双曲线经典例题
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、【例1】若椭圆
()0122 n m n
y m x =+与双曲线22
1x y a b -=)0( b a 有相同的焦点F 1
，F 2
，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）
A. a m -
B. ()a m -2
1
C. 22a m -
D. a m - 【解析】椭圆的长半轴为()1221m PF PF m
∴+=， 双曲线的实半轴为
()1222a PF PF a
∴-=±，
()()
()22
12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A.
【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.
【例2】已知双曲线12792
2=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 2
1+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的1
2
是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.
【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，
右准线为3
2
l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，
连FP ，则1
22
PF e PN PN PN PF ==?=.此时 PM 13752
2
5
PF PM PN MN +=+==-=为最小.
在127
92
2=-y x 中，令3y =，得2122 3.x x x =?=±∴ 0，
取23x =.所求P 点的坐标为233（，）.
（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例3】过点（1，3）且渐近线为
x y 2
1
±=的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为()2
214
x y k -=
点（1，3）代入：135
944
k
=
-=-.代入（1）： 2222
3541443535
x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y
a b a b -=?±
=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为22
22
x y k a b -=，而无须考虑其实、虚轴的位置. X Y
O F(6,0)M(5,3)P N P ′
N ′X=
3
2
（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22
221x y b a
-=.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦
距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：
2212
11
e e +=1.
【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率2222
1122c c a b e e a a a +=?==
；
双曲线22221x y b a -=的离心率2222
2222
c c a b e e b b b +=?==
.
∴22
222222
12111a b e e a b a b +=+=++.
（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美
实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.
【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为()2
22
1x y a -=，
直线CD ：y=m.代入（1）：2
2
x x m
=±
+.故有：
()(
)
2222,,,C x m m D
x m m
-++.
取双曲线右顶点(),0B
a .那么：
()(
)
22
22,,,BC x m a m BD x m a m
=-+-=
+-
()2222
0,BC BD a a m m BC BD ???=-++=∴⊥?? .即∠CBD=90°.
同理可证：∠CAD=90°.
● 通法 特法 妙法
（1）方程法——为解析几何正名
解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.
【例6】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1
F O 为半径的圆与
该
双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）
（A ）
3 （B ）5 （C ）
2
5
（D ）31+
X
O
Y
C
D
A B
【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴3
,.22c OM MA c ==点3,22c A c ??- ? ???
代入双曲线方程：
()()22
2222222222223
3444
c b a c a b c c a a c a c a ?-?=?--=-.化简得：
422442284084042331c a c a e e e e -+=?-+=?=+?=+.
（∵e ＞1，∴2
423e
=-及31e =-舍去）故选D.
【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令
1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：
211221221222
r r a
r c r a c r c r r -=?=??
???
=+?=???. ∵()2
2
22222221
24,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=?+-=?--=.
∵e ﹥1，∴取31e =+.选D.
【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.
