直瞄武器射击综合条件命中概率的研究

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

全概率公式与贝叶斯公式解题归纳

全概率公式与贝叶斯公式解题归纳 来源：文都教育 在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果”，还是“由果索因”，因为全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率. 它们的定义如下： 全概率公式：设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个划分，如果()0,i P B > 1,2,,i n =L ，则对任一事件A 有 )|()()(1 i n i i B A P B P A P ∑==. 贝叶斯公式 ：设n ,B ,,B B 21 是样本空间Ω的一个划分，则 .,,2,1,)|()() |()()|(1n i B A P B P B A P B P A B P n j j j i i i ==∑= 例1 从数字1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X ，再从1，…，X 中任取一个数，记为Y ，则(2)P Y == . 解 由离散型随机变量的概率分布有： (1)(2)(3)(4)14P X P X P X P X ========. 由题意，得 (21)0,(22)12,P Y X P Y X ====== (23)13,(24)14P Y X P Y X ======,则根据全概率公式得到

(2)(1)(21)(2)(22)P Y P X P Y X P X P Y X =====+=== (3)(23)(4)(24)P X P Y X P X P Y X +===+=== 111113(0).423448 =?+++= 例2 12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率. 解 令A={先取的1件为次品}，则,A A 为完备事件组，12(),(),33 P A P A = =令B={后取的2件皆为正品}，则2821128(),55C P B A C ==2721121(),55C P B A C == 由贝叶斯公式得 128()()()2355().128221()()()()()5 355355 P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ?====+?+? 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.

条件概率公式

条件概率（conditional probability）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。 联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为或者或者。 边缘概率是某个事件发生的概率。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P（A），B的边缘概率表示为P（B）。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间序列关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。 例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 换句话说，如果A与B是相互独立的，那么A在B这个前提下的条件概率就是A自身的概率；同样，B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。 考虑概率空间Ω(S, σ(S))，其中σ(S)是集S上的σ代数，Ω上对应于随机变量X的概率测度（可以理解为概率分布）为PX；又A ∈σ(S)，PX(A)≥0（这里可以理解为事件A，A不是零测集）。则?E∈σ(S)，可以定义集函数PX|A如下： PX|A(E)=PX(A∩E)/PX(E)。 易知PX|A也是Ω上的概率测度，此测度称为X在A下的条件测度（条件概率分布）。

独立性：设A，B∈σ(S)，称A，B在概率测度P下为相互独立的，若P(A∩E)=P(A)P(E)。 若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。而且就算在告知他其实是健康的人后，也可能因此对他的人生有负面影响。

条件概率公式

条件概率 示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 若只有两个事件A，B，那么，P(A|B) = P(AB)/P(B)。 条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 联合概率：表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P（A∩B）。 边缘概率：是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。条件概率公式例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 定理1

设A，B 是两个事件，且A不是不可能事件，则称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般地，，且它满足以下三条件： （1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。 定理2 设E 为随机试验，Ω为样本空间，A，B 为任意两个事件，设P(A)>0，称 为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。 上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。 设A1，A2，…An为任意n 个事件（n≥2）且P（A1A2…An-1）>0，则P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（An|A1A2…An-1）定理3(全概率公式1) 设B1，B2，…Bn是一组事件,若（1）BiBj≠j，i≠j，i，j=1，2，…，n;（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω则称B1，B2，…Bn样本空间Ω的一个部分，或称为样本空间Ω的一个完备事件组。 定理4(全概率公式2) 设事件组B1，B2是样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…n），则对任一事件B，有

