北航理论力学基本概念
点的运动学
点的运动学研究是物体上的某个点（或质点）在空间的位置随时间的变化规律，它既是研究质点动力学的预备知识，又是研究物体一般运动的基础。运动都是相对的，要描述物体的运动就必须选取另一个物体作为参考，这个被选作参考的物体称为参考体，与参考体固连的坐标系称为参考系。点的运动学研究点相对某参考体的运动规律，包括点的运动方程、速度、加速度以及它们之间的关系。研究点的运动，常用的方法有：矢量法、直角坐标法和自然坐标法。
在研究某些问题时，需要在不同的参考系中观察或描述点的运动，这些不同的参考系之间还存在有相对运动；有时可以把一些较复杂的运动分解成在不同参考系中几个简单运动的合成，这时就需要用复合运动的方法去处理这些问题。
一、点的运动学的基本理论 1、 矢量法
矢量法是用矢量描述点的运动规律。
运动方程： )(t r r = （5－1）
速度：
r r
v ==
t d d （5－2）
加速度：
r r
v
a ===22
d d t （5－3）
运动轨迹：矢径端点的曲线。
该方法通常用于理论推导，在研究具体问题时，还应选用合适的坐标系来描述有关的物理量。 2、 直角坐标法
直角坐标法是用点的直角坐标z y x ,,描述其运动规律。 运动方程：)(),(),
(321t f z t f y t f x === （5－4）
速度： k j i v z y x
++= （5－5） 其中：z y x
,,是速度v 在三个坐标轴上的投影。 加速度：k j i a z y x
++= （5－6） 其中：z y x
,,是加速度a 在三个坐标轴上的投影。 3、 自然坐标法
点沿曲线运动时，其速度、加速度与曲线的几何形状有关，因此当点的运动轨迹已知时，
图1－5
y
其运动规律一般用自然坐标s 描述。
运动方程： )(t f s = （5－7）
速度： t e v s
= （5－8） 加速度： b n t a a a a ++= （5－9）
其中：t t e a s =，n 2n
e a ρ
s =，b b 0e a = 上式中
b n t ,,e e e 为单位向量，分别是切向量（指向弧坐标s 的正向）
、法向量（指向曲线的
凹向）和副法线向量（垂直于密切面并且满足关系式b n t e e e =?）
，它们构成一个正交的框
架，称为自然轴系。t a 为切向加速度，反映了速度大小的变化；n a 为法向加速度，反映了
速度方向的变化。
二、点的复合运动的基本理论 1、基本定义
定参考系：研究运动的基础参考系。在工程中，一般取与地面或机座固连的参考系作为定参考系。
动参考系：相对基础参考系运动的参考系。
动 点：被研究的点。动点要相对定参考系和动参考系均有运动。 绝对运动：动点相对定参考系的运动。
绝对速度：动点相对定参考系的速度，一般用a v 表示。 绝对加速度：动点相对定参考系的加速度，一般用a a 表示。 相对运动：动点相对动参考系的运动。
相对速度：动点相对动参考系的速度，一般用r v 表示。 相对加速度：动点相对动参考系的加速度，一般用r a 表示。 牵连运动：动系相对定系的运动，动系一般固连在某个刚体上。
瞬时重合点：在某瞬时动系上与动点重合的点。瞬时重合点在与动系固连的刚体上或该刚体的延展体上。
牵连速度：瞬时重合点相对定参考系的速度，一般用e v 表示。 牵连加速度：瞬时重合点相对定参考系的加速度，一般用e a 表示。 2、基本定理
速度合成定理：动点在每一瞬时的绝对速度等于该瞬时牵连速度与相对速度的矢量和，即：
r e a v v v += （5-9）
该定理适用于动系作任何运动的情况，其中，a v
是
e v 和r v 构成平行四边形的主对角线，
这三个矢量必定共面并且可用6个标量表示（如各矢量的大小用一个标量表示,其方向用另一个标量表示；或用各矢量在两个正交轴上的投影表示）。式（5-9）是一个平面矢量方程，等价于两个代数方程，只能确定两个未知量与其它四个量的关系。
加速度合成定理：动点在每一瞬时的绝对加速度等于该瞬时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，即：
C a a a a ++=r e a （5-10） 其中： r C 2v a ?=ω （5-11） 加速度合成定理（5-10）式适用于动系是任意运动的情况，（5－11）式中的ω为动参考系的角速度。当动系作平移时，0≡ω，此时0≡C a ，加速度合成定理可表示成：
r e a a a a += （5-12） 公式（5-10）可以写成最一般的形式
C a a a a a a a ++++=+n
r t r n e t e n a t a （5-13） 如果上式中的7个矢量共面，则该矢量方程等价于两个代数方程，可求解两个未知量；若这7个矢量不共面，则该矢量方程等价于三个代数量方程，可求解三个未知量。需要注意的是，当复合运动问题中的各种速度(角速度)求解出来后，在轨迹的曲率半径已知的条
件下，加速度
C a a a a ,,,n
r n e n a 均为已知量。 3、动点与动系的选择
为了便于求解复合运动问题，应选取合适的动点与动系，如果选取不当，就可能对问题的求解带来困难。动点与动系的选取应遵循以下规则：
（1）动点与动系不能选在同一个刚体上，应使动点相对动系有运动，否则不能构成点
的复合运动。
（2）应使动点的相对运动轨迹易于确定，最好为一已知的直线或曲线（轨迹的曲率半
径已知），这样便于确定矢量t
r n
r r ,,a a v 的方向。
质点动力学
质点动力学研究的是作用于质点上的力与其运动之间的一般规律。牛顿三定律是质点动力学的基础，也是质点系动力学和刚体动力学的理论基础。
一、 质点运动微分方程
牛顿第二定律建立了在惯性参考系中，质点加速度与作用力之间的关系，即：
∑=F a m （6－1）
其中：F a ,,m 分别表示质点的质量、质点在惯性参考系中的加速度和作用在质点上的力。将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式的质点运动微分方程
??
??
???===∑∑∑z y x F z m F y m F x m （6－2）
如果已知质点的运动轨迹，则利用牛顿第二定律可得到自然坐标形式的质点运动微分方程
??
??
?
??======∑∑∑b b
n
2n t t 0F
ma F s m ma F s
m ma ρ （6－3）
对于自由质点，应用质点运动微分方程通常可研究动力学的两类问题。 第一类问题：已知质点的运动规律，求作用在质点上的力； 第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
对于非自由质点，有些问题属于上述两类问题之一。当质点的运动规律未知，作用在质点上的约束力也未知时，这种情况就不属于上述两类问题。在研究这类问题时，首先建立质点运动微分方程；然后消去方程中的未知约束力，得到主动力与质点位置、速度和加速度的关系式，通常这个关系式以常微分方程（组）的形式给出，再通过求解微分方程（组）得到质点的运动规律；最后在利用质点运动微分方程求出未知的约束力。 二、 质点相对运动微分方程
当研究质点在非惯性参考系下的运动与其受力之间的关系时，可选取一个惯性参考系为定系，非惯性参考系为动系，应用点的复合运动加速度合成定理和牛顿第二定律，就可得到质点在非惯性参考系下的运动微分方程（简称质点相对运动微分方程），即：
C F F F m ++=∑e r a （6－4）
其中：e e a F m -=称为牵连惯性力、C C a F m -=称为科氏惯性力，m 为质点的质量，r a 为质点在非惯性参考系中的加速度、e a 和C a 分别为质点的牵连加速度和科氏加速度。
在某些特殊情况下的质点相对运动微分方程有如下形式 1、 当动系作平移时，0,0,0C ===C F a ω，质点相对运动微分方程为
e r F F m +=∑a （6－5）
2、 当质点相对动参考系静止时，0,0r r ==v a ，0=C F ，质点相对运动微分方程为
0e
=+∑F F （6－6）
3、当质点相对动参考系作匀速直线运动时，0r =a ，质点相对运动微分方程为
0e
=++∑C
F
F F （6－7）
4、 当动参考系相对惯性参考系作匀速直线平移时，牵连惯性力和科氏惯性力均为零，质点
相对运动微分方程为
∑=F m r a （6－8）
在研究质点动力学问题时，首先进行受力分析和运动分析，然后建立矢量形式的质点运动微分方程，然后将矢量形式的运动微分方程在坐标轴上投影，当运动轨迹已知时，选取自然坐标轴。
刚体的平面运动
刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。 一、 刚体的平移（平动）
刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。
平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、刚体的定轴转动
刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。
（1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =?