（2）转换法——为解题化归立意
【例7】直线l 过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围
是 （ ）
A .e >
2 B.1 3 C.1 【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解. 【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线 m 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l 与双曲线的两 个交点分别在左右两支上.由 22 22 tan tan 245b c a e a a βαβα->?>?>?>?>. ∵双曲线中1e >，故取e >5.选D. （3）几何法——使数形结合带上灵性 【例 8】设P 为双曲线2 2 112 y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为X Y O F l （ ） A ．6 3 B ．12 C.123 D ．24 【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是： 1,23,13 a b c ===.设； 12123,2.22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴= 于是 222 121212 6, 4.52PF PF PF PF F F ==+== ， 故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°. ∴12 1211 641222 PF F S PF PF ?= ?=??=.选B. 【评注】解题中发现△PF 1F 2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的. 将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处. （4）设而不求——与借舟弃舟同理 减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例9】双曲线122 =-y x 的一弦中点为（2，1） ，则此弦所在的直线方程为 （ ） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y 【解析】设弦的两端分别为()()1,1 2, 2,A x y B x y .则有： ()()222222111212121222 121222 101x y y y x x x x y y x x y y x y ?-=-+?---=?=?-+-=?. ∵弦中点为（2，1），∴1212 42x x y y +=??+=?.故直线的斜率1212 12122y y x x k x x y y -+===-+. 则所求直线方程为： ()12223y x y x -=-?=-，故选C. “设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它. 但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看： 【例10】在双曲线12 2 2 =-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由. 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法： 【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么： ()()()()()22 11 121212122222111201121 2 x y x x x x y y y y x y ?-=???-+--+=? ?-=??. ∵M （1，1）为弦AB 的中点， X Y O F 1 F 2 P 2r ∴()()()1212 12121212 2022 AB x x y y x x y y k y y x x +=?----=∴= =? +=-?代入1：2， 故存在符合条件的直线AB ，其方程为： ()12121y x y x -=-=-，即. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了： 其一：将点M （1，1）代入方程12 2 2 =- y x ，发现左式=1-1122=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率2AB k =，而双曲线的渐近线为2y x =±.这里22 ，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的. 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 ()()2 222 21221224302221y x x x x x y x ?-=??--=?-+=? ?=-? 这里16240? =- ，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12x x ≠时才可能求出k=2.若12120x x y ===，必有y .说明这时直线与双曲线只有一个 公共点，仍不符合题设条件. 结论；不存在符合题设条件的直线. （5）设参消参——换元自如 地阔天宽 一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参. 【例11】如图，点F 为双曲线C 的左焦点，左准线l 交x 轴于点Q ，点P 是l 上的一点，已知1||||==FQ PQ ，且线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程； （Ⅱ）若过点F 的直线m 与双曲线C 的左右 两支分别交于 A 、 B 两点，设FA FB λ=，当 ),6[+∞∈λ时，求直线m 的斜率k 的取值范围. 【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF 的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到 点M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第（Ⅱ）中，直线m 的斜率k 是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率k 的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m 的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择. 【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：22221x y a b -=.其左焦点为F （-c 。0）；左准线：2 a x c =- . 由||1PQ =，得P （2 a c - ，1）；由()22 2||111.1a b FQ c b c c c =?-=?=?= FP 的中点为2 2 1,2c a M c ?? +- ?? ?.代入双曲线方程： ()2 2 2221144c a c a c +-= ()2 222224c a a c c a ?+-=()()2 222422c a a c b a c ?-=?= A y x O M F P Q B m l 根据（1）与（2）2 2 2 ,12a c a b c c ==∴=+=.所求双曲线方程为222x y -=. （Ⅱ）设直线m 的参数方程为：2cos sin x t y t αα =-+??=?.代入22 2x y -=得： ()()()22cos sin 2cos24cos 20 3t t t t αααα-+-=?-+= 当 ()22cos 2016cos 82cos 180 ααα≠?=--= 时，，方程（3）总有相异二实根，设为 ()1212124cos cos 2.42cos 2t t t t t t αα α? +=??? ??=?? ，那么. 已知直线m 与双曲线C 的左右两支分别交于A 、B 两点，∴FB FA 与同向， 2 10t FB t FA λ== 故，.于是：()22 2122121121212 12t t t t t t t t t t t t λλ+++=+==- .注意到1 λ λ + 在),6[+∞∈λ上是增函数， ()()()2 2 12 1212 121 4926566 t t t t t t t t ++∴-≥+?≥ （4）代入（5）：( )2 2 22 4c o s 2 64948c o s 492c o s 1 50c o s 49 c o s 2c o s 2αααααα ??≥??≥-? ≤ ??? 2250111 sec tan 494977 k k αα?≥ ?≥?≥≤-或 ∵双曲线2 22x y -=的渐近线斜率为1±，故直线m 与双曲线C 的左右两支分别交必须 ()11k ∈-，.综合得直线m 的斜率k 的取值范围是111177k ???? ∈--? ??????? ，，. 