(完整版)综合法与分析法习题
[学业水平训练]
1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．等价条件
解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件．
2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .证明过程如下： ∵a ，b ，c ∈R ，
∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2aC ．
又a ，b ，c 不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)＞2(ab ＋bc ＋ac )．
∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋aC ．此证法是( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．分析法与综合法并用
D ．反证法
答案：B
3．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥β
B ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ?α
C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β
D ．m ∥l ，l ⊥β，m ?α 解析：选D ．A ：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B ：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C ：这两个平面有可能平行或重合；D ：是成立的，故选D ．
4．使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( )
A ．|a |≥1且|b |≥1
B ．|a |≥1且|b |≤1
C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0
D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0
解析：选C ．a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0?a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0?(b 2－1)(1－a 2)≤0?(a 2－1)(b 2－1)≥0?(|a |－1)·(|b |－1)≥0.
5．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )
A ．成等比数列而非等差数列
B ．成等差数列而非等比数列
C ．既成等差数列又成等比数列
D ．既非等差数列又非等比数列
解析：选B.由已知条件，
可得????? a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②
y 2＝bc . ③
由②③得??? a ＝x 2b
，c ＝y 2b .
代入①，得x 2b ＋y 2b ＝2b ，
即x 2＋y 2＝2b 2.
故x 2，b 2，y 2成等差数列．
6．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22
≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析：用分析法证明a 2＋b 2
2
≥ab 的步骤为： 要证a 2＋b 2
2
≥ab 成立， 只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.
由于(a －b )2≥0显然成立，
所以原不等式成立． 答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0
7．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4
，则cos 2θ＝________. 解析：因为sin θ＋cos θ＝15
， 所以1＋sin 2θ＝125
， 所以sin 2θ＝－2425
. 因为π2≤θ≤3π4
， 所以π≤2θ≤3π2
. 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725
. 答案：－725
8. 如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．
解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C ．
因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，
即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C ．
答案：AC ⊥BD (答案不唯一)
9．已知非零向量a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a －b|
≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.
要证|a|＋|b||a －b|
≤2， 只需证|a|＋|b|≤2|a －b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b )，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0成立，
即(|a|－|b|)2≥0显然成立．
故原不等式得证．
10．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c
也成等差数列． 证明：因为1a ，1b ，1c
成等差数列， 所以1a ＋1c ＝2b
. 即a ＋c ac ＝2b
， 所以b (a ＋c )＝2ac ，
所以b ＋c a ＋a ＋b c ＝(b ＋c )c ＋a (a ＋b )ac
＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ac
＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2ac
＝2ac ＋a 2＋c 2ac
＝(a ＋c )2ac
＝2(a ＋c )2
b (a ＋
c )
＝2(a ＋c )b
， 所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c
也成等差数列． [高考水平训练]
1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)成立”的是( )
A ．f (x )＝1x
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
解析：选A.本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝(1x
)′＝－1x 2
＜0， ∴f (x )＝1x
在(0，＋∞)上为减函数． 2．设a ＞0，b ＞0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12
[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：因为(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )
＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab
＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，
所以(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，
所以lg(1＋ab )≤12
[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 答案：≤
3．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C 1.
求证：(1)EF ∥平面ABC ；
(2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．
[证明](1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，
所以EF ∥BC ，EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ．
所以EF ∥平面ABC ．
(2)因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，
所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，
又A 1D ⊥B 1C 1，BB 1∩B 1C 1＝B 1，
所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，
又A 1D ?平面A 1FD ，
所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ． 4．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证f (x ＋12
)为偶函数．
证明：法一：要证f (x ＋12
)为偶函数， 只需证明其对称轴为x ＝0，
即证－b 2a －12
＝0，只需证a ＝－b . ∵函数f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与函数f (x )的对称轴x ＝－b 2a
关于y 轴对称， ∴－b 2a －1＝－－b 2a
， ∴a ＝－b .
