江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷及答案

2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 龚才权 丁连根 审题人：丁凤桂 石志群

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． （参考公式：柱体体积公式为V Sh =）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1.若复数(2)i a -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ▲ ．

2.已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}A B = ，则A B = ▲ ．

3.某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样 的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．

4.已知双曲线2214x y m -=

的渐近线方程为2

y x =±，则m = ▲ ． 5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．

6.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ．

7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此 点到圆心的距离大于

21，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于4

1

，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ． 8.在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9.已知函数a x x y +-=

22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为

▲ ．

10.已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-≤??

-+≥??+-≥?

，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．

11.

设函数π()π)3f x x =+

和π

()sin(π)6

g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y

轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ?=

▲ ．

12.若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=

则这两条直线的斜率之积为 ▲ ．

13. 若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是

▲ ．

14. 在ABC ?中，D 为边AC 上一点，4,6AB AD AC ===，若ABC ?的外心恰在线段BD 上，则BC = ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）

已知向量1(,

22

=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小； （2）若+=a b b ，求sin θ的值． 16.（本题满分14分）

如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直，BE AE ⊥，点N M ,分别是

CD AE ,的中点．

（1）求证： MN ∥平面BCE ；

（2）求证：平面⊥BCE 平面ADE ．

17.（本题满分14分）

如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ．在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l 、m ，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在

公路l 、m 上，且要求PQ 与圆A 相切． （1）当P 距O 处2百米时，求OQ 的长；

（2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．

18.（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直

线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E

的离心率为

3

5

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD ?面积的最大值．

19.（（本题满分16分）

已知}{

n a ，}{n b ，}{

n c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S +++= ，n *

∈N ，其

中n S 是数列}{n a 的前n 项和， }{

n c 是公差为(0)d d ≠的等差数列． （1）若数列}{

n a 是常数列，2d =，23c =，求数列}{

n b 的通项公式； （2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列}{

n b 是等差数列；

（3）若11a c d k ===（k 为常数，k *

∈N ），n nk b c +

=(2,)n n *≥∈N ，求证：对任意的2,n n *

≥∈N ，数列{

}n

n

b a 单调递减．

20.（本题满分16分）

己知()ln x

f x a x a =--e ，其中常数0a >．

（1）当a =e 时，求函数()f x 的极值；

（2）若函数()y f x =有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：121

1x x a a

<<<<； （3）求证：22

1ln 0x x x x ----≥e e ．

2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学试题(附加题)

21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分． A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）

如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心的割线且交圆O 于B 点，过B 作O 的切线交

CD 于点1

,2

E DE EC =

． 求证：（1）3CA CB =；（2

）CA =．

B ．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵010A a ??=?

???，矩阵020B b ??

=????

，直线04:1=+-y x l 经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线04:3=++y x l ．

（1）求,a b 的值；（2）求直线2l 的方程．

C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l

的极坐标方程为

sin 4

ρθπ??

-= ??

?

（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知P 为椭圆22

1169

:x y C +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．

D ．（本小题满分10分，不等式选讲）

已知不等式2

|1|a b x +≤-对于满足条件12

2

2

=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的

取值范围．

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.(本小题满分10分)

某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种

A

奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品．

（1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；

（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

23.(本小题满分10分)

已知2

()(1)n

f x x x =++（n N *

∈），()g x 是关于x 的2n 次多项式；

（1）若2

3

()()()f x g x g x =恒成立，求(1)g 和(1)g -的值；并写出一个满足条件的()g x 的表达式，无需证明．

（2）求证：对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ， 使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ．