（2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω
（3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f
===?ω
α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示
速度： r v ?=ω （7－1）
加速度：
v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2）
其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢
径。
三、刚体的平面运动
刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、 刚体平面运动的角速度和角加速度
在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为：
θω =， （7－3）
θω
α
== （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程
平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为：
)(),(),(321t f t f y t f x A A ===? （7－5）
其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平移和绕基点转动的合成，而刚体的平面平移（c ≡?，其中c 为常量）和定轴转动（,,21c y c x A A ==其中21,c c 为常量）又是刚体平面运动的特殊情况。
同一平面运动刚体，
基点转过的角度只相差一个常量，因此刚体的角速度和角加速度与基点的选取无关，根据平
图7－1
图7－2
面运动刚体角速度、角加速度的定义（7－3）式和（7－4）式也可得到这一结论。 3、 平面图形上各点的速度
基点法公式：
BA A B v v v += （7－6）
基点法公式建立了平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即：
[][]AB AB B A v v = （7－7）
该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。
速度瞬心法：只要平面图形的角速度不为零，就必定存在唯一的一点，其速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的速度瞬心，用
v c 表示。平面图形上任一点M 的速度可表示成
M
v C M r v ?=ω （7－8）
其中：
M
v C r 是从速度瞬心
v c 引向M 点的矢径，ω为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度 基点法公式：
n
t BA
BA A B a a a a ++= （7－9）
其中：
)(,n t AB AB r a r a ??=?=ωωαBA BA 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为
零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用a C 表示。
动力学普遍定理
动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。这三个定理从不同侧面揭示了质点系整体运动特征与其受力之间的一般规律。
基本理论
一、动量定理 1、 质点系的动量
质点系的动量定义为：
C i i m m v v p ==∑ （8-1）
其中：i i m v
,分别为质点系中第i 个质点的质量及其速度，C m v ,分别为质点系的总质量和质
心速度。根据质点系的动量定义可以推出刚体系的动量：
C i C i m m v v p ==∑ （8-2）
其中Ci i m v
,分别为刚体系中第i 个刚体的质量及其质心速度，C m v ,分别为刚体系的总质量
及其质心速度。
2、质点系的动量定理
(e)R e)(d d F F p
==∑i t （8-3）
质点系动量随时间的变化率等于作用在质点系上外力的矢量和（外力系的主矢）。该定理的积分形式称为冲量定理，可表示成下列形式
∑∑?==-e)
(e)(2
1
12d i t t i t t t I F p p （8-4）
3、质心运动定理
(e )
R e)(F F a C ==∑i m （8-5） 其中：C a ,m 分别为质点系的总质量及其质心加速度。
如果质点系是由若干个刚体构成的系统，则其质心运动定理可以表示成 (e )
R
e)(F F a
C ==∑∑i i
i m （8-6）
其中：i i m C a ,分别为刚体系中第i 个刚体的质量及其质心加速度。 4、守恒情况
若∑≡0e)(i
F ，则==C
v p m 常矢量；
若∑≡0x
F ，则==Cx
x mv
p 常量。
二、动量矩定理 1、动量矩
质点系对任意固定点O 的动量矩定义为
i i i m ∑?=v
r L O
（8-7） 质点系相对动点A 的动量矩定义为
i
i i A m r r ~∑?=v r L （8-8）
所谓质点系相对动点A 的动量矩是指：在随动点A 平移的动参考系中，相对这一动参考系的相对速度为i v r ，则质点系相对动点A i v r i m 对A 点之矩i i v r r ~i m ?（i r ~
为动点A 到该质点的矢径）的矢量和。如果将动点A 取在质点系的质心，则可得到质点系相对质心C 的动量矩
i
i i C m r r ~∑?=v r L （8-9）
质点系对固定点O 的动量矩与相对质心的动量矩的关系如下
r
C C C m L v r L O +?= （8-10）
其中：C m v ,分别为质点系的总质量及其质心速度（相对定系的），C r 为质点系的质心C 在定系中的矢径。
定理：质点系对某一点O 点的动量矩在通过该点的某一轴（如x 轴）上的投影等于质点系对该轴（x 轴）的动量矩。 2、动量矩定理
质点系对惯性参考系中固定点O 的动量矩定理
)
()(d d )e ()e (R O O O
t F M F M L ==∑ （8-11）
质点系相对动点A 的动量矩定理
)
()(d d )e (r A AC A A
m t a r F M L -?+=∑ （8-12）
其中：AC r 为动点A 到质心C 的矢径，m 为质点系的总质量，A a 为动点A 相对于惯性参考
系的加速度。上式中等号右端的最后一项)(A AC m a r -?可以理解为质点系的牵连惯性力
A m a -对动点A 之矩。
该定理的几种特殊情况：
情况1：若动点A 是质点系的质心C ，0=AC r ，则（8-12）式可表示成
)
(d d )e (r F M L C C
t ∑= （8-13）
该公式称为相对质心的动量矩定理。
情况2：若质点系在运动的过程中，始终有关系式A AC a r //成立，则（8-12）式可表示成
)
(d d )e (r F M L A A
t ∑= （8-14）
情况3：若质点系在运动的过程中，始终有关系式0=A a 成立，则（8-12）式可表示成 )
(d d )e (r F M L A A
t ∑= （8-15）
在这种情况下，随A 点平移的动参考系也是惯性参考系，因此（8-15）式表示就是（8-11）式的另一种表达形式。 3、守恒情况 若∑≡0)(e)(i F M O
，则=O L 常矢量； 若∑≡0)(e)(i F x M ，则=x L 常量。
若∑≡0)(e)(i F M
C ，则=r
C L 常矢量； 若∑≡0)(e)(i F Cx M ，则=r
Cx L 常量。
三、动能定理 1、动能
质点系的动能定义为
∑=2
21
i i v m T (8-16)
绕O 轴作定轴转动刚体的动能为
221
ωO J T =
（8-17）
其中：ω,O J 分别为刚体对O 轴的转动惯量和刚体的角速度。
平面运动刚体的动能
2221
21ωC C J mv T +=
（8-18）
其中：ω,,C C J v 分别为刚体质心的速度，刚体对过质心C 且垂直于运动平面的轴的转动惯
量和刚体的角速度。 2、 力的功
物体上的A 点作用有变力F ，该瞬时A 点的速度为v ，则力F 在该瞬时作的元功定义为
t W d v F ?=δ （8-19）
如果力F 始终作用在物体上的A 点，A 点在t d 时间内的微小位移为t d d v r =，则力的元功可表示成
r F d ?=W δ （8-20）
如果一个力系},...,,{21n F F F 作用在质点系上，各力作用点的矢径为),,2,1(n i i =r ，则该力系对质点系所作的总元功定义为
∑=?=n
i i
i W 1
d r F δ （8-21）
如果一质点在力F 的作用沿某一曲线从A 点移动到B 点，则力所作的总功定义为
??=→AB
B A W r
F d （8-22）
在势力场中，质点（或质点系）由任意位置M 到某一选定的零势位0M （基准位置）的过程中，有势力所作的功称为质点（或质点系）在位置M 的势能，用符号V 表示
o M M W V →= （8-23）
定理（简化力系作功定理）：作用在刚体上力系},...,,{21n F F F 向刚体上的A 点简化，得到一简化力系},{A M F R ，若刚体上A 点的速度为A v ，刚体的角速度为ω，则力系对刚体作的总元功为
t t W R d d ωδ?+?=A A M v F （8-24）
推论（等效力系作功定理）：如果作用于刚体上的力系},...,,{21n F F F 与力系},...,,{21m P P P 等效，则这两个力系对该刚体所作的元功相等，即：
),...,,(),...,,(2121m n W W P P P F F F δδ= （8-25）
3、 动能定理
动能定理（微分形式）：质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和，即
∑=i W T δd （8-26）
动能定理（积分形式）：质点系由状态1运动到状态2，其动能的改变量等于作用于质点系上所有的力在这一运动过程中作功之和，即
∑→=-2112W T T （8-27）
在应用动能定理时，可以不考虑理想约束力，因为其作功之和为零。但必须考虑非理想约束力和主动力所作的功。 四、动力学普遍定理的应用 1、变质量质点的动力学方程
应用质点系的动量定理可得变质量质点的动力学方程
r e)(d d d d v F v t m t m
+=∑ （8-28）
2、刚体定轴转动动力学方程
应用动量矩定理可得刚体定轴转动动力学方程，设刚体对转轴z 的转动惯量为z J ，绕
该轴的转角为?，则动力学方程为
∑=z z M J ?
（8-29） 3、刚体平面运动动力学方程
具有质量对称面的刚体，如果作用在其上的力向质量对称面内的一点简化得到一个在该平面的平面力系，且刚体的运动平面也在质量对称面内，则应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理可得到刚体平面运动动力学方程
??
??
