一轮椭圆第一课时学案
椭圆第一课时
一、双基自测：
1、设P 是椭圆x 225＋y 216
＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
2、设定点()()120,3,0,3F F -，动点(),P x y 满足条件|PF 1|＋|PF 2|()0a a =>，则动点P 的轨迹是（）
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段或不存在
二、知识清单：
1、椭圆的定义
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫。这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做 .
定义的理解：
2．椭圆的标准方程和几何性质
即时突破：
1、“－3 m ＋3 ＝1 表示椭圆”的 ( ) 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要 D ．既不充分也不必要 2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，离心率为，过2F 的直线l 交C 于,A B 两点，若△1AF B 的周长为则C 的方程为（ ） A 、22132x y += B 、2213x y += C 、221128x y += D 、22 1124 x y += 三、典例： 例1、求椭圆的标准方程： （1）已知点()1,0A -，B 是圆()2 2:116C x y -+=（C 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点P ，求动点P 的轨迹方程； （2）求与椭圆2 213 x y +=有相同的焦点且经过点(2，－3)的椭圆标准方程； 解题心得： 例2、设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线上一点，21F PF ?是底角为的等腰三角形，则C 的离心率为（） A. 12 B.23C .34 D.45 练习1、椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ， 若直线)y x c =+于椭圆的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于。 解题心得： 例3、已知F 1、F 2是椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若21F PF ?的面积为9，则b =。 解题心得： 32a x =30 四、思考题： 1、已知椭圆 22 :1 94 x y C+=，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的 对称点分别为,A B，线段MN的中点在C上，则AN BN +=。 2、设F1,F2分别是椭圆E:x2+y 2 b2 =1(0 3、已知椭圆x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且 |PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=a2-b2,则椭圆的离心率的取值范围是() A.1 3,1 2 B.2 2 ,1C.3 3 ,1 D.3 3 ,2 2 椭圆及其标准方程（一）导学案 【学习要求】 1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 【学法指导】 1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力. 2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度 【知识要点】 1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2. 探究点一 椭圆的定义 问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？ 问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？ 探究点二 椭圆的标准方程 问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程. 问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？ 例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点????52，－3 2，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程. 跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有公共的焦点， 求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程. 例2 已知方程x 2k －4－y 2 k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________. 跟踪训练2 若方程x 2m －y 2 m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( ) A ．m >0 B ．0 §2.2.1椭圆及其标准方程(1) 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 一、课前准备 （预习教材理P38~ P40，文P32~ P34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程． 复习2：方程22 -++=表示以为圆心, 为半径的． (3)(1)4 x y 二、新课导学 ※学习探究 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，Array 拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的 点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦 距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试试： 已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹 是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()2 22210x y a b a b +=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ， 则椭圆的标准方程是 ． ※ 典型例题 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a c =y 轴上； ⑶10,a b c +== 变式：方程2 14x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆， 则 实数m 的范围 ． 高二数学 §2.2.1《椭圆及其标准方程(1)》导学案 【学习目标】 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【重点难点】 重点：椭圆的定义的理解 难点：椭圆的标准方程的求解 【知识链接】 （预习教材理P 38~ P 40，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． 复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ． 【学习过程】 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试试： 已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ， 2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨 迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。 《椭圆及其标准方程》教学设计龙城高级中学胡宇娟 （一）指导思想与理论依据 1、本节课的设计力图体现“教师为主导,学生为主体”的教学思想。在教 学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。 2、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，运用“实 验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理，揭示知识的发生、发展过程；遵循现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。 3、数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。针对这节课的内 容：教师提问；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。在教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。 （二）教学背景分析 A、学情分析 1、能力分析 ①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程; ②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。 2、认知分析 ①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤; 共 8 页第1页 山西大学附中高二年级(上) 导学设计 编号52 椭圆及其简单几何性质(2) 【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 【学习重点】椭圆与直线的关系 【学习难点】椭圆与直线的关系 【学习过程】 一、导学 复习1：椭圆22 11612 x y +=的焦点坐标是（ ）（ ）；长轴长 、短轴长 ；离心率 ． 