2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学参考答案

一、填空题

1．2 ； 2．{4}； 3．16； 4．2； 5．28； 6．3； 7．

16

3

； 8．64； 9．{1}； 10．[1,7]；

11．89-

； 12．9-或1

9

- ； 13． (,2][5,)-∞+∞ ； 14．. 二、解答题

15. 解：(1) 因为//a b ，所以12sin 2cos 2θθ-

?=，即sin θθ-=，

所以tan θ= 又0πθ<<，所以2

π3

θ=

． ……………７分

(2)因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得2

20+?=a a b ，

又1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a

，cos θθ?=-a b ，

1cos 2θθ=-

-，则π1

sin()064

θ-=-<， ……………10分 又0πθ<<

，πcos()6θ-=

所以ππππππsin[()]sin()cos cos()sin 66i 66n 6s 6θθθθ-+

=-+-=

=8

． ……………14分

16. 证：（1）取BE 中点F ，连接,CF MF ， 又M 是AE 中点，则1

//,2

MF AB MF AB =， 又N 是矩形ABCD 边CD 中点，

所以//,MF NC MF NC =，则四边形MNCF 是平行四边形，

所以//MN CF ，又MN ?面BCE ，CF ?面BCE ，所以MN ∥平面BCE ．…７分

（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE ， 因为AE ?平面ABE ，所以BC AE ⊥，

又BE AE ⊥，BC BE B ?=，所以AE ⊥平面BCE ，

而AE ?平面ADE ，所以平面⊥BCE 平面ADE ． ……………14分 17. 解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为2

2

(1)1x y +-=，

(1)由题意可设直线PQ 的方程为12x y

q

+=，即220qx y q +-=，

(2)q > ，

∵PQ 与圆A

1=，解得8

3q = ，

故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为8

3

百米． ……………5分 （2）设直线PQ 的方程为

1x y

p q

+=，即0qx py pq +-= ，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A

1=，化简得22

q p q =

-，则222

22q PQ p q q q =+=+-，

……8分

令2

()(2)2q f q q q q =+>-，∴222

22(1)(31)()2(2)(2)

q q q f q q q q --+'=-=-- (2)q >，

当2q <<

()0f q '<，即()f q

在上单调递减；

当32q +>

()0f q '>，即()f q

在3()2

+∞上单调递增， ∴()f q

在32q =

PQ 长最短时，OQ

的长为32

百米． 答：（1)当P 距O 处2百米时， OQ 的长为

8

3

百米；（2）当公路PQ 长最短时， OQ 的

长为

32

+ ……………14分 18. 解：（1

）由题意得c a =

2a c c -=

，

解得3,a c ==

，所以4b =，所以椭圆E 的标准方程为22

194

x y +=． ……………4分

（2）设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在，设为

1234,,,k k k k ，则001200,33y y k k x x =

=+-+，00

3400

33

,x x k k y y +-=-=， 所以直线,BD CD 的方程为：00000000

33

(),()x x y x x y y x x y y y +-=-

-+=++，

消去y 得00000000

33

()()x x x x y x x y y y +--

-+=++，化简得3x =， 故点D 在定直线3x =上运动． ……………10分

（3）由（2）得点D 的纵坐标为2

0000000

39

(3)D x x y x y y y y --=++=+，

又

2

200194x y +=，所以22

0994

y x -=-，则20

00000

009354(3)4

D y x y x y y y y y -

-=++=+=-，

所以点D 到直线BC 的距离h 为000059

44

D y y y y y -=-

-=， 将0y y =代入22

194x y +=

得x =± 所以BCD ?

面积0119

224

ABC

S BC h y ?=?=?

22

000112727442224y y y -+=≤?=，当且仅当22

00144

y y -=

，即0y =

故0y =BCD ?面积的最大值为

27

4

． ……………16分 19．解：（1）因为2d =，23c =，所以21n c n =-，

因为数列}{

n a 是各项不为零的常数列，所以12n a a a === ，1n S na =， 则由1122n n n n S c a b a b a b =+++ 及21n c n =-得12(21)n n n b b b -=+++ ， 当2n ≥时，121(1)(23)n n n b b b ---=+++ ，两式相减得43n b n =-，

当1n =时，11b =，也满足43n b n =-，故43()n b n n *=-∈N ． …………4分 （2）因为1122n n n n a b a b a b c S +++= ，

当2n ≥时，11112211n n n n S c a b a b a b ----=+++ ，两式相减得11n n n n n n S c S c a b ---=， 即111()n n n n n n n S a c S c a b ---+-=，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1n n n S d nc nb λλ-+=，

又1(1)

(1)

(1)2

2

n n n n S n λλλ-+--=-=

，所以

(1)

2

n n n n d nc nb λλλ-+=，

即

(1)

