东南大学信号与系统试题及答案

东南大学考试卷（A、B卷）

一、简单计算题（每题8分）：

1、 已知某连续信号()f t 的傅里叶变换为

21

()23F j j ωωω=

-+，按照取

样间隔1T =对其进行取样得到离散时间序列()f k ，序列()f k 的Z 变换。

2求序列{}

10()1,2,1

k f k ==和2()1cos ()2f k k k πε??

??=+ ???????的卷积和。

3已知某双边序列的Z 变换为

21

()1092F z z z =

++，求该序列的时域表达式

()f k 。

2、 已知某连续系统的特征多项式为：

269111063)(234567+++++++=s s s s s s s s D

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

3、 已知某连续时间系统的系统函数为：

323

2642

()21s s s H s s s s +++=+++。试给

图 ( a )

y (

)

( t f 图(c)

出该系统的状态方程。

4、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

)

(k

二、（12分）已知系统框图如图（a ），输入信号e(t)的时域波形如图（b ），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号()f t 的频谱为

()jn n F j e

πω

ω+∞

=-∞

=

∑。

e(t)

图(b)

试：1） 分别画出)(t f 的频谱图和时域波形；

2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；

三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为)()(t t e ε=，在t=0和t=1

时测得系统的输出为1)0(=y ，5

.0)1(-=e y 。分别求系统的零输入响应、零状

态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

L=2H

C=1F

+_

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为

)1()()1(3)2(2+=++-+k e k y k y k y 其初始状态为6)2(,

2)1(-=--=-zi zi y y ，激励)()(k k e ε=；

求：1） 零输入响应)(k y zi 、零状态响应)(k y zs 及全响应)(k y ；

2）指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3）判断该系统的稳定性。

五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应

()cos()

2

k

h k k

π

ε

??

= ?

??。

1）求其系统函数()

H z；

2）粗略绘出该系统的幅频特性；

3）画出该系统的框图。

六、（10分）请叙述并证明z变换的卷积定理。

答案

1、 已知某连续信号()f t 的傅里叶变换为

21

()23F j j ωωω=

-+，按照取样间隔1T =对其进行取样得到离散时间序列()f k ，序列()f k 的Z 变换。

解法一：f(t)的拉普拉斯变换为

21

11)2)(1(1321)(2+-

+=++=++=

s s s s s s s F ，

2111

)(Re )(--===---=-=?

??

???-=∑∑e z z e z z e z z K e z z s F s z F n

i T s i s s n

i sT i i

解法二：f(t)=L -1{F(jw)}=(e -t - e -2t

)ε(t)

f(k)= (e -k

- e -2k

)ε(k)=)())()((21k e e k

k ε--- F(z)=Z[f(k)]= 21

-----e z z

e

z z 2、 求序列{}

10()1,2,1

k f k ==和2()1cos ()2f k k k πε??

??=+ ???????的卷积和。

解：f 1(k)={1,2,1}=δ(k)+2δ(k -1)+ δ(k -2)

f 1(k)* f 2(k)= f 2(k)+ 2f 2(k -1)+ f 2(k -2) 3、已知某双边序列的Z 变换为

21

()1092F z z z =

++，求该序列的时域表达式()f k 。

解：

5.01

4.01)(+-

+=

z z z F ，两个单阶极点为-0.4、-0.5

当收敛域为|z|>0.5时，f(k)=(( -0.4)k -1-( -0.5)k -1)ε(k -1)

当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f(k)= ( -0.4)k -1ε(k -1)+( -0.5)k -1ε( -k) 当收敛域为|z|<0.4时，f(k)= - ( -0.4)k -1ε(-k)+( -0.5)k -1ε( -k)

点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。 4、已知某连续系统的特征多项式为：

269111063)(234567+++++++=s s s s s s s s D

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

解 构作罗斯-霍维茨阵列

611617s 291036s

3168385s 2314

s 3

4

2(00)32s s s ++此时出现全零行，有辅助多项式

3

46

46,4,6s

s +求导可得以代替全零行系数。

21

3

22232s s s

由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明s 右半平面无极点。再由

42

320s s ++=

令2

s x =则有

2320x x ++=

可解得 1,2x =--

相应地有

1,2s ==±

j

3,4s ==±这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j 及土，系统为临界稳定。 所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。 点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。

5、已知某连续时间系统的系统函数为：

323

2642

()21s s s H s s s s +++=+++。试给出该系统的状态方程。

解：系统的微分方程为

)(2)(4)(6)()()()(2)(t e t e t e t e t y t y t y t y +'+''+'''=+'+''+'''

取原来的辅助变量q 及其各阶导数为状态变量并分别表示为1x q =、2'x q =、3''x q =、

''''3x q =，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程

状态方程：

???