???===∑∑∑cz c y c x c M J F y m F x m ? （8-30）
质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理，称为动力学普遍定理，它们都是从牛顿第二定律推导出来的，因此这三个定理仅适用于惯性参考系；而质心运动定理、冲量定理、相对质心的动量矩定理、变质量质点动力学方程、刚体定轴转动动力学方程和刚体平面运动动力学方程都是由前面三个定理推导出的，因此也只适用于惯性参考系。这些定理或方程中涉及到的绝对速度（或角速度）和绝对加速度（或角加速度）都应在惯性参考系中描述。
碰 撞
物体在运动过程中受到冲击作用，在极短的时间内，运动状态发生突变，这种现象称为碰撞。由于碰撞过程比较复杂，因此我们只研究碰撞前后运动状态的变化规律。 一、碰撞的基本概念
1、碰撞的特点与基本假设 特点：
（1） 碰撞过程持续的时间τ极短，碰撞前后物体的速度发生了突变。 （2） 碰撞时物体间产生极大的作用力，称为碰撞力。碰撞力的作用以冲量的形式来度
量
?=τ
F I t
d *
（3）碰撞过程常伴随有机械能的损失。 基本假设
（1） 由于碰撞力很大，因此忽略非碰撞力（常规力）的影响。
（2） 由于碰撞过程时间很短，因此忽略碰撞过程中物体的位移，也就是假设在碰撞过
程中，物体或质点系在空间的位置保持不变。
（3） 当物体碰撞时，物体的变形局限在接触点附近的很小区域内。 2、碰撞过程的两个阶段与恢复系数
压缩阶段：从两物体开始接触直至碰撞点处的压缩变形达到最大值。在这一阶段碰撞力的冲量称为压缩冲量，其大小用1I 表示。
恢复阶段：从两个物体在碰撞点处的变形开始恢复，直至两个物体脱离。在这一阶段碰撞力的冲量称为恢复冲量，其大小用2I 表示。
恢复系数：两个物体碰撞的恢复系数e 定义为
12
I I e =
（9-1） 恢复系数的取值范围为10≤≤e ，可以证明上式等价于
n n n
n v v u u e 2121---
= （9-2）
其中：n n n n u
u v v 2121,,,为物体1和物体2的碰撞点，在碰撞前后的速度在碰撞法线上的投影。 3、碰撞的分类
按恢复系数e 的大小，碰撞可分为
（1） 弹性碰撞：10< （3） 完全塑性碰撞：0=e 按几何或运动条件，碰撞可分为 （1） 对心碰撞：两个物体的质心都在碰撞法线上，这样的碰撞称为对心碰撞。 （2） 偏心碰撞：两个物体的质心不都在碰撞法线上。 （3） 正碰撞：两个物体碰撞点的速度都平行于碰撞法线。 （4） 斜碰撞：两个物体碰撞点的速度不都平行于碰撞法线。 二、碰撞的基本定理 1、碰撞过程的冲量定理 定理：碰撞前后质点系动量的改变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量的矢量和，即 ∑=-* 12I p p （9-3） 或表示成 ∑=-* 12I v v C C m m （9-4） 对于平面问题，上述两个矢量微分方程，各等价于两个常微分方程。 2、碰撞过程的冲量矩定理 定理：碰撞前后质点系对惯性参考系中固定点0的动量矩的改变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量对O 点之矩的矢量和，即 ∑=-) (*12I M L L O O O （9-5） 定理：碰撞前后质点系相对质心C 的动量矩的改变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量对质心C 之矩的矢量和，即： ∑=-) (*12I M L L C C C （9-6） 对于平面问题，上述两个矢量微分方程，各等价于一个常微分方程。对于作平面运动的质点系，其动量定理和动量矩定理等价于三个常微分方程。 动静法 动静法是用静力学建立平衡方程的方法研究质点或质点系的动力学问题（非平衡问题），它是以达朗贝尔原理为基础，研究动力学问题的普遍方法。 一、动静法的基本概念与理论 1、 惯性力：质点的惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与质点加速度的 方向相反。即 a F m -=I （10－1） 2、质点的达朗贝尔原理：在质点运动的每一瞬时，质点的惯性力I F 与作用于质点上的主动力F 、约束力N F 组成一个平衡力系，即 0N I =++F F F （10－2） 3、 质点系的达朗贝尔原理：在质点系运动的每一瞬时，每个质点的惯性力i I F 与作用于该 质点上的主动力i F 、约束力i N F 组成一个平衡力系。 由质点系的达朗贝尔原理可知，在质点系运动的每一瞬时，质点系中所有质点的惯性力、与作用在质点系上所有的主动力和约束力构成一个平衡力系。 4、 动静法：根据达朗贝尔原理，在质点或质点系运动的每一瞬时，质点或质点系中所有质 点的惯性力、与作用在质点系上所有的主动力和约束力构成一个平衡力系，因此可以用建立平衡方程的方法研究质点或质点系动力学问题。这种方法称为动静法。 5、 刚体惯性力系的简化： （1） 平移刚体惯性力系的简化：在任意瞬时，平移刚体惯性力系向其质心简化为一 合力，方向与质心加速度(也就是刚体的加速度)的方向相反，大小等于刚体的 质量与加速度的乘积，即C m a F -=I 。 （2） 平面运动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且刚体在质量对 称面所在的平面内运动，则刚体惯性力系向质心简化为一个力和一个力偶，这个力的作用线通过该刚体质心，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对通过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。即 αC C C J m -=-=I I ,M a F （10－3） （3） 定轴转动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且转轴垂直于质 量对称面，则刚体惯性力系向转轴与质量对称面的交点O 简化为一个力和一个力偶，这个力通过O 点，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。即 αO O C J m -=-=I I ,M a F （10－4） 二、动平衡与平衡的基本概念 1、惯性积与惯量主轴 惯性积：设坐标系Oxyz 固连在刚体上，刚体对轴y x ,、轴z y ,、和轴x z ,的惯性积分别定义为 ∑∑∑===i i i zx i i i yz i i i xy x z m J z y m J y x m J ,, 惯性积这个物理量反映了刚体的质量相对坐标系分布的情况，它是一个代数量。 惯量主轴：如果与某轴（如z 轴）有关的两个惯性积0==zx yz J J ，则称轴z 为O 点的惯量主轴。对于刚体上的任一点至少存在三根互相垂直的惯量主轴。过质心C 的惯量主轴称为中心惯量主轴。 2、惯量主轴的判据 （1）如果刚体有质量对称面，则垂直于该对称面的任一轴必是该轴与对称面交点的惯量主轴之一。 （2）如果刚体有质量对称轴，则对称轴是该轴上任一点的惯量主轴之一，由于质心在对称轴上，所以该轴也是中心惯量主轴。 3、 静平衡与动平衡 静平衡：当定轴转动刚体仅在重力作用下，可以在任意位置平衡，则称刚体为静平衡。定轴转动刚体为静平衡的充分必要条件是刚体的质心在转轴上。 动平衡：如果刚体在转动过程中不会引起轴承的附加动反力，则称刚体为动平衡。定轴转动刚体为动平衡的充分必要条件是刚体的转轴为中心惯量主轴。动平衡是静平衡的充分条件；静平衡是动平衡的必要条件。 拉格朗日方程 从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。 拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。 通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。 拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。 本章内容有：动力学普遍方程；拉格朗日方程；拉格朗日方程的首次积分。 一、动力学普遍方程 将动静法与虚位移原理结合，就得到了动力学普遍方程：受有理想约束的质点系在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。 动力学普遍方程尽管被称之为方程，但在实际应用时，我们更应将它视为一个原理：动 力学普遍原理，它指导我们列写动力学方程。 如果你能熟练应用虚位移原理，则动力学普遍方程的应用将是一个很熟识的过程：在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力，然后对该力系应用虚位移原理。 在实际应用中，当加入系统的惯性力时，常常要补充运动学方程：系统的速度、加速度之间的关系。 运用动力学普遍方程建立的独立的动力学方程的个数等于系统的自由度，这一点也是与虚位移原理相同。 一般而言，如果要建立系统在特殊位置的动力学关系，可以考虑应用动力学普遍方程。如果要建立系统在任意一般位置的动力学关系，则应考虑应用拉格朗日方程。 二、拉格朗日方程 拉格朗日方程是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。 在教材中,拉格朗日方程有三种形式,分别对应着一般情况、主动力有势以及主动力部分有势的情况。 (1) 拉格朗日方程的一般形式是： ),,1(,d d k j Q q T q T t j j j ==??-???? ???? （11－1） 其中：T 是系统的以广义坐标和广义速度 ),,,,,(11k k q q q q 表示的动能，j Q 是所有主动力对应于广义坐标j q 的广义力。 (2) 当作用于系统上的所有主动力和内力均为有势力时，拉格朗日方程可以写成如下形式： ),,1(,0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? （11－2） 此处：L T V =-，V 是系统的以广义坐标表示的势能。L 称为拉格朗日函数，也称动势。 (3) 当作用于系统上的所有主动力和内力部分为有势力时，拉格朗日方程可以写成如下形式： ),,1(,'d d k j Q q L q L t j j j ==??-???? ???? （11－3） 此处：'j Q 为所有非有势力对应于广义坐标j q 的广义力，所有的有势力计入系统的拉格朗日 函数。 从拉格朗日方程的形式看，应用拉格朗日方程时只涉及速度分析，不涉及更复杂的加速度分析。所以如果问题中不要求求解约束力，则拉格朗日方程是一个很好的选择。 三、广义力的计算 方法一：为求出非有势力对应于广义坐标j q 的广义力 'j Q ，可取特殊的虚位移 0j q δ≠， 而其余的 0,1,...,1,1,...,i q i j j k δ==-+，求出所有非有势力在该虚位移上所做的虚功 []j q W δ，则应有 '[]j q j j W Q q δδ=? 