常微分方程中的几种非线性方程的解法1

2015年度本科生毕业论文（设计）

常微分方程中几种非线性方程的解法

教学系：数学学院

专业：数学与应用数学

年级：2011级

姓名：杨艺芳

学号：20110701011053

导师及职称：刘常福教授

2015年5月

毕业论文（设计）原创性声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：日期：

毕业论文（设计）授权使用说明

本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：指导教师签名：

日期：日期：

杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单

姓名职称单位备注

主任（组长）

摘要

非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。

关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解

英文

目录

一、引言 (1)

二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 (1)

2.1线性微分方程 (1)

2.2非线性微分方程 (1)

三、非线性微分方程的解法 (2)

3.1利用初等积分与引入新变量法 (2)

3.1.1形如()()

,0n F x y =型的方程分的两种情形............................23.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程. (3)

3.1.3形如()()'

,,...,0n F x y y =型的方程........................................43.2首次积分法 (4)

3.3常数变易法 (5)

3.3.1引用定理3.1 (5)

3.3.2形如dy y y g dx x x ??=+ ???

型的方程............................................63.3.3形如()()'y y P x e Q x +=型的方程 (6)

3.3.4形如'x y xy y

+=型的方程..................................................73.4可化为线性方程法 (7)

3.4.1通过变换方程化为线性方程的方程 (7)

3.4.2通过求导运算化为线性的方程 (8)

3.4.3伯努利方程 (8)

3.4.4黎卡提方程 (8)

3.4.5二阶非线性方程()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型 (9)

四、结束语.....................................................................................10参考文献........................................................................................10致谢. (11)

1

一、引言

在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。非线性常微分方程是伴随着微积分学发展起来的数学分支，发展得不是很完善，在学术界也是一个值得深究的热题。现在微分方程科学研究的发展很快，但以目前国内高校微分方程教材的现状来看，不同程度地存在着内容相对滞后的现象。为了能够更加完整地掌握和了解非线性微分方程，本文将利用几种特殊的非线性微分方程的解法加以说明，让更多学者能够简易明了地认清非线性微分方程的解法，从而能够达到从特殊化到一般化、循序渐进地理解非线性微分方程的本质。

二、线性微分方程分与非线性微分方程的区别

2.1线性微分方程

在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变

量的个数为两个或者两个以上的微分方程为偏微分方程。如：2

0dy dy t y dt dt ??++= ???是常微分方程，y 是未知函数，t 是自变量。2240T T x t

??+=??是偏微分方程，T 是未知函数，x 、t 是自变量。本文将对常微分方程作讨论，以下统称微分方程。

一般的n 阶微分方程具有形式

(,,,...,0n n dy d y F x y dx dx =，(1-1)

如果方程（1-1）的左端为y 及,...,n n dy d y dx dx

的一次有理整式，则称（1-1）为n 线性阶微分方程。一般n 阶微分方程具有形式1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a x a x a x y f x dx dx dx

---++++=，这里1(),...,(),n a x a x ()f x 是x 的已知函数。

2.2非线性微分方程

不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程。

常微分方程中的几种非线性方程的解法

2例如：20dy dy t y dt dt ??++= ???是一阶非线性微分方程。()(),0n F x y =，()()

',,...,0n F y y y =等为高阶非线性微分方程[1]。

三、非线性微分方程的解法

3.1利用初等积分与引入新变量法[5]

3.1.1形如()(),0n F x y =型的方程分两种情形

若可以解出()n

y ，写为()()n y f x =，则通过n 次积分得通解()()()()()()00121200.........,1!2!x x n n n n x x n

c c y f x dx x x x x c n n --=+-+-++--?? 或

()()()()()()()011212001....1!1!2!x n n n n x c c y x f dt x x x x c n n n ττ---=-+-+-++---?例如：()''y f x =型的方程，由上述思想可得：对()''y f x =两端积分，有：()()'11y f x dx f x c ==+?，再积分一次，得：()()()()11212y f x c dx f x c x c =+=++?，所以得方程的通解为：()()212.

y f x c x c =++例3.1求二阶非线性微分方程''21y y =+的通解。

解依据题意，将原方程两端积分得：()'221,

y y dx x xy c =+=++?再积分一次得：()22

22121,22y y x xy c dx x x c x c =++=+++?所以方程的通解为：22121.2

y y x c x c +=++若不便从()()

,0n F x y =方程中解出()n y 时，有时可以写成参数方程()()()

,n x h t y g t ?=??=??也即()()(),0F h t g t ≡，此时由()()()(1)',n n dy y dx g t h t dt -==得()()()1'11,n y g t h t dt g t c -=≡?，最后的通解的参数

表示为()()

12,,,...,n n x h t y g t c c c =???=??.

