高考数学导数讲义
导数的定义、运算和运用（一）
考向一：定义（平均变化率瞬时变化率，适当补充极限定义）
【例】函数221y x =+在闭区间[1,1]x +?内的平均变化率为
A.12x +?
B. 2x +?
C. 32x +?
D. 42x +?
【解析】∵f （1+△x ）=2（1+△x ）2+1=2（△x ）2
+4△x+3，f （1）=2，∴该函数在区间
[1，1+△x]上的平均变化率为=??+?=?-?+=??x x x x f x f x y 42)1()1(242x +? 【例】若'0()3f x =-，则000()(3)
lim h f x h f x h h
→+--=（ ）
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12-
【解析】
0000000
00()(3)()(3)()(3)
lim
lim 44lim 44h h h f x h f x h f x h f x h f x h f x h h h h
→→→+--+--+--=?='04()12f x ==-。故选D 。
【练1】若2)(0='x f ，则k
x f k x f k 2)
()(lim
000--→等于（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
1
【练2】若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。（ ）
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
【解析1】根据导数的定义知
k x f k x f k 2)()(lim
000
--→=000()()1lim 2k f x k f x k -→----=01
()2
f x '-=-1
【解析2】
()()()()
()12-443lim 43lim 0000000
='=--+=--+→→x f h
h x f h x f h h x f h x f h h
考向二：导数几何意义（在/过某点切线）
【例】曲线3
1y x =+在点(1,0)-处的切线方程为
A ．330x y ++=
B ．330x y -+=
C ．30x y -=
D ．330x y --=
【解析】∵'23y x =，∴'13x k y
=-==，由点斜式知切线方程为：()31y x =+，即
330x y -+=.
【例】过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为（ ） A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x
【解析】设切点为3000(,2)x x x -，因为232y x '=-，所以切线的斜率为
020|32x x k y x ='==-，所以切线方程为320000(2)(32)()y x x x x x --=--，又因为切
线过点(1,1)-，所以3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--即32002310x x -+=，注意到
(1,1)-是在曲线32y x x =-上的，故方程32002310x x -+=必有一根01x =，代入符
合
要
求
，
进
一
步
整
理
可
得
32002(1)3(1)0
x x ---=即
2000002(1)(1)3(1)(1)0x x x x x -++--+=，也就是2
000(1)(21)0x x x ---
=即200(1)(21)0x x -+=，所以01x =或01
2
x =-，当01x =时，20321k x =-=，切线
方程为(1)1y x --=-即20x y --=；当012x =-时，2
03532244
k x =-=-=-，
切线方程为5
(1)(1)4
y x --=--即5410x y +-=
【例】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,
ln ,1,x x x x -<
>?
图象上点P 1，P 2处的切线，l 1
与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
【练1】已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 .
【练2】曲线2)(3-+=x x x f 的一条切线平行于直线014=--y x ，则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是（ ） A ．(1,0)
B ．(2,10)--
C ．(1,4)--
D ．(2,8)
【练3】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．
【解析1】将()ln f x x x =求导得()ln 1f x x '=+，设切点为00(,)x y ，l 的方程为000(ln 1)()y y x x x -=+-，
因为直线l 过点)1,0(-，所以0001(ln 1)(0)y x x --=+-.又000ln y x x =，所以0000001ln (ln 1),1,0x x x x x y --=-+∴==.所以切线方程为1-=x y .
【解析2】设切点()00,y x P ，则()13'2
+=x x f ，于是()13|'2
00+===x x f K x x 切，因
为切线平行于直线014=--y x ，所以4132
0=+x ，即10±=x .则()()4,10,1--或P ，
切线方程为：()14-=x y 或()144+=+x y 分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为()12,2--或()8,2
【解析3】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=
，对ln(1)y x =+求导得1
1
y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点
222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得
()111
1
ln 2()y x x x x -+=
-，由点222(,)P x y 在切线上得2221
ln(1)()1
y x x x x -+=
-+，这两条直线表示同一条直线，所以12
221
2111
21
ln(1)ln 1x x x x x x ?=?+??+?+=+?+?