由此可得出 '[]j q j j W Q q δδ= 在下一节的例子中我们将看到它的应用。 方法二：如果系统上作用的主动力 i F 的作用位置是(,,)i i i x y z ,(i=1,...,n )，将其表示成 广义坐标的函数： 111(,...,)(,...,)(,...,) i i k i i k i i k x x q q y y q q z z q q =?? =??=? 则对应于广义坐标 j q 的广义力 'j Q 可由如下公式求出： ' 1 ()n i i i j ix iy iz i j j j x y z Q F F F q q q =???=? +?+????∑ 四、拉格朗日方程的首次积分 拉格朗日方程是一组二阶常微分方程。一般情况下，方程是非线性的，求解很困难。但对某些类型的系统，可以利用系统的特性给出某些首次积分，使部分二阶常微分方程降阶，这对整个微分方程组的定性分析和数值求解都是很有帮助的。 拉格朗日方程是对受理想约束的动力学系统建立的方程，所研究的系统的范围有所缩小，较之牛顿力学的方程，拉格朗日方程包含的信息增加，所以更容易寻找首次积分。 对于势力场中的拉格朗日方程，存在两类首次积分：循环积分和首次积分。 （1）循环积分 一般而言，拉格朗日函数L 会显含所有广义速度),,(1k q q ，但可能会不显含某些广义 坐标，在这种场合我们可得到循环积分，L 中显缺的广义坐标称为循环坐标。 设质点系的前r 个坐标是循环坐标，则有循环积分 ),,1r j p q L j j ===??常量，（ （11－4） j p 称为对应于广义坐标j q 的广义动量(j=1,...,r )。循环积分的力学意义就是：对应于循 环坐标的广义动量守恒。 （2）能量积分 系统的动能是广义坐标和广义速度),,,,,(11k k q q q q 以及时间t 的函数。可以将动能分解成如下形式： 210T T T T =++ （11－5） 其中2T 、1T 和0T 分别为动能关于广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数。 如果在拉格朗日函数中不显含时间t ，则有能量积分 20o T T V E +-==常量 （11－6） 该积分表示了质点系的部分能量之间的关系，称之为广义能量积分。它同机械能守恒定理是有区别的。该积分常出现在相对于非惯性系运动的质点系中。 对于定常约束， 2T T =，能量积分的形式为： 2T V T V E +=+==常量 （11－7） 这就是通常意义下的势力场中系统的机械能守恒定律。 刚体的定点运动与一般运动 刚体的定点运动与一般运动属于刚体的三维运动,在本章首先研究其运动学,然后在研究其动力学 一、定点运动刚体的运动学 刚体的定点运动：刚体在运动时，如果其或其延展体上有一点不动，则称这种运动为刚体的 定点运动。 （1） 刚体定点运动的运动方程。确定定点运动刚体在空间的位置可用欧拉（Euler ）角表示，它们分别是进动角ψ，章动角θ，自转角?。刚体定点运动的运动方程为 )(),(),(321t f t f t f ＝＝＝?θψ （12－1） （2）刚体定点运动的角速度和角加速度。定点运动刚体的角速度可表示成 ?θψ ω ＋＋＝ （12－2） 刚体角速度ω矢量平行于瞬时转轴。定点运动刚体的角加速度定义为： t d d ωα＝ （12－3） 一般情况下角速度矢量ω的大小和方向都随时间变化，因此角加速度矢量α和角速度矢量ω不平行。 （3）定点运动刚体上各点的速度和加速度。定点运动刚体上任意点M 的速度可表示成 r v ?=ω （12－4） 其中：r 为由定点O 引向点M 的矢径。定点运动刚体上任意点M 的加速度可表示成 v r a ?+?=ωα （12－5） 上式中等号右端第一项r a ?=αR 定义为转动加速度，第二项v a ?=ωN 定义为向轴加速度。 （4）刚体定点运动的位移定理：定点运动刚体的任何有限位移，可以绕过定点的某一轴经过一次转动而实现。 二、定点运动刚体的动力学 （1） 定点运动刚体的动量矩。定点运动刚体对固定点O 的动量矩定义为： ????=?=M M m m d )(d r r v r L O ω （12－6） 其中：v r ,分别为刚体上的质量微团m d 的矢径和速度，ω为刚体的角速度。当随体参考系的三个轴',','oz oy ox 为惯量主轴时，上式可表示成 ' ''''''''k j i L z z y y x x O J J J ωωω++= （12－7） （2）定点刚体的欧拉动力学方程。应用动量矩定理可得到定点运动刚体的欧拉动力学方程 ?? ? ??=-+=-+=-+''''''''''''''''''''')()()(z y x x y z z y x z z x y y x z y y z x x M J J J M J J J M J J J ωωωωωω ωωω （12－8） （3）陀螺近似理论。绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体成为陀螺。若陀螺绕的自旋角速度为ω，进动角速度为Ω，'z J 为陀螺对质量对称轴的转动惯量，则陀螺的动力学方程为 O z J M =?ωΩ' （12－9） 其中O M 是作用在陀螺上的力对O 点之矩的矢量和。 三、刚体的一般运动 （1）刚体一般运动的运动学。确定一般运动刚体在空间的位置，需要确定刚体上任意一点O ’（基点）的坐标''',,O O O z y x 和刚体相对基点作定点运动的三个欧拉角ψ，θ，?。一般 运动刚体的运动方程为 ?? ? )(),(),()(),(),(6543'2'1't f t f t f t f z t f y t f x O O O ＝＝＝＝＝＝?θψ （12－10） （2）一般运动刚体上任意一点的速度和加速度。一般运动刚体上任意一点M 的速度可表示成 ''r v v ?+=ωO M （12－11） 其中'O v 为基点'O 的速度，'r 为由'O 引向M 点的矢径，ω为刚体的角速度。一般运动刚体上任意一点M 的加速度可表示成 M O M v r a a ?+?+=ωα'' （12－12） 其中'O a 为基点'O 的加速度。 （3）刚体一般运动的运动微分方程。刚体一般运动的运动微分方程可由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得到。 机械振动基础 当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化时，称之为振动。振动是社会生活和工程问题中普遍存在的一种现象，力学和机械系统中的振动称为机械振动。 在研究一个具体的力学或机械系统的振动时，常常将系统抽象为较简单的力学模型，利用力学理论建立系统的运动方程，然后利用数学工具求解，分析结果并与实验结果进行比较。 机械振动理论作为动力学的一个专题，现已发展成为一个独立的分支学科。在理论力学中仅仅限于介绍一些振动理论中常用的方法及对一些振动现象作简单讨论。 一、线性振动系统的弹簧-质量模型 在力学系统中，产生振动的基本要素是有质量的物体和产生弹性恢复力的元件。所以在机械振动研究中，都是将系统抽象成弹簧-质量模型。 二、 弹簧－质量系统的自由振动 系统受初始扰动，仅在恢复力作用下产生的振动称为自由振动。如果将坐标原点取在系统的静平衡位置，单自由度系统的振动微分方程都可以写成如下标准形式： 02=+x x ω (13-1) 对于弹簧-质量系统，m k =2 ω，其中m 是物块的质量，k 是弹簧的刚度系数，ω称为 系统的固有频率，写出系统的标准振动(微分)方程（13－1），就可以求解出系统的固有频率。 由常微分方程理论，上述方程有如下形式的解： 12sin cos sin() o x c t c t A t ωωω?=+=+ (13-2) 其中12,,,o c c A ?是积分常数，由运动的初始条件(也称初始扰动)确定。显然，系统的运动是以静平衡位置为中心的简谐运动。 值得一提的是，如果坐标原点不是取在系统的静平衡位置，则系统的运动微分方程会略为复杂一点，但最终得出的解仍然表示系统以静平衡位置为中心作简谐振动。所以系统的运动规律与坐标系的选取无关。不过，在机械振动理论中，不论是单自由度，还是多自由度或连续体，一般都是取系统的静平衡位置为坐标原点，这样选取可使得方程和解的表达式较简洁。 三、振动系统的特征量 周期：系统振动一次所需的时间，记为T ，其单位是秒(s)。 频率：每秒内振动的次数，记为f ， 1f T =，其单位是赫兹(Hz)，1Hz 表示每秒振动一次。 振幅：系统偏离静平衡位置的最大距离，此处记为A 。 相位：()o t ω?+称为相位，它决定了系统在瞬时t 的状态(位置)。o ?是瞬时t =0的相位， 称为初相位。 系统的自由振动有以下特点：系统自由振动的角频率、频率和周期完全决定于系统的结构参数(对于质量-弹簧系统，是质量块的质量和弹簧的刚度系数)，而与运动的初始条件无关。因此，ω又称为系统的固有频率。系统自由振动的振幅与初相位则与运动的初始条件有关。 四、单自由度质点系的微幅自由振动 一个在势力场中的单自由度质点系以稳定平衡位置为中心作微幅自由振动时。其运动微分方程可由拉格朗日方程导出。取广义坐标为x ，在经过线性化后，方程有如下形式： 0=+x k x m e e （13－3） 其中：e m 称为等效质量，e k 称为等效刚度系数。记：e e m k = 2 ω，则方程就完全等同于单自由度的质量-弹簧系统。所以一个保守力场中的单自由度质点系在稳定平衡位置的微幅自由振动可以等效化成质量－弹簧力学模型。 五、单自由度系统的阻尼振动 考虑一类粘滞阻力(也称线性阻力)，即阻力大小与速度成正比，方向与速度方向相反，表示成数学形式则为：c =-R F v 。其中常数c 称为粘阻系数，值与介质和振动系统的几何形状有关，可由实验确定。 单自由度粘滞阻力系统的阻尼振动模型可简化为一个带阻尼的质量-弹簧振子。以静平衡位置为坐标原点，运动微分方程为 022=++x x n x ω (13－4) 其中：n m c n m k ,2,2 == ω称为阻尼系数。该方程为单自由度系统阻尼振动的标准形式。 由微分方程理论知道，上述方程的解具有如下三种形式： (1) 当ω 12))) nt nt nt o x c e c e Ae ?---=+=+ 其中12,,,o c c A ?是积分常数，由运动的初始条件确定。从解的形式可以看出，欠阻尼情况下的系统运动是一种振幅衰减的振动，幅值随时间按指数规律减小； ，它小于系统固有频率ω。 阻尼振动的周期 严格说来，衰减振动不是周期运动。由于位移-时间图上的两个相邻波峰的间隔时间相等，所以习惯上仍将该时间间隔称为衰减振动的周期，其值为：2 22n T d -=ωπ 。当1< 可近似认为：d T T ≈。 (2) 当ω>n (过阻尼)时： ((12n t n t x c e c e --=+ (3) 当ω=n (临界状态)时： 12()nt x e c c t -=+ 对于后面的这两种情况，系统的运动已没有往复性，随着时间的延续，系统渐趋向平衡位置。 六、单自由度系统的无阻受迫振动 对于正弦型干扰力t H F Ωsin =，系统不存在(或不计)阻力时，受迫质量－弹簧系统的运动微分方程为 t h x x Ωωsin 2=+ (13-5) 式中： H h m =。