(精选)3第三章 流体运动学
第三章 流体运动学
3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =ae kt
，y =be -kt
，z =c ，式中k 是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。
解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c 的平面上运动，消去时间t 后，得
xy =ab
上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a ，b ）,则为一确定的双曲线。
（2）0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t
-???=
===-==???，， （3）220y kt
kt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t
-???===
===???，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为u x =kx ，u y =－ky ，u z =0，式中k 是不为零的常
数。试求流场的加速度。
解：2d d x x x x x x x y z u u u u u
a u u u k x t t x y z ????=
=+++=???? 2d d y y u a k y t ==，d 0d z z u
a t
==
3－3 已知u x =yzt ，u y =zxt ，u z =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。 解：2()3m/s x x x x x x y z u u u u
a u u u yz zxt zt t x y z ????=
+++=+=???? 2()3m/s y y y y y x y z u u u u
a u u u zx yzt zt t x y z ????=+++=+=????
0z z z z z x y z u u u u
a u u u t x y z
????=+++=????
3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ，u y =t 。试求（1）t =0时，过（0，
0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。 解：（1）迹线的微分方程式为
d d d d d d d d d d y x y x y
x y x y
t t t y u t t t u u u u ======，，，， 积分上式得：12
2C t y +=，当t=0时，y=0，C 1=0，所以
2
2t y =
(1)
2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ==-=-，积分上式得：23
6
C t t x +-=
当t =0时，x =0，C 2=0，所以
6
3
t t x -
=
(2)
消去（1）、（2）两式中的t
，得x =有理化后得 023
49222
3=-+-x y y y
（2）流线的微分方程式为
d d d d d (1)d 1===--，即，x y x y x y t x y y u u y t
，积分上式得 C y y tx +-=)2(2
当t =1时，x =y =0，C =0，所以可得：)2
(12
y y t x -
=（为非恒定流） 3－5 已知u x ＝x ＋t ，u y ＝－y ＋t ，u z ＝0，试求t ＝2时，通过点A （－1，－1）的
流线，并与例3－3相比较。
解：由例3－3可得：()()x t y t C +-+=
当t =2，x =－1，y =－1，C =3。因此，通过点A （－1，－1）的流线为 3)2)(2(=+-+y x
上式不同于例3－3，即当t =0时通过A 点的流线为xy ＝1，说明不同时刻的流线不同。 3－6 试求例3－6流体运动的流线方程和流体质点通过点A （1，0）流线的形状。
解：例3－6流体运动如题3-6图所示 2
2y
x ky u x +-=
，22y x kx
u y += 流线方程：2222d ()d ()
x x y y x y ky kx -++=
2222d ()d ()0kx x x y ky y x y +++= 2222d
()()02k x y x y +?=
积分，得12
2)(2
C y x k =+，222)(C y x =+
圆心（0，0），半径2C R =。
当x =1，y =0，代入上式得C 2=1。（2
2
y x +）=1， 为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。
3－7 已知2
2y x kyt u x +-
=，22y x kxt
u y
+=，z u =0，式中k 是不为零的常数。试求：（1）流线方程，（2）t =1时，通过点A （1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题3－
6求得的流线方程相比较，它们有什么异同。
解：z u =0，为平面（二维）流动。
（1）流线方程 d d x y x y u u = 将x u 、y u 代入上式，得 2222
()d d x y x y x y kyt kxt
-++= 2222()d ()d x y x kxt
x y y kyt -+?+?
