北师大版八年级上册数学知识清单

八年级上数学知识清单

第一章

勾股定理

知识点一：勾股定理

已知直角三角形可以得到三边的关系

1 、内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即在直角三角形中，若 a ,b 为直

角边， c 为斜边，那么 a

2 b

c 2 .（较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦）

2 2

、应用勾股定理时，这个三角形必须是直角三角形，而且只能在同一直角三角形中，才能 利用该定理，已知两边长求第三边边长. 、勾股定理的变形：在 Rt ABC 中， C 90 ,

A ,

B ,

C 的对边分别为 a ,b ,c ，则

3

a 2 c c

2 b 2 ( c )b ( c b

2 2 a 2

( c a )( c

a )

c a 2 b 2 ， b c 2 a 2 ， a c 2 b

2

4 、遇到直角三角形中的线段求值问题时，首先想到勾股定理.其他三角形中求边长的值时， 应添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，用勾股定理解决. 、折叠问题要灵活设未知数 x ，运用勾股定理求解. 5

1 2

例：在 Rt

ABC 中， C 90 ,BC 5, AB 13，则 AC

解析：∵在直角三角形中，∴由勾股定理可得：

AC 2

BC 5 13 2 AB

13

144 即 AC 12(负舍，因为边长是正数)

2

AC 2 2

2 即 2

2 5 2 ∴ AC 注：一定要明确谁是直角边，谁是斜边，一定不要弄错。 知识点二：勾股定理的验证

运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①

图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

1

方法一：4S S S正方形ABCD，即4 ab (b a)

2 c2 ，化简可得a 2 b c

2 ．

2

正方形EFGH 2

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形

1

的面积与小正方形面积的和为S 4ab c

2 2ab c ，大正方形面积为

2

2

S (a b)2 a 2 2ab

b2

所以a 2 b 2 c .

2

1 1 1

2

方法三：S梯形 2 (a b )(a b) ，S梯形 2S ADE S ABE 2

ab

2

c ，两式相等化简得证.

2

知识点三：利用勾股定理解决面积问题

∵

∴

分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，且 C 90

三个半圆面积之间的关系为：S S S

1 2 3

∵

∴

分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，且 C 90

三个半圆面积之间的关系为：S S S

1 2 3

∴阴影部分的面积S = S S S S S

ABC 3 ABC

阴 1 2

∵

∴

分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，且 C 90

三个正方形面积之间的关系为：S S S

2 3 1

∵分别以直角三角形三边为边向外作三个等边三角形（或等腰直角三

C 90

角形或含30 的直角三角形），且

∴三个等边三角形（或等腰直角三角形或含30 的直角三角形）面积

之间的关系为：S S S

1

2 3

知识点四：勾股数

a 2

b 2 c2 中，a,b,

c 为正整数能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即

a,b,c为一组勾股数.

时，称

a 2

b 2 c2 ；（2）必须是正整数，二者缺一不可.

注：1、勾股数必须满足：（1）

2 3 4、勾股数同时扩大相同的倍数，所得新数仍是勾股数.

、常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、1.

4 、用含字母的代数式表示勾股数：n 2 1, 2n,n 1（n 2, n 为正整数）；

2

2n 1, 2n 2 2n,2n 2 2n 1（n 为正整数）；

m

2 n2 ,2mn,m 2 n （m n, m ，n 为正整数）

2

已知三角形三边中有两边的平方和等于第三边的平方可以

得到此三角形为直角三角形

知识点五：勾股定理的逆定理

1 、内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形.

若：在ABC中三边满足a

a 2

b 2 c2 ，可以得到三角形为直角三角形，且角C 为直角.

b2 ，可以得到三角形为直角三角形，且角B 为直角.

a2 ，可以得到三角形为直角三角形，且角A 为直角.