由线性微分方程理论知，该方程的解是其齐次方程的通解和非齐次方程的特解的迭加。方程的通解为 22 sin()sin o h x A t t ω?ω=++ Ω-Ω (13-6) 其中,o A ?是积分常数，由初始条件决定。 对解稍作分析就可以看出，系统的运动是两部分的合成。第一部分是以系统的固有频率所作的振动，且振幅和相位由系统的初始条件确定，称为自由振动项；第二部分以激励频率振动，称为受迫振动项。 振动研究中一个倍受关注的问题就是受迫振动项的振幅与激振频率的关系。受迫振动项的振幅与激振频率的关系曲线称为幅频特性曲线。 不难看出，当系统的固有频率ω与激振频率Ω很接近时，受迫振动项的振幅会变得很大。我们将Ω=ω时的振动称为共振。共振时，方程的通解为： sin()cos 2o ht x A t t ω?ωω=+- (13-7) 可以看出，受迫振动项的振幅随时间不断增大，这将引起系统的毁坏。在实际问题中总 是存在阻尼的，阻尼会限制振幅的无限制增大。另外，当振幅较大时，会产生非线性效应，这些都会限制振幅的无限制增大。 七、单自由度系统的有阻受迫振动 在粘滞阻尼的情况下，系统强迫振动的运动微分方程为 t h x x n x Ωωsin 22=++ (13-8) 仍然考虑小阻尼的情况，该方程通解为 )) nt o x Ae t ?ψ-=+Ω+ (13-9) 其中2 21 2tan Ω -Ω =-ωψn ，,o A ?是积分常数，由初始条件决定。 解中的第一部分称为衰减振动，即它会随时间很快衰减掉(如果是临界阻尼或大阻尼情况，这一部分会衰减得更快)。剩下的第二部分为受迫振动。 由于阻尼存在，受迫振动的振幅不再无限增大。不难看出，当阻尼增大时，振幅显著下降。 在阻尼存在时，当Ω 共振频率是Ωω。 八、隔振与减振 研究振动的主要目的是消除或减轻振动的危害，工程上常用隔振或减振措施。 隔振是将振源与需要防振的设备用隔振器隔离。如果被隔离的是振源，称之为主动隔振；如果被隔离的是设备，称之为被动隔振； 减振是指减小干扰力的力幅或受迫振动的振幅，这可通过消除或减弱振源、调整固有频率以避免在共振区内工作或增大阻尼等措施来实现。 九、二自由度系统的线性自由振动 对于多自由度质点系，通常是利用拉格朗日方程来列写系统的运动微分方程。 二自由度线性系统的自由振动模型可以等效成二自由度的质量-弹簧系统。其运动微分方程为： 00222112222112212111212111=+++=+++x k x k x m x m x k x k x m x m (13-10) 设该方程的解具有形式 1122cos x u t x u ω???? =???????? 将其代入方程，可得： 22111122111122221212221212220 0m u m u k u k u m u m u k u k u ωωωω--++=--++= （13-11） 该方程具有非零解[] 12,T u u 的条件是： 22111112122 2 121222220 k m k m k m k m ωωω ω --=-- （13-12） 这就是特征方程，也称频率方程。从特征方程中可以解出ω，代回方程（13-11）再解出1 u 与2u 之比。ω称为系统的固有频率，[]12,T u u 称为系统的固有振型(或模态)，通常取11u =。 对于二自由度系统，由线性代数理论，有如下的结果： (1) 系统有两个固有频率12,ωω； (2) 对于每个固有频率，都对应有一个振型[] 12,T u u ； (3) 固有频率和振型取决于系统的参数，与初始条件无关； (4) 如果两个固有频率12,ωω重合：12ωωω==，则对应于该固有频率ω就有两个不同的振型； (5) 如果t u u c x x ωcos 21121??????=??????是运动方程的解，则t u u c x x ωsin 21121?? ? ???=??????也是方程的解。 综上所述，再由线性方程的解的叠加性，可以得到二自由度线性振动的通解： ) sin()sin(sin cos sin cos 222 21211121122 21422213112121121121?ω?ωωωωω+??? ???++??????=??? ???+??????+??????+??????=??????t u u A t u u A t u u c t u u c t u u c t u u c x x 其中12341122,,,,,,,c c c c A A ??是积分常数，由初始条件确定。以上结果可以推广到多自由度线性系统。 理论力学期末考试试题 1-1、自重为P=100kN的T字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m。试求固定端A的约束力。 解：取T型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布： q=60kN/m，2q=40kN/m，机翼重1p=45kN，发动机重2p=20kN，发动机螺旋桨的反作用力1 偶矩M=。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, F F F, 求：A，D处约束力. 12 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A端采用铰链约束，B端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m。在节点E和G上分别作用载荷 F=10kN，G F=7 kN。试计算杆1、2和3的内力。 E 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，。若F=10kN，求各杆的内力。 又EC=CK=FD=DM 2-2 杆系由铰链连接，位于正方形的边和对角线上，如图所示。在节点D沿对角线LD方向作用力D F。在节点C沿CH边铅直向下作用力F。如铰链B，L和H是固定的，杆重不计，求各杆的内力。 D 《理论力学》期末考试试题A 卷 一、选择题（本题共12分，每小题3分，请将答案的序号填入括号内） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为（ C ）。 A 滑动状态 B 临界平衡状态 C 静止(非临界平衡)状态 D 不能确定 2. 一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系组成的空间力系的独立平衡方程数目为（ B ）。 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 3. 图示偏心轮顶杆机构中，轮心为C ，ω=常量。选杆端A 为动点，在C 点固连平移系（动系）， 则牵连速度和牵连加速度的方向分别为（ B ）。 A 垂直于AO ，沿AO 方向 B 垂直于CO ，沿CO 方向 C 沿AO 方向，垂直于AO D A 点切线方向，沿AC 方向 4、正方形薄板由铰链支座A 支承，并由挡板B 限制，使AB 边呈铅垂位置，如图所示。若将挡板B 突然撤去，则在该瞬时支座A 的反力的铅垂分量的大小将（ C ）。 A 不变 B 变大 C 变小 D 无法确定 二、填空题（本题共26分，请将答案填入括号内） 1（本小题4分）. 如图所示，沿长方体不相交且不平行的棱上作用三个大小等于F 的力。问棱长a ，b ，c 满足（ 0c b a --= ）关系时，该力系能简化为一个力。 2（本小题4分）. 正方形板ABCD 以匀角速度ω绕固定轴z 转动，点1M 和点2M 分别沿对角线BD 和边线CD 运动，在图示位置时相对板的速度分别为1v 和1v ，则点1M 和点2M 科氏加速度大小分别为（ 1v ）和（ 0 ）。 3（本小题5分）. 图示均质圆盘A 、B 均重G ，半径均为R ；物块C 重P ，A 、B 与绳之间无 相对滑动，某瞬时速度为v ，该瞬时系统的动能等于（ 2 8716P G v g + ） 。 4（本小题5分）.图示T 字形杆由两根长度均为l 的相同的匀质细杆OA ，BC 刚接而成，质量均为m 。质量为m 的质点沿杆BC 以)π2 1 sin(21t l r = 的规律运动。 当T 字形杆绕轴O 以匀角速度ω转动时，在1=t s 时系统对轴O 的动量矩为（ 2 83 ml ω ） 。 南京大学2010—2011学年第一学期《理论力学》期末考试A卷（闭卷） 院系年级学号姓名 共五道题，满分100分。各题分数标在题前，解题时写出必要的计算步骤。 一、（19分）如图所示，三根弹簧连结两个质量为m的质点于距离为4a的两面固定的墙内，各弹簧的质量可以忽略，其弹性系数与自然长度已由下图标出。求解该系统作水平方向小幅振动时的运动情形，并找出其简正模式和简正频率。 二、（20分）质量为m,长为a,宽为b的长方形匀质薄板绕其对角线作匀速转动，角速度为 。用欧拉动力学方程求薄板所受到的力矩（提示：采用主轴坐标系）。 三、（20分）一力学系统的哈密顿函数为2222q a m p H -= ，其中a m ,为常数，请证明该系统有运动积分Ht pq D -=2 ，这里t 表示时间。 四、（20分）考虑一维简谐振子，其哈密顿函数为2 222 2q m m p H ω+= ，m 为质量，ω为固有频率： （1）证明变换ω ωωim q im p P q im p Q 2 ,-= +=为正则变换，并求出生成函数 ),,(1t Q q U ，其中i 为虚数单位； （2）用变换后的正则变量P Q ,求解该简谐振子的运动。 五、（21分）质量为m 的带负电-e 的点电荷置于光滑水平面（x-y 平面）上，它受到两个均带正电+e 且分别固定于x=-c,y=0和x=c,y=0的点电荷的吸引，其势 能为)1 1(2 12r r e V +-=，其中1r 和2r 分别为负电荷到两个正电荷之间的距离，如图 所示。 （1）以v u ,为广义坐标，其中2121 ,r r v r r u -=+=，写出负电荷的拉格朗日函数； （2）写出v u ,对应的广义动量和负电荷的哈密顿函数； （3）根据（2）的结果，写出描述负电荷运动的关于哈密顿特征函数的哈密顿-雅可比方程，并用分离变量的方法求解哈密顿特征函数（写出积分式即可）。 理论力学 期末考试试题 A 卷 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 D 《理论力学》期末考试试题A 卷 一、选择题（本题共12分，每小题3分，请将答案的序号填入括号） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为（ C ）。 A 滑动状态 B 临界平衡状态 C 静止(非临界平衡)状态 D 不能确定 2. 一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系组成的空间力系的独立平衡方程数目为（ B ）。 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 3. 