2222()d ()d 0x y kxt x x y kyt y +++=
22()(d d )0kt x y x x
y y +?=，22221
()d()02
kt x y x y ++=
积分得
2
21()2
kt x y C +=，流线方程一般形式：222()x y t C +=。题3-6图
（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C 2=1；流线为2
2y x +=1，流线的形状为一圆。
（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如t=2，x=1，y=0，C 2=2，222
(2)x y +=
3－8 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程。（1）u x ＝－ky ，u y ＝kx ，u z ＝0；（2）u x ＝kx ，u y ＝－ky ，u z ＝0；（3）u x ＝
2
2y
x y
+-， u y ＝
2
2y x x
+，u z ＝0；（4）u x ＝ay ，u y ＝u z ＝0；（5）u x ＝4，u y ＝ u z ＝0；（6）u x ＝1，
u y ＝2；（7）u x ＝4x ，u y ＝0；（8）u x ＝4xy ，u y ＝0。
解：平面流动中，不可压缩均质流体的连续性方程为0=??+??y
u x u y
x （1）0＋0＝0；（2）k －k =0；（3）0)
(2)(22
22222=+-+y x xy
y x xy ；（4）0＋0＝0； （5）0＋0＝0，（6）0＋0＝0；（7）4＋0≠0，（8）4y ＋0≠0。 （1）~(6)的流体运动满足连续性方程；（7）、（8）的流体运动不满足连续性方程，实际上流动是不能实现的。
3－9 已知水平圆管过流断面上的流速分布为2
max 01()r u u r 轾犏=-犏臌
，
u max 为管轴处最大流速，r 0为圆管半径，r 为点流速u 距管轴的径距。试求断面平均速度v 。
解：0
2max 20
0011
12d π??
????=
=- ?π??????
??r A r v udA u r r A r r
0222
max max 00max 222
0000022πd d 0.5ππ24????π=-=-=????????
??r r u u r r r r r r r u r r r 3－10 已知水平圆管过流断面上的流速分布为71
max )(r y
u u x =，u max 为管轴处最大流速，
0r 为圆管半径，y 为点流速u x 距管壁的距离。试求断面平均流速v 。
解：017
max
00
d 2π()()d r x
A
y
Q u A u r y y r =
=-??
087157max 017
02π77815r
u r y y r =-2max 049π60u r = 2max 0max max 2049149
π0.8176060
Q v u r u u A r p =
===。 3－11 设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。已知圆管直径d A ＝
0.2m ，流量Q ＝0.014m 3
/s ；d B ＝0.1m 。试求经过圆管内点A 和收敛管嘴内点B 的过流断面的平均流速v A 、v B 。注：经过点B 的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为2πRh （不包括底面面积）。
解：A v =
A Q A =
22
440.014
m/s 0.45m/s π
π0.2?==?A Q d 经过点B 的过流断面面积，可近似地视为球缺面积
A B ＝2πRh ，式中h ＝（0.05－0.05cos450）m =0.015m ，Ｒ＝0.05m 。 因此
0.014m/s 2.97m/s 20.050.015
B B Q v A π=
==?? 3－12 送风管的断面面积为50 cm ×50cm，通过a 、b 、c 、d 四个送风口向室内输送空气，如图所示。已知送风口断面面积均为40 cm ×40cm，气体平均速度均为5m/s ，试求通过送风管过流断面1－1、2－2、3－3的流量和流速。
解：Q=vA =533
0.40.4m /s 0.8m /s ??=
33
1330.8m /s 2.4m /s Q Q ==?=，111 2.4m/s 9.6m/s 0.50.5Q v A =
==? 332220.8m /s 1.6m /s Q Q ==?=，222 1.6
m/s 6.4m/s 0.50.5
Q v A ===?
330.8m /s Q Q ==，3330.8
m/s 3.2m/s 0.50.5
Q v A ===?
3－13 蒸汽管道如图所示。已知蒸汽干管前段的直径d 0 ＝50mm ，流速v 0 ＝25m/s ，蒸
汽密度ρ0 ＝2.62kg/m 3；后段的直径d 1＝45mm ，蒸汽密度ρ1 ＝2.24kg/m 3
。接出的支管直
径d 2 ＝40mm ，蒸汽密度ρ2 ＝2.30kg/m 3
；试求分叉后的两管末端的断面平均流速ν1、ν2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。
解：000111222v A v A v A ρρρ=+ （1）
111222v A v A ρρ= （2）
联立解（1）、（2）两式，可得
2
0012
11 2.62250.05m/s 18.05m/s 22 2.240.045v A v A ρρ??===?? 2
00022
22 2.62250.05m/s 22.25m/s 22 2.30.04v A v A ρρ??===??
