板的厚度是否相同，随机从每台机器生产的薄板中各抽取了5个样品，测得结果如下： 机器1：0.236,0.238,0.248,0.245,0.243 机器2：0.257,0.253,0.255,0.254,0.261 机器3：0.258,0.264,0.259,0.267,0.262

问：三台机器生产薄板的厚度是否有显著差异？要列出方差分析表

（05.0=α，部分数据计算结果为000192.0,001053.0,001245.0===e A T Q Q Q ）

5、为研究蒸馏水的PH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中的白蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的PH 值（A ）取了四个不同的水平，对硫酸的浓度（B ）取了三个不同水平，在不同的组合水平(,)i j A B 下，各测一次白蛋白与球蛋白之比，对其结果进行运算得以下方差分析表的部分数据：

(1)(2)．检验两个因素不同水平下的化验结果是否有明显差异(05.0=α，

26.7)6,2(,76.4)6,3(95.095.0==F F ).

6、一批由同一种原料织成的布，用不同的印染工艺处理，然后进行缩水处理。假设采用A 、B 、C 三种不同的工艺，每种工艺处理4块布样，测得缩水率（单

位：%）的数据如表1所示。根据这些数据，完成下列问题：

填写下列未完成的方差分析表（表2），并根据方差分析表以显著水平05.0=α来判断不同的工艺对布的缩水率的影响是否有显著差异？

解:(1)完成方差分析表如上 4分（其中F 值1分，其他每空格0.5分） 由05.0=α知26.4)9,2(=αF , F= 5.366>26.4)9,2(=αF , 5分 可认为有显著差异.

6分

7、灯丝四种配料方案如下表：

给定显著性水平下分布表分位数22.39.0F =，方差分析确定四种灯丝配料方案在使用寿命上有无显著差异？（不做正态性和方差齐性检验）

（提示数据：54.195711=T S ，7.44360=A S ）

8、设有三台机器A 、B 、C 制造同一种产品。对每台机器观察5天的日 产量。记录如下（单位：件） A ： 41，48， 41， 57， 49 B ： 65，57， 54 ，72， 64 C ： 45，51， 48， 56， 48

试问：在日产量上各台机器之间是否有显著差异？（05.0=α）， 已知：79.3)12,2(05.0=F

9、车间里有5名工人，3台不同型号的机器生产同一种产品，现在让每个工人轮流在3台机器上操作，记录其日产量结果如下：

试？

)84.3)8,4

(,46.4)8,2(,05.0(05.005.0===F F α

10、某数理统计教师随机地选取18名学生把他们分为3组，每一组各采用一种特殊的教学方法，期末进行统考，各组成绩如下：

假设学生成绩服从正态分布，试问：在显著水平下这三种教学方法的教学效果有无显著差异？哪种教学效果最好？ 注：70.2)15,2(05.0=F

11、考察4种不同类型的电路对计算机的响应时间的影响，测得数据如下：

经计算：∑∑===4

11

386i n j ij i

x ，∑∑===4

11

2

8992i j ij i

x

设各测量值总体服从同方差的正态分布，试用方差分析法检验各类型电路对响应时间有无显著影响)05.0(=α？

12、为研究蒸馏水的PH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中的白蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的PH 值（A ）取了四个不同的水平，对硫酸的浓度（B ）取了三个不同水平，在不同的组合水平

(,)

i j A B 下，各测一次白蛋白与球蛋白之比，

对其结果进行运算得以下方差分析表的部分数据：

2．检验两个因素不同水平下的化验结果是否有明显差异（05.0=α）。 给定05.0=α,查出,26.7)6,2(,76.4)6,3(05.005.0==F F

第4章方差分析

第四章方差分析 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是将待分析资料的总变异剖分为不同的变异来源，以获得不同变异来源的总体方差的估计值。通过F检验，完成多个样本平均数之间的差异显著性检验（即多重比较），若处理效应为随机模型时，则进行方差组分的估计。 4.1 方差分析的SAS过程 用于方差分析的主要过程有方差分析（ANOVA）和广义线性模型(GLM)。对于无缺省（缺值、缺组等）资料，或称平衡资料，一般采用（ANOVA）过程，对缺省资料（非平衡资料）应采用（GLM）过程。事实上根据效应模型的不同，还有VARCOME（方差组分）过程,MIXED（混合模型）过程等。 4.1.1 ANOVA过程 1. 名词解释 自变量与依变量在方差分析中，自变量可称为独立变量、定性变量（Qualitative Variale）、分类变量（Classiflcation Variable）或类别变量（Categorcal Variable），相当于因素处理、水平变量。依变量又称反应变量（Response Variable），相当于观察值变量。 实验效应方差分析的目的是找出对依变量产生的实验效应，这种效应可分为3种：主效应，常以自变量的英文字母表示，如A、B等。互作效应，常以星号联接自变量表示，如A*B。嵌套效应，以小括号表示，如A（B）表示A效应嵌套在B效应之内。 2 语句说明： CLASS指令必须出现在MODEL指令之前，如选用TEST、MANOVA指令，则它们必须出现在MODEL指令之后。MEANS、TEST及MANOVA等指令可重复使用，其他指令则只能出现一次。