，解得1
11
11,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 考向三：常用函数导数与导数的四则运算
【例】函数1ln 1ln x
y x
-=+的导数是 （ ）
A. 22(1ln )x -+
B.2
)ln 1(2
x x + C.22(1ln )x x -+ D .21(1ln )x x -+
【解析】1ln (1ln )22
1,1ln 1ln 1ln x x y x x x
--++=
==-++++
所以()
()221
0222(1)().1ln 1ln 1ln x y x x x x -?
'''=-+==-+++ 【例】若2
()2'(1)f x xf x =+，则'(0)f 等于 （ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 0
【解析】∵2
()2'(1)f x xf x =+，∴()2'(1)2f x f x '=+，∴(1)2
f '=-，∴ ()24f x x '=-，∴ (0)4f '=-
【练1】已知函数()2
x
f x x =
-，则(1)f '= ( ) A ．-1 B ．-3 C.2
D ．-2
【练2】已知函数),3('2sin )(πxf x x f +=则=)3
('π
f （ ）
A.21-
B.0
C.2
1
D.23
【练3】设曲线1
1
x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 等于 （ ）
A. 2
B.
12 C. 1
2
- D. 2- 【练4】等比数列{}n a 中， 4,281==a a ，函数)())(()(821a x a x a x x x f ---= ，
则=
)0('f
A.6
2 B. 9
2 C. 12
2 D. 15
2
【解析1】根据题意，由于函数
22
22()'()'(1)22(2)(2)x x x f x f x f x x x --=
∴==-∴=---- 【解析2】注意到)3(πf '是常数,所以)3
(2c o s )(πf x x f '+=',令3
π
=
x 得
)3(23cos )3(πππf f '+='2
1)3(-='?πf 【解析3】由()()()
22
1112111x x x y y x x x --++'=
?==----曲线1
1x y x +=-在点(3,2)处的切线的斜率为1
2
k =-
; 又直线10ax y ++=的斜率为a - ,由它们垂直得()1
122
a a -?-=-?=- 【解析4】因为
128
128()()()()+x[()()()]
f x x a x a x
a x a x a x a ''=------ , 所以4412
128123818(0)...()82()()()=f a a a a a a a a a '=---=== .
考向四：导数运用： 函数图像
【例】函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是 ( )
A
B
C
D
【解析】先根据导函数f'（x ）的图象得到f'（x ）的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项．由于原函数都是递减区间可知导数都小于零，故排除A,B,C,只能选D.
【例】已知函数()f x 的定义域为[1,4]-，部分对应值如下表，
()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示.当12a <<时，函数()y f x a =-的零点
的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】根据导函数图象，知2是函数的1极小值点，函数()x f y =的大致图象如图所示，由于()()230==f f ，21< 【练1】定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =,'()f x 为()f x 的导函数，已知'()y f x =的图象如右图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<,则 2 2 b a ++的取值范围是（ ） A ． （-∞, -3） B ．（-∞, 1 2 ）∪（3,+∞） C ．1(,3)2 D ．11(,)32 【练2】在同意直角坐标系中，函数2 2322()2 a y ax x y a x ax x a a R =-+ =-++∈与的图像不可能的是（ ） 【练3】已知函数32 11()22132 f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限， 则实数a 的取值范围是 ． 【解析1】由导数图像可知，()0-， ∞函数减，()∞+，0函数增，()12<+b a f ，即()()42f b a f <+，即420<+ ???>+<+>>0 24200 b a b a b a ，如图： 22++a b 表示可行域内的点到()22--， D 连线的斜率的取值范围2 1 ,3==BD CD k k ,所以取值范围为?? ? ??321， 【解析2】当0a =时，两函数图像为D 所示，当0a ≠时，由22 3410 y a x ax '=-+=得： 1x a =或13x a =，2 2a y ax x =-+的对称轴为12x a =.当0a <时，由11123a a a < <知B 不对. 当0a >时，由111 23a a a >>知A,C 正确. 【解析3】'()f x =ax 2 +ax-2a=a(x 2 +x-2)=a(x+2)(x-1)，显然a ≠0，①：若a<0,则f(x)在(,2-∞-)，(1,+∞)上单调递减，在(-2,1)上单调递增，因此若要使f(x)图像过四 个象限，需5(1)10636 16516(2)10 3f a a f a ?=+>???-<<-??-=+ ；②：若a>0,则f(x)在(,2-∞-)， (1,+∞)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，因此若要使f(x)图像过四个象限，需 5(1)106 16(2)10 3f a a f a ? =+ ?-=+>?? ，综上，a 的取值范围是(163,56--)． 单调性极值最值零点 【例】函数2 1ln 2 y x x = -的单调递减区间为（ ） A ．