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辅导二:一元二次方程根与系数的关系

辅导二:一元二次方程根与系数的关系
辅导二:一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.

一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为:

222

4()24b b ac x a a -+=

(1) 当2

40b ac ->时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:

x =

(2) 当2

40b ac -=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:1,22b x a

=-

(3) 当2

40b ac -<时,右端是负数.因此,方程没有实数根.

由于可以用2

4b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把2

4b ac -叫

做一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:2

4b ac ?=-

【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:

(1) 2

2310x x -+=

(2) 2

4912y y +=

(3) 2

5(3)60x x +-=

说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.

【例2】已知关于x 的一元二次方程2

320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:

(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根; (4) 方程无实数根.

【例3】已知实数x 、y 满足2

2

210x y xy x y +-+-+=,试求x 、y 的值. 解:可以把所给方程看作为关于x 的方程,整理得:

22(2)10x y x y y --+-+=

由于x 是实数,所以上述方程有实数根,因此:

222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=,

代入原方程得:2

2101x x x ++=?=-.

综上知:1,0x y =-=

二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:

22b b x x a a

-+--==

所以:1222b b b

x x a a a

-+--+=+=-,

12244ac c

x x a a

?====

定理:如果一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么:

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此

定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是0?≥.

【例4】若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:

(1) 2212x x +;

(2)

12

11x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.

分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这里,可以利用韦达定理来解答.

解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===

- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-

(4) 12||x x -=

===说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

222121212()2x x x x x x +=+-,

121212

11x x x x x x ++=

,22

121212()()4x x x x x x -=+-,

12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+,

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.

【例5】已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -+++=,根据下列条件,分别求出k 的值.

(1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =.

分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是120x x =>,二是12x x -=,所以要分类讨论.

解:(1) ∵方程两实根的积为5

∴ 2

22121[(1)]4(1)034

,41215

4

k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±?

?=+=?? 所以,当4k =时,方程两实根的积为5. (2) 由12||x x =得知: ①当10x ≥时,12x x =,所以方程有两相等实数根,故3

02

k ?=?=

; ②当10x <时,12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-,由于

3

02

k

?>?>,故1k =-不合题意,舍去.

综上可得,3

2

k =

时,方程的两实根12,x x 满足12||x x =. 说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足0?≥.

【例6】已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根.

(1) 是否存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请您说明理由.

(2) 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 解:(1) 假设存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立. ∵ 一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根

∴ 2

40

0(4)44(1)160

k k k k k k ≠??

?=--?+=-≥?,

又12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根

∴ 1212114x x k x x k +=???+=??

∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+- 93

9

425

k k k +=-

=-?=,但0k <.

∴不存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立.

(2) ∵ 222121212211212()44

224411

x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-

++

∴ 要使其值是整数,只需1k +能被4整除,故11,2,4k +=±±±,注意到0k <,

要使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---. 说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.

(2) 本题综合性较强,要学会对

4

1

k +为整数的分析方法.

【例7】已知关于x 的方程05)2(22

2

=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m 的值。

分析:有实数根,则△≥0,且16212

22

1+=+x x x x ,联立解得m 的值。 略解:依题意有:

???

????≥--+=?+=+-=+-=+0)5(4)2(416

5)2(222212

2212

2121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得:1-=m 或15-=m ,又由④可知m ≥4

9- ∴15-=m 舍去,故1-=m

练 习

A 组

1.一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )

A .2k >

B .2,1k k <≠且

C .2k <

D .2,1k k >≠且

2.若12,x x 是方程2

2630x x -+=的两个根,则

1211

x x +的值为( ) A .2

B .2-

C .

12

D .

92

3.已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交于O 点,且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根,则m 等于( )

A .3-

B .5

C .53-或

D .53-或

4.若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式2

4b ac ?=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )

A .M ?=

B .M ?>

C .M ?<

D .大小关系不能确定

5.若实数a b ≠,且,a b 满足22

850,850a a b b -+=-+=,则代数式

11

11

b a a b --+--的值为( )

A .20-

B .2

C .220-或

D .220或

6.如果方程2

()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等,则,,a b c 之间的关系是 ______ 7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2

2870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是 _______ .