双曲线 1已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e = 3 21 的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论 解 (1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1 由已知得321,1662 222 2222=+==-a b a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12 92 2y x -=1 (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有 22 12111222 1212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ?+=-=?-??==??+=--=??? ，∴k l =34 ∴l 的方程为 A 1A 2 M N G P o y x y =34 (x －2)+2,由?? ???-==-) 2(34108 91222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在 ● 2．已知双曲线12 2 2 =-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。 ● 错解 设符合题意的直线l 存在，并设),(21x x P 、),(22y x Q ● 则??? ????=-=-) 2(12)1(1222222 121y x y x （1）)2(-得))((2121x x x x +- )3())((212121y y y y +-= 因为A （1，1）为线段PQ 的中点， 所以???=+=+) 5(2)4(22121y y x x 将(4)、(5)代入（3）得 )(21 2121y y x x -=- ● 若21x x ≠，则直线l 的斜率 22 12 1=--= x x y y k 所以符合题设条件的直线l 存在。 其方程为 012=--y x 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故 应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 ?? ???=--=12122 2y x x y 得03422 =+-x x 根据08<-=?,说明所求直线不存在。 3已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线12 2 2 =-y x 于A 、B 两点，且)(21OB OA ON +=（1）求直线AB 的方程；（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且0=?AB CD ，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ 解：（1）设直线AB ：2)1(+-=x k y 代入12 2 2 =-y x 得 02)2()2(2)2(222=------k x k k x k （＊） 令A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1、x 2是方程的两根 ∴ 022 ≠-k 且 2 212)2(2k k k x x --=+ ∵ )(21OB OA ON += ∴ N 是AB 的中点 ∴12 21=+x x ∴ 2)2(2 +-=-k k k k = 1 ∴AB 方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（＊）得0322 =--x x 1-=x 或3=x 由1+=x y 得01=y ，42=y ∴ )0,1(-A ， )4,3(B ∵ 0=?AB CD ∴ CD 垂直平分AB ∴ CD 所在直线方程为 2)1(+--=x y 即x y -=3代入双曲线方程整理得01162 =-+x x 令),(33y x C ，),(44y x D 及CD 中点),(00y x M 则 643-=+x x ，1143-=?x x ， ∴32 4 30-=+= x x x ， 60=y |CD | =104，102||2 1 ||||== =CD MD MC 102||||==MB MA ，即A 、B 、C 、D 到M 距离相等 ∴ A 、B 、C 、D 四点共圆 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值． 解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=． 因此选C ． 例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用． （三）求曲线的方程 双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222??=c a c Θ ∴223a c =，∴333 1-=e ． 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R 双曲线经典练习题总结（带答案） 一、选择题 1．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A ．x 216－y 2 48＝1 B ．y 29－x 2 27 ＝1 C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27＝1 D ．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2 48＝1；当顶点为(0， ±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2 27＝1. 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 [解析] 双曲线 2x 2－y 2＝8 化为标准形式为x 24－y 2 8 ＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4. 3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( C ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2 ) C ．(1，2) D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1 a . ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1 a 2<2，∴1 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A ) 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方 程为（ B ） A ．x 2 ﹣y 2 =1 B ．x 2 ﹣y 2 =2 C ．x 2 ﹣y 2 = D ．x 2﹣y 2 = 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． 4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2 2 a x －22 b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22 B ．21 C ．66 D ．36 5．已知方程﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1，） C ．（0，3） D ．（0，） 6．设双曲线 =1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距 离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线22219y x a -=的两条渐近线与以椭圆22 1259y x + =的左焦点为圆心、半径为165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ．54 B ．5 3 C ． 43 D ．6 5 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B ) 9．已知双曲线 22 1(0,0)x y m n m n -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 双 曲 线 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程 为122 22=-b y a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252 222=--b y .1121322 22=-b y 解方程组???????=-=--(2) 11213(1) 1)55(12252 2 222 2 22b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程 （1）得,1)55125(12252222 =--b b 化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为： .1625 1442 2=-y x 例2. ABC ?中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 2 1sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程． 解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)， )0,2(c ．