不定积分与定积分部分典型例题
不定积分与定积分部分典型例题
例1 验证2
)ln 1(2
1)(x x F +=和x x x G ln ln
2
1)(2
+=
是同一个函数的原函数, 并说明
两个函数的关系.
分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有
)()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可.
解 因为x x
x
x x F ln 11)ln 1()(+=?+='
x x
x
x x x G ln 111ln )(+=
+
?='
所以2
)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln
2
1)(2
+=是同一个函数x
x
ln 1+的两个原函数.
且有2
1)(2
1ln ln
2
1)
ln 1(2
1)(2
2
+
=++=
+=
x G x x x x F
说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为
x
21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程.
分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是x
x f 21)(=的积
分曲线.
解 c x x x
x x f y +==
=
??
d 2
1d )(
且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c
于是所求曲线方程为
1+=x y
例3 判断下列等式是否正确. （1）x x
x x
d 11d 11d 2
2
-=
-?
（2）c x x x +-='?cos d )(sin （3）
2
1d ln d d e 1
=
?
x x
x x
分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.
解 （1）依照不定积分的性质
x x f x x f d )(d )(d =?
所以, 等式x x
x x
d 11d 11d 2
2
-=
-?
成立.
（2）依照不定积分的性质
c x f x x f +='?
)(d )(
所以, 等式c x x x +-='?cos d )(sin 不成立. 正确的应为
c x x x +='?sin
d )(sin
（3）由定积分定义,
)()(d )(a F b F x x f b a
-=?
是一个确定的数值, 因此, 对函数先求
定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式2
1d ln d d
e 1
=
?x x
x x
错误,
正确的结果应为
0d ln d d
e 1
=?x x
x x
.
例4 计算下列积分： （1）x x
x d )1(2
3
+
?
（2）x x
x x
x )d sin
e (3e 2
-+?
（3）x x d sin 20
?
π
分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对
被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[π上有
??
?≤<-≤≤=π
ππ
2sin 0sin sin x x
x x
x
利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.
解（1）将被积函数变形为
3
2
3
12)1(x
x
x x
x +
+
=+
x x
x d )1(2
3
+
?=x x
x x
x x x x
x
x d 1
d 2
d d )12(3
3
???
?+
+
=+
+
=c x
x x +-+2
2
21ln 22
1.
（2）将被积函数变形为
x
x
x
x x
x
2
2
sin
1e)
3()sin
e (3e +
=+
-
再利用积分公式和积分运算性质得
=
+
-?x x
x x
x )d sin
e (3e 2
??+
x x
x x
d sin
1
d e)3(2
=c x x
+-+cot 1
3ln )
e 3(
(3) ??
?
-+
=
π
π
π
π20
20
d sin d sin d sin x x x x x x
)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=π
ππ
x x
4=.
说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：
1．熟悉基本积分公式；
2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将x e 乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；
3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.
例5 计算下列积分：
（1）x x
x d 12
?
-；
（2）x x
x d )
e (1e
2
?
+
（3）x x
x
d ln
e 1
2
?
（4）x x d sin
20
3
?π
分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即
“换元变限”.
（1）将被积函数
2
1x
x -看成
u
x , 其中21x u -=, 且x x u d 2d -=, 于是,
u u
x u
x d 12
1d -
=, 这时对于变量u 可以利用公式求积分.
（2）将被积函数
2
)
e (1e
x
x +看成
2
e u
x , 其中x u e 1+=, 且x u x
d e d =, 于是
2
2
d d
e u
u x u
x =
,
这样对于变量x u e 1+=可以利用积分公式求积分.
（3）将被积函数x
x 2
)(ln 看成
x
u
2
, 其中x u ln =, 且x x
u d 1d =
, 于是
x x
u
d 2
u u d 2
=,
这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分.
（4）将被积函数x 3
sin
分解成x x x x x x x sin cos
sin sin )cos
1(sin sin
2
2
2
-=-=即
分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为
x u sin 2
, 其中x u cos =, x x u d sin d -=
解 （1）x x
x d 12
?
-=u u
x x
d 12
1
)1d(112
1
2
2
??-
=---
)1(2x u -=
=c x c u +--=+-2
1
（2）u u
x x
x
x
x d 1
)e 1(d )
e
(11
d )
e (1e
2
2
2
???