在ABC中三边满足 2 c2

在ABC中三边满足c

2 b2

2 、运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；

2）计算另两边的平方和；

（

（

3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.

a 2 b2 与长边的平方c2 进行比较：

3 、两短边的平方和

a a 2

2

b

b

2

2

c2 ，则此三角形为直角三角形；若a

c2 ，则此三角形为钝角三角形；

2 b c2 ，则此三角形为锐角三角形；

2

若

若

4 、勾股定理与勾股定理的逆定理

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

例：判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：

在ABC中，AB 12, B C 16, A C 20

；

解：∵在ABC中，AC 2 20 2 400, AB 2 BC 2 12 2 16 400

2

AB 2 BC 2 AC2 ，所以ABC是直角三角形且 B 90

∴

知识点六：勾股定理的应用

1 、几何体表面最短距离问题：化曲面为平面

思路是：将几何体表面展开，变为平面展开图中两点之间的最短距离，从中抽象出直角三角

形，运用勾股定理进行解题.

常见的是（1）圆柱的展开：

情境一：蚂蚁在 A 点想吃 B 点的食物，沿表面爬行，它爬行的最短距离为多少？

将圆柱展开，连接A、B 两点，在直角三角形

ABC 中求出AB 的长度即为最短距离.

情境二：将一根绳子从 A 点出发绕圆柱一周到 B 点，则绳子的最短长度为多少？

将圆柱展开，连接A、B 两点，在直角三角形

ABC 中求出AB 的长度即为最短长度.

（2）长方体的展开

情境：蚂蚁从 A 点沿长方体表面爬到 B 点，爬行的最短距离是多少？有 3 种情况：

①③前面和上面：

左面和上面：

②前面和右面：

在直角三角形 ABC 中，用勾股定理分别求出 AB 的长，然后比较这 3 种情况中 AB 的值的大小，最小的 AB 的值即为最短距离.

2 、其他类型的实际问题：和最小与差最大

和最小：（1）在直线l 上取点 P，使得 AP+BP 的值最小（A，B 两点在直线l 的同侧）

方法是：过 A（或 B）作点 A 关于直线l 的对

称点 A ，连接 A B 交直线l 于点 P，点 P 即为

11

所求的点，即 AP+BP 最小值 A B

1

（

2）在直线l 上取点 P，使得 AP+BP 的值最小（A，B 两点在直线l 的异侧）

方法是：直接连接 AB 交直线l 于点 P，点 P 即

为所求的点，即 AP+BP 最小值AB

AP BP

差最大：（1）在直线l 上取点 P，使得的值最大（A，B 两点在直线l 的同侧）

方法是：连接 AB 并延长交直线l 于点 P，点 P

AP BP

最大值AB

即为所求的点，即

（

2）在直线l 上取点 P ，使得 AP

BP 的值最大（A ，B 两点在直线l 的异侧）

方法是：过 A （或 B ）作点 A 关于直线l 的对称点 A ，连 1 接 A B 并延长交直线 l 于点 P ，点 P 即为所求的点，即 1

AP BP 最大值 A P BP A B

1 1 第二章

实数

知识点一：实数的概念及分类

1

、实数的分类：有理数和无理数统称为实数 正有理数

零 有理数

无理数

有限小数和无限循环小数 无限不循环小数

整数和分数统称为有理数

实数

负有理数 正无理数

负无理数

2

、无理数：无限不循环小数叫做无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”，归纳起来有三类： 7 3

, 2 等；

（1）开方开不尽的数，如 （ 2）有特定意义的数，如圆周率 π，或化简后含有 π 的数，如π

+8 等；

3

（3）有特定结构的数，如 0.1010010001…等； 知识点二：实数的倒数，相反数和绝对值 1

、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）， 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，即实数 a 的相反数为 a .如果

a 与

b 互为相反数，则有 a b 0， a b ，反之亦成立.

2

、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（ a 0 ）.零的绝对值是

它本身，也可看成它的相反数，若 a a ，则 a 0；若 a a ，则 a 0 .

3

、倒数 如果 a 与b 互为倒数，则有 ab 1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和 1.零没有倒数.

4

、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用. 5

、无理数的估算：用夹逼法 知识点三：算术平方根，平方根和立方根

、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 2

x a ，那么这个正数 x 就叫

1 做 a 的算术平方根. 记作“ a ”，读作根号 a .即 x a .