复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？ 探究： 问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？ 问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？ 反思：点与椭圆的位置如何判定？ 二、导练 例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门 位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另 一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求 截口BAC 所在椭圆的方程． 变式：若图形的开口向上，则方程是什么？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在 坐标轴． 例2 已知椭圆22 1259 x y +=，直线l ：45400x y -+=。椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？ 变式：最大距离是多少？ 练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =?，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 学案51 椭 圆 导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质． 自主梳理 1．椭圆的概念 在平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________． 集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 自我检测 1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 2．(2011·揭阳调研)“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆x 2sin α－y 2 cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.????3π4，π B.??? ?π4，3π4 C.????π2，π D.???? π2，3π4 4．椭圆x 212＋y 2 3 ＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上， 那么|PF 1|是|PF 2|的( ) A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 5．(2011·开封模拟)椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 探究点一 椭圆的定义及应用 例1 (教材改编)一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程． 变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程． 探究点二 求椭圆的标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)经过两点A (0,2)和B ????12，3. 变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝6 3 ，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程． 探究点三 椭圆的几何性质 牡丹江市第二高级中学高二数学学案 椭圆的标准方程 设计人：王建辉 使用时间： 学习目标 1．掌握椭圆的定义及其标准方程.； 2. 会用待定系数法求椭圆的标准方程； 3. 初步体会用定义法求点的轨迹方程的思想. 预习案： 问题1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在黑板的同一点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是? 问题2. 如把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在黑板的两点处，套上笔， 拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 练习案： 1. 判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标。 116252 2=+y x 11691442 2=+y x 112222=++m y m x 【思考】判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则是什么？ 2.填空 ()()()。则两焦点坐标为已知椭圆方程为。的范围为轴上的椭圆，则表示焦点在方程。的范围为轴上的椭圆，则表示焦点在方程_________1,9 y 16x 3) (b y 19 y b x 2) (a x 13 y a x 1222222=+=+=+【思考】在求椭圆方程时，关键是弄清什么？ 3.填空： (1)已知椭圆的方程为： 116252 2=+y x ，则a=_____，b=_______， c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦，则?F 2CD 的周长为________ 检测案： 1. 满足a=4,b=1，焦点在X 轴上的椭圆的标准方程为________________ 2. 满足a=4,c= 15 ，焦点在Y 轴上的椭圆的标准方程为___________ 3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上的一点P 到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的距离等于8，椭圆上的一点P 到两焦点距离的和等于10. (3)两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35,22??- ??? 作业案：见课时作业2 数学选修1-1知识点 第2章 圆锥曲线与方程 （1）椭圆 1．椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数 （21PF PF +=2a （a 为常数）2a ＞21F F ）的点的轨迹叫做椭圆． ⑴若2a ＞ 21F F ，则动点P 的轨迹是椭圆 ⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是线段F1F2 ⑶若2a ＜2 1F F ，则动点P 无轨迹 2．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 焦点 )0,(1c F -)0,(2c F 焦点在y 轴上时，方程为)0(122 22>>=+b a b x a y 焦点),0(1c F -),0(2c F 注:2 22b a c -= 椭圆的一般方程：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+ 3．椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的性质： (1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤- (2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是)0(， c ± (4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c (5)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的，准线方程是 c a x 2±=，准线到中心的距离为2 a c . 通径的长是a b 22，通径的一半(半通径)：2b a ，焦准距（焦点到对应准线的距离） c b 2 ． (6)离心率O F B a b a c a c e 2222 22cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁 (7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点， 焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和02 02)(ex a c a x e PF -=-=． 4．椭圆的的内外部： （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ?+> 5．椭圆系方程： 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为：是122 22=+++λ λb y a x （02 >+λb ）． 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为：λ=+22 22b y a x 或λ=+22 22b x a y ． 椭圆及其标准方程教学设计 课题椭圆及其标准方程 一、学情分析 学生在必修Ⅱ中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。学生基础差，计算分析问题能力低。地处少数民族区竟争意识淡动手能力差。 二、教学目标 知识技能： 〈1〉掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。 过程方法： 〈1〉通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。 