=++=+ （x
u e 1+=）
=c c u
x
++-=+-e
111
（3）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x x
u d 1d =
, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有
3
1)01(3
13
1d d ln
3
31
310
2
e 1
2
=
-=
=
=
?
?
u
u u x x
x
[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限. )d(ln ln
d ln
e 1
2
e 1
2
x x x x
x
?
?
=
3
1])1(ln )e [(ln 3
1)
(ln 3
13
3e
1
3=
-=
=
x
(4) 因为x x d sin
203
?π=x x x x x x x x d sin cos
d sin d sin ]cos
1[20
2
20
20
2
?
?
?-
=
-π
π
π
对于积分1cos d sin 20
20
=-=?π
π
x
x x
对于积分x x x d sin cos 20
2?π
用凑微分法,
[方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2
π
=x 时, 0=u , 于
是有
3
13
1d d sin cos
1
30
1
2
20
2
=
=
-=??
u
u u x x x π
[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.
3
1cos
3
1dcos cos
d sin cos
2
3
20
2
20
2
=
-
=-=?
?
π
π
π
x
x x x x x
说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分?u u f d )(容易求原函数.
应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着?u u f d )(容易求积分的方向进行. 在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）. 由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.
例6 计算下列积分： （1）?+x x x d 1)sin2(；
（2）?2
02d e x x x
；
（3）?e
e
1d ln x x
分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用
的函数及v u ',的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：
1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为x v d ', 即v x v d d =', 使积分变为?v u d ； 2．代公式,
??-=u v uv v u d d , 计算出x u u
d d '=
3．计算积分?u v d .
在定积分的分部积分公式是?
?-
=b a
b a
b
a u v uv
v u d d , 它与不定积分的区别在于每一项
都带有积分上、下限. 注意公式中b
a uv 是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.
解 （1）设x v x u 2sin ,1='+=, 则x v 2cos 2
1-
=, 由分部积分公式有
??+
+-
=+x x x x x x x d 2cos 2
1
2cos )1(2
1d 1)sin2(
=
c x x x ++
+-
2sin 4
12cos )1(2
1
(2) 设2e ,x
v x u ='=, 则2e 2x
v =, 由定积分分部积分公式有
44e 4e 4e 4e 4d e 2e 2d e 2
2
2
22
2
20
2=+-=-=-=??
x
x x
x x x x x
（3）因为????
?
≤≤<≤-=e
1ln 1
e
1
ln ln x x
x x
x , 利用积分区间的可加性得到
?
??
+
-=e 1
1
e
1e e
1d ln d ln d ln x x x x x x
其中第一个积分为?
?-=1e
11e
11
e
1d ln d ln x x x x
x x x
1e
2e
11e
1-=+-=
第二个积分为11e e d ln d ln e 1
e
1e
1=+-=-
=?
?x x x x x ,
最后结果为e
221e
21d ln d ln d ln e 1
1
e
1e e
1-=+-=+
-=?
??x x x x x x .
例7 计算下列无穷限积分： （1）x x d )
1(11
3
?∞++；
（2）?∞+-02d e
x x
； （3）?
∞+0
d ln 1x x
x
分析 对于无穷限积分?
+∞a
x x f d )(的求解步骤为：
（1）求常义定积分?-=b a
a F
b F x x f )()(d )(； （2）计算极限)]()([lim a F b F b -+∞
→
极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.
解 （1）])
1(2
1[lim d )
1(1lim
d )
1(11
2
1
3
1
3
b
b b b x x x x x -+∞
→+∞
→∞++-
=+=+?
?
=)4
1()2
1(])11()
1[(lim 2
12
2
-?-=+-+---+∞
→b b
8
1=
（2）]e
3
1[lim d e
lim
d e
30
30
3b
x
b b x
b x
x x -+∞→-+∞
→∞+--
==?
?
3
1]e e
[3
1[lim 0
3=--
=-+∞
→b
b
(3) +∞===+∞
→+∞
→∞+?
?
b b b b x x x
x x
x e
e
e
)
ln(ln lim )d(ln ln 1lim
d ln 1
说明此无穷积分发散.
注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式
（1） 8
1])
1(2
1[d )
1(11
2
1
3
-
=+-=++∞
-∞+?
x x x
（2）3
1]e
3
1[d e
30
3=
-=+∞
-∞+-?x
x
x
（3）+∞===
∞+∞+∞+?
?
e
x x x
x x
x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e
e
.