特别地，0 的算术平方根是 0.

例：因为3

2

9 ，所以9的

算术平方根是3

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，负数没有算术平方根.

、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x

2 a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平

2 方根（或二次方根）. 记作“

a ”，读作“正、负根号 a ”. 即 x

a .

性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. （

2） a

0时， a 表示 a 的算术平方根； a 表示 a 的平方根.

（

3）因为负数没有平方根，所以被开方数 a 0.如 x 3 中必有 x

3 0即 x 3.

a ,a 0 （ 4） (

a )

2

a a 0) ， a ( 2 a

a ,a 0

开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.

a

例：因为3

2

9, (3) 9，所以9

2 的平方根是

3

注意： a 的双重非负性：

a

、立方根: 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a ，即

3

x a ，那么这个数 x 就叫做 a 的立

3 方根（或三次方根）. 记作 ，读作“三次根号 ” 即 x 3

a 例：因为( 2)

3

8 ，

3 a a . 性质：（1）一个正数只有一个正的立方根；一个负数只有一个负的立方根； 所以 8 的立方根是 2

零的立方根是零. 简记为：唯一性，同号性 3

a

3

a 3 a 3

a

，

( 3

a ) 3 a ,( 3 a ) a

3 （2） ， （3）当两个数相等时，这两个数的立方根也相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这 两个数也相等.即若 a

b ，则 3

a

3

b ；若 3 a

3

b ，则

.

a

b

（

4）平方根 a 中的 a 的取值必须是非负数（即 a 0），而立方根 3

中的 的取值为任

a a

何数，即正数，负数，零均可. 知识点四：实数大小的比较

1

、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示 的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 、实数大小比较的几种常用方法 2

（1）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较法：设 a ,b 是实数

a b 0 a b , a b

a

b ,

a b 0 a b

a

a a （ 3）求商比较法：设 a ,

b 是两正实数，

1 a

b ; 1 a

b ; 1 a

b ;

b

b

b

a b a b （ 4）绝对值比较法：若 a ,b 是两负实数，则 ，若 a ,b

是两正实数，则

a b a b

. 5 ） 平 方 法 ： 设 a ,b 是 两 负 实 数 ， 则 a b

a b ， 设 2 2

a ,

b 是 两 正 实 数 ， 则

（ a 2 b a b ，

2

知识点五：非负数的性质应用

1 、在实数范围内，正数和零统称为非负数.

常见的非负数：（1）任意实数 a 的绝对值是非负数，即 a

0 ；

（ 2）任意实数 a 的平方（偶次方）是非负数，即

a 2 0 （ a 2n 0,n 为正整数）；

（

3）任意非负数 a 的算术平方根是非负数，即 a 0( a 0).

2

、非负数的性质 （1）若两个非负数的和为 0，则这两个数一定都为 0，常见以下几种形式：

a 0

b 0

a 0

b 0 a 0

b

，则 0 ； 若 a b

0 ，则 .

a

a 2 2

b 2

0 ，则 ； 若 a 若 b 0 a 0 b 0

a 0

a 0 ； 若 a

b

0，则 .

b

0，则 ； 若 a

2

b

0 ，则 若 b 0

b 0

推广为 n 个非负数之和为 0，则这 n 个非负数一定都为 0. （ 2）非负数有最小值，最小值是 0. 3）有限个非负数之和仍然是非负数.

（ 知识点六：二次根式的概念与性质 1

、二次根式：形如 a ( a 0) 的式子叫做二次根式，其中符号“

次根号下的数叫做被开方数.

注：（1）从形式上看，二次根式必须有二次根号，如 5, x

1, a b 等.

”叫做二次根号，二

a a

中，被开方数 可以是一个具体的数字，也可以是代数式. （ （ （ 2）二次根式 3）二次根式与算术平方根有着内在的联系， a ( a 0) 就表示 a 的算术平方根.

4）形如b a

0 的式子表示b 与 a 的乘积，当b 为带分数时，要写成假分数.

a a a a 0

，即被开方数是非负的，所以，当 a 0

2

、在二次根式 中，要求字母 必须满足条件 a 时，二次根式 时，二次根式 有意义，当 a

无意义.