全概率公式及其应用

1绪论 1.1问题的提出 概率论是统计学在实际生活中应用的理论基础，在实际生活、生产、工作中经常会遇到各种各样有关于概率计算问题的模型或者事件，而往往有些实际事件的解决是十分复杂的，如果只是使用一般的概率计算方法是无法快捷甚至根本无法解决这些问题，而全概率公式是概率论中的一个重要公式，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简，使用全概率公式解决问题可以借助引入各种小前提，将事件分解为两个或是若干个互不相容的简单事件的并集并且在每个小部分中可以比较容易的求得所需要的概率，从而进一步应用加法公式求出复杂事件的概率，所以针对某些复杂事件的处理一般可以使用全概率公式进行简化计算。 大家不禁思量，在解决概率问题时，使用全概率公式与使用一般方法相比有何不同？其优势体现在哪？全概率公式主要应用于哪些领域？本文主要探究的即是全概率公式在解决一些实际生活中遇到的问题中的应用以及其优势。 1.2使用全概率公式解决问题的意义 通过调查和统计我发现全概率公式的应用范畴十分广泛，同时其涉及领域也非常宽广。 我们可以看到，在现实的各种领域，比如生活、生产、经济、保险、投资、医疗等领域中，常常会涉及各种类型的概率计算，但是由于这些实际事件都会有着各种各样的限制条件或者其样本空间极为

复杂，因此在计算中也会遇到各种复杂问题。全概率公式的存在即有效地解决了一些复杂繁琐类的问题。在遇到使用一般方法进行处理分析十分麻烦乃至容易出错的复杂事件时，如果可以把这个事件分割成为互不相容的两个或者若干个简单事件，那么就可以运用全概率公式将样本空间按照某种方式进行分割，使原本复杂的事件转变为两个或者若干个简单事件，再使用条件概率对每个简单是件进行运算，最后运用加法公式将所有结果进行相加即可以准确便捷的得出结果，这也就是全概率公式的意义所在。灵活使用全概率公式有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。 1.3研究背景及预期结果 目前很多文献与论文都提及到了全概率公式的应用，但是一般都是对全概率公式进行证明、解释或者深度推广，其中很多文章都对全概率公式在某一部分领域的应用做出了阐释，并未能总结出全概率公式在各种领域中的实际问题上的应用。本文就是为了探求全概率公式在各种实际问题上的应用，归纳总结全概率公式的理解方法、求解问题时的分析方法、解决实际应用时的具体步骤以及应用此公式时应该注意的事项等几点研究体会，旨在更加完备的总结出全概率公式在解决各种复杂问题时的作用。 2全概率公式的概述 2.1全概率公式 全概率公式是概率论中的一个重要公式，它主要展示了“化整为零”的数学思想，将复杂的问题分割为两个或者若干个简单问题进行

概率统计复习提纲百度文库讲解

《概率论与数理统计》总复习提纲 第一块随机事件及其概率 内容提要 基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验. 1、随机试验、样本空间与随机事件 （1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为. 1）试验可在相同的条件下重复进行； 2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为. （3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）. 2、事件的关系与运算 （1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且. （2）互不相容性：；互为对立事件且. （3）独立性： （1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若 (). （2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的 ，具有等式，称个事件相互独立． 3、事件的运算 （1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为. （2）积事件（交）：“事件与同时发生”，记为或.

（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件； 称为的对立事件；易知：. 4、事件的运算法则 1) 交换律：，； 2) 结合律：，； 3) 分配律：，； 4) 对偶(De Morgan)律：，， 可推广 5、概率的概念 （1）概率的公理化定义： （2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即. （3）统计概率：称为事件的（统计）概率. 在实际问题中，当很大时，取 （4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，

全概率公式解释的经典问题

Advances in Education教育进展, 2017, 7(6), 328-333 Published Online November 2017 in Hans. https://www.sodocs.net/doc/8213541874.html,/journal/ae https://https://www.sodocs.net/doc/8213541874.html,/10.12677/ae.2017.76051 Some Famous Problems Solved by Full Probability Formula Xiaohan Yang School of Mathematics Science, Tongji University, Shanghai Received: Oct. 19th, 2017; accepted: Nov. 1st, 2017; published: Nov. 8th, 2017 Abstract Full probability formula is a basic subject of the theory of Probability. By presenting some inter-esting and famous problems that are applications of this subject instead of mathematics deduction, this paper attempts not only to illustrate how this extremely important formula comes into play but also to let individual feel it is fundamental and awesome to learn probability. Keywords Full Probability Formula, Monty Hall Problem, Simpson’s Paradox, Sensitivity Analysis 全概率公式解释的经典问题 杨筱菡 同济大学数学科学学院，上海 收稿日期：2017年10月19日；录用日期：2017年11月1日；发布日期：2017年11月8日 摘要 《概率论与数理统计》课程与实际问题联系非常密切，其重要性不言而喻。另一方面，不管是教科书还是学生，在教学和学习过程中都缺乏直接体会概率统计课程重要性的载体。本文尝试以课程中一个非常重要的公式——全概率公式为切入点，收集整理了用全概率公式解释的一些有趣的经典问题，并结合直观的树图讲解，使得学生在轻松掌握全概率公式这个知识点的同时，还有了利用概率统计方法解释现实中经典案例的直观体验，寓教于乐，提高学习积极性。