∴f (x ＋12
)为偶函数． 法二：记F (x )＝f (x ＋12
)， 欲证F (x )为偶函数，
只需证F (－x )＝F (x )，
即证f (－x ＋12)＝f (x ＋12
)． ∵函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，而函数f (x )与f (－x )的图象也是关于y 轴对称
的，
∴f (－x )＝f (x ＋1)，
∴f (－x ＋12)＝f [－(x －12)] ＝f [(x －12)＋1]＝f (x ＋12)， ∴f (x ＋12
)为偶函数．
综合法与分析法分析法教学设计
综合法与分析法分析法教 学设计 Final approval draft on November 22, 2020
综合法与分析法——分析法 一、教材分析 1教材背景 生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。 2地位与作用 《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立几，解析几何等等。可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要地位的。 现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数、数列、解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的高考命题特点。 二、学情分析 1．有利因素 学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。 2．不利因素 学生对已学知识的应用意识不强；三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍。 三、目标分析 根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下： 1知识目标 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分和综合法的思考过程、特点．能运用综合法，分析法证题。 2能力目标 通过分析法与综合法的学习，提升分析解决问题的能力。 3德育目标 通过分析法与综合法的学习，体会数学思维的严密性。 四、重点：了解分析法的思考过程、特点。 难点：分析法的思考过程、特点 五、学习方法：探析归纳，讲练结合 六、学习过程 (一)、复习：直接证明的方法：综合法。 （二）、引入新课 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们
哈工大2007材料分析方法秋考题--A
哈工大 2007年 秋 季学期 材料分析测试方法 试题 一、回答下列问题（每题5分，共50分） 1. 阐述特征X 射线产生的物理机制 答 当外来电子动能足够大时，可将原子内层（K 壳层）中某个电子击出去，于 是在原来的位置出现空位，原子系统的能量因此而升高，处于激发态，为使系统能量趋于稳定，由外层电子向内层跃迁。由于外层电子能量高于内层电子能量，在跃迁过程中，其剩余能量就要释放出来，形成特征X 射线。 2. 衍射矢量与倒易矢量 在正点阵中，选定原点O ，由原点指向任意阵点的矢量g 为衍射矢量。 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为（h,k,l ）的阵点的矢量g hkl 称为倒 易矢量。表示为g hkl =ha*+kb*+lc*。它有以下几个特点：a ）垂直于正点阵中相应的（h,k,l ）平面，或平行于它的法向N hkl —；b ）其矢量长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即g hkl=1/d hkl ；c ）倒易矢量g hkl 与相应指数的晶向[hkl]平行。 3. 结构因子的定义 结构因子是指一个单胞对X 射线的散射强度，其表达式为： )(21j j j lz ky hx i n j j hkl e f F ++=∑=π 由于衍射强度正比于结构因子模的平方，消光即相当于衍射线没有强度，因 此可通过结构因子是否为0来研究消光规律。 4. 衍射峰半高峰宽的含义及与晶粒尺寸的关系 在理想条件下，衍射峰强度只有一条线，但是在实际测量过程中，衍射峰总 是有一定宽度的。定义在衍射峰强度I=Imax/2处的强度峰宽度为半高峰宽。主要影响因素为晶粒尺寸，晶粒大小对衍射强度的影响可用θλ2sin 3 c V I =来表示。 5. 给出物相定性与定量分析的基本原理 定性相分析原理：每一种结晶物质都有其特定的结构参数，包括点阵类型、 晶胞大小、单胞中原子的数目及其位置等等，这些参数在X 射线衍射花样上均有所反映，到目前为止还没找到两种衍射花样完全相同的物质；对于多种物相的X 射线谱，其衍射花样互不干扰，只是机械地叠加；物相定性分析是一种间接的方法，需利用现有的数据库进行物相检索。 定量相分析原理：各相的衍射线强度随该相含量的增加而提高。 6. 内应力的分类及对X 射线衍射线条的影响规律
综合法与分析法(公开课教案)
肥东锦弘中学高中部公开课教案设计 2. 2 .1 综合法与分析法 授课时间：2013.4.16下午第一节 地点：高二（15）班 授课人：赵尚平 一．教材分析 《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子． 二．教学目标 1．知识与技能目标 (1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法． (2)了解综合法和分析法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标 (1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力． (2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力． 三．教学重难点 重点：综合法和分析法的思维过程及特点． 难点：综合法和分析法的应用． 四．教具准备：多媒体. 五．教法与学法：师生合作探究 六．教学过程: （一）创设情境 引入新课 证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识． （二） 新 课 讲 授 合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明. 思考:已知a ,b >0,求证2222 ()()4a b c b c a abc +++≥ 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义. 证明:因为222,0b c bc a +≥>, 所以22()2a b c abc +≥, 因为222,0c a ac b +≥>, 所以22()2b c a abc +≥. 因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.