(1,1]- B.(0,1] C.[1,)+∞ D.(0,)+∞ 【解析】根据题意，对于函数21ln 2y x x =-，由于211(1)(1) 'x x x y x x x x --+=-= =（x>0），可知，当y ’<0时，则可知0 【例】若函数()21 x a f x x +=+在1x =处取极值，则a ＝________. 【解析】因为()21x a f x x +=+，所以()()()()222 ()11(1)x a x x a x f x x ''+?+-++'=+＝()() 22 211x x x a x +--+＝ () 22 21x x a x +-+ 由题设，()10f '=所以，120,3a a +-=∴= 【例】若函数f (x )＝x －1 3 sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．－1,1] B.????－1，13 C.????－13，13 D.? ???－1，－1 3 【解析】法一(特殊值法)：不妨取a ＝－1，则f (x )＝x －1 3 sin 2x －sin x ， f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－2 3<0，不具备在(－∞，＋∞)单调 递增，排除A ，B ，D.故选C. 方法二(综合法)：∵函数f (x )＝x －1 3 sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增， ∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－2 3 (2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －5 3在(－∞，＋∞)恒成立． 当cos x ＝0时，恒有0≥－5 3 ，得a ∈R ； 当0 3t 在(0,1]上为增函数， 得a ≥f (1)＝－1 3 ； 当－1≤cos x <0时，得a ≤43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，f (t )＝43t －5 3t 在－1,0)上为增 函数，得a ≤f (－1)＝1 3 .综上，可得a 的取值范围是????－13，13，故选C. 【例】已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 【练1】已知13)(2 3+-+=mx x x x f 在]2,2[-为单调增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3-≤m B ．0≤m C ．24-≥m D ．1-≥m 【练2】若函数21()ln 12 f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ． 【练3】关于x 的方程32 30x x a --=有三个不同的实数解，则a 的取值范围是 __________. 【练4】已知函数f (x )＝x － 1 x ＋1 ，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈0,1]，存在x 2∈1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 【练5】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．?x 0∈R ，f (x 0)＝0 B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形 C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减 D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【练6】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，单调递减，则mn 的最大值为 A.16 B.18 C.25 D.812 【解析1】依题意有063)('2 ≥-+=m x x x f 在]2,2[-恒成立，即x x m 632+≤恒成 立，即min 2 )63(x x m +≤，当1-=x 时，3)63(min 2 -=+x x ， 故m 的取值范围是3-≤m 【解析2】2141(21)(21) ()2222x x x f x x x x x -+-'=-==,所以函数()f x 的极值点为1 2 ，又函数()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，所以10112a a ≤-<<+，解之得3 12 a ≤<. 【解析3】设32()3f x x x =-，则2 '()36f x x x =-，令'()0f x >，得2x >或0x <，令'()0f x <，得02x <<，∴()f x 在(0,2)上单调递减，在(,0),(2,)-∞+∞上单调递增，∴()f x 在0x =取得极大值0，在2x =取得极小值4-，画出如下()f x 大致的 示意图，可得，若要保证方程32 30x x a --=有三个不同的实数解，则a 的取值范围是 (4,0)- 【解析4】由于f ′(x )＝1＋ 1 x ＋1 2 >0，因此函数f (x )在0,1]上单调递增， 所以x ∈0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋5 2x ，则要使a ≥h (x )在x ∈1,2]能成 立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝9 4， 故只需a ≥9 4 . 【解析5】：基本法：由三次函数的值域为R 知，f (x )＝0必有解，A 项正确；因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象可由y ＝x 3平移得到，所以y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确；若y ＝f (x )有极值点，则其导数y ＝f ′(x )必有2个零点，设为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则有f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3(x －x 1)(x －x 2)，所以f (x )在(－∞，x 1)上递增，在(x 1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增，则x 2为极小值点，所以C 项错误，D 项正确．