??+---===)

(2'''3213

3

221t e x x x x x x x x 输出方程：

)(436423213213t e x x x x x x x y +++=+++'=

或者写成矩阵形式，上式即为

e x x x x x x ??????????+????????????????????---=+=??????????10021101010

0'''321321Be Ax ``

[])(431321t e x x x y +?????

?????=+=De Cx

6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

图(a)

y(t)

)

(t f e(t)

图(b)

h(t)图(c)

解：06.05.03

.22.01)3.021()(2

+++=+++

=z z z z z z H

二、（12分）已知系统框图如图（a ），输入信号e(t)的时域波形如图（b ），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号()f t 的频谱为

()jn n F j e πω

ω+∞

=-∞

=

∑

。

试：1） 分别画出)(t f 的频谱图和时域波形；

2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；

解：1∑∞

-∞

=-=

n n t t f )

2()(δ

∑∞

-∞

=-=n n j F )

()(πωδπ

ω

2）y(t)=[e(t)?f(t)]*h(t)=[δ(t+2)+2δ(t)+ δ(t -2)] *h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t -2)

3）因h(t)是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。 点评：此题做对的非常少，大多数写不出f(t)的表达方式。

三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为)()(t t e ε=，在t=0和t=1时

测得系统的输出为1)0(=y ，5

.0)1(-=e y 。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

L=2H

C=1F

+_

解：1）电路满足KVL ：得

)(5.0)(5.0)(5.1)(t e t y t y t y '=+'+''

2）系统函数为：

5.05.15.0)(2

++=s s s

s H ，特征根为λ1=-0.5，λ2=-1 Y zs (s)=H(s)E(s)= s s s s 15.05.15.02

?++=11

5.01+-+s s

零状态响应：y zs (t)=(e -0.5t -e -t )ε(t)

y zs (0)=0，y zs (1)=(e -0.5 -e -1)；

y zi (0)= y(0) -y zs (0)=1，y zi (1)= y(1) -y zs (1)= -e -1 ； y zi (t)=(C 1e -0.5t +C 2e -t )ε(t),得C 1=0，C 2=1 零输入响应：y zi (t)= e -t ε(t)； 全响应：y (t)= e -0.5t ε(t)

点评：此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答，失去少部分分数。

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为

)1()()1(3)2(2+=++-+k e k y k y k y

其初始状态为6)2(,2)1(-=--=-zi zi y y ，激励)()(k k e ε=； 求：1） 零输入响应)(k y zi 、零状态响应)(k y zs 及全响应)(k y ；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。

解：

132)(2

+-=z z z

z H ，特征根为ν1=0.5，ν2=1 1） y zi (k)=(C 10.5k +C 2)ε(k)； 代入初始条件得C 1=-2，C 2=2 零输入响应：y zi (k)= (2-20.5k )ε(k)

Y zs (z)=H(z)E(z)= 2

2)1(15.01132-+---=-?+-z z z z z z z z z z z =115.01+-+s s

零状态响应：y zs (k)= (0.5k +k -1)ε(k) y zs (0)=0，y zs (1)=(e -0.5 -e -1)； 全响应：y (k)= (1+k -0.5k )ε(k) 2）自由响应：(1 -0.5k )ε(k)

受迫响应：k ε(k)，严格地说是混合响应。

3）系统的特征根为ν1=0.5（单位圆内），ν2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。

五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应()cos ()

2k h k k πε??

= ???。

4） 求其系统函数()H z ； 5） 粗略绘出该系统的幅频特性； 6） 画出该系统的框图。

解：1）系统函数为：

121)(21)(21)(2)()2cos(2

2222222+=??????????-+-=??

????+????

??=??

????????+=???

???---z z e z z e z z k e Z k e Z k e e Z k k Z j j k j k j k j k j πππππ

πεεεεπ

1)(2

2

+=z z z H

2）系统的幅频特性为：|cos 2|1

|1)()(|

|)(|22

ωωωω=

+=j j j e e e H

3）系统的框图

六、（10分）请叙述并证明Z 变换的卷积定理。 解：

卷积定理

设{})()(11z F k f Z =,{})()(22z F k f Z =，则

{})()()(*)(2121z F z F k f k f Z = 或用符号表示为：若)()(11z F k f ?，)()(22z F k f ?，则

)()()(*)(2121z F z F k f k f ?

两序列卷积后z 变换的收敛区是原来两个Z 变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z 变换的定义证明如下

{}∑

∑∑

+∞-∞=+∞

-∞

=-+∞-∞=-=???

???????-=k j k

j j k f j f z j k f j f Z k f k f Z )

()()()()(*)(2

1

2121

交换上式右方的取和次序，上式成为

{}∑∑+∞-∞=+∞

-∞=--=

j k k

j k f z

j f k f k f Z )

()()(*)(21

21

对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性，则得

{})

()()()()(*)(2121

21z F z F z F z

j f k f k f Z j j

==

∑+∞

-∞

=-

点评：很多学生做不出此题，有的竟然连卷积定理内容都写不出。

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