电路分析试题库(有答案)77471
试题库（1）直流电路 一、填空题 1、电流所经过的路径叫做 电路 ，通常由 电源 、 负载 和 传输环节 三部分组成。 2、无源二端理想电路元件包括 电阻 元件、 电感 元件和 电容 元件。 3、通常我们把负载上的电压、电流方向（一致）称作 关联 方向；而把电源上的电压和电流方向（不一致）称为 非关联 方向。 4、 欧姆 定律体现了线性电路元件上电压、电流的约束关系，与电路的连接方式无关； 基尔霍夫 定律则是反映了电路的整体规律，其中 KCL 定律体现了电路中任意结点上汇集的所有 支路电流 的约束关系， KVL 定律体现了电路中任意回路上所有 元件上电压 的约束关系，具有普遍性。 5、理想电压源输出的 电压 值恒定，输出的 电流值 由它本身和外电路共同决定；理想电流源输出的 电流 值恒定，输出的 电压 由它本身和外电路共同决定。 6、电阻均为9Ω的Δ形电阻网络，若等效为Y 形网络，各电阻的阻值应为 3 Ω。 7、实际电压源模型“20V 、1Ω”等效为电流源模型时，其电流源=S I 20 A ，内阻=i R 1 Ω。 8、负载上获得最大功率的条件是 电源内阻 等于 负载电阻 ，获得的最大功率=min P U S 2/4R 0 。 9、在含有受控源的电路分析中，特别要注意：不能随意把 控制量 的支路消除掉。 三、单项选择题 1、当电路中电流的参考方向与电流的真实方向相反时，该电流（ B ） A 、一定为正值 B 、一定为负值 C 、不能肯定是正值或负值 2、已知空间有a 、b 两点，电压U ab =10V ，a 点电位为V a =4V ，则b 点电位V b 为（ B ） A 、6V B 、－6V C 、14V 3、当电阻R 上的u 、i 参考方向为非关联时，欧姆定律的表达式应为（ B ） A 、Ri u = B 、Ri u -= C 、 i R u = 4、一电阻R 上u 、i 参考方向不一致，令u =－10V ，消耗功率为，
论文：马尔科夫链模型
市场占有率问题 摘要 本文通过对马尔科夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究，提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中，并给出了均匀状态下的市场占有率模型。单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。 通过转移概率求得八月份的各型号商品的市场占有率为……稳定状态后，通过马尔科夫转移矩阵，计算出各商品的市场占有率为…… 关键词马尔科夫链转移概率矩阵
一、问题重述 1.1背景分析 现代市场信息复杂多变，一个企业在激烈的市场竞争环境下要生存和发展就必须对其产品进行市场预测，从而减少企业参与市场竞争的盲目性，提高科学性。然而，市场对某些产品的需求受多种因素的影响，普遍具有随机性。为此，利用随机过程理论的马尔科夫模型来分析产品在市场上的状态分布，进行市场预测，从而科学地组织生产，减少盲目性，以提高企业的市场竞争力和其产品的市场占有率。 1.2问题重述 已知六月份甲，乙，丙，三种型号的某商品在某地有相同的销售额。七月份甲保持原有顾客的60%，分别获得乙，丙的顾客的10%和30%；乙保持原有顾客的70%，分别获得甲，丙的顾客的10%和20%；丙保持原有顾客的50%，分别获得甲，乙顾客的30%和20%。求八月份各型号商品的市场占有率及稳定状态时的占有率。 二、问题分析 单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。题目给出七月份甲、乙、丙三种型号的某商品的顾客转移率，转移率的变化以当前的状态为基准而不需要知道顾客转移率的过去状态，即只要掌握企业产品目前在市场上的占有份额，就可以预测将来该企业产品的市场占有率。概括起来，若把需要掌握过去和现在资料进行预测的方法称为马尔科夫过程。 马尔科夫预测法的一般步骤： （1）、调查目前本企业场频市场占有率状况，得到市场占有率向量A ； （2）、调查消费者的变动情况，计算转移概率矩阵B ； （3）、利用向量A 和转移概率矩阵B 预测下一期本企业产品市场占有率。 由于市场上生产与本企业产品相同的同类企业有许多家，但我们最关心的是本企业产品的市场占有率。对于众多消费者而言，够不够买本企业的产品纯粹是偶然事件，但是若本企业生产的产品在质量、价格、营销策略相对较为稳定的情况下，众多消费者的偶然的购买变动就会演变成必然的目前该类产品相对稳定的市场变动情况。因为原来购买本企业产品的消费者在奖励可能仍然购买本企业的产品，也可能转移到购买别的企业的同类产品，而原来购买其他企业产品的消费者在将来可能会转移到购买本企业产品，两者互相抵消，就能形成相对稳定的转移概率。 若已知某产品目前市场占有率向量A ，又根据调查结果得到未来转移概率矩阵B ，则未来某产品各企业的市场占有率可以用A 乘以B 求得。即： 111212122212312*()*n n n n n nn a a a a a a A B p p p p a a a ????????????=????????????????????? 三、模型假设 1、购买3种类型产品的顾客总人数基本不变； 2、市场情况相对正常稳定，没有出现新的市场竞争； 3、没有其他促销活动吸引顾客。
综合法与分析法(二)
2.2.1 综合法与分析法(二) 一、基础过关 1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．a≤12 B ．ab≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3 2．已知a 、b 、c 、d∈{正实数}，且a b