3－14 空气以标准状态（温度t 0 =15℃，密度ρ0 =1.225 kg/m 3
，压强p 0
=1.013×105Pa ）进入压气机，流量Q v 为20m 3
/min ；流出时温度t 为60℃，绝对压强p
为800×103
Pa ；如果压气机出口处流速ν限制为20m/s 。试求压气机的出口管径d 。
解：由状态方程
000p P T T
r r =，计算压气机出口处的气体密度ρ，即 3
3
3005
0(27315)800101.225kg/m 8.37kg/m (27360) 1.01310
T p Tp r r +创==?+创
由连续性方程求出口管径d ，因 2
04
v Q v d p r r =，
044 1.22520m 0.056m π8.372060
v Q d v r r p 创===创?。
3－15 在直径为d 的圆形风管断面上，用下法选定五个点来测量局部风速。设想用与管
轴同心，但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分，如图所示。测点即位于等分此部分面积的圆周上。这样测得的各点流速，分别代表相应断 面的平均流速。试计算各测点到管轴的距离，以直径的倍数表示；若各点流速分别为u 1、u 2、u 3、u 4、u 5，空气密度为ρ，试求质量流量Q ｍ。
解：根据题意先将总圆面积五等分，再将每一等分面积用同心圆划分为相等的两部分。这样，由内到外的同心圆所包围的面积，分别为总圆面积的1/10、3/10、5/10、7/10、9/10，相应的半径即为测点到管轴的距离。因此，
22
11ππ104=
?r d ，11
0.15840
r d d == 2
223π104π=?r d , 23
0.27440
r d d
== 22
35ππ104
=
?r d ，350.35440r d d =
= 2247π
π104
=?r d ，470.41840r d d =
= 2
259ππ104
=?r d ，59
0.47440
r d d
== （１）等分面积A `=221ππ5420?=d d ，质量流量m Q 为2222212345πππππ
()2020202020ρρ==++++m Q Q d u d u d u d u d u
m Q =212345π
()20
ρ++++d u u u u u
3－16 试求下列流动中的线变率、角变率。（1）u x ＝22y x y -+，22
y x
u x y
=+；（2）u x ＝2y ，u y ＝2x 。
解：(1)2222()xx xy x y ε=+ ，222
2,0()
yy zz xy
x y εε-==+，22222()xy y x x y ε-=+，0yz ε=，0
zx ε=
(2)0xx ε=，0yy ε=，0zz ε=，1
(22)22
xy ε=
+=rad/s ，0yz ε=，0zx ε= 3－17 已知水平圆管过流断面上的流速分布为2
max 20
(1-)x r u u r =，max u 为管轴处最大流
速，0r 为圆管半径，r 为点流速u x 距管轴的距离，r 2=y 2+z 2
，u y =0，u z =0。试求角变率εzx 、
角转速ωz ，该流动是否为有势流。
解：2max 20[(1)]11()22x z zx r u u r u z x z ε?-??=+=???22
max 2
0max 20
[(1)]12y z u r z
u z r +?-==-?
2
max 20[(1)]11()22y
x z r u u u r x y y
ω?--??=-=
???22max 2
0max 20[(1)]12y z u r y u y r +?-=-=? 因为0z ≠ω，所以不是有势流。
3－18 已知u x ＝x 2
y ＋y 2
，u y ＝x 2
－y 2
x ，试求此流场中在x ＝1、y ＝2点处的线变率、角变率和角转速。
解：线变率: 2x
xx u xy x
ε?==?，2y yy u xy y ε?==-? 角变率: 2211
()(22)22y x xy yx u u x y x y x y εε??==+=-++?? 角转速: 2211
()(22)22
y x z u u x y x y x y ω??=-=---?? 在x =1、y =2点处：-1
-1
4s 4s 1.5rad/s 3.5rad/s xx yy xy z ；；；εεεω==-== 3－19 试判别习题3－8（1）~（6）所列流动中，哪些是无涡(有势)流，哪些是有涡流。
解：平面流动中，无涡流的流速场必须满足1()02y x
z u u x y ω??=-=??或y x u u x y ??=??，否
则为有涡流。根据习题3－8的计算结果得（1）y u x ??=k ≠ x u
y ??k -，有涡流；
(2）0＝0，无涡流；2222
222222
()()ky kx ky kx x y x y （3）--=++；除原点以外是无涡流；（4）0≠a ，有涡流；（5）0
＝0，无涡流；（6）0＝0，无涡流。
3－20 已知水平圆管过流断面上的流速分布为 220()4x gJ u r r ρμ=
- 2
220[()]4gJ r y z ρμ
=-+，ρ、g 、J 、μ均为常数，u y =u z =0。试求该流动的涡线方程。
解：1()02y z x u u y z ω??=-
=??，1()24x z y u u gJ
z z x ρωμ
??=-=-??，1()24y x z u u gJ
y x y ρωμ
??=-=??，涡线微分方程为
d d d ,x y z x y z ωωω== 所以可得 4d 4d y z gJz gJy
μμρρ-=或d d 0y y z z +=
22z y C +=上式说明涡线是与管轴同轴的同心圆。
3－21 若在例3－7流场中的一个平面内，作一圆形封闭曲线，如图所示。试求沿圆周线的速度环量，是否为有势流。 解：例3－7流场为均匀直线流
cos d cos d L L L
u s u r 蜒ααθΓ==
??
