高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)

【高考地位】

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

类型一 求三角函数的单调区间

使用情景：一般三角函数类型

解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数,A ω的正负；

第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.

例1 函数cos(2)4

y x π

=-的单调递增区间是（ ）

A ．[k π＋

8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π

]

C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]

D ．[2k π－83π，2k π＋8

π

]（以上k ∈Z ）

【答案】B.

考点：三角函数单调性. 【点评】本题解题的关键是将24x π

-作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数cos(2)4

y x π

=-的单调

递增区间转化为24

x π

θ=

-在区间[]2,2k k πππ-+上递减的.

【变式演练1】已知函数),0)(6

2sin()(>+=ωπ

ωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称

轴，且21x x -的最小值为

2

π

．求函数)(x f 的单调增区间；

【答案】Z k k k ∈++-],6

,

3

[ππ

ππ

.

【解析】

试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求ω，根据公式求此函数的单调递增区间. 试题解析：由题意得,π=T 则1,()sin(2).6

f x x π

ω=∴=+

由222,2

6

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+解得

.,6

3

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππ

ππ

故)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-

],6

,

3

[ππ

ππ

.

考点：1．()?ω+=x A y sin 的单调性；

【变式演练2】已知函数()sin()+(00 )2

f x A x B A π

ω?ω?=+>><

，，的一系列对应值如下表：

x

6

π

-

3π 56π 43

π 116π[来源:ZXXK]

73

π 176π

y

2-

4

2-

4

（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心； 【答案】（1）()3sin 13f x x π??

=-

+ ??

?（2）52 2()66k k k ππππ?

?-+∈????

Z ，+ 1(3k k π

π∈Z)（，）.

（2）当22()2

3

2k x k k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

∈Z ，即52 ()266x k k k ππππ?

?∈-+???

?∈Z ，时，函数()f x 单调递

增．令=(3

x k k π

π-

∈Z)，得=+

(3x k k π

π∈Z)，所以函数()f x 的对称中心为+ 1(3

k k π

π∈Z)（，）． 考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法

类型二 由sin()y A x ω?=+的图象求其函数式

使用情景：一般函数sin()y A x ω?=+求其函数式

解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x 轴交点坐标等；

第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数,,A ω?中一个或两个或三个； 第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数； 第四步 得出结论.

例2 已知函数sin()y A x ω?=+ ),2

,0)(sin(R x x A y ∈π

ω?+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）

（A ）)48sin(4π-π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π+π=x y （D ）)4

8sin(4π

+π-=x y

【答案】D

考点：()?ω+=x A y sin 的图像

【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x 轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得ω的大小；然后观察图像知其振幅A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到φ的大小. 【变式演练3】已知函数()()sin f x A x ω?=+（其中0,0,2

A π

ω?>><

）的部分图象如图所示，则()

f x

的解析式为（ ）

A ．()2sin 3f x x π??

=+

??

?

B ．()2sin 26f x x π??

=+

??

? C ．()2sin 26f x x π??

=- ??

?

D ．()2sin 46f x x π??

=-

??

?

【答案】B 【解析】

考点：由)sin(?ω+=x A y 的部分图像确定解析式。 【变式演练4】函数sin()(0,0,||)2

y A x A π

ω?ω?=+>><

的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）

A ．)61110sin(2π

+=x y B ．)6

1110sin(2π

-=x y

C ．)6

2sin(2π

+=x y D ．)6

2sin(2π

-=x y

【答案】C

【解析】

试题分析：由图像可知最大值为2，所以A=2，周期2223

6T πππω??

=-

=∴= ???，代入点,26π??

???

得

sin 136ππ????

+=∴= ???

，所以函数式为)62sin(2π+=x y

考点：三角函数图像及性质

【变式演练5】已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）

A ．sin()4y x π

=+

B ．3sin(2)4y x π

=+

C. cos()4y x π=+ D ．3cos(2)4

y x π

=+

【答案】C 【解析】

考点：三角函数解析式

【变式演练6】函数sin()(0,0,0)y A x A ω?ω?π=+>><<在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）

A ．2sin()23x y π=-

B ．2sin(2)3

y x π=+ C ．22sin(2)3y x π=+ D ．2sin(2)3

y x π

=-