利用正弦定理，从条件得242 1 =?= -b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为13 2 2=- y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准 线的距离为l . （1）求双曲线的方程； （2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值. 典型例题 三、典型例题选讲 （一)考查双曲线的概念 例１ 设Ｐ是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方 程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点.若3||1=PF ，则= ||2PF （ ） A.1或5 B.6 Ｃ．7 D.9 分析：根据标准方程写出渐近线方程,两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值. 解: 双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=,||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>，7||2=∴PF ． 故选Ｃ. 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. （二）基本量求解 例 2(200９山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) Ａ．45 B ．5 C.2 5 Ｄ． 5 解析:双曲线 122 22=-b y a x 的一条渐近线为 x a b y = ,由方程组 21b y x a y x ?=?? ?=+? ,消去ｙ，得2 10b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40b a -=, 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选Ｄ． 归纳小结:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点，则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 例3(２009全国Ⅰ理)设双曲线22 221x y a b -=(ａ＞0,b >0）的渐近线 与抛物线 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )Ａ3 B ．2 56解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==.由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+,联立两式解得：2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选Ｃ. 例４（2009 江西)设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个 焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 【例1】若椭圆 ()012 2 n m n y m x =+ 与双曲线 2 2 1x y a b - =)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点， 则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 2 2 a m - D. a m - ()121PF PF ∴+= 双曲线的实半轴为 ()122PF PF ∴-=± () ()()2 2 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线 127 9 2 2 =- y x 与点M （5，3） ，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 2 1+ 最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的 12 是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32 l x = ：.作M N l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122 P F e P N P N P N P F ==?= .此时 PM 13752 25 P F P M P N M N + =+==- =为最小. 在127 9 2 2 =- y x 中，令3y =，得2 12x x x =?=±∴ 0，取x =所求P 点的坐标为（）. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2 1± =的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为 ()2 2 14 x y k -= 点（1，3）代入：13594 4 k = -=- .代入（1）： 2 2 2 2 35414 4 35 35 x y x y -=- ? - =即为所求. 【评注】在双曲线 222 2 1x y a b - =中，令 222 2 00x y x y a b a b - =? ± =即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为 222 2 x y k a b - =，而无须考虑其实、虚轴的位置. X Y O F (6,0)M (5,3)P N P ′ N ′X = 3 2 经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又 故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直， 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及 准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. 典型例题一 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 双曲线 考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题． [基础梳理] 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程与几何性质 x2y2y2x2 [三基自测] 1．双曲线x 23－y 2 2＝1的焦距为( ) A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45 答案：C 2．若双曲线E ：x 29－y 2 16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1| ＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 答案：B 3.x 22＋m －y 2m ＋1 ＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－ y 2 3＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x 考点一 双曲线定义及应用|易错突破 [例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2 都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝0 B.x 22－y 2 14＝1(x ≥2) C.x 22－y 2 14＝1 D.x 22－y 2 14 ＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43 |PF 2|，求△F 1PF 2的面积． [解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2. 故得|MC 1|－|MC 2|＝22； v1.0 可编辑可修改 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例 1：已知椭圆的焦点是 F 1（0 ，－ 1） 、F 2（0,1） ，P 是椭圆上一点，并且 PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的 标准方程。 解： 由 PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝ 4，得 2a ＝4. 又 c ＝1，所以 b ＝3. 22 所以椭圆的标准方程是 y 4 ＋x 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为 F 1（ －1,0） ，F 2（1,0） ，且 2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解： 2 x y 由椭圆定义知 c ＝ 1，∴ b＝ 5－1＝ 24. ∴椭圆的标准方程为 25＋24＝1. 