2π2π0
cos d cos(90)d 0αθθθ==+=??o ur ur 为有势流。
3－22 试以速度环量来判明例3－6中的流动，除原点（r ＝0）外是有势流。
解：沿图中阴影线部分周线的速度环量 Γ为
22112121
0Γθθθθ-=
-=k k
u r u r r r r r ＝ 所以，所论区域是有势流动。这一结论可适用于任何不包括圆心的周线AFGCDHEBA 。但是，若取绕O 点（包括圆心）的闭合圆周作为周线，则
2π2π2πΓ===k
ru r
k r
为常数。 所以，任何包括O 点的圆周的速度环量均不等于零，而且当半径r 自∞ 到0，速度环量均等于同一常数2πk 。由此可知，仅在O 点有漩涡存在，在工程流体力学中称这点为奇点。这一结论和例3－6是一致的。
3－23 已知u x ＝－7y ，u y ＝9x ，试求绕圆x 2＋y 2
＝1的速度环量。
解：(d d )(7d 9d )Γ=
+=-+??蜒x
y
u x u y y x x y
因为x 2
＋y 2
＝1，圆的半径r ＝1，所以x ＝r cos θ＝cos θ，y ＝r sin θ＝sin θ。代入上
式得
2π2π
7sin d cos 9cos d sin Γθθθθ=-+??
222200
=
7sin d 9cos d π
π
θθθθ+?
?
2π
2π001cos 21cos 27
d 9d 22
θ
θθθ-+=+?? 2π2π00d 117[cos2θd2]222
θθ=-??
2π2π00d 11
9[cos 2d 2]222
θθθ++??
2200
117[-sin 2]9[sin 2]2424
ππ
θθθθ=++ 7(-0)9(0)16π
ππ=++=
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题3-22图 O
流体力学标准化作业答案第三章
流体力学标准化作业（三） ——流体动力学 本次作业知识点总结 1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。 2.流体流动的加速度、质点导数 流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即 (,,,)u u x y z t = 流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即 Du u u dx u dy u dz a Dt t x dt y dt z dt ????= =+++ ???? 投影式为 x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ?????=+++?????? ????? =+++???????????=+++?????? 或 ()du u a u u dt t ?==+??? 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t ??为固定空间点，由时间变化 引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。()u u ??为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。 欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。例如不可压缩流体，密度的随体导数 D D u t t ρρ ρ?=+???（） 3.流体流动的分类
（1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线 流线微分方程 x y z dx dy dz u u u == 迹线微分方程 x y z dx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流 （3）过流断面、流量及断面平均流速 体积流量 3(/)A Q udA m s =? 质量流量 (/)m A Q udA kg s ρ=? 断面平均流速 A udA Q v A A == ? （4）渐变流与急变流 5. 连续性方程 （1）不可压缩流体连续性微分方程 0y x z u u u x y z ???++=??? （2）元流的连续性方程 12 1122 dQ dQ u dA u dA =?? =? （3）总流的连续性方程 1122u dA u dA = 6. 运动微分方程 （1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
3第三章_流体运动学
第三章 流体运动学 3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =ae kt ，y =be -kt ，z =c ，式中k 是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。 解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c 的平面上运动，消去时间t 后，得 xy =ab 上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a ，b ）,则为一确定的双曲线。 （2）0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t -???= ===-==???，， （3）220y kt kt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t -???=== ===???，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为u x =kx ，u y =－ky ，u z =0，式中k 是不为零的常 数。试求流场的加速度。 解：2d d x x x x x x x y z u u u u u a u u u k x t t x y z ????= =+++=???? 2d d y y u a k y t ==，d 0d z z u a t == 3－3 已知u x =yzt ，u y =zxt ，u z =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。 解：2()3m/s x x x x x x y z u u u u a u u u yz zxt zt t x y z ????= +++=+=???? 2()3m/s y y y y y x y z u u u u a u u u zx yzt zt t x y z ????=+++=+=???? 0z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z ????=+++=???? 3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ，u y =t 。试求（1）t =0时，过（0， 0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。 解：（1）迹线的微分方程式为 d d d d d d d d d d y x y x y x y x y t t t y u t t t u u u u ======，，，， 积分上式得：12 2C t y +=，当t=0时，y=0，C 1=0，所以 2 2t y = (1) 2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ==-=-，积分上式得：23 6 C t t x +-= 当t =0时，x =0，C 2=0，所以 6 3 t t x - = (2) 消去（1）、（2）两式中的t ，得x =有理化后得 023 49222 3=-+-x y y y