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例3.2求''

''y e y x +=的通解。

解此方程无法解出''y ，引入参数t ,令''y t =,则t x e t =+，所以()'''1,t dy y dx t e dt ==+所以()()'211112

t t y t e dt t e t c =+=-++?，又()()'211112t t dy y dx t e t c e dt ??==-+++????

，再积分得()y t ,故得参数方程的通解为：22212.312426t t t x e t t t t y e c e c t c ?=+??????=-+-++++ ? ???????

3.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程

这类方程的特点是不显含自变量x 。解法是令'y p =,且将y 取作自变量，则有'y p =，''..,dp dp dy dp y p dx dy dx dy

===222'''2322....,,,d dp d dp dy d p dp dp d p y p p p p g p dx dy dy dy dx dy dy dy dy ????????===+≡ ? ? ? ?????????……

2211221,,,......,.,,......,,n n n

n n n n d dp d p d p dy dp d p y g p g p dx dy dy dy dx dy dy -----????=≡ ? ?????将以上各式代入原方程，得到p 对y 的1n -阶方程：

11,,,......,0.n n dp d p F y p dy dy --??= ??

?例3.3求方程()()23''''0yy y y -+=的解。

解此方程为不显含自变量x ，令'y p =，则

''..dp dp dy dp y p dx dy dx dy =

==，代入方程得232..0dp dp y p p p p y p p dy dy ??-+=-+= ???，则得0p =，或20dp y p p dy -+=。前者对应解出y c =；后者对应方程解得()1dp dy p p y

=-，对两边积分得

()11p c y p p =-，即111c y dy p dx c y ==+，再积分得''12ln .y c y x c +=+

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因此原方程的解是：

''12ln y c y x c +=+及.

y c =3.1.3形如()()

',,...,0n F x y y =型的方程

例如：()''',y f x y =型的方程，此类方程的特点是不显含未知数y 。解法是令'y z =，则得''dp y dx =，故原方程变为()',z f x z =，设其通解为()11z f x c =+，若()1f x 的原函数为()2f x ，则原方程的通解为:()()211.

y f x c x c =++（注：对于()()()()'',,,......,,,......,n n k F x ty ty ty t F x y y ≡，令u y e =，可以将方程化为不显含未知函数的()()

''',,,...,0n F x u u u =，再令'u z =，即可以降低一阶。还有两种特殊观点下的（1-1）形的齐次型，可参阅文献[5]，见习题。）例3.4求方程'

'''

ln y xy y x =的解。解此方程不显含y ，最低阶导数为''y ，令''y z =，代入方程得'ln

z xz z x =，再令xu z =，代入上式整理得ln du dx u u u x

=-，积分得ln ln 11ln u c x -+=，即得()ln 1c u x -=，或11c x u e +=，所以11'c x z y xe +==。所以原方程的解：1111221111.c x c x y xe e c c c ++=

-+3.2首次积分法

首次积分法。对于正规形的或称典范的（n 阶）微分方程组，只要满足解的存在性条件，则它的首次积分是存在的，若求得它的一个首次积分，则可以将它降低一阶，即化为一个()1n -个方程的求解问题：若能获得它的k 个函数无关的首次积分，则可以将它降低k 阶，当k n =时，就相当于得到了它的通解。具体的求法。是找“可积组合”，即将原方程组中一部分或者全部方程进行重新组合，以获得可积的一阶方程，又是先把原方程写成对称形式，再利用熟知的有关比例的性质，使得比较容易找出“可积组合”来。首次积分法能够将高阶方程不断降阶为低阶的方程，求出低阶方程，从而就可以求出高阶方程的解[2]。形如微分方程组()11,,...,,i n dy f x y y dx =()1,2,3,4,......,,i n =(3-1)定理3.1[5]设已知微分方程组（3-1）的n 个独立的首次积分()1,,...,n i x y y c Φ=，

()1,2,3,......,n ，则它们构成方程组（3-1）的通积分（隐式通解）

。若它们可解得含n 个

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任意常数的函数组

()

11;,...,n y x c c ?=……

()