8.若方程2

2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1,则k 的值是 _____ .

9.设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根,121,1x x ++是关于x 的方程2

0x qx p ++=的两实根,则p = _____ ,q = _____ .

10.已知实数,,a b c 满足2

6,9a b c ab =-=-,则a = _____ ,b = _____ ,c = _____ . 11.对于二次三项式2

1036x x -+,小明得出如下结论:无论x 取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法?请您说明理由.

12.若0n >,关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+

=有两个相等的的正实数根,求m

n

的值.

13.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=. (1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;

(2) 若方程的两根为12,x x ,且满足

121112

x x +=-,求m 的值. 14.已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长. (1) k 取何值时,方程存在两个正实数根? (2)

k 的值.

B 组

1.已知关于x 的方程2

(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . (1) 求k 的取值范围; (2) 是否存在实数k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请您说明理由.

2.已知关于x 的方程2

30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11.求证:关于x 的方程

22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根.

3.若12,x x 是关于x 的方程2

2

(21)10x k x k -+++=的两个实数根,且12,x x 都大于1. (1) 求实数k 的取值范围;

(2) 若

121

2

x x =,求k 的值.

跟踪训练: 一、填空题:

1、设1x 、2x 是方程0242

=+-x x 的两根,则①

2

11

1x x += ;②21x x - = ;③)1)(1(21++x x = 。

2、以方程0422

=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是 。 3、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144,则m = 。

4、已知方程032=+-m x x 的一个根是1,则它的另一个根是 ,m 的值是 。

5、反比例函数x

k y =

的图象经过点P (a 、b ),其中a 、b 是一元二次方程042

=++kx x 的两根,那么点P 的坐标是 。

6、已知1x 、2x 是方程0132

=+-x x 的两根,则1112422

1++x x 的值为 。 二、选择题:

1、如果方程12

=+mx x 的两个实根互为相反数,那么m 的值为( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、±1

2、已知ab ≠0,方程02

=++c bx ax 的系数满足ac b =??

? ??2

2,则方程的两根之比为( )

A 、0∶1

B 、1∶1

C 、1∶2

D 、2∶3

3、已知两圆的半径恰为方程02522

=+-x x 的两根,圆心距为3,则这两个圆的外公切线有( )

A 、0条

B 、1条

C 、2条

D 、3条 4、已知,在△ABC 中,∠C =900,斜边长2

1

7

,两直角边的长分别是关于x 的方程:09)2

1

(32=++-m x m x 的两个根,则△ABC 的内切圆面积是( )

A 、π4

B 、π23

C 、π47

D 、π4

9

5、菱形ABCD 的边长是5,两条对角线交于O 点,且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程:

03)12(22=++-+m x m x 的根,则m 的值为( )

A 、-3

B 、5

C 、5或-3

D 、-5或3

三、解答题:

1、证明:方程0199719972

=+-x x 无整数根。

2、已知关于x 的方程032

=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3,关于x 的方程

023)1(2=-+-a x x k 有实根,且k 为正整数,求代数式

2

1

--k k 的值。 3、已知关于x 的方程03)21(2

2

=-+--a x a x ……①有两个不相等的实数根,且关于x 的方程01222

=-+--a x x ……②没有实数根,问:a 取什么整数时,方程①有整数解? 4、已知关于x 的方程03)1(22

2

=-++-m x m x (1)当m 取何值时,方程有两个不相等的实数根?