3 、最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开

3

0 2 方数不含能开得尽方的因数或因式.（如 2, , 3 ） 10 a

化成最简二次根式的一般方法：

（1）将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 如： 8

4 2 4 2

2 2 ，x 2 y x y x y x y (x 0, y

0)

2

（ 2）化去根号下的分母

若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数 ① 1 4 3

4 3 2 2 3 3 3 2 3 3

如： 1

3

3 ② 若被开方数含有小数，应先将小数化为分数 9 9 3 3 10 10 10 3 10

10

如： 0.9

10

10

10

（3）被开方数是多项式时要进行分解 2 a

3 4a 2 b 2ab

2

2a (a 2

2ab

b 2

) 2a (a

b )

2

如：

2a (a

b ) 2

2a a

b

4

、同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几 个二次根式叫做同类二次根式.

5 3

注：（1）同类二次根式类似于整式中的同类项，如 2 3 与

是同类二次根式. 4

1

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同，如 2, 8, 18 都 是同类二次根式.

3）判断两个二次根式是否为同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被 （ 开方数是否相同.

知识点七：二次根式的运算 1

、二次根式的乘除： ab a ,b 0)，（ a (b 0,0) ）

a b

a

b

a a

b

(a 0,b

0)

（

(a 0,b

0) ）

b

注：一定要注意式子中 a ,b 满足的条件.

2、二次根式的加减：实质就是合并同类二次根式：合并时，只需将根式外的因式，即系 2 1 3 2

2

数相加减，被开方数和根指数不变（如： 2

(1 ) 2 ）结果要最简.

2

2

但被开方数不同的二次根式不能合并，如 2 3 是最简结果，不能再合并.

3、分母有理化的方法（即化为最简二次根式） 1

1 1 a a a a （ 1）

2） 3）

( a 0)

a a a

b a b a

b a a a ab

a

（ ( a

0, b 0) a b

1 a b

b )( a （

( a 0, b 0)（运用平方差公式）

b )

a b

a

b ( a

4、平方差公式：

a 2

b 2

( a b )( a b ) ， ( a b )( a

b ) a

2 b

2 完全平方公式：( a

b ) ( a b ) 2 2 a a 2 2 b b 2

2

2ab ， 2ab

知识点八：无理数小数部分的确定方法

把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减 去整数部分就得到它的小数部分. 如：（1） 13 的整数部分是 解：∵ 9

13 16 即 3 13 4

13 的整数部分就是 3，小数部分就是 13 3.

2） 6

19 的整数部分是

，小数部分是

解：∵ 16 19 25 即 4 19 5

19 介于 4 与 5 之间，所以 6 19 的整数部分就是 1，

，小数部分是

∴ （ ∴

第三章位置与坐标

知识点一：确定位置

1

2

、在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.

、确定位置的方法有：方位角和距离、行号和列号、经纬度、区域

知识点二：平面直角坐标系的有关概念

1 、平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向.

2 、象限：x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

、点的坐标：对于坐标平面内的任意一点 A，过点 A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 3

轴、y 轴上对应的数a,b分别叫做点 A 的横坐标和纵坐标，有序数对(a,b)叫做点 A的坐标，记作A(a,b) .如图

知识点三：点的坐标的有关性质

、各象限内点的坐标的符号特征： 1

P (x , y ) P (x , y ) P (x , y ) P (x , y ) x 0, y 0

点 在第一象限，则有 在第二象限，则有 在第三象限，则有

在第四象限，则有 x 0, y

0 点 点 点 ；

x

0, y

；

x 0, y 0 ；

2

、坐标轴上点的坐标特征： P (x , y ) P (x , y ) P (x , y ) x y 0

点 在 轴上，则纵坐标等于零即 点 点 在 y 轴上，则横坐标等于零即 x

x 0, y

是坐标原点，则横，纵坐标都等于零即 3

、象限角的平分线上的点的坐标特征： P (a ,b ) 若 在第一、三象限的角平分线上，则 a

b

，反之成立

第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等.