2-2-1综合法与分析法
选修1-2 2.2.1 一、选择题 1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件又非必要条件 [答案] A [解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件． 2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．归纳法 [答案] B [解析] 要证明3＋7<25最合理的方法是分析法． 3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2 B ．(a ＋b )????1a ＋1b ≥4 ≥a ＋b ≥ab [答案] D [解析] ∵a >0，b >0，∴2ab a ＋b ≤ab . 4．下面的四个不等式： ①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0，
(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2 ≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 只有当b a >0时，才有b a ＋a b ≥2，∴应选C. 5．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．b >a C ．a 1b 3，但1a 3>1b 3?/ a 1b 3的一个充分不必要条件． 6．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 [答案] B [解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15. 7．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) D ．1 [答案] C [解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12 . 8．已知函数f (x )＝????12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ????a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ??? ?2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤ B ≤C B ．A ≤ C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A [答案] A [解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ， 又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b )．
马尔科夫预测
第6章 马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集(,)T ?-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称 {,}t X t T ∈为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称 {,}t X t T ∈为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有 {}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1) 则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
《综合法和分析法》参考教案
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一） 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程． 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法． 教学过程： 一、准备： 1． 已知“若12a a +∈R ， ，且121a a +=，则12 11 4a a +≥”，试请此结论推广猜想． （答案：若12n a a a +∈R ， ，，，且121n a a a +++=，则 212 111 n n a a a +++ ≥） 2．已知a b c +∈R ， ，，1a b c ++=，求证：1 119a b c ++≥． 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1． 教学例题： ①出示例1：已知a b c ，，是不全相等的正数，求证： 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>． 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立． 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果． ③ 练习：已知a b c ，，是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>． ④ 例题讲解： P37例1：△ABC 在平面α外，AB ∩α=P ，BC ∩α=Q ，AC ∩α=R ，求证：PQR 三点共线.