图示偏心轮顶杆机构中，轮心为C ，ω=常量。选杆端A 为动点，在C 点固连平移系（动系）， 则牵连速度和牵连加速度的方向分别为（ B ）。 A 垂直于AO ，沿AO 方向 B 垂直于CO ，沿CO 方向 C 沿AO 方向，垂直于AO D A 点切线方向，沿AC 方向 4、正方形薄板由铰链支座A 支承，并由挡板B 限制，使AB 边呈铅垂位置，如图所示。若将挡板B 突然撤去，则在该瞬时支座A 的反力的铅垂分量的大小将（ C ）。 A 不变 B 变大 C 变小 D 无法确定 二、填空题（本题共26分，请将答案填入括号） 1（本小题4分）. 如图所示，沿长方体不相交且不平行的棱上作用三个大小等于F 的力。问棱长a ，b ，c 满足（ 0c b a --= ）关系时，该力系能简化为一个力。 2（本小题4分）. 正方形板ABCD 以匀角速度ω绕固定轴z 转动，点1M 和点2M 分别沿对角线BD 和边线CD 运动，在图示位置时相对板的速度分别为1v 和1v ，则点1M 和点2M 科氏加速度大小分别为（ 12v ω ）和（ 0 ）。 y x z O c b a 3 F 2 F 1 F 理论力学复习题1 一、是非题（正确用√，错误用×） 1：作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 （ ） 2：作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 （ ） 3：刚体的运动形式为平动，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。 （ ） 4: 瞬时速度中心点的速度等于零，加速度一般情况下不等于零。 （ ） 5：一个质点只要运动，就一定受到力的作用，而且运动的方向就是它受力的方向。 （ ） 二、选择题（单选题） 1. 一重W 的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f ，且tg α A 处的约束反力为: 在形式 二、选择题（共20分，共5题，每题4分） A. L O = mr 2w B. L O = 2mr C. 1 2 L O = mr w 2 D. L O = 0 2. 质点系动量守恒的条件是: A. 作用于质点系上外力冲量和恒为零 B. 作用于质点系的内力矢量和为零 C. 作用于质点系上外力的矢量和为零 D. 作用于质点系内力冲量和为零 1. 如图所示的悬臂梁结构，在图中受力情况下，固定端 M A = ___________________ ； F AX = __________________ ； F Ay = _________________ 2. 已知正方形板 ABCD 作定轴转动，转轴垂直于板面， A 点的速度V A = 10cm/s ，加速度 a A =1^2 cm/s 2,方向如图所示。则正方形板的角加速度的大小为 ________________________ 。 题1图 题2图 3. 图示滚压机构中，曲柄 OA = r ，以匀角速度绕垂直于图面的 O 轴转动，半径为 R 的轮子沿水平面 作纯滚动，轮子中心 B 与 O 轴位于同一水平线上。 则有 3AB = __________________ , w B = _________________ 。 4. 如图所示，已知圆环的半径为 R,弹簧的刚度系数为 k,弹簧的原长为 R 。弹簧的一端与圆环上的 O 点铰接，当弹簧从 A 端移动到B 端时弹簧所做的功为 _______________________ ;当弹簧从A 端移动到C 端 时弹簧所做的功为 ___________________ 。 题3图 题4图 5. 质点的达朗贝尔原理是指：作用在质点上的 上组成平衡力系。 1. 图示机构中，已知均质杆 AB 的质量为 m,且O 1A=O 2B=r, O 1O 2=AB=l , 010=002=1/2， 若曲柄转 动的角速度为 w,则杆对0轴的动量矩L O 的大小为（ 、填空题（共15分，共5题，每题3 分） 静力学 （MADE BY 水水） 1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图 F Ax F A y F B (a) (a) F A F B F B F D F D F Bx F By F Bx F C F B F C F By 1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图 1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图 1-5a 1-5b F Ax F A y F D F By F A F Bx F B F A F Ax F A y F Dy T E F Cx F C y N’ F B F D F A N F A F B F D 1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。试求二力F 1和F 2之间的关系。 解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有： ∑=0x F 045 cos 0 2=-BC F F 对C 点有： ∑=0x F 030cos 01=-F F BC 解以上二个方程可得： 22163.13 6 2F F F == 解法2(几何法) 分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封 F 2 F BC F AB B 45o y x F CD C 60o F 1 30 o F BC x y 45 030 闭的力多边形，如图所示。 对B 点由几何关系可知： 0245cos BC F F = 对C 点由几何关系可知： 0130cos F F BC = 解以上两式可得：2163.1F F = 2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。试求A 和C 点处的约 束力。 解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）： 0=∑M 0)45sin(100 =-+??M a F A θ a M F A 354.0= 其中：3 1tan =θ。对BC 杆有： a M F F F A B C 354.0=== 。A ，C 两点约束力的方向如图所示。 2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC 上力偶的力偶矩M 2＝1N ·m 。试求作用在OA 上力偶的力偶矩大小M 1和AB 所受的力AB F 。各杆重量不计。 F AB F BC F CD 60o F 1 30o F 2 F BC 45o F B F A θ θ F B F C F A F O F A F B F B F C 一、填空题（共15分，共 5 题，每题3 分） A 处的约束反力为： M A = ；F Ax = ；F Ay = 。 2. 已知正方形板ABCD 作定轴转动，转轴垂直于板面，A 点的速度v A ＝10cm/s ，加速度a A =cm/s 2，方向如图所示。则正方形板的角加速度的大小为 。 题1图 题2图 3. 图示滚压机构中，曲柄OA = r ，以匀角速度绕垂直于图面的O 轴转动，半径为R 的轮子沿水平面作纯滚动，轮子中心B 与O 轴位于同一水平线上。则有ωAB = ，ωB = 。 4. 如图所示，已知圆环的半径为R ，弹簧的刚度系数为k ，弹簧的原长为R 。弹簧的一端与圆环上的O 点铰接，当弹簧从A 端移动到B 端时弹簧所做的功为 ；当弹簧从A 端移动到C 端时弹簧所做的功为 。 题3图 题4图 5. 质点的达朗贝尔原理是指：作用在质点上的 、 和 在形式上组成平衡力系。 二、选择题（共20分，共 5 题，每题4 分） AB 的质量为m ，且O 1A =O 2B =r ，O 1O 2=AB =l ，O 1O =OO 2=l /2，若曲柄转动的角速度为ω，则杆对O 轴的动量矩L O 的大小为( )。 A. L O = mr 2ω B. L O = 2mr 2ω C. L O = 12mr 2ω D. L O = 0 2. 质点系动量守恒的条件是：( ) A. 作用于质点系上外力冲量和恒为零 B. 作用于质点系的内力矢量和为零 C. 作用于质点系上外力的矢量和为零 D. 作用于质点系内力冲量和为零 3. 将质量为m 的质点，以速度 v 铅直上抛，试计算质点从开始上抛至再回到原处的过程中质点动量的改变量：( ) A. 质点动量没有改变 B. 质点动量的改变量大小为 2m v ，方向铅垂向上 B 命题教师签名： 审核教师签名： 课号： 课名：工程力学 考试考查： 此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷 年级 专业 学号 姓名 得分 一、 填空题（每题5分，共30分） 1刚体绕O Z 轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A ，B 两点，已知O Z A =2O Z B ，某瞬时a A =10m/s 2，方向如图所示。则此时B 点加速度的大小为__5m/s 2 ；（方向要在图上表示出来）。与O z B 成60度角。 2刻有直槽OB 的正方形板OABC 在图示平面内绕O 轴转动，点M 以 r =OM ＝50t 2（r 以mm 计）的规律在槽内运动，若t 2=ω（ω以rad/s 计），则当t =1s 时，点M 的相对加速度的大小为_0.1m/s 2_；牵连加速度的大小为__1.6248m/s 2__。科氏加速度为_22.0m/s 2_，方向应在图中画出。方向垂直OB ，指向左上方。 3质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成?60角。则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为___（1）___。 （1）3 L ； （2）4 L ； （3）6 L ； （4）0。 4已知OA =AB =L ，ω=常数，均质连杆AB 的质量为m ，曲柄OA ，滑块B 的质量不计。则图示瞬时，相对于杆AB 的质心C 的动量矩的大小为 __12 2ωm L L C =，（顺时针方向）___。 5均质细杆AB 重P ，长L ，置于水平位置，若在绳BC 突然剪断瞬时有角加速度α，则杆上各点惯性力的合力的大小为 点的运动学 点的运动学研究是物体上的某个点（或质点）在空间的位置随时间的变化规律，它既是研究质点动力学的预备知识，又是研究物体一般运动的基础。运动都是相对的，要描述物体的运动就必须选取另一个物体作为参考，这个被选作参考的物体称为参考体，与参考体固连的坐标系称为参考系。点的运动学研究点相对某参考体的运动规律，包括点的运动方程、速度、加速度以及它们之间的关系。研究点的运动，常用的方法有：矢量法、直角坐标法和自然坐标法。 