选 C. 【错误解析6】由()f x 单调递减得：()0f x '≤，故()280m x n -+-≤在122?????? ，上 恒成立。而()28m x n -+-是一次函数，在122?????? ，上的图像是一条线段。故只须在两 个端点处()10,202f f ?? ''≤≤ ??? 即可。即 ()()()() 1 280,12 2280,2m n m n ?-+-≤???-+-≤? ， 由()()212?+得：10m n +≤。所以，2 252m n mn +?? ≤≤ ??? . 选C 。 【错误原因】mn 当且仅当5m n ==时取到最大值25，而当5m n ==，,m n 不满足条件()()1,2。 【正确解析6】同前面一样,m n 满足条件()()1,2。由条件()2得：()1 122 m n ≤ -。于是，()2 11121218222n n mn n n +-?? ≤-≤= ??? 。mn 当且仅当3,6m n ==时取到最大 值18。经验证，3,6m n ==满足条件()()1,2。故选B 。 简单函数构造 【例】函数)(x f 的定义域为R ，3)1(=-f ，对任意R ∈x ，3)(' A ．)1,1(- B ．),1(+∞- C ．)1,(--∞ D ．),(+∞-∞ 【解析】设()()()63+-=x x f x g ，()()03<-'='x f x g 所以()x g 为减函数，又 ()()0311=--=-f g 所以根据单调性()0>x g 的解集是{}1- 【例】已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，不等式 ()()0f x x f x '+<成立， 若0.30.33(3)a f =，b (log 3)(log 3)f ππ= ， 3311 (log )(log )99 c f =，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >> 【解析】设()()()' ()()00g x xf x f x xf x g x '=+<∴< 0x ∴<时函数()g x 递减， 函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是偶函数0x ∴>时()g x 递增， 0.33 1 log 3log 39 π>> ，结合图像可知c a b >> 【例】已知函数对定义域 内的任意都有 = ，且当 时其导函 数满足若，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【解析】由题意得，因为函数对定义域内的任意都有 =，所以 函数 关于对称，又当时其导函数满足 ，所以当 时，，所以 在 上单调递增；当 时，，所 以 在 上单调递减，因为，所以 ，所以 ，又 在 上单调递 增，所以 【例】设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈?，有2 )()(x x f x f =+-，在) ,0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ） A ． ]2,2[- B ． ),2[+∞ C ． ),0[+∞ D ．(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】设()()2 12 g x f x x =- 因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+= ， 所以，()()()()()221122g x g x f x x f x x -+=---+-=()()2 0f x f x x -+-= 所以，函数()()2 12 g x f x x =-为奇函数；又因为，在),0(+∞上x x f <')(， 所以，当时0x > ，()()0g x f x x ''=-< 即函数()()2 12 g x f x x =-在),0(+∞上为 减函数， 因为函数()()2 1 2 g x f x x = -为 奇函数且在R 上存在导数，所以函数()()2 12 g x f x x =- 在 R 上 为 减 函 数 ， 所 以 ， ()()()()()2 21144422 g m g m f m m f m m --=-- --+ ()()()484f m f m m =----0≥ 所以，()()442g m g m m m m -≥?-≤?≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞故选B. 【练1】若)(x f 的定义域为R ，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1)-+∞， C ．(,1)-∞- D ．(,)-∞+∞ 【练2】设错误！未找到引用源。是定义在R 上的奇函数，且错误！未找到引用源。, 当x>0时，有2 ()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是 （ ） A.(2,0) ∪(2,+∞) B.(2,0) ∪(0,2) C.(∞,2)∪(2,+∞) D.(∞,2)∪(0,2) 【练3】已知实数,,,a b c d 满足11 12=--=-d c b e a a 其中e 是自然对数的底数，则 22()()a c b d -+-的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．18 【练4】设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02 f π =， 0x π<<， ()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6 f x f x π <的解 集为 ． 