用矩阵方法使网孔分析法通解-电路分析基础课程设计
用矩阵方法使网孔分析法通解 黄明康 5030309754 F0303025 在网络电路的学习中，我们一般使用结点分析法与网孔分析法。我们知道他们有各自的用途，但其实如果使用得当，只用其中的一个方法就可以解所有目前已经可解得网络电路。而在我看来这得当的使用就是巧妙运用数学。之所以如此，我认为是因为结点分析法的基础ＫＣＬ与网孔分析法的基础ＫＶＬ是相容的，即可以用结点分析法的地方就可以用网孔分析法解题。 先来看个例子，从网孔分析法说起，如图（１）所示，是一个非常适合用结点分析法与网孔分析法解题的网络。 正如上课时所做的，我们用网孔分析法解之，以im1、im2、im3为支路电流列出回路的矩阵方程，方程如式（２）。
最左边的矩阵是各回路的电阻矩阵，解出此方程，再根据ＶＣＲ就能得出整个网路电路的各个参数。由于篇幅所限，也由于这已是大家皆知的常规方法，对于为何使用这种方法及其可用性、使用方法等在此不再冗述。 而我关心的是，这种方法是在这么一个可以说是完美的电路网络中运用的，所以一旦电路中的某个器件变了，可能使这种方法不可用。而其实上课时已经提出了这种问题，也给出了改进了的解题方法——运用网路电路的一些性质化解电路成可用网孔分析法的电路。 但这种方法在解题中会使不熟练的我不经意中掉入“陷阱”。我更愿意用以下的方法用数学解题，这样可以使我们不必太过计较概念。 对于我的方法，也请先看一个例子，如图（３）: 这样，这个电路就不能单纯的运用网孔分析法了。那么按之前所述，运用网路电路的一些性质化解电路成可用网孔分析法的电路，然后解之，正如图（４）
a 和图（４） b 中所示过程。 然后得出电阻网络矩阵方程，解出所要的量。 对于以上的例题，也有所谓的虚网孔电流法如式（５）： 其实，虚网孔电流法仅仅只是根据我们在网孔分析法的引出中得出的规律重新又列出了简单的方程组，这跟我们最初想要使用结点分析法和网孔分析法的初衷不符，初衷是按给出的网络电路图直接写出矩阵方程。这样就使我们可以更好的应对复杂的网络。 当然，也正是虚网孔电流法使我想起了网孔分析法的一般矩阵解法。仍就看图（３）：
分小学数学分析法 综合法
十、分析法和综合法 分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。 1. 分析法和综合法的概念。 分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。 2. 分析法和综合法的重要意义。 大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。这样分析了数量关系和解题思路后，再利用综合法根据已知条件列式解答。再如在学习概率统计时对各种统计数据需要经过整理和描述，并进行分析和综合，做出合理的判断和预测。虽然新课标并没有明确提出逻辑思维能力的培养，但在推理能力方面仍然提出了“能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”这其中就包含了对学生逻辑思维、分析和综合能力的要求。分析能力不仅是逻辑思维能力的重要方面之一，也是其他一些思维能力的基础。分析法和综合法是培养学生分析问题、解决问题和推理等能力的重要的思想方法。因此，分析法和综合法在课标时代仍然是培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要的思想方法。 3. 分析法和综合法的具体应用。 如上所述，分析法和综合法作为数学的思想方法，在小学数学的各个方面都有重要的应用。首先，在四大领域的内容中，无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。如数的计算法则的学习，就是一个先分析再综合概括的过程，先一步一步地学习法则的不同方面，再综合概括成一个完整的法则。其次，在贯穿整个数学学习过程中
2.2.1综合法与分析法 (5)
第二章第2节直接证明与间接证明 一、综合法与分析法 课前预习学案 一、预习目标： 了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。 二、预习内容： 证明方法可以分为直接证明和间接证明 1．直接证明分为和 2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义， 公里，定理，推证结论的真实性。 3．综合法是从推导到的方法。而分析法是一种从 追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由导，分析法是执索。 三、提出疑惑 课内探究学案 一、学习目标 让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用 二、学习过程： 例1．已知a,b∈R+，求证： 例2．已知a,b∈R+，求证： 例3.已知a,b,c∈R，求证（I） 课后练习与提高