(2)设1x 、2x 是方程的两根,且012)()(212

21=-+-+x x x x ,求m 的值。

5、已知关于x 的方程01)12(2

=-+-+k x k kx 只有整数根,且关于y 的一元二次方程

03)1(2=+--m y y k 的两个实数根为1y 、2y 。

(1)当k 为整数时,确定k 的值。

(2)在(1)的条件下,若m =2,求2

22

1y y +的值。

6、已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实根,问:

1x 、2x 能否同号?若能同号,请求出相应m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。

一元二次方程根与系数的关系习题答案

A 组

1. B

2. A

3.A

4.A

5.A

6.2,a c b b c +=≠且 7. 3

8. 9或3-

9.1,3p q =-=- 10.3,3,0a b c ===

11.正确

12.4

13.2

1(1)1650 (2)2

m m ?=+>=- 14.3

(1) (2)22

k k ≥=

B 组

1.13

(1)112

k k <≠且 (2) 不存在 2.1m = (1)当3k =时,方程为310x +=,有实根;(2) 当3k ≠时,0?>也有实根.

3.(1) 3

14

k k ≥≠且 ; (2) 7k =.

一元二次方程公共根

一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根,求方程系数的问题,叫一元二次方程的公共根问题, 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤: 1.设公共根为α,则α同时满足这两个一元二次方程; 2.用加减法消去α2的项,求出公共根或公共根的有关表达式; 3.把共公根代入原方程中的任何一个方程,就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式. 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根. 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式24b ac ?=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质. 方程有整数根的条件: 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根,那么必然同时满足以下条件: ⑴ 2?= ⑵ 2b ak -=或2b ak --,其中k 为整数. 以上两个条件必须同时满足,缺一不可. 另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根,然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围 1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根, (1)求k 的取值范围. (2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根,求此时m 的值. 2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根,求a 的值 3 已知a >2,b >2,试判断关于x 的方程x 2-(a +b )x +ab =0与x 2-abx +(a +b )=0有没有公共根,请说明理由. 4求k 的值,使得一元二次方程210x kx +-=,2(2)0x x k ++-=有相同的根,并求两个方程的根. 5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ,b 为正整数)有一个公共根,求a b b a b a a a --++的值

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及 的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0; (2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, ,

, 所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以,

所以. (3)将原方程展开并整理得, 这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1.掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法;使学生掌握含有未知数 的解法. 2.教学过程中,渗透数学转化思想及方程的思想,提高学生灵活运用数学知识解题的能力;培养学生严谨的逻辑思维. 3.通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较,认识到任何事物都是相对的,而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点. 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用. 教学过程: 一、引入新课 问题一:方程x2+1=0在复数范围内有没有解,解集是什么? 因为-1=i2,则原方程化为x2-i2=0,即(x+i)(x-i)=0.所以原方程解集为{i,-i}.问题二:方程ax2+bx+c=0(a,b,c是实数)在复数范围内解集是什么? 当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根,解集为 二、讲授新课 引导思考:方程x2+1=0中,Δ=-4<0,上述结论对吗? 解为: 无意义.此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内解的情况为: 当Δ≥0时有实根; 当Δ<0时,有一对共轭的虚根. 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解: 例2 已知实系数一元二次方程2x 2+ax +b=0的一个根为2i-3,求a ,b 的值. 解:2x 2+ax +b=0一根为2i-3,另一根为-3-2i .由韦达定理知: b=(2i-3)(-2i-3)=9+16=25, a=2i-3+(-2i-3)=-6. 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题.对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解? 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解. 解:将方程左端配方,得(x-i )2-4=0,即(x-i )2=4.解得x-i=±2,即x 1=2+i ,x 2=-2+i . 练习P22 1、2、3 2、二项方程:形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程,任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式,都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即:所以解:原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点,这些点均匀分布在以原点为圆心,以2为半径的圆上.

一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根D.无法确定 · 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为()》 A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分 二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为.