【解析1】设()()24F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，因为2)(>'x f 恒成立，所以()()20F x f x ''=->，即函数()F x 在R 上单调递增．因为(1)2f -=，所以 (1)(1)2(1)4F f -=----2240=+-=．所以有()()240F x f x x =-->，即 ()()24(1)F x f x x F =-->-．所以1x >-，即不等式的解集是(1)-+∞，，故选B ． 【解析2】不等式的解集就是()0>x f 的解集，由 2 ()()0 xf x f x x '-<恒成立得， ()0<' ?? ? ??x x f ,函数()x x f 为单调递减函数，0)2(=f ，当0>x 时，20< ()0>x f ，故选D ． 【解析3】实数d c b a ,,,满足 11 12=--=-d c b e a a ，a e a b 2-=∴， c d -=2 因此点()b a ,在曲线x e x y 2-=上，点()d c ,在曲线x y -=2上，()()2 2 d b c a -+-的 几何意义就是曲线x e x y 2-=到直线x y -=2上点的距离最小值的平方，求曲线 x e x y 2-=平行于直线x y -=2的切线， x e y 21-='，令121-=-='x e y ，得0=x ，因此切点()2,0-，切点到直线x y -=2的距离221 1220=+--= d ，就是两曲线的最小距离，()()22d b c a -+-的最小值 82=d 【解析4】令()() sin f x g x x = .因为()f x 在(,0)(0,)ππ-U 上为奇函数,所以可得()()()()() ()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x ---====--.即在(,0)(0,)ππ-U 上函数()g x 为偶 函数.()()()2'sin cos 'sin f x x f x x g x x -= , 当 0x π<<时 ()sin ()cos 0f x x f x x '-<,所以当0x π <<时, ()()()2 'sin cos '0sin f x x f x x g x x -= <.即在()0,π上函数()g x 单调递增. 因为偶函数图像关于y 轴对称,所以在(),0π-上函数()g x 单调递减. 将()2()sin 6f x f x π<变形可得()6sin sin 6 f f x x ππ?? ? ??<,即()6g x g π?? < ??? .根据()g x 的单调 性及奇偶性可得6 6 x π π -<< 且0x ≠.即所求解集为(,0)(,)66 π π π- . 考向五：导数实际应用题 【例】用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方 形，然后把四边翻转90 角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？ 【解析】设水箱底边长为cm x ，则水箱高为60(cm)2 x h =- ． 水箱容积3 2 2 3()60(0120)(cm )2 x V V x x h x x ===-<<． 2 3()1202 V x x x '=- ． 令()0V x '=，得0x =（舍）或80x =． 当x 在(0120)， 内变化时，导数()V x '的正负如下表： 因此在80x =处，函数()V x 取得极大值，并且这个极大值就是函数()V x 的最大值． 将80x =代入()V x ，得最大容积3 2 3808060128000(cm )2 V =?-=． 【练1】一火车每小时煤消耗的费用与火车行驶的速度之立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗煤之价格为40元，其他费用每小时要200元，问火车行驶的速度如何时，才能使火车从甲城开往乙城的费用最少。（已知火车的最高速度为每小时100千米） 【练2】某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x 米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持21()63a x x +米的距离，其中a 为常数且1 12 a ≤≤，自第 一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y (秒) （1）将y 表示为x 的 函数；（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度． 【解析1】设甲、乙之间的距离为a 千米，每小时消耗的煤的费用与火车行驶的速度之间的比例系数为k ，火车行驶速度为x 千米/小时，总费用为y 元。则 ()32200200a y kx a kx x x ??=+=+ ?? ? 。由题意得：3 4020k = ，∴1200k =，∴21200200 y a x x ?? =+ ???(0100)x <≤， 令'()0f x = 得x =，经检验， 当x =时函 数取极 小 值 ( )20 f = 。 又( 10 0)(10 0)20f a a => ，当x =度为/小时，火车从甲城到乙城的费用最省。 【解析2】（1）y =21 21501055()(551) 63a x x x +?++- = 27001 918.(020,1)2 ax x a x ++<≤≤≤． （2）当 3 14 a ≤≤时，y ≥1818 = 当且仅当2700 9ax x =，即x 即当x min 18y = 当 1324a ≤<时，22700 90y a x '=-+<，故y = f (x )在(0，20]上是减函数， 故当x = 20时，min 2700 1801820 y a = ++=153 + 180a 含参导数讨论单调区间 【例】已知1 ()2(2)ln f x ax a x x =--+（R a ∈），讨论)(x f 的单调区间 【解析】2 22/ ) 12)(1(1)2(2)(x x ax x x a ax x f --=++-= ）上单减，）上单增，（，在（∞+<21 210)(,0x f a 2/)12()(,0x x x f a --= =，()f x 在10,2?? ???上单增，在1,2?? +∞ ??? 上单减 02a <<，()f x 在10,2?? ???和1,a ?? +∞ ??? 