1．（A 级）函数???≥<<-=-0 ,; 01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ） A ．1 B ．22 - C ．1,或 D ．1, 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ） A ．)23,2(π π B ．)2,(ππ C ．)2 5,23(π π D ．)3,2(ππ 3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．3 3 5- C ．－3 D ．27- 4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y = C ．x x y -=3 D ．x x y -+=)1ln( 5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则 =+y c x a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)1 2()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则 a =__________。 7．（A 级）已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+= ,2 ，则y x ,的大小关 系是_________。 8．（B ）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________ ≈=m 9．（B ）设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=?π?图像的一条对称轴是8 π =x . （1）求?的值；
材料分析方法部分课后习题集答案解析
第一章X 射线物理学基础 2、若X 射线管的额定功率为1.5KW，在管电压为35KV 时，容许的最大电流是多少？ 答：1.5KW/35KV=0.043A。 4、为使Cu 靶的Kβ线透射系数是Kα线透射系数的1/6，求滤波片的厚度。 答：因X 光管是Cu 靶，故选择Ni 为滤片材料。查表得：μ m α＝49.03cm2／g，μ mβ＝290cm2／g，有公式，，，故：，解得:t=8.35um t 6、欲用Mo 靶X 射线管激发Cu 的荧光X 射线辐射，所需施加的最低管电压是多少？激发出的荧光辐射的波长是多少？ 答：eVk=hc/λ Vk=6.626×10-34×2.998×108/(1.602×10-19×0.71×10-10)=17.46(kv) λ 0=1.24/v(nm)=1.24/17.46(nm)=0.071(nm) 其中h为普郎克常数，其值等于6.626×10-34 e为电子电荷，等于1.602×10-19c 故需加的最低管电压应≥17.46(kv)，所发射的荧光辐射波长是0.071纳米。 7、名词解释：相干散射、不相干散射、荧光辐射、吸收限、俄歇效应 答：⑴当χ射线通过物质时，物质原子的电子在电磁场的作用下将产生受迫振动，受迫振动产生交变电磁场，其频率与入射线的频率相同，这种由于散射线与入射线的波长和频率一致，位相固定，在相同方向上各散射波符合相干条件，故称为相干散射。 ⑵当χ射线经束缚力不大的电子或自由电子散射后，可以得到波长比入射χ射线长的χ射线，且波长随散射方向不同而改变，这种散射现象称为非相干散射。 ⑶一个具有足够能量的χ射线光子从原子部打出一个K 电子，当外层电子来填充K 空位时，将向外辐射K 系χ射线，这种由χ射线光子激发原子所发生的辐射过程，称荧光辐射。或二次荧光。 ⑷指χ射线通过物质时光子的能量大于或等于使物质原子激发的能量，如入射光子的能量必须等于或大于将K 电子从无穷远移至K 层时所作的功W，称此时的光子波长λ称为K 系的吸收限。 ⑸原子钟一个K层电子被光量子击出后，L层中一个电子跃入K层填补空位，此时多余的能量使L层中另一个电子获得能量越出吸收体，这样一个K层空位被两个L层空位代替的过程称为俄歇效应。 第二章X 射线衍射方向 2、下面是某立方晶第物质的几个晶面，试将它们的面间距从大到小按次序重新排列：（123），（100），（200），（311），（121），（111），（210），（220），（130），（030），（221），（110）。 答：立方晶系中三个边长度相等设为a，则晶面间距为d=a/ 则它们的面间距从大小到按次序是：（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、（121）、（220）、（221）、（030）、（130）、
马尔可夫过程的研究及其应用
