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概率论与数理统计常考知识点

20XX年10月10日15:35 来源：中国考研网

概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

随机事件和概率考查的主要内容有：

(1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算；

(2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率；

(3)古典概型与几何概型；

(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；

(5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率；

(6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。

要求考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。

随机变量及概率分布考查的主要内容有：

(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算；

(2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算；

(3)会求随机变量的函数的分布。

(4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。

要求考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。

随机变量的数字特征考查的主要内容有：

(1)数学期望、方差的定义、性质和计算；

(2)常用随机变量的数学期望和方差；

(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差；

(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算；

要求考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。

大数定律和中心限定理考查的主要内容有：

(1)切比雪夫不等式；

(2)大数定律；

(3)中心极限定理。

要求考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。

数理统计的基本概念考查的主要内容有：

(1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、性质及计算；

(2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数；

(3)推导某些统计量的（特别是正态总体的某些统计量）的分布及计算有关的概率。

要求考生熟练掌握样本均值、样本方差的性质和计算，会根据χ2分布、t分布和F 分布的定义和性质推导有关正态总体某些统计的计量的分布。

参数估计考查的主要内容有：

(1)求参数的矩估计、极大似然估计；

(2)判断估计量的无偏性、有效性、一致性；

(3)求正态总体参数的置信区间。

要求考生熟练地求得参数的矩估计、极大似然估计并判断无偏性，会求正态总体参数的置信区间。

假设检验考查的显著的主要内容有：

(1)正态总体参数的显著性检验；

(2)总体分布假设的χ2检验。

要求考生会进行正态总体参数的显著性检验和总体分布假设的χ2检验。

常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有：

(1)确定事件间的关系，进行事件的运算；

(2)利用事件的关系进行概率计算；

(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率；

(4)有关古典概型、几何概型的概率计算；

(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；

(6)有关事件独立性的证明和计算概率；

(7)有关独重复试验及伯努利概率型的计算；

(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；

(9)由给定的试验求随机变量的分布；

(10)利用常见的概率分布（例如（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）计算概率；

(11)求随机变量函数的分布

(12)确定二维随机变量的分布；

(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率；

(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布；

(15)判断随机变量的独立性和计算概率；

(16)求两个独立随机变量函数的分布；

(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；

(18)求随机变量函数的数学期望；

(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；

(20)求随机变量的矩和协方差矩阵；

(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式；

(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算；

(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；

(24)推证某些统计量（特别是正态总体统计量）的分布；

(25)计算统计量的概率；

(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；

(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性；

(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间；

(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；

(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论，考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析，可以看出概率论与数理统计的试题，即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

在解答这部分考题时，考生易犯的错误有：

（1）概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构；

（2）对试验分析错误，概率模型搞错；

（3）计算概率的公式运用不当；

（4）不能熟练地运用独立性去证明和计算；

（5）不能熟练掌握和运用常用的概率分布及其数字特征；

（6）不能正确应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。

综合历年考生的答题情况，得知概率论与数理统计试题的得分率在0.3 左右，区分度一般在0.40 以上。这表明试题既有一定的难度，又有较高的区分度。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计总结

第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算 1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。（3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。（2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以表示为B A B A =-。（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ；（3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计的发展

数理统计学前沿简介（陈希孺院士访谈）一、概率论与数理统计学的产生和发展记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。陈希孺院士：我们先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。

这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知，求证四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

概率论与数理统计概率历史的介绍

一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，

而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”．事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点总结详细 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<