上单增，在11,2a ?? ???上单减 2a =，()f x 在()0,+∞上单增 2a >，()f x 在10,a ?? ???和1,2?? +∞ ??? 上单增，在11,2a ?? ???单减 【例】设0>a ，讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调区间 【解析】 【例】(1)讨论函数x x 2f (x)x 2 -= +e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (2)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（ ）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域． 【解析】⑴证明：()2e 2x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++?? ∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时， ()2e 0=12 x x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()() 2 4 e 2e x x a x x ax a g x x ----'= ()4 e 2e 2x x x x ax a x -++= ()3 2 2e 2x x x a x x -??+?+ ?+?? = [)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2 x x f x x -=?+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得 2e 2 t t a t -?=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增 ()() () 2 22e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++= = = + 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2 e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增∴()()21e 24h a k t ?? =∈ ??? ，． 【练1】已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x ?1|，x 2?2ax +4a ?2}， 其中min{p ，q }=,>p p q q p q.≤??? ，， （1）求使得等式F （x ）=x 2?2ax +4a ?2成立的x 的取值范围； （2）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ii ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）. 【练2】已知函数)0(ln )2()(2 <--+=a x x a ax x f ，．讨论()f x 的单调性 【练3】设1∈=x R x A ，}6)1(32|{2 a x a x R x B ++-∈=， B A D = （1）求集合D （用区间表示） （2）求函数ax x a x x f 6)1(32)(2 3 ++-=在D 内的极值点 【练4】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >， 记|()|f x 的最大值为A ． （1）求()f x '；（2）求A ；（3）证明|()|2f x A '≤． 【解析1】 （2）（i ）设函数()21f x x =-，()2 242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以，由()F x 的定义知()()(){} min 1,m a f g a =，即 ( )20,3242,2a m a a a a ?≤≤?=?-+->+?? （ii ）当02x ≤≤时， ()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==， 当26x ≤≤时， ()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=． 所以，()348,34 2,4a a a a -≤ ． 【解析2】212(2)1()2(2)+--'=+--=ax a x f x ax a x x =(1)(21) +-ax x x 当11 22 - 110,+)2（，）（，-∞a 当11 ==22 -?-a a 时，()f x 在+（0，）∞单减 当11 022 ->?>>-a a 时，()f x 的增区间为11(,)2-a ，减区间为
相关文档
- 高考导数分类汇编
- 2014年高考数学(理)试题分项版解析：专题03 导数与应用(分类汇编)Word版含解析
- 2021高考数学分类汇编：导数及其应用
- 2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
- 2016-2020年高考数学分类汇编数学导数
- 17年高考数学全国卷导数压轴题
- 2019年高考数学试题分类汇编函数与导数理
- 2019年全国高考数学真题导数汇编(全)教师版
- 2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
- 2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题16 函数与导数(2)(解析版)
- 高考数学解析分类汇编(2)---导数与积分 理
- 2012年高考数学真题汇编3 导数 理( 解析版)
- 最新-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)
- 2011-2018高考数学导数分类汇编(理)
- 高考文科数学试题分类汇编导数
- 2019高考数学试题汇编之导数及其应用(原卷版)
- 新课标高考数学导数分类汇编文
- 2011-2019高考数学导数分类汇编(文)
- 2019年高考数学理科数学 导数及其应用分类汇编
- 高考数学文真题分类汇编导数及其应用Word版含