评卷人· 得分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. · 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (2)求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值; : (3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值. 13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围;

中考试题一元二次方程的整数根

学科:数学 专题:一元二次方程整数根 主讲教师:黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点辨析 在解决整数根问题时,还是不要忽略了对二次项系数的讨论。 题一 题面:关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数,求符合条件的a 的整数值. 金题精讲 题一 题面:已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围; (2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值. 判别式,考虑参数范围 满分冲刺 题一 题面:已知,关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= ⑴若0m >,求证:方程有两个不相等的实数根; ⑵若1240m <<的整数,且方程有两个整数根,求m 的值. 判别式,整数根

题二 题面:已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0. (1)求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (2)当m 为何整数时,原方程的根也是整数. 判别式,整数根 讲义参考答案 重难点易错点辨析 题一 答案:当1a =时,1x =; 当1a ≠时,122111 x x a ==-- -,(分离常数), a ∵为整数 1023a =-∴,,, 综上,a 的整数值为10123-,,,,. 金题精讲 题一 答案:(1)52 k <;(2)k =2. 满分冲刺 题一 答案:⑴证明:[]2 2=2(23)4(4148)84m m m m ?----+=+ ∵0m >, ∴840m +>. ∴方程有两个不相等的实数根. ⑵(23)x m - 且m 为整数. 又∵1240m <<, ∴252181.m <+< ∴5. 21m +∵为奇数, 7= ∴24m =.

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论(不讨论 a ) ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论(不讨论 a ) ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程(19题)(答案) 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+,则这个方程可以是 228039 x x -+= . 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根,则下列等式成立的是( C ) (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假,并说明理由; (1)在复数范围内,方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ,且0)a ≠总 有两个根.( √ ) ) (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根,则这个方程的另 一个根是12i -.( ? ) (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则p 、q 均为实数.( √) 5、已知复数z ,解方程3i 13i z z -?=+. 解:设i()z x y x y =+∈R ,,则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+. 由复数相等,有3133x y y x -=??-=?,,解得543.4 x y ?=-????=-??,. ∴53i 44z =--. 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ; | 若z R ∈,则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数, 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ,则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以,方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= (1)x R ∈ (2)x C ∈ 解:(1)1x = (2)11x orx i ==-

初三数学培优之一元二次方程的整数根

初三数学培优之一元二次方程的整数根 阅读与思考 解一元二次方程问题时,我们不但需熟练地解方程,准确判断根的个数、符号特征、存在范围,而且要能深入地探讨根的其他性质,这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论,融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数(即系数为整数)一元二次方程的整数根问题的基本方法有: 1.直接求解 若根可用有理式表示,则求出根,结合整除性求解. 2.利用判别式 在二次方程有根的前提下,通过判别式确定字母或根的范围,运用枚举讨论、不等分析求解 3.运用根与系数的关系 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式,从中消去待定字母,再通过因式分解和整数性质求解. 4.巧选主元 若运用相关方法直接求解困难,可选取字母为主元,结合整除知识求解. 例题与求解 【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2 =+----x k x k k 的解都是整数,求整数k 的值. (绍兴市竞赛试题) 解题思路:用因式分解法可得到根的表达式,因方程类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定k 的值才能全面而准确. 【例2】 q p ,为质数且是方程0132 =+-m x x 的根,那么 q p p q +的值是( ) A .22121 B .22123 C .22125 D .22 127 (黄冈市竞赛试题) 解题思路:设法求出q p ,的值,由题设条件自然想到根与系数的关系

【例3】 关于y x ,的方程2922 2=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为( ) A .2组 B .3组 C .4组 D .无穷多组 解题思路:把2922 2 =++y xy x 看作关于x 的二次方程,由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数,从而确定y 的取值范围,进而求出x 的值. 【例4】 试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程01)2(2 =-+++r x r rx 有根且只有整数根. (全国初中数学联赛试题) 解题思路:因方程的类型未确定,故应分类讨论. 当0≠r 时,由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式,消去r ,先求出两个整数根. 【例5】 试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方,恰好等于这个四位数. (全国初中数学联赛试题) 解题思路:设前后两个两位数分别为y x ,,99,10≤≥y x ,则y x y x +=+100)(2 ,即 0)()50(222=-+-+y y x y x ,于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例6】 试求出所有这样的正整数解a ,使得二次方程0)3(4)12(22 =-+-+a x a ax 至少有一个整数根. (“祖冲之杯”竞赛试题) 解题思路:本题有两种解法. 由于a 的次数较低,可考虑“反客为主”,以a 为元,以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答;或考虑因方程根为整数,故其判别式为平方式.