第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. 若

P (a ,b )

在

第

二

、

四

象 限

的 角 平 分 线 上

，则

a b 0（或 a b ），反之成立

4

、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征： 平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标都相等. 若 A (x , y ),B (x , y ), AB / /x 轴，则 y y （注 x x ） 1 1 2 2 1 2 1 2

平行于 y 轴的直线上的点的横坐标都相等. 若 A (x , y ),B (x , y ), AB / /y 轴，则 x x （注 y y ） 1 1 2 2 1 2 1 2

5

、点到坐标轴的距离： 点 P (x , y ) ，那么点 P 到 x 轴的距离为它纵坐标的绝对值，即 y .

点 P 到 y 轴的距离为它横坐标的绝对值，即 x . 点 P 到原点的距离为 x

2

y 2 .

两点之间的距离：若 P (x , y ),P (x , y ) 则 1 1 1 2

2 2 ， P , P 两点之间的距离为 PP (x x ) 2

(y y ) 2

1 2 1 2 1 2 1 2

6

、点（图形）的对称： P (x , y ) A (a ,b ) x

关于 轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数.即 x a , y b 0 . x a

0, y

b .

若 若 若 即 与 P (x , y ) A (a ,b ) y . 与 关于 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同 即 P (x , y ) A (a ,b ) 关于原点对称，则横坐标和纵坐标都互为相反数. 与 x a 0, y b 0.

简记为：关于谁谁不变，关于原点都改变.

P (x , y ) 关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为

(y ,

x ).

补充：点 P (x , y ) 关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为(

y ,x ).

点 7

、中点坐标公式： 若 A (x , y ), B (x , y ) ，且点 C (a ,b )

AB 为 的中点，则有：

1 1

2 2 x x 2 a 1 2

，即点 C 的坐标可写为C ( 1 x x 2 y y 2 , 1 ) y y 2

2 2 b 1 2

例：已知 A (

2,1), B (3, 4)，则它们中点坐标为 (

2 3 1 4 , )即为( , ) . 1 5

2 2 2 2

第四章

一次函数

知识点一：函数

、函数的概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y ，并且对于 x 的每一个值， 1

y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量.

注：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. 2 3 、函数的表示方法：图象法、列表法、解析式法（关系式法）.

、函数值：函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值. 如果当 x

a 时， y

b ，那么b 叫做自变量的值为 a 时的函数值.

、函数自变量的取值范围：

1）若函数为整式，则自变量的取值范围为全体实数（一切实数）.

4 （

2

3

如： y

x 1，此时自变量 x 的取值为一切实数. （2）若函数为分式（即自变量在分母），则自变量的取值要使分母不等于 0. 1 x 1 1

2 1 2

如： y

，此时要求 2x

1 0

即 x

即自变量 的取值为 x x

. 2 （

3）若函数为开平方型（或开偶次方型），则自变量的取值要使被开方数大于等于 0.

1 1

2

y 2x 1，此时要求 2x 1 0 即

即自变量 x 的取值为 x x 如： . 2

（ 4）若函数为 y (ax b ) (a 0) 型，则自变量的取值要使底数不等于 0.

1 1

2

如： y (2

x 1) ，此时要求 2x 1

0即 x 即自变量 x 的取值为 x

. 2 知识点二：一次函数的有关概念

1 、正比例函数：一般地，形如 y kx

（ 是常数， 中 k 叫做比例系数.

、一次函数：一般地，形如 y kx

b （ k k 0

）的函数，叫做正比例函数，其

k ,b 是常数，k 0

）的函数，叫做 的一次函数，

x

2 特别地，当一次函数 y

kx b 中的 b 0时， y

kx ，此时 y 是 x 的正比例函数.

注：（1）正比例函数是特殊的一次函数：即正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正 比例函数.

（ （ （ 2）一定要注意函数关系中的 k

0和 x 的次数为 1 这两个条件.

3）判断一个函数是否为一次函数，就是判断它是否能化成 y kx b (k

0) 的形式.