马尔可夫过程的研究及其应用 概率论的思想通常都很微秒，即使在今天看来仍没有被很好地理解。尽管构成概率论的思想有点含糊，但是概率论的结果被应用在整个社会当中，当工程师估计核反应堆的安全时，他们用概率论确定某个部件及备用系统出故障的似然性。当工程师设计电话网络时，他们用概率论决定网络的容量是否足够处理预期的流量。当卫生部门的官员决定推荐或不推荐公众使用一种疫苗时，他们的决定部分的依据概率分析，即疫苗对个人的危害及保证公众健康的益处。概率论在工程实际、安全分析，乃至整个文化的决定中，都起着必不可少的作用。关于概率的信息虽然不能让我们肯定的预测接下来发生个什么，但是它允许我们预测某一事件或时间链的长期频率，而这个能力十分有用。概率论的思想不断渗透到我们的文化当中，人们逐渐熟悉运用概率论的语言思考大自然。 世界并不是完全确定的，不是每个“事件”都是已知“原因”的必然结果。当科学家们对自然了解的更多，他们才能认知现象—例如，气体或液体中分子的运动，或液体的波动。由此引入了人们对布朗运动的定性与定量描述。在人们思考布朗运动的同时，俄国数学家马尔可夫开始研究现在所谓的随机过程。在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922），1856年6月14日生于梁赞；1922年7月20日卒于圣彼得堡。马尔可夫上中学时，大部分课程学得不好，惟独数学成绩常常都得满分，并开始自学微积分，有一次他独立地发现了一种常系数线性常微分方程的解法，就写信给著名数学家布尼亚科夫斯基，信被转到彼得堡数学系科尔金和佐洛塔廖夫手里，从此马尔可夫与彼得堡大学的数学家建立了联系。1874年考入彼得堡大学数学系学习，在学习期间他深受切比雪夫、科尔金、佐洛塔廖夫等数学家的启发和影响，1878年大学毕业，并以《用连分数求微分方程的积分》一文获金质奖章。1880年以题目为《论行列式为正的二元二次齐次》的论文取得硕士学位并在彼得堡大学任教。1884年获物理数学博士学位，1886年成为教授，1890年当选为彼得堡科学院候补院士，1896年当选为院士，1905年退休时彼得堡大学授予他功勋教授称号。马尔可夫研究的范围很广，对概率论、数理统计、数论、函数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树。在概率论方面，他深入研究并发展了其老师切比雪夫的矩方法，使中心极限定理的证明成为可能。他推广了大数定律和中心极限定理的应用范围。他提出并研究了一种能够用数学分析方法研究自然过程的一般图式，这种图式后人即以他的姓氏命名为马尔可夫链。他还开创了一种无后效性随机过程的研究，即在已知当前状态的情况下，过程的未来状态与其过去状态无关，这就是现在大家耳熟能详的马尔可夫过程。马尔可夫的工作极大的丰富了概率论的内容，促使它成为自然科学和技术直接有关的最重要的数学领域之一。 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942 年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的
运筹学 第九章 马尔科夫分析
第九章 马尔科夫分析 1. 试述马尔柯夫分析的数学原理。 （1）概率矩阵的乘积仍是概率矩阵；（2）概率矩阵P ，当n →∞时，n P 中的每一个行向量都相等。 2. 试述一阶马尔柯夫确定可能的未来市场分享率的过程总结。 （1）了解用户需求、品牌/牌号转换商情；（2）建立转移概率矩阵；（3）计算未来可能市场分享率（市场份额）；（4）确定平衡条件。 3.设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额发生如下变化： 甲公司保持顾客的80%，丧失5%给乙，丧失15%给丙； 乙公司保持顾客的90%，丧失10%给甲，没有丧失给丙； 丙公司保持顾客的60%，丧失20%给乙，丧失20%给乙； 假设顾客的购买倾向跟第一年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额。 转移概率矩阵为0.80.050.150.10.900.20.20.6?? ???????? ， 由()() 20.80.050.150.330.330.330.10.900.380.410.20.20.20.6?? ??=??????得第三年底三家公 司各占的市场份额为0.38，0.41，0.2。
实践能力考核选例 在本年企业A,B,C三个牛奶厂分别占本地市场份额的40%，40%和20%。根据市场调研，A店保留其顾客的90%而增的B的5%，增的C的10%。B店保留其顾客的85%而增的A的5%，增的C的%7。C 店保留其顾客的83%而增的A的5%，增的B的10%。预测未来占有的市场份额。 解： 由题意得 A B C 0.9 0.05 0.05 （0.4,0.4,0.2）[0.05 0.85 0.1 ] = （0.4,0.374，0.226） 0.1 0.07 0.83 0.4*0.9+0.4*0.05+0.2*0.1=0.4 0.4*0.05+0.4*0.85+0.2*0.07=0.374 0.4*0.05+0.4*0.1+0.2*083=0.226 因此市场变动情况即下一年的市场所占份额A,B,C各为0.4， 0.374,0.226。 由题意得 设未来市场占有率A,B,C分别为Z1，Z2，Z3。 0.9Z1+0.05Z2+0.1Z3=Z1 0.05Z1+0.85Z2+0.07Z3=Z2
综合法与分析法