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
定积分典型例题11198
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
不定积分的典型例题
例1．計算 dx x x ?++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ???++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =???? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=?? 解法3 ???+-=++=++≠22222421)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=?21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x Θ ,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x
由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ??? ? ? ? ?<+--=>++-=++?x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 2 23dx x x x ?+++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(222223?????++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 424dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則
定积分典型例题精讲
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子 1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分.即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?. 例２ ? =___＿_＿_＿_． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= （0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法２ 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ）,则 ? =22 tdt ππ-?=2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??.
最新不定积分的典型例题
不定积分的典型例题
例1．計算?Skip Record If...? 解法1 ?Skip Record If...? 而?Skip Record If...??Skip Record If...?所以 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法2 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法3 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 由拼接法可有 ?Skip Record If...? 例2.求?Skip Record If...? 解将被积函数化为简单的部分分式 ?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，约去?Skip Record If...?的因子后令?Skip Record If...?得?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，对?Skip Record If...?求导，再令?Skip Record If...?，施以上运算后，右端得A,而左端为 ?Skip Record If...? 在分解式（*）中令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?分解式（*）两边同乘以?Skip Record If...?，再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?故有 ?Skip Record If...? 例3.求?Skip Record If...? 解令?Skip Record If...?再用部分分式，則 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以 ?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?令?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例4 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 例5.求?Skip Record If...?
不定积分典型题型
不定积分典型题型 1. 原函数 2.积分公式 3.第一类换元积分法(也称凑微分法） 4.第二类换元积分法 5. 分部积分法 原函数 1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则 ?=dx x f )(（ ） A. G （x ） B. F （x ） C. F （x ）+C 分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。 2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（ ） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x 分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx 积分公式 1.=? dx e x x 3 分析：运用公式 ? a x dx= a ln 1a x +C ， 把3e 看做一个整体,化为x e )3(。 答： C e x x ++3 ln 13 2.=+?dx x x 2 2 13 分 析 ： 对 函 数 进 行 “ 加 一 项 减 一 项 ” 处 理 ， 则 C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+???)arctan (3)11 1(311131322222 3.=? dx x 2tan 分析：运用三角恒等式,1sec tan 2 2-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=? ?tan )1(tan 2 2 4. =?dx x x 22sin cos 1 分 析 ： 运 用 三 角 恒 等 式 sin 2x+cos 2x=1, 则 C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=???cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 12 2222222.
不定积分例题及问题详解
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分的典型例题
定积分典型例题 例1 求 2 1lim n n →∞ ．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被 积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2 111n n n = ?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求 极限转化为求定积分．即 2 1lim n n →∞ = 1lim n n →∞ = 34 = ? ． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知， ? 等于上半圆周2 2(1) 1x y -+= (0y ≥) 与 x 轴所围成的图形的面积．故 ? =2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π-≤≤ ），则 ? = tdt =2 tdt =2 20 2 cos tdt π ? =2 π 例3 比较 12 x e dx ? ，2 1 2x e dx ?，12 (1)x dx +?．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无 法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0 x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调 递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ??? ． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ =++ 得1x e x >+．注意到 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ? ?? ． 例4 估计定积分2 02 x x e dx -? 的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12 x = , 而 0 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 1 4 1 ()2 f e -=, 故 1 2 4 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,从而2 122 4 22x x e e dx e - -≤ ≤? ,所以 2 102 4 2 22x x e e dx e - --≤ ≤-? . 例5 设 ()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b a n g x →∞ ? ． 解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又 ()0g x ≥()b a g x dx (b a g x ≤ ? ()b a g x dx ．由于1n n →→，故lim (b a n g x →∞ ? = ()b a g x dx ? ． 例6求sin lim n p n n x dx x +→∞ ? , ,p n 为自然数．分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用 方法是利用积分中值定理与夹逼准则．