4）关于 x , y 的二元一次方程可以转化为一次函数.

3

、待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函 数解析式的方法叫做待定系数法.

（ 1）待定系数法求正比例函数解析式一般步骤（只需要一个条件） 设函数解析式为 y

kx (k 0)；

① ② ③ ④ （ 把已知条件代入解析式，得到关于系数 k 的一元一次方程； 解方程，求出 k 的值；

将求得的 k 值，代入解析式即可.

2）待定系数法求一次函数解析式一般步骤（需要两个条件）

y kx b (k

0)

；

①设函数解析式为 ②

把已知条件代入解析式，得到关于系数 k ,b 的二元一次方程组； ③

解方程组，求出 k ,b 的值； ④

将求得的 k ,b 值，代入解析式即可. 例：已知一次函数，当 x

4时，

y 15

；当 x

6时，

，求一次函数的解析式. y 5

y kx b (k

0)

解：由题设一次函数的解析式为 将已知条件当 x

4时， y 15

；当 x 6

时， y 5分别代入解析式， 4k b 15

6k b 5 k 2 b 7 得 ，解得

，所以一次函数的解析式为： y 2x 7 .

y 与 可以表示任意整式） x

（ 3）其他问题：①若 y 与 x 成正比例，则可设 y kx .（ y

5 3x 4 成正比例，则可设 y 5 k (3x 4)

如：若 与 . ②

若 y 是 x 的一次函数，则可设

y k x b .

（ y 与 可以表示任意整式）

x

如：若 y 5 是3x 4的一次函数，则可设 y 5 k (3x 4) b .

知识点三：一次函数的图象与性质

1 、画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线. 2

、正比例函数的图象与性质 正比例函数 y

kx (k 0)的图象是经过原点(0, 0) 的一条直线.

因两点确定一条直线，故画正比例函数图象只需取一点 (1,k )，然后过原点和这一点画直线.

3

、一次函数的图象与性质 y kx b (k 0) y kx b .

一次函数 的图象是一条直线，通常也称为直线 一次函数

y kx b

k

k

b 0 k

b 0 k ， b 符号

b 0

b 0 b 0 b

0 y

y

y

y

y

y

图象

O

O

O

O

O

O

一、二、三 一、三、四

一、二、四 二、三、四

象限

一、三象限

二、四象限

象限

象限

象限

象限

增减性

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

k 越大，图象越陡，越靠近 y 轴

y

kx b 注：（1）直线 的位置是由 和b

k 的符号决定的，其中 k 决定直线从左到右呈上升

趋势还是呈下降趋势；b 决定直线与 y 轴交点的位置是在 y 轴的正半轴上还是在 y 轴的负 半轴上，还是原点. k 和b 综合起来决定直线 y

kx b 在直角坐标系中的位置.

（

2） y 随 x 的增大而增大，还是 y 随 x 的增大而减小，只取决于 k 的符号，与b 无关. b

（ 3）直线 y

kx b 与 x 轴的交点坐标为 ( ,0) ，与 y 轴的交点坐标为(0,b ) .

k 1

2

b k

b 2 则直线 y kx b 与坐标轴围成的三角形的面积 S

. 2 k

4

、直线 y k x b （ k

0 ）与 y

k x b （ k

0 ）的位置关系

1

1

1

2 2

2

（ 1）两直线平行 k k 且 b b （2）两直线相交 k k 2

1

1 2 1 2 （ 3）两直线重合 k k 且 b b （4）两直线垂直 k k

1

1 2

1

2 1

2

5

、函数图象的平移 向上平移 m 个单位

向下平移 m 个单位

y kx b y

kx b

y kx b m

y

kx b m

简记为：上加下减

北师大版八年级数学上册知识点总结

北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根

初二数学上册北师大版知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-

八年级数学上册知识点总结(北师大版)