、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当 A 2， 0 为长轴端点时， a 2， b 1， 22 椭圆的标准方程为： x y 1 ； 41 （2）当 A 2，0 为短轴端点时， b 2， a 4， 22 椭圆的标准方程为： x y 1 ； 4 16 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 22 xy 例．求过点 （ － 3,2） 且与椭圆 ＋ ＝1 有相同焦点的椭圆的标准方 程． 94 2 y 2 9 2 ＝1.由点 （ － 3,2） 在椭圆上知 2＋ a － 5 a 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x y 1 0交于 A 、B 两点， M 为AB 中 解：因为 c 2 ＝9－4＝ 5，所以设所求椭圆的标准方程为 2 x 2＋ a a 2－ 4 5＝1，所以 a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为 2 x 15 ＋ 2 y 10 ＝1. 【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线22 1x y a b -=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2， P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 22a m - D. a m - ()121PF PF ∴+= ()122PF PF ∴-=± ()() ()22 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. F 为右焦点，若双曲 【例2】已知双曲线127 92 2=-y x 与点M （5，3）， 线上有一点P ，使PM PF 2 1 + 最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的1 2 是什么是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为3 2 l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， X Y O F(6,0)M(5,3) P N P ′N ′ X= 3 2 连FP ，则1 22 PF e PN PN PN PF ==?= .此时 PM 13752 2 5 PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127 92 2 =-y x 中，令3y =，得212x x x =?=±∴0，取x =所求P 点的坐标为 （）. （2）渐近线——双曲线与直线 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2 1 ±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2 214 x y k -= 点（1，3）代入：135 944 k =-=- .代入（1）： 2222 3541443535 x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b -=?±=即为其渐近线.根据这一点， 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( A ) 2．中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为 （ B ） A ． x 2﹣ y 2=1 B ． x 2﹣y 2=2 C ． x 2﹣ y 2= D ．x 2﹣y 2= 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点 P （ 1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x ﹣ y=0，则双曲 线 C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． x 2 y 2 x 2 y 2 4. 已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝ 1（a ＞ b ＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝ 1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） 2 1 6 6 A ． 2 B ． 2 C ． 6 D ． 3 5．已知方程﹣ =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣ 1， 3） B ．（﹣ 1，） C ．（ 0， 3） D ．（ 0，） 6．设双曲线 =1（ 0＜ a ＜ b ）的半焦距为 c ，直线 l 过（ a ， 0）（ 0， b ）两点，已知原点到直线 l 的距离为，则双 曲线的离心率为（ A ） A ． 2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线与以椭圆 x 2 y 2 1的左焦点为圆心、半径为 16 的圆相切，则双曲 a 2 9 25 9 5 线的离心率为（ A ） A ． 5 B ． 5 C ． 4 D ． 6 4 3 3 5 8．双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点为 F 1、 F 2，∠ F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为 ( B ) 9．已知双曲线 x 2 y 2 1(m 0, n 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离是 2，一个顶点到它的一条渐近线的 m n 距离为 6 ，则 m 等于 ( D ) 13 A ． 9 B ． 4 C ． 2 D ．,3 10．已知双曲线的两个焦点为 F 1(－ 10，0)、F 2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足 uuuur uuuur uuuur uuuur MF 1 gMF 2 0,| MF 1 |g| MF 2 | 2, 则该双曲线的方程是 ( A ) 2 2 y 2 y 2 y 2 － y ＝ 1 B ． x － 9＝1 － 7＝1 － 3＝1 2 y 2 3| PF 1| ＝ 4| PF 2| ，则△ PF 1F 2 的面积等于 11．设 F 1，F 2 是双曲线 x － ＝ 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且 24 ( C ) A ．4 2 B ． 8 3 C ． 24 D ． 48 12．过双曲线 x 2－y 2＝ 8 的左焦点 F 1 有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ |＝ 7， F 2 是双曲线的右焦点，则△ PF 2Q 的周 高二数学双曲线知识点及经典例题分析 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。 3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上的：y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线的几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>() <>≤-≥1范围：，或x a x a <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 e 越大，双曲线的开口就越开阔。<>=>41离心率：e c a e ()<>±5渐近线：y b a x = <>=±62准线方程：x a c 5．若双曲线的渐近线方程为：x a b y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22 22≠=-λλb y a x 【典型例题】 例1. 选择题。 121122 .若方程表示双曲线，则的取值范围是（） x m y m m +-+= A m B m m ..-<<-<->-2121或C m m D m R ..≠-≠-∈21且 2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（ ） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（ ）ααααx y -= A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在x 轴上的双曲线 416913 221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9633393) 例2. (已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-?? ??? 例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且双曲线题型归纳含(答案)
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