不定积分经典习题
第六次习题课 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计 算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 ? 一、知识网络图 ? 原函数 ? ? ?1.基本概念?不定积分 ? ? ? ?不定积分的几何意义 ? ? 不 不定积分的性质 ?2.性质与公式? ? ? ?基本积分公式 定 ? 直接积分法 ? ? ?第一换元积分法(凑微分法) ? ? ? ?换元积分法? 积 ?3.计算方法? ?第二换元积分法 ? ? ? ?分部积分法 分 ? ? ?查表法 ? ? 有理函数积分 ? ? ? 4.特殊函数的积分?三角函数有理式积分 ? ? 某些无理函数积分 ? ? ? 一、求不定积分： 例 1. 计算 ? 2 arctan e x dx . e 2 x 提示： ? 2 arctan e x - ? arctan e x de -2 x = -[ e -2 x arctan e x - ? de x dx = ] e 2 x e 2 x (1 + e 2 x ) -2 x x de x de x = -[ e arctan e - ? e 2 x + ? ] (1 + e 2 x ) = - e -2 x arctan e x - 1 - arctan e x + C e x 例 2．计算 ? 1 dx x (1 + x )
(完整word版)定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
不定积分的例题分析及解法[1]
不定积分的例题分析及解法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dx x x ? sin ；dx e x ?-2 ；dx x ? ln 1；? -x k dx 2 2 sin 1（其中10<
定积分典型例题20例答案知识讲解
定积分典型例题20 例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞L =34 =?． 例2 0?=_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0?= 2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t ππ -≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0()()x f x xf t dt =?，求 ()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即 0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0 ()()x f t dt xf x +?．
定积分典型例题
定积分典型例题 例１求、 分析将这类问题转化为定积分主要就是确定被积函数与积分上下限。若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间等分写出积分与,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限、 解将区间等分,则每个小区间长为,然后把得一个因子乘入与式中各项.于就是将所求极限转化为求定积分。即 ==. 例2＝_＿＿__＿__＿. 解法1由定积分得几何意义知,等于上半圆周 () 与轴所围成得图形得面积。故=. 解法2本题也可直接用换元法求解.令=(),则 ==== 例3 比较,,、 分析对于定积分得大小比较,可以先算出定积分得值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分得性质通过比较被积函数之间得大小来确定积分值得大小、解法1在上,有、而令,则、当时,,在上单调递增,从而,可知在上,有.又 ,从而有. 解法2在上,有.由泰勒中值定理得。注意到.因此 。 例4 估计定积分得值、 分析要估计定积分得值, 关键在于确定被积函数在积分区间上得最大值与最小值。 解设, 因为, 令,求得驻点, 而 , , , 故 , 从而 , 所以 、 例5设,在上连续,且,.求. 解由于在上连续,则在上有最大值与最小值。由知,。又,则 。 由于,故 =. 例6求,为自然数. 分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难,解决此类问题得常用方法就是利用积分中值定理与夹逼准则. 解法１利用积分中值定理 设,显然在上连续, 由积分中值定理得 ,,
当时,,而,故 。 解法2利用积分不等式 因为 , 而,所以 、 例7求、 解法1由积分中值定理可知 ＝,、 又 且, 故 、 解法2因为,故有 、 于就是可得 、 又由于 、 因此 ＝. 例8设函数在上连续,在内可导,且.证明在内存在一点,使. 分析由条件与结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件即可. 证明由题设在上连续,由积分中值定理,可得 , 其中.于就是由罗尔定理,存在,使得.证毕、 例9(1)若,则=＿＿_;(２)若,求=_＿_. 分析这就是求变限函数导数得问题,利用下面得公式即可 。 解(1)=; (２) 由于在被积函数中不就是积分变量,故可提到积分号外即,则可得 ＝。 例１0 设连续,且,则＝_____＿＿__、 解对等式两边关于求导得 , 故,令得,所以. 例11函数得单调递减开区间为_＿__＿__＿_、 解,令得,解之得,即为所求. 例1２求得极值点. 故为得极大值点,为极小值
高等数学不定积分例题及答案
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
思路:52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
不定积分的典型例题
304 不定积分的典型例题 例1．計算 dx x x ?++1 14 2 解法1 ).12)(12(12 24+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(2 111 2 2 4 2 dx x x dx x x dx x x ???+++ +- = ++ . )]12arctan( )12[arctan(2 11)12( ) 122 11 )12( )12(21) 2 1)22(12 1)2 2(1 [2 12 2 2 2 c x x x x d x x d dx x dx x +++-=++++ +--= + ++ + - = ??? ? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??++ +-+ +- = ++) 12)(12(2)12(1 1 2 2 2 4 2 . arctan 2 1)12arctan(2 11 21 22 4 2 c x x dx x x x x dx ++ += ++ ++=?? 解法3 ? ? ?+ - = + += ++≠2 2 2 2 2 42 1) 1 (111 1 1 , 0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-= +- -= ? 21arctan 2 12 )1() 1(2 2 ,2 221arctan 2 1lim 2 π- =-+ →x x x ,2 221arctan 2 1lim 2 π= -- →x x x 由拼接法可有
305 .0 2221arctan 2 1000,2221arctan 2 1112 2 4 2? ???? ??<+--=>++-=++? x c x x x x c x x dx x x π π 例2.求 .) 1()1(22 2 3 dx x x x ? +++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 ) 1(1 ) 1()1(22 2 2 2 3 ?????+++ ++ += +++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2 )1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11 )1(2)1(2 3 = +-+-= B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26) 1() 2(2)1(3lim ]1 2[lim ) 1()1()1(2 [ lim 2 2 3 22 1 2 3 1 2 2 2 3 1 =∴=+= ++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令 ,+∞→x 得.1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1) 1ln(21 )1(21 1ln 2]1 )1(1[ ) 1()1(22 2 2 2 2 3 c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+- +- +=+++ ++ +=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 4 2 4 dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 ??++= ++) )(1(21 )()1(2 2 2 44 u u u du dx x x x x ,1 1 ) ()1(1 2 2 2 +++ ++ = ++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令
定积分典型例题20例标准答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故32 1(1)3f x x -= ，令3 126x -=得3x =，所以1(26)27f = ．
不定积分经典习题.