《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

北师大版数学八年级上册知识点总结

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

新北师大版八年级上册数学期末测试卷含答案

八年级上册数学试题卷 期末考试一 一、选择题（本大题共6小题，每小3分，共18分） 1.下列四组数据中，不能．．作为直角三角形的三边长是（ ） A ．6，8，10 B ．7，24，25 C ．2，5，7 D ．9，12，15 2. 在算式( (的中填上运算符号，使结果最大的运算符号是（ ） A ．加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 3.下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．164和163 B ．163和164 C ．105和163 D ．105和164 4.下列各式中计算正确的是（ ） A ．9)9(2-=- B ．525±= C ．1)1(33 -=- D ．2)2(2-=- 5.右图中点P 的坐标可能是（ ） A ．(-5,3) B ．(4,3) C ．(5,-3) D ．(-5,-3) 6.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下 列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题（本大题共8小题，每小3分，共24分） 7. 9的平方根是 . 8. 函数y=x -1中，自变量x 的取值范围是 . 9.万安县某单位组织34人分别到井冈山和兴国进行革命传统教育，到井冈山的人数是 到兴国的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到 兴国的人数为y 人，请列出满足题意的方程组 . 10.一个一次函数的图象交y 轴于负半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出满足条件的 一个函数表达式： . b 第6题

最新北师大版八年级数学上册知识点总结

最新北师大版八年级数学上册知识点总结 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222 a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角 三角形。满足222 a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a （2）性质：①当a ≥0≥0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a （2a =；②3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5 （a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。 第三章 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相=b a b =

北师大八年级数学上册知识点总结

八年级上册 第一章 勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数 满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12， 13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数?????????????????--???---) ()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ? ?? ????? ??实数第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算

(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案

数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）

11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图

八年级上册数学试题北师大版)

2011-2012八年级上册数学试题 一、选择题:(本题共10小题,每小题2分,共20分。) 试试自己的能力，可别猜哦！ （下列各小题都给出了四个选项，其中只有唯一的一项是符合题目要求的，请把符合要求选项前面的字母填写在Ⅱ卷上指定的位置．） 1、下列各式中计算正确的是（ ） A 、9)9(2-=- B 、525±= C 、1)1(33-=- D 、2)2(2 -=- 2、根据下列表述，能确定位置的是（ ） A 、某电影院2排 B 、大桥南路 C 、北偏东30° D 、东经118°，北纬40° 3、给出下列5种图形：①平行四边形、②菱形、③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形．其中既是轴对称又是中心对称的图形有（ ）． A 、2种 B 、3种 C 、4种 D 、5种 4、 下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是（ ） A 、（－1，1） B 、（－1，－1） C 、（2，0） D 、（0，－1.5） 5、把△ABC 各点的横坐标都乘以－1，纵坐标都乘以－1，符合上述要求的图是（ ） 6、某中学科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正 多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） A 、正方形 B 、正六边形 C 、正八边形 D 、正十二边形 7、下列命题正确的是（ ） A 、正方形既是矩形，又是菱形 B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C 、一个多边形的内角相等，则它的边一定都相等 D 、矩形的对角线一定互相垂直 8、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） x y x y x y x y O O O O D y x C B A O C y x C B A O B y x C B A O A y x C B A O

北师大版八年级数学上册知识点归纳总结

北师大版八年级上册数学整理总结 第一章勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2c b a 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2c b a ，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a 的三个正整数，称为勾股数。 第二章实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 3 2,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥０）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥０；若|a|=-a ，则a ≤０。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根

北师大版数学八年级上册知识点总结[1]

第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形， 且最长边所对的角是直角。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根