PROC ANOV A选项串中：⑴DA TA=输入数据集名称，指明对它执行ANOV A分析。⑵MANOV A 要求将含一个或一个以上依变量遗漏数据的观察值剔除。⑶OUTPUT=(含分析结果的)输出文件名称，包括平方和(SS)，F检验值，以及各效应的显著程度。 CLASS变量名称串指明自变量，自变量可以是数值的或文字的。 MODEL指令定义分析所用的线性数学模型(见表6—1)，删除号（/）后的选项：⑴NOUNI：不印出单变量方差分析的结果，适用于多变量的方差分析。⑵INT：要求SAS把线性模型内的截距（即资料的总平均数）当成一个参数，同时对这个截距作是否为零的假设检验。 MEANS指令前半部要求算出某些自变量（或互作）中各组的平均数，后半部（删除号后）共有24个选项，前17个选项分别对MEANS指令中所列的主效应平均数进行多种方法的多重比较。这些选项有：⑴BON：修正最小显著差异t检验。⑵DUNCAN：邓肯多重范围检验，即邓肯氏新复极差法。⑶DUNNETT（控制组组名）：邓尼特控制差异检验。它是依据t分布由各组平均数与控制组（指定组如对照组）进行比较，采用双尾检验。⑷DUNNETTL（控制组组名）：邓尼特小于控制均数检验。与控制组平均数的比较，采用单尾检验，临界值订在t分布的下端。⑸DUNNETTU（控制组组名）：邓尼特大于控制均数检验。与控制组平均数的比较，采用单尾检验，临界值订在t分布的上端。⑹GABRIEL：贵博氏多重比较。⑺REGWF：R—E—G—W多重F检验。⑻REGWQ：R—E—G—W多种t检验。⑼SCHEFFE：执行沙菲氏(Scheffe)的多重比较检验。⑽SIDAK：Sidak调整T检验。⑾SUM（或⑿GTI）：Sidak独立样本t检验。当两组样本含量不等时为哈氏（Hochberg）的GTI 检验。⒀SNK：纽曼—库尔多重范围检验，即q检验。⒁T（或⒂LSD）：配对t检验或费歇尔最小显著差异检验。⒃TUKEY：图基固定极差检验。⒄W ALLER：娃尔—邓肯K—比率t检验。以上17种检验法最常用的为⑵、⑶、⑸、⒀、⒁。其它主要选项还有⒅ALPHA=P：界定检验的显著水准。内设值为P=0.05。当上面选项与选项⑵并用时，P值必须是0.10、0.05、0.01三者之一。与上面其他检验选项时，P可以是0.0001与0.9999间任何的值。⒆LINES：将显著性检验的平均数，由大到小排列。若某一对平均数之间无显著差异，则将它们印在同一行上，并以虚线将它们与其他有显著差异的平均数分开。当选用⑵、⑺、⑻、⒀或⒄等检验时，此选项会自动被包括在内，否则，必须附加此选项。⒇CLM：效应的各组平均数以置信区间方式表示。此项必须与⑴、⑹、⑼、⑽、⑾、⒁、⒂等联用。(21)CLDIFF：与(20)相仿，选用⑵、⑺、⑻、⒀、⒄时，附加此选项，将以置信区间方式显示各组平均数。(22)E=效应名称：它界定各显著检验的分母，缺省时以误差项的均方自动成为分母。 FREQ指令指明该变量值为各观察值重复出现的次数。 TEST指令用来指定F检验的分子与分母，H=分子，E=分母；一般而言，系统自动采用误差项的均方作为F检验的分母。但对于随机模型等，可选此项。 MANOV A指令主要用于执行多变量(多元)方差分析。 BY指令用于把数据文件分成几个小文件，然后逐一进行ANOV A分析，但文件内的数据必须先按照BY变量串的值做由小到大的重新排列。此步骤可籍PROC SORT达成。 以上指令中MODEL指令至关重要，同一资料，分析结果依模型不同而异。常用的模型定义语句有：MODEL Y=A；单因素方差分析，MODEL Y=A B两因素主效应模型，MODEL Y=A B A*B两因素带互作模型，MODEL Y=A B(A)嵌套（NESTED）模型用

