高等数学导数与微分练习题(完整资料).doc

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作业习题

1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ； （2）x

x y sin =； （3）bx e y ax sin =；

（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x

x

x y )1(

+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程??

?-=-=)

cos 1()

sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy

与二

阶导数22dx

y d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ； （2）2

1arcsin x

x y -=

。

6、求双曲线122

22=-b

y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中?????=,

0,1sin )(2

x

x x f .0,

0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-=

)37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2

sin cos )sin (x x

x x x x y -=

'='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='='

)cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1

])[ln(222

222'++++=

'++='a x x a x x a x x y

])(21

1[1222

222'+++++=a x a x a x x

]2211[12

22

2x a

x a

x x ?++++=

]1[1

2

2

2

2

a x x

a

x x ++

++=

2

2

1

a x +=。

（5）解：)11

()

1

1(11)1

1

(arctan 2'-+-++='-+='x x x x x x y 1

1

)1()1()1()1(2)1(2

222+-=-+--?+-=x x x x x x 。

（6）解：)(])1[(1ln '='+='+x x

x x

e x

x y ]1ln )1()1()1([)1(2x x x x x x x x x x x +-+-+?++= )1ln 11()1(x

x x x x x +-++=。

2、（1）解：两边直接关于x 求导得

0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y

)

sin(sin )sin(cos y x x y x x y y ++++-='。

（2）解：将0=x 代入原方程解得,1=y

原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ，

上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y 将0=x ，,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y ， 将0=x ，,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。 3、解：

),cos 1(t a dt dx -=t a dt dy sin =； 2

cot )cos 1(sin t t a t a dt dx dt dy dx dy =-==； 2csc

41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dx

dt dx dy dt d dx y d -=-?-=?=。

4、（1）解：1-='ααx y ；2)1(--=''αααx y ；……

依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n αααα 。 （2）解：设,,2sin 2x v x u ==

则)50,,2,1)(2

2sin(2)

( =?+=k k x u k k π

，

),50,,4,3(0,2,2)( ===''='k v v x v k

代入萊布尼茨公式，得

2)2

482sin(2!249502)2

492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)

50(2)50(??+??+

??+?+??+==π

π

πx x x x x x x y )2sin 2

1225

2cos 502sin (2250x x x x x ++-=。

5、（1）解：),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=.

（2）解：]122arcsin 111

[

112

22

2x

x x x x x y --?

----=

'

2

322)

1(arcsin 1x x x x -+-=

；

=

'=dx y dy dx x x x x 2

322)

1(arcsin 1-+-。

6、解：首先把点

)

3,2(b a 代入方程左边得

1343422

222222=-=-=-b

b a a b y a x ，即点)3,2(b a 是切点。 对双曲线用隐函数求导得,,0222222y

a x

b y b y y a x ='?='-

过点)3,2(b a 的切线的斜率为,3232)3,2(2

2a

b b

a a

b b a y =

='

故过点)3,2(b a 的切线方程为)2(323a x a

b b y -=

-；

过点)3,

2(b a 的法线方程为)2(233a x b a

b y --

=-。 7、解：,01sin 1sin

0)0()()0(lim lim lim

200===--='+++

→→→+x x x x x x f x f f x x x 同理0)0(='-f ；故0)0(='f 。

显然x

x

x x

x x x

x x f 1

cos 1sin 211cos 1sin 2)(22-=?-='在0≠x 点连续，因

此只需考查)(x f '在0=x 点的连续性即可。但已知x

1cos 在0=x 点不连续，由连续函数的四则运算性质知)(x f '在0=x 点不连续。

讨论习题：

1、 设,)3()(-=x x x x f 求)(x f '。

2、 求和n n x n x x x S 2322232++++= 。

3、 设函数)(x f 在]1,1[-上有定义，且满足,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x

证明)0(f '存在，且1)0(='f 。 讨论习题参考答案： 1、解：因为

??

?

??---=),3(),3(),3()(222x x x x x x x f

.

0,30,

3<<≤≥x x x

易知)(x f 在开区间),3()3,0()0,(+∞??-∞内都是可导的；又 对于分段点0=x ，3=x ，有

00

)3(0)0()()0(20

0lim lim

=--=--='++

→→+x x x x f x f f x x ，

00)3(0)0()()0(20

0lim lim

=--=--='--

→→-x x x x f x f f x x ，即0)0(='f ；

930

)3()3(2323lim lim ==---='+

+→→+x x x x f x x ，

9)(30

)3()3(2323lim lim -=-=---='-

-→→-x x x x f x x ，即)3(f '不存在；

所以除3=x 之外)(x f 在区间),3()3,(+∞?-∞內均可导，且有

??

?

??--=',36,0,

63)(22x x x x x f

).

3,0(,0),

,3()0,(∈=+∞?-∞∈x x x

2、解：因为x

x x x x n n

--=+++++1111

2

，

2

12)1()1(1)1(x nx x n x x x n n n

-++-=

'++++?+ ， 2

11

2)1()1(1321x nx x n nx

x x n n n -++-=

++++?+- ；

]1)1()122([)

1(])1()1([})

1()1(1[])321([)32()321(32212223

2

2

12

1

123212132223222--++-+--='-++-='-++-?='++++='++++=++++=++++=?+++++---x x n x n n x n x x x nx x n x x x nx x n x x nx x x x x nx x x x x x n x x x x n x x x S n n n n n n n n n n n n

3、证：由,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x 可知当0=x 时，0)0(0≤≤f ，

即0)0(=f 。又

)0,11(,0)0()()(3≠≤≤-+≤--=≤x x x

x x x f x f x x f x x ； 已知130

0lim lim =+=→→x x

x x x x x ，由两边夹定理可得 10)

0()()0(lim 0

=--='→x f x f f x 。

思考题：

1、 若)(u f 在0u 不可导，)(x g u =在0x 可导，且)(00x g u =，则 )]([x g f 在0x 处（ ） （1） 必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。

2、 设)(x g '连续，且)()()(2x g a x x f -=，求)(a f ''。 思考题参考答案：

1、 解：正确选择是（3）

例如：u u f =)(在0=u 处不可导；若取x x g u sin )(==在0=x 处可导，则x x g f sin )]([=在0=x 处不可导；即（1）不正确。又若取

4)(x x g u ==在0=x 处可导，则有44)]([x x x g f ==在0=x 处可导。

即（2）也不正确。

2、 解：因为)(x g 可导，所以)()()()(2)(2x g a x x g a x x f '-+-='

又因为)(x g ''不一定存在，故用定义求)(a f ''，

)

(2)]

()()(2[)

()

0)(()

()()(lim lim lim

a g x g a x x g a

x x f a f a

x a f x f a f a

x a x a

x ='-+=-'=='-'-'=''→→→