解：①原式 arctan 1 1 x2 1 x 1 1 2 1 2 1 d arctan d arctan arctan c x x x 3 x 3 1 1 ln 1 ln 1 2 1 1 x 1 x②原式 d 1 ln 1 c 。 dx 1 1 x 2 x 2 1 x 1 x x ln tan x dx sin 2 x ln tan x ln tan x 1 ln tan x 1 1 2 解： dx d tan x ln tan xd ln tan x ln tan x C 。 dx = sin x sin 2 x 2 tan x 2 4 2 cos 2 x cos x 1 1 ②例19. 求① dx dx 3 sin 2 x 2 sin x sin x cos x x d dx dx 1 2 解：①原式 x x x 4 x x 2 sin x(cos x 1 4 sin cos 2 cos 2 sin cos 3 2 2 2 2 2 x x 1 tan 2 d tan 1 1 2 d tan x 1 ln tan x 1 tan 2 x c 2 x x 4 x 4 2 4 2 8 2 tan tan cos 2 2 2 2 练习：②原式 sin 2 x cos 2 x dx cos x sin x cos x 1 sin 3 x cos x dx sin x cos x sin 3 x dx cos x dx sin x dx 2 sin 2 x ln cos x ln sin x 1 c 2 sin 2 x 练习 1：求 x 2e x ( x 2 2 dx 2 x x e d 解：原式 1 x 2e x 1 x 2e x x 2 e x 2 xe x dx xe x dx （再分部积分） x 2 x 2 x 2 x 2 x 2e x x 2e x xe x e x dx xe x e x c x 2 x 2 xe x ( x 12 dx ② e 练习 2：求① sin x x cos 3 x sin x dx cos 2 x 解：①原式 ( x 1e x e x ex 1 ex ex x dx dx dx ( x 1 2 x 1 ( x 1 2 x 1 dx e d x 1 11 ex ex ex ex c dx dx x 1 x 1 x 1 x 1 ②原式 e sin x x cos xdx e sin x sin x 1 dx xde sin x e sin x d 2 cos x cos x xe sin x e sin x dx 例 20.（1）设 f ( x 1 ln 2 e sin x e sin x e sin x d x xe sin x c。 cos x cos x x2 ，且 f [ ( x] ln x ，求 ( x dx ； x2 2 （2）设 f (ln x 2 ln(1 x ，计算 f ( x dx . x 提示：（1）令 x 1 t f (t ln ( x 1 t 1 x 1 ，于是 , f ( ( x ln ln x ( x ( x 1 t 1 x 1 ( xdx 2 ln x 1 x C . （2）令 ln x t , x e f (t t ln(1 et ln(1 e x ，于是 f ( x dx = dx ln(1 e x de x x t e e = e x ln(1 e x 2 1 dx e x ln(1 e x ln(1 e x C . x 1 e x x ，求 f ( xdx . sin x 1 x arcsin x arcsin x ，于是原式= dx 2 arcsin xd 1 x x 1 x 练习：设 f (sin x 提示：令 sin x u, x arcsin u f (x 2 = 2 1 x