第四章 方差分析

第四章 方差分析 一、填空题 1、方差分析就是通过对实验数据进行分析，检验方差 时，各正态总体的 是否相等，以判断各因素对试验指标的影响是否相等。 2、单因素方差分析的数学模型为 。 3、在单因素方差分析中，总偏差平方和分解公式为 。 4、对于具有s 个水平的单因素A 实验方差分析（水平i A 对应的总体为),(2σμi N （i =1,2,…,s ），现取样，设各水平下的样本容量之和为n ,以T e A S S S ,,分别表示因素A 的效应平方和、误差平方和、总偏差平方和，则 （1）T e A S S S ,,之间的关系是___________； （2）在s μμ==...1成立的条下， ~) /() 1/(s n S s S E A --___________； （3）在显著性水平α下，假设“s H μμ==...:10，s H μμ,...,:11不全相等”的拒绝域形式是_________ 4、方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5、在一个单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下重复次数分别为：5，7，6，8 那么误差平方和的自由度 ，因子A 的平方和的自由度为 。 6、单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．

二、简述题 1、简述方差分析解决什么问题。 2、单因素方差分析的数学模型是什么？ 3、单因素方差分析中的总偏差平方和分解公式是什么？ 4、单因素方差分析中，总偏差平方和、组间偏差平方和（因子平方和）、组内偏差平方和（误差平方和）分别是由什么引起的？ 5、方差分析的检验一般用什么检验法？ 6、方差分析的目的及思想（结合单因素）。 三、单选题 1、方差分析是一个（ ）问题。 A 、假设检验 B 、参数估计 C 、随机试验 D 、参数检验 2、在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A 总离差 B 组间误差 C 组内误差 D A,B,C 全错 3、∑∑==-s i n j i ij i X X 112)(是（ ） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 4、单因素方差分析中，数据i ij n j r i X ,,2,1;,,2,1, ==可以看作是取自（ ）。 A 、一个总体),(~2σμN X B 、r 个总体r i N X i i ,,2,1),,(~2 =σμ C 、r 个总体r i N X i i ,,2,1),,(~2 =σμ D 、n 个总体i i i n j r i N X ,,2,1;,,2,1),,(~2 ==σμ 四、计算题

(完整word版)STATA第四章t检验和单因素方差分析命令输出结果说明

第四章 t检验和单因素方差分析命令与输出结果说明 ·单因素方差分析 单因素方差分析又称为Oneway ANOVA,用于比较多组样本的均数是否相同，并假定：每组的数据服从正态分布,具有相同的方差，且相互独立，则无效假设。 :各组总体均数相同。 原假设：H 在STATA中可用命令： oneway 观察变量分组变量[, means bonferroni] 其中子命令bonferroni是用于多组样本均数的两两比较检验。 例：测定健康男子各年龄组的淋巴细胞转化率(%)，结果见表，问:各组的淋巴细胞转化率的均数之间的差别有无显著性？ 健康男子各年龄组淋巴细胞转化率(%)的测定结果: 11-20 岁组：58 61 61 62 63 68 70 70 74 78 41-50 岁组：54 57 57 58 60 60 63 64 66 61-75 岁组：43 52 55 56 60 用变量x 表示这些淋巴细胞转化率以及用分组变量group=1，2，3分别表示 则用 STATA 命令： oneway x group, mean bonferroni | Summary of x group | Mean ① -------------+------------ 1 | 66.5 2 | 59.888889 3 | 53.2 ------+------------ Total | 61.25 ②