2

n n n d c b -+=， 所以当3n ≥时，

11(2)2n n n d c b ---+=，两式相减得13

2

n n b b d --=(3)n ≥， 所以数列}{n b 从第二项起是公差为3

2

d 等差数列；

又当1n =时，由1111S c a b =得11c b =，

当2n =时，由2211(21)13()222b d c d c d b d -=

+=++=+得213

2b b d -=， 故数列}{n b 是公差为3

2

d 等差数列． …………15分

（3）由（2）得当2n ≥时，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1()n n n n S d a b c -=-， 因为n n k b c +=，所以n n b c kd =+，即n n b c kd -=，所以1n n S d a kd -=?，即1n n S ka -=， 所以1(1)n n n n S S a k a -=+=+，

当3n ≥时，11(1)n n S k a --=+，两式相减得 1(1)(1)n n n a k a k a -=+-+，

即11

n n k a a k

-+=

，故从第二项起数列}{n a 是等比数列， 所以当2n ≥时，2

21()n n k a a k

-+=， 221(1)(1)()n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +==+=+-+=+-+=+，

另外由已知条件得1221122()a a c a b a b +=+，又22c k =，1b k =，2(2)b k k =+， 所以21a =，因而21(

)n n k a k -+=，令n d =n n

b a ，则111n n n n n n d b a d a b +++=(1)()(1)n k k

n k k ++=++， 因为(1)()(1)0n k k n k k n ++-++=-<，所以

11n n d d +<，所以对任意的2,n n *≥∈N ，数列{}n n

b

a 单调递减． ……………16分 20. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

（1）当e a =时，()e eln e x

f x x =--，e ()e x f x x

'=-

，

而e

()e x

f x x

'=-

在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '=， 当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，则()f x 在(0,1)上单调递减；

当1x >时，()(1)0f x f ''>=，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 有极小值(1)0f =，没有极大值． …………3分 （2）先证明：当()0f x ≥恒成立时，有 0a <≤e 成立． 若1

0e

x <≤

，则()(ln 1)0x f x a x =-+≥e 显然成立； 若1e x >，由()0f x ≥得e ln 1x

a x ≤+，令e ()ln 1x

x x ?=+，则2

1

e (ln 1)

()(ln 1)x x x x x ?+-'=+， 令11()ln 1()e g x x x x =+-

>，由21()10g x x '=+>得()g x 在1

(,)e

+∞上单调递增， 又因为(1)0g =，所以()x ?'在1(,1)e 上为负，在(1,)+∞上为正，因此()x ?在1

(,1)e

上递减，在(1,)

+∞上递增，所以min ()(1)e x ??==，从而0e a <≤．

因而函数()y f x =若有两个零点，则e a >，所以(1)e 0f a =-<， 由()ln (a

f a a a a a =-->e e)得()ln 2a

f a a '=--e ，则

111

()0e e

a a f a a ''=-

>->->e e e ， 所以()ln 2a

f a a '=--e 在(,)+∞e 上单调递增，所以2

()()330f a f ''>=->->e

e e e ， 所以()ln a

f a a a a =--e 在(,)+∞e 上单调递增，所以

2()()22f a f >=->->e e e e e e 0，则(1)()0f f a <，所以21x a <<，

由a >e 得111111

()ln ln ln 0a a a a f a a a a a a a a a

=--=+->+-=>e e e e e ，则

1(1)()0f f a <，所以111x a <<，综上得121

1x x a a

<<<<． …………10分

（3）由（2）知当a =e 时，()0f x ≥恒成立，所以()ln 0x

f x x =--≥e e e ，

即()ln x

f x x =-≥e e e ，

设()(0)e x x h x x =

>，则1()e x

x

h x -'=，

当01x <<时，()0x ?'> ，所以()g x 在(0,1)上单调递增； 当1x >时，()0h x '<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，

所以()(0)e x x h x x =

>的最大值为1(1)e h =，即1x x ≤e e ，因而2

x x

-≤e e ， 所以2()ln x

x x f x x -=-≥≥e e e e

，即221()ln 0x x f x x x --=--≥e e ． …………16分

附加题参考答案

21.A ．证：（1）∵CD 是圆O 的切线，∴2

CD CA CB =?， 连结OD ，则OD CD ⊥，

∵BE 是圆O 的切线，∴BE ED =， 又12DE EC =

，∴12BE EC =，∴30C ∠= ，则1

2

OD OC =， 而OB OD =，∴CB BO OD OA ===，∴3CA CB =， …………5分

（2）将3CA CB =代入2CD CA CB =?得2

1

3

CD CA CA =?