综合法与分析法 学习目标： 1． 理解综合法和分析法的概念及区别 2． 熟练的运用综合法分析法证题 学习重难点: 综合法和分析法的概念及区别 自主学习： 一：知识回顾 1． 合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。它包括归纳推理与类比推理。 2． 演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究 1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性. 2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所 求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法. 3. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使 结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析 法．分析法是一种执果索因的证明方法. 4.综合法的证明步骤用符号表示: 0P (已知) 1n P P ???L (结论) 5.分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤; 要正(或为了证明)B 成立, 只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件). 要证1A 成立, 只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件). … , 要证k A 成立, 只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件).. Q A 成立, ∴B 成立. 三: 例题解析 例1: 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc 证明: 因为b 2+c 2 ≥2bc,a>0 所以a(b 2+c 2)≥2abc. 又因为c 2+b 2 ≥2bc,b>0 所以b(c 2+a 2)≥ 2abc.因此a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc. 例2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项.
综合法和分析法
《综合法和分析法（1）》导学案 编写人：马培文 审核人：杜运铎 编写时间：2016-02-24 【学习目标】 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 【重点难点】 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。 3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 【学法指导】 ① 课前阅读课文（预习教材P 85～P 89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究 问题，并提出你的观点。 【知识链接】 复习1 两类基本的证明方法: 和 。 复习2 直接证明的两中方法: 和 。 知识点一 综合法的应用 问题 已知,0a b >, 求证 2222()()4a b c b c a abc +++≥。 新知 一般地,利用 ,经过一系列的推理论 证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。 反思 框图表示 要点 顺推证法；由因导果。 【典型例题】 例1 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥ 变式 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证 111(1)(1)(1)8a b c ---≥。
小结 用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应 用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。 例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等 差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形。 变式 设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点. 求证 PD 垂直于ABC ?所在的平面。 小结 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或 把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明 确表示出来。 【基础达标】 A1. 求证 对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=。 B2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=， 求证 60A B += . （提示：算tan()A B +）。