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3). 分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证:如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根,那么,关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?,方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?,则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根, 01+∴m ,即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明:上述证明中,判定02>?用到了01

分析:运用根的判别式判定根的情况时,要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式,然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号,尤其是当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数,再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号,从而判定方程的根的情况,有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解:(1)),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. (2)0≠a , ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项,将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数,2b 均为非负数, 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. (3)0≠a , ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程,它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?, ∴需要讨论a 、c 的符号,才能确定?的符号. 当0=c 时,0=?,方程有两个相等的实数根; 当a 、c 异号时,0>?,方程有两个不相等的实数根; 当a 、c 同号时,0

一元二次方程(根与系数关系)

一元二次方程(根与系数关系专题测试) 一、单选题(共10题;共30分) 1.已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根,则x12+x22的值为() A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2,则另一个根是() A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1、x2,则x1+x2等于() A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 4.是方程的两根, 的值是() A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根,,且,那么m的值为() A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程(为常数)根的情况下,下列结论中正确的是() A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根,一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m=0有一个根为2,则另一根为() A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知,是一元二次方程的两个实数根且,则的值为(). A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2+αβ的值为() A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b,且则的值为() A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题(共6题;共18分) 11.如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=﹣, x1x2= ,这就是一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).利用韦达定理解决下面问题:已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根,则+ =________. 12.一元二次方程的两根为,则________

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解? 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解:∵方程(1)有两个不相等的实数根, ∴ 解得; ∵方程(2)没有实数根, ∴ 解得; 于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是 其中,的整数值有或 当时,方程(1)为,无整数根; 当时,方程(1)为,有整数根。 解得: 所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。 总结:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出 ,这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1:不解方程,判别方程两根的符号。

分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若 判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。 解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为, ∵<0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 例2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一:把代入原方程,得: 即 解得 当时,原方程均可化为: ,

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) a

根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间()n m ,外,即在区间两侧 12,x m x n <>,(图形分别如下)需满足的条件是 (1)0a >时,()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况: 若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.

一元二次方程整数根问题的几种思维策略

一元二次方程整数根问题的几种思维策略 一、利用判别式 例1. 当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。 解:∵方程2440mx x -+=有整数根, ∴⊿=16-16m ≥0,得m ≤1 又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴⊿=16m 2-4(4m 2-4m -5) ≥0 得54m ≥- . 综上所述,54 -≤m≤1 ∴x 可取的整数值是-1,0,1 当m=-1时,方程为-x 2-4x+4=0 没有整数解,舍去。 而m≠0 ∴ m=1 23.(东城) 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=,0,0>>b a . (1)若方程有实数根,试确定a ,b 之间的大小关系; (2)若a ∶b 1222x x -=,求a ,b 的值; (3)在(2)的条件下,二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C (点A 在点C 的左 侧),与y 轴的交点为B ,顶点为D .若点P (x ,y )是四边形ABCD 边上的点,试求3x -y 的最大值. 解:(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根, ∴ Δ=,04)2(2 2≥-b a 有a 2-b 2≥0,(a+b )(a-b )≥0. ∵ 0,0>>b a , ∴ a+b >0,a -b ≥0. ∴ b a ≥. …………………………2分