在研究某些问题时，需要在不同的参考系中观察或描述点的运动，这些不同的参考系之间还存在有相对运动；有时可以把一些较复杂的运动分解成在不同参考系中几个简单运动的合成，这时就需要用复合运动的方法去处理这些问题。 一、点的运动学的基本理论 1、 矢量法 矢量法是用矢量描述点的运动规律。 运动方程： )(t r r = （5－1） 速度： r r v == t d d （5－2） 加速度： r r v a ===22 d d t （5－3） 运动轨迹：矢径端点的曲线。 该方法通常用于理论推导，在研究具体问题时，还应选用合适的坐标系来描述有关的物理量。 2、 直角坐标法 直角坐标法是用点的直角坐标z y x ,,描述其运动规律。 运动方程：)(),(), (321t f z t f y t f x === （5－4） 速度： k j i v z y x ++= （5－5） 其中：z y x ,,是速度v 在三个坐标轴上的投影。 加速度：k j i a z y x ++= （5－6） 其中：z y x ,,是加速度a 在三个坐标轴上的投影。 3、 自然坐标法 点沿曲线运动时，其速度、加速度与曲线的几何形状有关，因此当点的运动轨迹已知时， 图1－5 y \ 理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. < 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用力 偶矩M=。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 ? 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： ] 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 > 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 | 主讲教师：王 琪 联系电话：82317933、82317937 bhwangqi@https://www.sodocs.net/doc/875162734.html, 答疑／交作业时间：每周三、四下午4:00－6:00 主楼337（理论力学教研室） ?朱照宣等编写的《理论力学》（上下册）北京大学出版社 ?贾书惠主编的《理论力学》高等教育出版社 ?梅凤翔主编的《工程力学》（上下册）高等教育出版社 ?刘延柱主编的《理论力学》高等教育出版社 ?贾书惠主编的《理论力学辅导》清华大学出版社 ?谢传锋主编的《理论力学自我检测》北航出版社 思考题 1. 空间汇交力系的平衡方程的投影轴必须垂直吗？ 2. 已知力 F （矢量）以及该力对 O 点的矩 M O （矢量），能否确定力F 的作用线？ 3. 若已知某个力对A 、B 两点之矩的矢量方向，能否确定该力的作用线？一定能，一定不 能，不一定能. 补充什么条件，上述问题的答案将是肯定的。 5. 已知某个力对A 、B 两点之矩M A 、M B 的大小和方向，能否确定该力的大小方向和作用线。 6. 在棱长为 b 的正方上作用有一力F ，求该力对 x,y,z 轴之矩以及对OA 轴之矩 M=1.732Fb 8. 结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M ，确定各个铰链约束力的方向（不计构 件自重） 9.求T2刚性弯杆AB 由正方体的三个棱构成，杆的两端用球铰链固定在墙壁上，弯杆上作用 有两个力偶（如图所示）。若使弯杆平衡，试确定这两个力偶的大小应满足什么关系。能否求出球铰链A 、B 的约束力？ 10.已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f ，若斧头不被卡住，求斧头的最小楔角θ。 11. 人重W ，板重P ，若人有足够大的力量，一定能维持平衡的是 A ?基本定义 –平衡、质点（系）、刚体；自由体、非自由体 –力系、等效力系、合力、共点力系 1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图 1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图 F Ax F A y F B (a) (a) F D F Bx F By F Ax F A y F By F A F Bx F A 1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图 1-5a 1-5b 1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。试 求二力F 1和F 2之间的关系。 F Ax F A y F Dx F Dy W T E F Cx F C y W F Ax F A y F Bx F B y F Cx F C y F Dx F Dy F Bx F By T E N’ F B F D F A N F A F B F D 解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有： 对C 点有： 解以上二个方程可得： 解法2(几何法) 分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。 对B 点由几何关系可知： 对C 点由几何关系可知： 解以上两式可得： 2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。试求A 和C 点处的约束力。 解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）： F AB F CD F B F C 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2006— 2007学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号： 课名：工程力学 考试考查： 此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷 年级专业学号姓名得分 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 30 10 15 15 15 15 100 得分 一、 填空题（每题5分，共30分） 1刚体绕O Z 轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A ，B 两点，已知O Z A =2O Z B ，某瞬时a A =10m/s 2，方向如图所示。则此时B 点加速度的大小为__5m/s 2；（方向要在图上表示出来）。与O z B 成60度角。 2刻有直槽OB 的正方形板OABC 在图示平面内绕O 轴转动，点M 以r =OM ＝50t 2（r 以mm 计）的规律在槽内运动，若t 2=ω（ω以rad/s 计），则当t =1s 时，点M 的相对加速度的大小为_0.1m/s 2_；牵连加速度的大小为__1.6248m/s 2__。科氏加速度为_22.0m/s 2_，方向应在图中画出。方向垂直OB ，指向左上方。 3质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成?60角。则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为___（1）___。 （1）3 L ； （2）4 L ； （3）6 L ； （4）0。 4已知OA =AB =L ，ω=常数，均质连杆AB 的质量为m ，曲柄OA ，滑块B 的质量不计。则图示瞬时，相对于杆AB 的质心C 的动量矩的大小为 精品文档 . 蚌埠学院2013—2014学年第一学期 《理论力学Ⅱ》期末考试试题（B ） 注意事项：1、适用班级：2012级土木工程班、2012水利水电专业班、2012车辆 工程班 2、本试卷共2页。满分100分。 3、考试时间120分钟。 4、考试方式：“闭卷” 一、判断题（每小题1分，共20分） （ ）1．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线 相同，大小相等，方向相反。 （ ）2．已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。 （ ）3．质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动量为零，则质点系中各质点必都静止。 （ ）4．刚体在3个力的作用下平衡，这3个力不一定在同一个平面内。 （ ）5．用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x ，y 轴一定要相互垂直。 （ ）6．一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。 （ ）7．刚体的平移运动一定不是刚体的平面运动。 （ ）8．说到角速度，角加速度，可以对点而言。 （ ）9．两自由运动质点，其微分方程完全相同，但其运动规律不一定相同。 （ ）10．质点系总动量的方向就是质点系所受外力主矢的方向。 二、选择题（每小题2分，共10分） 1．将平面力系向平面内任意两点简化，所得主矢相等，主矩也相等，且主矩不为零，则该力系简化的最后结果为 。 A ．一个力 B ．一个力偶 C ．平衡 D ．一个力和一个力偶 2．一点做曲线运动，开始时的速度s m v /100=，恒定切向加速度2 /4s m a =τ，则2s 末该点的速度大小为 。 A ．2m/s B ．18m/s C ．12m/s D ．无法确定 3．力F 在某一坐标轴上的投影的绝对值等于这个力的大小，则这个力在任意共面轴上的投影 。 A ．等于该力的大小 B ．一定等于零 C ．一定不等于零 D ．不一定等于零 4．点作曲线运动，若其法向加速度越来越大，则该点的速度 。 A ．越来越大 B ．越来越小 C ．大小变化不能确定 D ．等于零 5．设有质量相等的两物体A 和B ，在同一段时间内，A 作水平移动，B 作铅直移动，则两物体的重力在这段时间里的冲量 。 A ．不同 B ．相同 C ．A 物体重力的冲量大 D ．B 物体重力的冲量大 三、计算题（每小题15分，共45分） 1. 如图所示质量为 m 长为l 2的均质杆OA 绕水平固定轴O 在铅垂面内转动。已知在图示位置杆的角速度为ω，角加速度为α。试求此时杆在O 轴的约束反力。 2.起重架可借绕过滑轮B 的绳索将重P ＝20kN 的重物匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮，如图所示，滑轮B 用AB 和BC 两杆支撑，设两杆的自重及滑轮B 的大小、自重均不计。试求杆AB 、BC 所受的力。 3.小物块A 重G 放在车的30o斜面上，物块A 与斜面的摩擦因数f=0.2。