北师大版八年级上册数学试题

2010-2011八年级上册数学试题 （满分100分 时间 120分钟 ） 亲爱的同学：进入八年级已学习一个学期了，现在是你展示本学期以来学习成果之时，让我们一起对学过的知识作一次回顾吧！相信你会尽情地发挥，祝你成功！ 考生注意：本试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，解答第Ⅰ卷时请将解答结果填写在第Ⅱ卷上指 定的位置，否则答案将无效．考试时不准使用计算器。 第Ⅰ卷 (选择题、填空题 共35分） 一、选择题:(本题共10小题,每小题2分,共20分。) 试试自己的能力，可别猜哦！ （下列各小题都给出了四个选项，其中只有唯一的一项是符合题目要求的，请把符合要求选项前面的字母填写在Ⅱ卷上指定的位置．） 1、下列各式中计算正确的是（ ） A 、9)9(2-=- B 、525±= C 、1)1(33-=- D 、2)2(2 -=- 2、根据下列表述，能确定位置的是（ ） A 、某电影院2排 B 、大桥南路 C 、北偏东30° D 、东经118°，北纬40° 3、给出下列5种图形：①平行四边形、②菱形、③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形．其中既是轴对称又是中心对称的图形有（ ）． A 、2种 B 、3种 C 、4种 D 、5种 4、 下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是（ ） A 、（－1，1） B 、（－1，－1） C 、（2，0） D 、（0，－1.5） 5、把△ABC 各点的横坐标都乘以－1，纵坐标都乘以－1，符合上述要求的图是（ ） 6、某中学科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正 多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） A 、正方形 B 、正六边形 C 、正八边形 D 、正十二边形 7、下列命题正确的是（ ） A 、正方形既是矩形，又是菱形 B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 D C B

北师大版八年级数学上册教案合集

北师大版八年级数学上册教案 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么

初二数学上册北师大版知识点总结

可编辑 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解 ： 在 Rt △ ACB 中 ， AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

北师大版八年级数学上期末复习提纲

北师大版八年级数学上期末复习提纲 姓名 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即2 22a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2 22a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。满足222a b c +=的三个正 整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： 叫做a 的算术平方根。 （2）性质：①当a ≥0 0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a ；（2 a =； ② 3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数和无理数；有理数可分为整数和分数；实数按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5．算术平方根的运算律： )0,0(≥≥=?b a ab b a （a ≥0，b ≥0）； （a ≥0，b ＞0）。 第三章 图形的平移与旋转 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位 置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。=实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数

北师大版八年级数学上册知识点总结

2016八年级数学上册知识点总结(北师大版) 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

北师大版八年级数学上册知识点总结梳理

第一章 三角形初步 [定义与命题] 定义：规定某一名称或术语的意义的句子。 命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。 正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。 基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。 定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。 注意：基本事实和定理一定是真命题。 [证明] 在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。 [三角形] 由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 [三角形按边分类] 三角形()???????? 不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 [三角形按内角分类] 三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角 直角三角形：有一个内角是直角 钝角三角形：有一个内角是钝角 [三角形的性质] 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形三内角和等于180°。 三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。 [三角形的三种线] 顶角的角平分线：三条，交于一点 三角形的中线：三条，交于一点 三角形的高线：三条，交于一点。 思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置 [全等形] 能够完全重合的两个图形叫做全等形. [全等三角形] 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. [全等三角形的性质] 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 还有其它推出来的性质： 全等三角形的周长相等、面积相等。

北师大版八年级数学上册全部知识点归纳

北师大版初二上册知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足的三2 22c b a =+个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 一是分类是：正数、负数、0； 另一种分类是：有理数、无理数将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

北师大初二数学上册知识点总结

北师大初二数学上册知识点总结 第一章勾股定理 定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直 角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a +b = c ，那么这个三角形是直角三角形。 定义：满足a +b =c 的三个正整数，称为勾股数。 第二章实数 定义：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。无限不循环小 数叫做无理数 （有理数总能够用有限小数或无限循环小数表示） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根。 特别地，我们规定0的算术平方根是0。 一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根） 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。

有理数和无理数统称为实数，即实数能够分为有理数和无理数。 每一个实数都能够用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的 每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 第三章图形的平移与旋转 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样 的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。 经过平移，对应点所连的线段平行也相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这 样的图形运动称为旋转，这个定点称旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点 到旋转中心的距离相等。

初二深圳北师大版八年级上册数学知识点及习题

八年级上册数学知识点总及其复习巩固 第一章 勾股定理 1、勾股定理 (1)直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 4、 勾股数的规律： （1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数， 两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2， 那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如： （6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 第一章 勾股定理 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 5．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ． 6．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a 、b 、c 之间应满足 ，其中 边