概率论知识点总结归纳

欢迎共阅 概率论知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件 样本点样本空间包含关系相等关系事件的和记为A ∪事件的积事件的差 互斥事件对立事件=?B A （1（2（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C)A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=?B A B A ?=? 第二节事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时 概率的性质：

（1）P(Φ)＝0 （2）有限可加性：n A A A ??? 21两两不相容时 当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -= （4）P(A －B)＝P(A)－P(AB) （5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB) 第三节古典概率模型 1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为 2落在区域把μ相互独立. 总结：1.3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。 第二章一维随机变量及其分布 第二节分布函数 分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X 落在区间],(x -∞内的概率 分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F 第三节离散型随机变量

条件概率公式

条件概率公式 条件概率： 设A、B是两个事件，在A事件发生的条件下，B事件发生的概率，其中P（A）>0。说明A事件发生的概率大于0,表示A事件是必然发生的。记为：P(B|A)=P(AB)/P(A) 。 注意事件A作为条件，分母必定是条件概率，所以A事件的概率必定在分母上，分子P(AB)表示事件A与B相交的概率，记作P(A∩B)。 举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T. 样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT） 设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH） 设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT） 求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。 （例子来自浙大版概率与统计第四版） 从已知条件可知，总样本Ω为4个，A事件有3个，B事件有2个。 所以可以直接求出A的概率与B的概率。即P(A)=3/4 , A事件与B事件相交事件只有一个即HH。 即P(AB)=1/4.有公式1可知 P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3. 1.2 乘法公式：把式1条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)

把P(AB)相交概率移到式子左边，把P(B|A)条件概率移动式子右边。即得到乘法公式。如式P(AB)=P(B|A) P(A)。 全概率公式： 在条件概率中引入(A∩B)积事件的概念。积事件概率表示相交事件的概率只有在A与B事件同事发生情况下才会发生。P(A∩B)表示A和B相交的概率。而在全概率公式中将引入∪和事件概念. 有个小窍门，其实可以把积事件理解为数字电路的与门、把和事件理解为数字电路的或门。比如样本空间S，可以划分样本B1，B2...B6组成，即S=（B1∪B2∪ (6)

全概率公式及应用

【标题】全概率公式及应用 【作者】刘媛 【关键词】全概率公式随机事件条件概率 【指导老师】林昌盛 【专业】数学与应用数学 【正文】 一、引言 在研究实际问题的过程中,除了要考虑事件A的概率P(A)之外,还须考虑在“已知事件B已发生”条件事件A发生的概率.一般地说,后者的概率与前者的概率未必相同.为了清晰起见,第二类情况下的概率称为条件概率,记为P(A|B)或PB(A).条件概率是概率论中一个重要的基础概念,与之有关的三个重要公式是：乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式,其中以乘法公式为基础的全概率公式在实际中有着广泛的应用.全概率公式就是把一个复杂的事件分解成若干个互不相容的简单事件,再由简单事件的概率求得最后的结果.本文在具体分析全概率公式的同时还发展出几个由全概率公式导出的推论,在分析其中定理的同时还运用其公式解决实际生活中比较典型的例 子. 二、全概率公式的基本理论 定义设A1,A2,…,An为n个事件,若满足： （1）完全性：A1∪A2∪…∪An＝Ω； （2）互不相容性：AiAj＝,i≠j,I,j＝1,2,…,n； （3）P(Ai)＞0,i＝1,2,…,n, 则称A1,A2,…,An为Ω的一个完备事件组. 定理1 设A1,A2,…,An为一完备事件组,则对任一事件B,成 立：＝ 分析：从形式上看,公式的右边比左边复杂.实质上,定理中给出的条件“B是任一事件”往往很复杂,要直接求出B的概率很难入手,若能把事件B分解为许多简单的、互不相容的事件之和,且这些事件的概率可求,则求出就迎刃而解了.从下面的证明,也可以看出这个思路. 证明：∵＝Ω＝( )＝ 由条件（2）AiAj＝,i≠j ∴(BAi)(BAj)＝B(AiAj)＝＝(i≠j) ∴＝( )＝ 由于＞0,应用乘法公式得：＝.这个公式称为全概率公式. 全概率公式中的条件（1）可推广为,得如下定理： 定理2 设（1）A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件；（2）.则对事件有＝. 分析：从形式上看, 是的一个子集,并且A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件,那么我