(2) ∵ a ∶b , ∴ 设2,a k b ==(k >0). 解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=, 得 -3x k k =-或. 当12,= -3x k x k =-时,由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时,由1222x x -=得25 k =- (不合题意,舍去). ∴ 4,a b ==. …………………………5分 (3) 当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A (-6,0)、(-2,0),与y 轴交点坐标为(0,12),顶点坐标D 为(-4,-4). 设z =3x -y ,则3y x z =-. 画出函数2 812y x x =++和3y x =的图象,若直线3y x =平行移动时,可以发现当直线 经过点C 时符合题意,此时最大z 的值等于-6 ……………7分 二、利用求根公式 例2.设关于x 的二次方程2222 (68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数, 求满足条件的所有实数k 的值。 解:△=(2k 2-6k-4)2-4(k 2-4)(k 2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得222642(6)2(68) k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142 x x k k =--=---- 只有当x≠-1时,则有12244,211k k x x -=- -=-++ 两式相减,得 1224211x x -=++, 去分母,整理得 12(3)2x x +=-

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此,一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读,再填空解题: (1)方程:x2-4x-12=0 的根是:x 1=6, x 2 =-2,则x 1 +x 2 =4,x 1 ·x 2 =-12; (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x 1= 1 2 , x 2 =3,则x 1 +x 2 = 7 2 ,x 1 ·x 2 = 3 2 ; (3)方程3x2+6x-2=0的根是:x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = , x 1·x 2 = ; 根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0且a、b、c为常数)的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系?请写出来你的猜想并说明理由。 解析:方程3x2+5x-2=0的根是:x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -,x1·x2= 2 3 -。 能猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数) 的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下: 根据求根公式可知,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c 为常数)的两根为: a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和,等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数所得的商.

数学:13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

13.6(1)实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后,对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要,数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数,解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=,当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此,本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况;会在复数集中解实系数一元二次方程;会在复数范围内对二次三项式进行因式分解;理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系,并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程;在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计

六、教学过程设计 (一)复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式,我 们回顾一下: 当240b ac ?=-≥ 时,方程有两个实数根:2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”,大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①:一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解? 设问②:在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=? [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知,x 即为-1的平方根:i ±;设问②是为了引出本节课的课题:实系数一元二次方程. (二)讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况: 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠,所以原方程可变形为2b c x x a a +=-, 配方得

-一元二次方程的整数根分析

第6讲 一元二次方程的整数根 精巧的论证常常不是一蹴而就的,而是人们长期切磋积累 的成果。 我也是慢慢学来的,而且还要继续不断的学习。 -----阿贝尔 知识方法扫描 1.当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时,我们可以先利用因式分解直接求方程的解,通常它们是关于k 的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定方程。此时因参数k 的条件不同,常有两种处理方法。其一是k 为整数,这时只需注意分式形式的解中,分子是分母的倍数即可;其二是k 为实数,此时应该消去参数k ,得到关于两根的关系式,也就是关于两根的不定方程,再解此不定方程即可。 2.我们知道一元二次方程ax 2+bx +c =0在△=b 2-4ac ≥0时有实数根x =a b 2?±-。所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根,必须△=b 2-4a c 为完全平方数,并且-b ±?为2a 的整数倍.故处理此类问题,常可用判别式来解决。又可细分为两类: (1)先求参数范围。可利用题设参数的范围,直接求解;也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。 (2)再设参数法,即设△=k 2(k 是整数)。当△=k 2为关于原参数的一次式时,用代入法来解;当△=k 2为关于原参数的二次式时,用分解因式法来解. 此外,对有理系数的二次方程有有理根的问题,上述解法也是适用的。 3.韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质,我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题,常用的方法有: (1) 从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程. (2) 利用“当两根为整数时,其和、积必为整数”来解。 4.在含有参数的一元二次方程中,参数和未知数都是用字母表示的,通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元,即将方程看成是以参数为未知数的方程,这种方法就是变更主元法。 (1)当方程中参数的次数为一次时,可将参数直接用未知数表示出来,再利用已知参数的范围或性质来求解。 (2)当方程中参数的次数为二次时,可考虑以参数为主元构造一个二次方程,再运用前述的方法(如利用判别式,韦达定理)来处理。 经典例题解析 例1.(1995年山东省初中数学竞赛试题)k 为什么整数时,方程(6-k )(9

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