〈2〉通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。 三、教学重点，难点分析 重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。 难点：椭圆标准方程的建立和推导。 关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。 椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。 四、教法建议 〈1〉安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。 〈2〉对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。 〈3〉将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。 〈4〉注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。 〈5〉推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。 〈6〉讲解完焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。 〈7〉在学习新知识的基础上要巩固旧知识。 §2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时） 【学习目标】 1.能准确的说出椭圆的定义； 2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试一试： 1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在 2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F > 二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验 2．两种标准方程的比较 2 三：典型例题 例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22?? - ??? ，求它的标准 方程 ． 方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。（2）待定系数法，先设出椭圆 的标准方程22221x y a b +=或22 221x y b a +=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可 四、练习提升 1求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8； （2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。 （3）求经过两点(2，0)，(0，1)，且焦点在坐标轴上 2．如果椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距 离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12 D ．8 3．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ． 4．如果点(,)M x y 在运动过程中， 10，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ． 5．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1) 6.已知 12 102 2=-+-m x m y 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是________ 7.椭圆22 1x y m n +=--，(0)m n <<的焦点坐标是 高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 新人教A 版选 修2-1 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 4346，文P 37~ P 40找出疑惑之处） 复习1： 椭圆2 2 11612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是． 复习2：方程2 2 15x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是． 二、新课导学 ※学习探究 问题1：椭圆的标准方程2 2 221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 图形： 范围：x ： y ： 对称性：椭圆关于轴、轴和都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为；短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度． 椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率， 记c e a =，且01e <<． 试试：椭圆 22 1 169 y x +=的几何性质呢？ 图形： 范围：x：y： 对称性：椭圆关于轴、轴和都对称； 顶点：（），（），（），（）； 长轴，其长为；短轴，其长为； 离心率： c e a ==． 反思：b a 或 c b 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？ ※典型例题 例1 求椭圆22 1625400 x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22 981 x y +=呢？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． 例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45 ，求点M 的轨迹． 小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ． ※动手试试 练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x 轴上，6a =，1 3e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，3 5e =； ⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； ⑷长轴长等到于20，离心率等于3 5． 三、总结提升 ※学习小结 课题：§椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 文档 §2.2.1椭圆及其标准方程(1) 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 3840，找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． 复习2：方程22 (3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ． 二、新课导学 ※ 学习探究 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖， 画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试试： 已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ， 则椭圆的标准方程是 ． ※ 典型例题 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4, a c =y 轴上； ⑶10,a b c +==． 变式：方程214x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ． 小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ． 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-， (2,0)，并且经过点53,22??- ??? ，求它的标准方程 ． 椭圆及其标准方程导学案 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做 椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 例1. [经典例题]：根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 3．对椭圆标准方程的认识 （1）在椭圆的两种标准方程中，都有____________。 （2）椭圆的焦点总是在____________，如果焦点在x 轴，那么焦点坐标为____________，如果焦点在y 轴上，那么焦点坐标为________________ （3）a 、b 、c 始终满足关系式____________________。 4．例题分析 【例1】如图，在圆x 2＋y 2=4上任取一点P 过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 【例2】如图，设点A 、B 的坐标分别为（－5，0），（5，0），直线AM 、BM 相交于点M 且它们的斜率之积是－ 9 4 ，求点M 的轨迹方程。 例3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5 ） 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 .若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； 1.