条件概率及全概率公式练习题

二、计算题 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公 式 , , ∴

P(A|B)=1/2. 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .

9条件概率公式

条件概率编辑讨论上传视频 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。 条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。条件概率可以用决策树进行计算。条件概率的谬论是假设P(A|B) 大致等于P(B|A)。数学家John Allen Paulos 在他的《数学盲》一书中指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。中文名条件概率外文名Conditional probability分类数学表示P（A|B）计算决策树定理贝叶斯公式 目录 1 基本概念 2 基本定理 3 统计独立性 4 互斥性 5 其它 6 著名谬论 基本概念编辑 条件概率 条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“A在B发生的条件下发生的概率”。若只有两个事件A，B，那么，。

概率测度 如果事件B 的概率P(B) > 0，那么Q(A) = P(A | B) 在所有事件A 上所定义的函数Q 就是概率测度。如果P(B) = 0，P(A | B) 没有定义。条件概率可以用决策树进行计算。[1] 联合概率 表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P(A∩B)。[2] 边缘概率 是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。 条件概率公式 条件概率公式 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。[3] 基本定理编辑 定理1

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 一、背景 一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件 发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的. [例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是. [例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为

对于例1,已知 容易验证在发生的条件下,发生的概率 对于例2,已知 容易验证发生的条件下,发生的概率 对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率, 总是成立的. 在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为

由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义. 二、条件概率 若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称 为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. [例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率 解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)} ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)} ={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)} 由条件概率公式得,

贝叶斯公式与全概率公式的运用

1-3 全概率公式与贝叶斯公式的运用举例一、全概率公式 是一个完备事件组并且P P(B)= 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： ①找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为 ②命名目标的概率事件为事件B ③带入全概率公式求解 下面是具体实例对全概率公式的运用 1、甲盒子里面有4个红球3个白球，乙口袋有2个红球，5个白球，从甲口袋随机拿出一个球放到乙口袋，然后从一口袋中随机拿一个球，求这个球是红球的概率。 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“从乙里面取出红球” ③全概率公式求解 P(B)=P()P(B|+ P()P(B|= 2、甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“从袋子里面取出白球” ③全概率公式求解 P(B)=P()P(B|+ P()P(B|= 3、某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、 三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“射手通过选拔赛” ③全概率公式求解 P(B)=P()P(B|+ P()P(B|+ P()P(B|+ P()P(B| =

= 二、贝叶斯公式 是一个完备事件组并且P P(|B)= 贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求出事件过程的某个条件成立的概率，解题步骤如下： ①找出目标条件所在的完备事件组，并命名 ②命名已知会发生的结果事件 ③带入贝叶斯公式求解 下面是具体实例对全概率公式的运用 4、某学生接连参加同一课程的考试两次，两次相互独立，第一次及格的概率是P，如果第一次及格，那么第二次及格的概率也是P，如果第一次不及格，那么第二次几个的概率就是,如果他第二次考试及格了，求第一次考试及格的概率 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“第二次考试及格” ③贝叶斯公式求解 == 5、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。 解：①完备事件组命名 ②目标事件B=“汽车停车修理” ③贝叶斯公式求解 = 6、甲袋中有4个红球，3个白球，乙袋中2个红球，5个白球，从两个袋子里任取一个袋子出来，然后从这个袋子里面拿出一个球，结果是红球，求这个球是从甲袋取出来的概率。