，故CA =．……10分 21.B . 解：（1）020120000a BA b a b ?

?????

==????????????

设(,)P x y 是1l 上的任意一点，其在BA 作用下对应的点为(,)x y ''， 得1l 变换到3l 的变换公式

{

2x ax y by

'='=，则

240ax by ++=即为直线1:40l x y -+=，则得1

,12

a b ==-． …………5分

（2）0210B ??=-????

，同理可得2

l 的方程为240y x -+=，即240x y --=．………10分

21.C . 解：（1）直线l

的极坐标方程sin 4ρθπ?

?-= ???

sin cos θθ= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=；…………5分

（2）P 为椭圆22

1169x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[)02,α∈π，则P 到直线l

的距离

d =

=，其中4cos 5?=，3sin 5?=，

21.D . 解： 因为2

2

2

2

()(1

12)()4a b a b c +≤++++=，所以2a b +≤，

…………5分

又|1

-|22

x c b a ≤++对任意实数c b a ,,恒成立, 故2

max |-1|()2x a b ≥+=， 解得33≥-≤x x 或 ． …………10分 22. 解：这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为

2163=，B 奖品的概率为4263

=． （1）要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3,4,5，则

则所求概率为3

3

2

4

4

5

55551

212151

()()()()()3333

3243

P C C C =++=

． …………4分

（2）ξ的可能取值为1,3,5，且332223

55121240(1)()()()()333381

P C C ξ==+=，

4414

55121210(3)()()()()333327P C C ξ==+=，

0555

552111(5)()()3381

P C C ξ==+=， …………8分

所以ξ的分布列是：

故随机变量ξ的数学期望E ξ=401381?

+?10275+?1181185

81

=． …………10分

23.解：（1）令1x =，则(1)(1)(1)f g g =，即(1)[(1)1]0g f ?-=， 因为(1)1310n

f -=-≠，所以(1)0

g =；

令1x =-，则23

(1)(1)(1)f g g ????--=-????，即(1)(1)(1)f g g -=-，

因为(1)[(1)1]0g f -?-=，因为(1)1310n

f -=-≠，所以(1)0

g -=；

例如2()(1)()n g x x n *=-∈N ． ……………4分 （2）当1n =时，22()1(1)f x x x x x =++=++，故存在常数01a =，11a =， 使得201()(1)f x a x a x =++．

假设当n k =（k N *

∈）时，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，k a ，

使得221222110121()(1)()()()k k k k k k k k f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ，即

2221222110121(1)(1)()()()k k k k k k k k k x x a x a x x a x x a x x a x ---+-++=+++++++++ ．

则当1n k =+时，

2122()(1)(1)(1)k k f x x x x x x x +=++=++?++

222111011(1)(1)()()k k k k k

k k x x a x a x x a x x a x --+-??=++?+++++++??

11212011110()k k k k k k k k a a x a x a x a x a x a x -+---=++++++++ 212221011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++--+++++++++ 231232122011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++++--+++++++++

231010*********()()()()k k k k a a a x a a a x a a a x a a a x ----=+++++++++++++ 1212112()(2)()k k k k k k k k k k k a a a x a a x a a a x ++-----++++++++++ 2122122321210100()()()k k k k a a a x a a a x a a x a x -+++++++++++ 222122010210()()()()()k k k a x x a a x x a a a x x ++=+++++++++ 21121()()(2)k k k k k k k k a a a x x a a x ++---++++++；

令00'a a =，101'a a a =+，21'm m m m a a a a --=++（2m k ≤≤），11'2k k k a a a +-=+； 故存在与x 无关的常数0'a ，1'a ，2'a ，…，'k a ，1'k a +；使得

222122210121()'(1)'()'()'()'k k k k k k k k f x a x a x x a x x a x x a x +++++=+++++++++ ．

综上所述，对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ，

使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ． …………10分