若车向左加速 装 订 线 内 不 要 答 题 静力学（MADE BY水水）1-3 AB的受力图试画出图示各结构中构件 FF A BB F A A (a)(a) FF DD F By F B F Bx FF CC FF By Bx F B 的受力图1-4 试画出两结构中构件ABCD FF AA FF A y FF By BAx F Bx F D ba和所示刚体系整体合格构件的受力图1-5 试画出图F1-5a A F B F D N'F F B A N F D FT C yE F y A FF Cx Ax1-5b F Dy F Dx W W F T Bx E F Ax FFF B y Cx y A F Dy F By F Bx F C y F Dx 1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F和F，机构在图示位置平衡。试21求二力F和F之间的关系。21解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B点有：对C点有： 解以上二个方程可得： y y F BC B C x F BC o45x o30F o60CD F2F F AB1 2(解法几何法)点上的力构成封闭C和为研究对象，和分别选取销钉BC根据汇交力系平衡条件，作用在B的力多边形，如图所示。点由几何关系可知：对B F F2BC 点由几何关系可知：对C o30o45F AB o60F F CD1解以上两式可得：F BC 点处的约束。试求M上作用有主动力偶在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆2-3 ABA和C力。两点连线的BC点处受到约束力的方向沿B在AB)受力如图所示(为二力杆BC解：，故曲杆点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲A的作用，M受到主动力偶AB方向。曲杆点和B F B （设力偶逆时针为正）：保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有杆AB F B F C 。对BC杆有：其中：，C两点约束力的方向如图所示。。A ＝上力偶的力偶矩M2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC2所受的力。各杆重量不计。m1N·。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M和AB1 F B F F A F BA F C F O C O 解：由力偶系作用下刚体的平衡条件，A,B出的约束力方向即可确定。机构中AB杆为二力杆，点杆有：O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC点 杆有：对AB OA杆有：对 ，方向如图所示。求解以上三式可得：， 所示。试分a,b2-6等边三角形板ABC,边长为a，今沿其边作用大小均为F的力，方向如图别求其最简简化结果。 一．平面桁架问题 (1) 求平面桁架结构各杆的内力，将零力杆标在图中。已知P ， l ，l 2。（卷2-4） （2）已知F 1=20kN ，F 2=10kN 。 ①、计算图示平面桁架结构的约束力；②、计算8杆、9杆、10杆的内力（卷4-3）。 （3）求平面桁架结构1、2、3杆的内力，将零力杆标在图中。已知P ＝20kN ，水平和竖杆长度均为m l 1 ，斜杆长度l 2。（卷5-4） （4） 三桁架受力如图所示，已知F 1＝10 kN ，F 2＝F 3＝20 kN ，。试求桁架8，9，10杆的内力。 （卷6-3） （5）计算桁架结构各杆内力（卷7-3） （6）图示结构，已知AB=EC，BC=CD=ED＝a=0.2m，P=20kN，作用在AB中点，求支座A和E的约束力以及BD、BC杆的内力。（卷5-2） 二．物系平衡问题 （1）图示梁，已知m＝20 kN.m，q＝10 kN／m , l＝1m，求固定端支座A的约束力。（卷1-2） （2）如图所示三铰刚架，已知P=20kN，m=10kN.m，q=10kN/m不计自重，计算A、B、C 的束力。（卷2-2） （3）图示梁，已知P＝20 kN , q＝10kN／m , l＝2m ,求固定端支座A的约束力。（卷3-2） （4）三角刚架几何尺寸如图所示，力偶矩为M ，求支座A和B 的约束力。（卷3-3） （5）图示简支梁，梁长为4a ，梁重P ，作用在梁的中点C ，在梁的AC 段上受均布载荷q 作用，在梁的BC 段上受力偶M 作用, 力偶矩M =Pa ，试求A 和B 处的支座约束力。（卷4-1） （6）如图所示刚架结构，已知P =20kN ，q =10kN /m ，不计自重，计算A 、B 、C 的约束力。（卷4-2） （7）已知m L 10=,m KN M ?=50,?=45θ,求支座A,B 处的约束反力（卷9-2） （8）已知条件如图，求图示悬臂梁A 端的约束反力。（卷9-3） M A B C θ L P A B α q l 动力学 （MADE BY 水水） 1－3 解： 运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将030=θ代入得 34cos cos 22lk lk l y v = ===θθθ 938cos sin 22 32lk lk y a = -==θ θ 1－6 证明：质点做曲线运动， 所以质点的加速度为：n t a a a +=, 设质点的速度为v ，由图可知: a a v v y n cos ==θ，所以: y v v a a n = 将c v y =，ρ 2 n v a = 代入上式可得 ρ c v a 3 = 证毕 1－7 证明：因为n 2 a v =ρ，v a a v a ?==θsin n 所以：v a ?=3 v ρ 证毕 1－ 10 x o y 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式： t v L s 0-=，并且 222x l s += 将上面两式对时间求导得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x 0 -= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2002v v s x x x =-=+ (b) 将(a)式代入(b)式可得：32 20220x l v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上） 取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有： g F F a m m N ++= 将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： N F F y m F mg x m +-=-=θθsin cos 其中： 2 22 2sin ,cos l x l l x x += += θθ0,32 20=-=y x l v x 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得： 2 3220)(1)(x l x l v g m F ++= 1－11 o v o v F N F g m y θ 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2006—2007学年第一学期 命题教师签名：审核教师签名： 课号：课名：工程力学考试考查： 此卷选为：期中考试()、期终考试()、重考()试卷 年级专业学号姓名得分 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 30 10 15 15 15 15 100 得分 一、 填空题（每题5分，共30分） 1刚体绕O Z 轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A ，B 两点，已 知O Z A =2O Z B ，某瞬时a A =10m/s 2，方向如图所示。则此时B 点加速度的大小为__5m/s 2 ；（方向要在图上表示出来）。与O z B 成60度角。 2刻有直槽OB 的正方形板OABC 在图示平面内绕O 轴转动，点M 以r =OM ＝50t 2（r 以mm 计）的规律在槽内运动，若t 2=ω（以rad/s 计），则当t =1s 时，点M 的相对加速度的大小为s 2_；牵连加速度的大小为s 2__。科氏加速度为_22.0m/s 2_，方向应在图中画出。方向垂 直 OB ，指向左上方。 3质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成?60角。则当无初速 释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为___（1）___。 （1） 3 L ； （2）4 L ； （3）6 L ； （4）0。 4已知OA =AB =L ，=常数，均质连杆AB 的质量为m ，曲柄OA ，滑块B 的质量不计。则图示瞬时，相对于杆AB 的质心C 的动量矩的大小为 __12 2ω mL L C =，（顺时针方向）___。 5均质细杆AB 重P ，长L ，置于水平位置，若在绳BC 突然 剪断瞬时有 理论力学AII 期末考试模拟试题 一、 选择题（将正确答案的字母填在空格内，每小题2分，共10分） 1、对于具有定常约束的质点系，其动能T 最一般的形式可以表示成 的函数。 A ：广义速度； B ：广义坐标； C: 时间t 2、定点运动的圆锥ABC 在水平固定圆盘上纯滚动，如图1所示。若圆锥底面圆心D 作匀速圆周运动，则该圆锥的角加速度矢量α与角速度矢量ω的关系是 。 A ：α平行于ω； B ：α垂直于ω； C ：为零矢量α； D ：为非零矢量α 图1 3、二自由度线性系统的振动周期与 有关。 A ：广义质量； B ：广义刚度； C ：初始位置； D ：初始速度 4、只应用第二类拉格朗日方程 求出非自由质点系的约束力。 A ：一定能； B ：一定不能； C ：不一定能 5、第二类拉格朗日方程可用于研究具有 质点系的力学问题。 A ：完整约束； B ：定常约束； C ：非完整约束； D ：非定常约束 注：第二类拉格朗日方程为：),,2,1(d d k j Q q T q T t j j j " ==?????????????????????。其中k 为系统的 自由度。为对应于广义坐标的主动力的广义力。 j Q j q 二、 填空题（将最简结果填在空格内，每空5分，共50分） 1、 质量为m 的质点M 可在半径为R 的圆环内运动，圆环以角速度ω（常矢量）绕AB 轴作定轴转动，如图2所示。θ为质点的广义坐标，此时质点的动能可以表示成，其中 012T T T T ++=)2,1,0(=i T i g 为广义速度的i 次齐次函数。求： =2T =1T =0T 图2 图3理论力学期末考试试题.pdf
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