Analysis of Variance Source SS df MS F Prob > F ------------------------------------------------------------------------------- Between groups 616.311111③ 2 ④ 308.155556⑤ 9.77⑥ 0.0010⑦Within groups 662.188889⑧ 21⑨ 31.5328042⑴ ------------------------------------------------------------------------------- Total 1278.50 23 55.586956 （2）Bartlett's test for equal variances:chi2(2) = 2.1977 （3）Prob>chi2=0.333 Comparison of x by group (Bonferroni) Row Mean- | Col Mean | 1 2 -------------- --|-------------------------------------- 2 | -6.61111 （4） | 0.054 （5） | 3 | -13.3 （6） -6.68889（8） | 0.001 （7） 0.134 （9） ①对应三个年龄组的淋巴细胞转化率的均数；②三组合并在一起的总的样本 均数；③组间离均差平方和；④组间离均差平方和的自由度；⑤组间均方和(即： ⑤=③/④)；⑧组内离均差平方和；⑨组内离均差平方和的自由度；（1）组内均 方和(即：（1）=⑧/⑨)；⑥为F 统计值(即为⑤/（1）)；⑦为相应的p值；（2） 为方差齐性的Bartlett检验；（3）方差齐性检验相应的p值；（4）第二组的淋 巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（5）第二和 第一组均数差的显著性检验所对应p 值；（6）第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（7）第三和第一组均数差的显著 性检验所对应的 p 值；（8）第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第二组的淋巴 细胞转化率的样本均数的差；（9）第三和第二组均数差的显著性检验所对应的p 值。 由上述结果可知：三组方差无显著地齐性，因此若三组数据近似服从正态 分布，无效假设Ho检验所对应的p值<0.01，可以认为这三组均数有显著差异。 由 Bonferroni统计检验结果表明：第一组淋巴细胞转化率显著地高于第三组淋 巴细胞转化率(p<0.005)，其它各组之间均数无显著性差异。

SPSS第四章 方差分析

方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。方差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。 方差分析主要用途：①均数差别的显著性检验，②分离各有关因素并估计其对总变异的作用，③分析因素间的交互作用，④方差齐性检验。 在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验条件下样本均值间的差异。例如医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同化学药剂对作物害虫的杀虫效果等，都可以使用方差分析方法去解决。 方差分析原理 方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和表示，记作SS w，组内自由度df w。 (2) 实验条件，实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表示，记作SS b，组间自由度df b。 总偏差平方和 SS t = SS b + SS w。 组内SS t、组间SS w除以各自的自由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，得到其均方MS w和MS b，一种情况是处理没有作用，即各组样本均来自同一总体，MS b/MS w≈1。另一种情况是处理确实有作用，组间均方是由于误差与不同处理共同导致的结果，即各样本来自不同总体。那么，MS b>>MS w(远远大于)。 MS b/MS w比值构成F分布。用F值与其临界值比较，推断各样本是否来自相同的总体。 方差分析的假设检验

04方差分析(5)

第五章 方差分析 方差分析是质量管理中常用的统计技术之一。在实际工作中，经常会遇到需要比较多个总体均值的问题，这类问题往往可以用方差分析的方法解决。 〖例5-1〗现有甲、乙、丙三家工厂生产同一种零件，为了解不同工厂的零件强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取4个零件测定其强度，数据如表5-1所示，试问这三个工厂的零件的平均强度是否相同？ 在这一问题中，我们遇到需要比较3个总体均值的问题。如果每一个总体的分布都服从正态分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个总体均值是否一致的问题可以用方差分析来解决。 注意：这里有两个假定，后面将要讲到第三个假定，即各个总体服从正态分布。在实际工作中我们不能盲目地使用这些假定（你不能未进行任何分析计算就假定你的过程符合这三个要求），在实际工作中这些假定需要证实。而《质量专业理论与实务（中级）》的知识是不能解决这个问题的，使用SPSS 可以很方便地解决这些问题。 第一节 几个概念 结合上述例题讲述几个概念。 称上述从每一个工厂随机抽取4个零件测定其强度为试验，在该试验中考察的指标是零件的强度，不同工厂的零件强度不同，因此可以将工厂看成影响指标的一个因素，不同的工厂便是该因素的不同状态。 为了方便起见，将在试验中会改变状态的因素称为因子，常用大写字母A 、B 、C 等表示。在〖例5-1〗中，工厂便是一个因子，用字母A 来表示。 因子所处的状态称为因子的水平，用因子的字母加下标表示，譬如因子A 的水平用A 1、A 2、…等表示。在〖例5-1〗中，因子A 有3个水平，分别记为A 1、A 2、A 3。 试验中所考察的指标通常用Y 表示，它是一个随机变量。 如果一个试验中所考察的因子只有一个，那么这是单因子试验问题，一般对数据做以下一些假设： 假定因子A 有r 个水平，在每个水平下指标的全体构成一个总体，因此共有r 个总体。假定第i 个总体服从均值为μ，方差为σ2的正泰分布，从该总体中获得一个样本量为m 的样本im i i y y y ,...,,21，其观察值便是我们观察到的数据，i=1,2,…,r ，最后假定个样本是相互独立的。 数据分析主要是要检验如下假设： r H μμμ===...:210 H μμμ,...,,:211不全相等