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 2．椭圆252x ＋ 9 2 y =1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON|等于（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 3 3．△ABC 中，|BC|=6，已知△ABC 的周长为16，求动点A 的轨迹。 4．已知方程52-k x ＋ k y -32 =－1表示椭圆，求k 的取值范围。 直线与椭圆位置关系 思想方法：在解题中，将直线的方程与椭圆的方程联立， 消去一个变量后可得到一个二次方程, 控制、讨论这个方程的根，并结合根与系数关系，可以解决如下问题： （1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离） ； （2 ）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式） ； 在直线的斜率） （4）涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理 题型一：直线与椭圆的位置关系： 例1： （ 1）直线y=x+m 和椭圆4x 2+y 2=i ，当直线与椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围。 2 2 x m 与曲线- J 1（y 0）有一个公共点，求 m 的取值范围 20 5 2 2 变式：若直线y kx 1与焦点在x 轴上的椭圆 —「1总有公共点，求实数 m 的范围. 5 m （3）计算弦长（弦长公式为 AB 也『皈x i 或AB 1 1 — y 2 y i ，其中k 为弦AB 所 k （2）若直线y 题型二：弦长问题: 的长? 线方程? (3)已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y=x+m ，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。 y 2 1的左、右焦点，过F 1作倾斜角一的直线与椭圆交于 3 题型三：中点弦问题： 例3:已知一直线与椭圆4x 2 9y 2 36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M （1,1）, 2 X 例2: (1)已知斜率为1的直线I 过椭圆 — 4 y 2 1的右焦点交椭圆与 A 、B 两点?，求弦AB (2)过点P ( 0,2)的直线与椭圆 V14 1 相交于A 、B 两点，且弦长AB T ，求直 2 、 x 变式：F-!, F 2分别是椭圆一 2 点，求 F PQ 的面积. P,Q 两 椭圆的几何性质（1）学案 一、教材分析： 1、基本问题：根据曲线的方程，研究 曲线的几何性质 2、基本方法：坐标法 3、基本思想：数形结合 二、复习导入： 1、椭圆的定义是什么？ 2、椭圆的标准方程是___________________________。 3、利用椭圆的定义画一个椭圆。 三、知识要点： 对于椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x （a ＞b ＞0）有： 1、范围：________≤x ≤________；________≤y ≤________ 2、对称性：关于______成轴对称图形，关于____成 中心对称图形。 3、顶点坐标：____________，其中A1A2，B1B2分别叫椭圆的________ 4、离心率是____________，记为_____其取值范围是__________ 四、例题 例1：求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。 例2：求适合下列条件的椭圆的标准 方程： （1）经过点P （—3，0），Q （0，—2） （2）长轴的长等于20，离心率等于0.6 例 3 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹. 例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知AC ⊥F1F2，|F1A|=2.8cm ，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC 所在椭圆的方 椭圆的标准方程教学设计 【教学内容】 新课标人教版选修2-1第二章第二节第一课时内容：2.2.1椭圆及其标准方程 【教材分析】 教材的地位与作用： ⑴从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练； ⑵从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。 所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用.本小节安排两课时： ： 第一课时:椭圆的定义及标准方程的推导； 第二课时:运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程。 【学生情况分析】 在学习椭圆之前，学生对曲线与方程有了一定的了解；基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线的方程。椭圆是常见的图形，学生对椭圆已有一定的感性认识，例如：行星的运动轨迹等等。 【教学目标】 1. 知识目标： A识记：①掌握椭圆的定义及其标准方程；②区分椭圆的两种类 型的标准方程及其对应的图形；③能根据a、b、c的值写出椭圆的标准方程。 B理解：①理解椭圆的焦点、焦距的意义；②会推导椭圆的标准方程；③能掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第三个。 》 C掌握：学会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题。 2. 能力目标：①培养学生建立适当坐标系的解析法解题能力。 ②巩固与发展学生的定义法解题、待定系数法解题和数形结合的解题能力。③引导学生探究、操作、运用数学思想（待定系数法）等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。 3. 情感目标：①培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。③在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、开拓创新的精神.。 【教学重点和难点】 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的建立和推导. 【教学方法】体验式、多媒体演示 【教学过程设计】 ~ （一）复习 §2.2.1椭圆的标准方程 教学目标： （一）、知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆 的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。 （二）、过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般 方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题。 （三）、情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义； 体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度。 教学重点：椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学过程： （一）、问题情境： 生活中存在着大量的椭圆，比如： 问题1：汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能精确地制造它们？ 问题2：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它究竟是不是椭圆？ 问题3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的。怎样才能准确地制造它们？ 制作教具引入 椭圆的定义： 注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ （1）平面内；若把平面内去掉，则轨迹是什么？ （2）椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为2a ； 两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即:12F F ＝2c. （3）常数212F F a >,若212F F a =，则轨迹是什么？若212F F a <呢？ （二）、建构数学： 1、回顾求圆的标准方程的基本步骤 建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简 2、如何建立适当的坐标系？ 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。) ①建立适当的直角坐标系： ②设点： ③根据条件a PF PF 221=+得 ④化简： 思考：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？ 问题1:椭圆标准方程的特点是什么? 问题2: 如何判断椭圆焦点位置? 例题讲解 一、基础训练 1、若动点P 到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 线段F1F2 C. 直线F 1F 2 D. 不存在 2、求下列椭圆的焦点坐标 1、1 92 2=+y x 2、112322=+y x 3、4222=+y x 4、14491622=+y x 3、已知椭圆的方程为 1100 362 2=+y x ，则=a ，=b ，=c ，焦点坐标高中数学 选修2-1椭圆导学案
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