流体力学第3章流体运动学
第3章流体运动学 选择题： 【3.1】 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于：（a ）22 d d t r ；（b ）v t ??；（c ）()v v ??； （d ）()t ?+???v v v 。 解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为 () d d t t ?= =+??v v a v v （d ） 【3.2】 恒定流是：（a ）流动随时间按一定规律变化；（ b ）各空间点上的运动要 素不随时间变化；（c ）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。 解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若 流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动. （b ） 【3.3】 一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c ）运 动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d ）运动参数不随时间变化的流动。 解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。 （c ） 【3.4】 均匀流是：（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c ）向心加 速度为零；（d ）合加速度为零。 解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动 （b ） 【3.5】 无旋运动限于：（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ） 微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。 解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。 （d ） 【3.6】 变直径管，直径1320mm d =，2160mm d =，流速1 1.5m/s V =。2V 为：（a ） 3m/s ；（b ）4m/s ；（c ）6m/s ；（d ）9m/s 。 解：按连续性方程， 22 1 12 2 4 4 V d V d π π =，故
第3章 流体运动学
第3章 流体运动学 3.1 已知流体的速度分布为y u -=1x ；t u =y ，求t =1时过（0,0）点的流线及t =0时位于（0,0）点的质点轨迹。 解：（1）将y u -=1x ，t u =y 带入流线微分方程 y x d d u y u x = 得 t y y x d 1d = - t 被看成常数，则积分上式得c y y xt +-=22 t =1时过（0,0）点的流线为02 2 =+-y y x （2）将y u -=1x ，t u =y 带入迹线微分方程 t u y u x d d d y x ==得 t t y y x d d 1d ==- 解这个微分方程得迹的参数方程：1)1(c t y x +-=，22 2 c t y += 将0t =时刻，点（0,0）代入可得积分常数：01=c ，02=c 。 带入上式并消去t 可得迹线方程为：y y x 2)1(-= 3.2 给出流速场为2 2 2 (6)(10)25u x y t i xy t j k =++-++，求空间点（3,0,2）在t =1时的加速度。 解：根据加速度的定义可知： d d d d d d d d u u x u y u z u a t x t y t z t t ????= =+++????t u z u y u x ??+??+??+??=u u u u z y x 226t y x u x ++=，)10(2t xy u y +-=，25=z u a 在z y x ,,向分速度如下： t t xy x t y x xy t u u z u u y u u x u t u a 2)10()6(2d d 2222x z x y x x x x x ++-++=??+??+??+??==
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础.
第三章流体动力学基础 本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。 第一节流体流动的基本概念 1.流线 （1）流线的定义 流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。 （2）流线的作法： 在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 流线是欧拉法分析流动的重要概念。 图3-1 图3-2 （3）流线的性质（图3-3） a.同一时刻的不同流线，不能相交。图3-3 因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。 （4）流线的方程（图3-4） 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4
设d s为流线上A处的一微元弧长: u为流体质点在A点的流速: 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。 所以即 展开后得到：——流线方程（3-1） （或用它们余弦相等推得) 2.迹线 (1)迹线的定义 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 图3-5中烟火的轨迹为迹线。 (2)迹线的微分方程 （3-2） 式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。图3-5 注意：流线和迹线微分方程的异同点。 ——流线方程 3.色线（colouring line) 又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。 例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6 考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。 流线、迹线、色线的比较： 概念名 流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。