全概率公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0

1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记A i ={球取自i 号箱}, i =1,2,3; B ={取得红球}即 B= A 1B+A 2B+A 3B ， 且A 1B 、A 2B 、A 3B 两两互斥 B 发生总是伴随着A 1，A 2，A 3 之一同时发生，P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B ) 123

将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每一项 运用乘法公式得P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B ) ∑==3 1i i i A B P A P B P )()()(｜代入数据计算得：P (B )=8/15

∑==n i i i A B P A P B P 1) ()()(｜全概率公式: 则设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且P (A i )>0，i =1,2,…,n ,另有一事件B ,它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生，即 n i i A B 1=?

设S 为随机试验的样本空间，A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i =1,2,…,n , ∑==n i i i A B P A P B P 1) ()()(｜全概率公式: 称满足上述条件的A 1,A 2,…,A n 为完备事件组. ,1S A n i i == 则对任一事件B ，有

3.全概率公式和贝叶斯公式

3.全概率公式和贝叶斯公式 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第一章第§5的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式 【教材分析】：前面讲到的条件概率是概率论的基本概念，下一节的独立性和条件概率关系紧密，而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式，因此掌握此概念及计算公式为后续学习打下基础。 【学情分析】： 1、知识经验分析 前一节已经学习了条件概率和乘法公式，学生已经掌握了事件的概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 掌握全概率公式和贝叶斯公式以及计算。 2、过程与方法 由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，应用实际问题逐步推导出全概率公式和贝叶斯公式。 3、情感态度与价值观 通过学习，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，树立学生善于创新的思维品质和严谨的科学态度。 【教学重点、难点】： 重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式并会适当的应用。 难点：全概率公式和贝叶斯公式各自的适用条件及不同的情形。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 引例：三个罐子分别编号为 1， 2，3，1号装有 2 红 1 黑球， 2号装有 3 红 1 黑球，

3号装有 2 红 2 黑球。 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。 解：记 i B ={ 球取自i 号罐 } i =1， 2， 3； A ={ 取得红球 }，显然 A 的发生总是伴随着 123B B B ，，之一同时发生，即123+A AB AB AB =+，且123,,AB AB AB 两两互斥。 123()()+()()P A P AB P AB P AB =+3 1 ()(|)i i i P B P A B ==∑P (A |B 1)=2/3， ()23 4 P A B = ()312 P A B = 代入数据计算得：()0.639P A = 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、全概率公式 1、全概率公式： 定义 3 若 n 个事件 12......n B B B ， 满足 1 n i i B S ==U ， i j B B =Φ(),,1,2,i j i j n ≠=L ，则称 12......n B B B ， 为 S 的一个划分， 或称其是一 个完备事件组。 定理 设 12......n B B B ，是 S 的一个划分，且 ()0,1,2,....i P B i n >= 则对任一事件 A S ?，有1 ()()(|)n i i i P A P B P A B ==∑ 例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解： 设事件A 为“任取一件为次品”， 摂,1,2, 3.i B i i =事件为任取一件为厂的产品123, B B B S =U U ,,1,2,3.i j B B i j =?=由全概率公式得 【设计意图】：通过这个例子，让学生感受全概率公式解决实际问题的重要性 。 三、贝叶斯公式 贝叶斯（Bayes ）公式 ) ,,2,1() ()() ()()(1 n i B P B A P B P B A P A B P n k k k i i i Λ== ∑-其中12......n B B B ，为样本空间S 的一

概率论知识点的总结(良心出品必属精品)

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为 随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全 体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。 运算律： 设A，B，C为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）德摩根律： Y= A I B A B

全概率公式和贝叶斯公式练习题

1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。 解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品} A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2 则有分解B=A 1B ∪A 2B 由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88 由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868. 2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。 解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b +=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。 解：设B={中途停车修理}，A1={经过的是货车}，A2={经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有 111112220.02()()3()0.80.21()()()()0.020.0133 P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?===+?+? 4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以 70411482110621)|()()|()()(2211=?+?= +=A B P A P A B P A P B P (2) 1272414)(== B P

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算（就是集合的关系和运算） 包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。 相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。 事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。 对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质： Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时