1;,...,n n n y x c c ?=则该方程组就是微分方程组（3-1）的通解。微分方程组（3-1）有时写成对称形式

112......n n n dy dy dy dx f f f I

====这样做的好处是自变量和因变量处于平等的地位，便于求首次积分。

例3.5求方程组dx t y dt y x dy x t dt y x

-?=?-??-?=?-?的解。解将方程写成对称形式：dt dx dy y x t y x t

==---，按照比例的性质，将上面的三个分式的分子、分母、分别相加；再将第一、二、三个分式，分别在分子分母上乘2t 、2x 、2y ，再分子相加分母相加，这样得：

()()22200

d t x y d t x y dt dx dy y x t y x t ++++====---，显然找到了两个可积组合：()0d t x y ++=，()2220d t x y ++=，分别产生两个首次积分：

1t x y c ++=，222

2t x y c ++=，连立起来，即12222t x y c t x y c ++=??++=?，为原方程组的隐式通解。3.3常数变易法

3.3.1黎卡提方程的常数变易法

()()()2,dy P x y Q x y R x dx

=++（3-2）这是黎卡提方程（下文会有说明）。根据常数变易法，先求它“对应”的齐次

()dy p x y dx =的解()p x dx y ce ?=，令()(),

p x dx y c x e ?=（3-3）代入原方程，有：{}()2()[()][()](),p x dx dc x e Q x a c x bc x c dx

?=++

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6分离变量得到：

()2()().[()]()p x dx dc x Q x e a c x bc x c -?=++两边积分，求出()c x ，然后代入（3-3）得原方程的通解。

例3.6求方程

221dy y y dx x x

=++。解先求它“对应”的齐次2dy y dx

=的解1dx y ce ?=，令1()dx y c x e ?=，代入原方程，有：{}2()1[()]()x c dc x e a c x bc x c +=++，两边积分，求出()c x ，然后代入1()dx y c x e ?=中得到方程的解为1y x =-及11.(ln )

y x x C x =-+-(注：个别的一阶非线性微分方程，可用常数变易法求解。)

3.3.2形如dy y y g dx x x ??=+ ???的方程（3-4）解法为：根据常数变易法，先求出原方程(3-3)式对应的齐次方程：

dy y dx x

=的通解：y cx =，令()y c x x =，（3-5）将（3-5）代入（3-4）式有：()()()()'c x x c x c x g c x +=+????，即()()g c x dc x dx x ????

=，即

()

()dc x dx x

g c x =????，两边积分得()()c x g c x c =+???? ，然后代入（3-5）得到原方程的通解为：().y xg c x cx

=+???? 例3.7求方程'tan

y xy y x x -=的解。解将原方程改写为'tan y xy x y =+，即'tan y y y =+，所以根据上述方法，先解齐次方程'

y y x =的通解为:y cx =，令()y c x x =，代入原方程得()()tan dc x c x dx =，即()

()tan dc x dx c x x

=，两边积分得()sin c x cx =，（c 为任意常数），且()y c x x =，代回原变量，所以原方程得通解为：sin

y cx x =,（c 为任意常数）。3.3.3形如所以()()'y y P x e Q x +=型的方程

（3-6）

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7

解法为：先求（3-6）中对应的方程()'0y y P x e +=的通解为：ln[()]y p x dx c =-+，令ln[()()]y p x dx c x =-+，代入原方程化简后得：

()()()()()'c x Q x c x Q x P x dx +=-?，可以得出()c x ，所以得出（3-6）的通解为

()()()()ln .Q x dx P x dx y P x dx e Q Pdx e dx c -??????=--+ ??????

???例3.8求'1y y xe +=的解。解依据上述的方法先解'0y y xe +=，得它的通解为：ln y xdx c ??=-+??

?，令()()ln y P x dx c x ??=-+???，代入原方程得：()()'112

c x c x x x +=-，所以得：()1122321111111.,2266dx dx x x c c x e x e dx c x dx c x c x x x x -

????????=-+=-+=-+=-+?? ???????????所以原方程的通解为：211ln .2

c y x x x ??=-++ ???3.3.4形如'x y xy y

+=型的方程解法为：'0y xy +=的通解为2

2x y ce

-=，设原方程的通解为()22x y c x e -=，代入原方程得()()2

2'x x x c x e e c x -=,即()()

2'x x c x e c x =

，两边积分可得：()22x c x e c =+，代入()2

2x y c x e -=中可得：22222.

x x y e ce -=+3.4可化为线性方程法

有些微分方程，可以通过适当的代换或求导运算化为线性的微分方程，特殊类型采用特定方法，从而利用线性微分方程的的方法对原方程进行求解[3]。

3.4.1通过变换方程化为线性的方程

例3.9求微分方程()'cos sin 21x y y y +=的通解。

解原方程可以改写为cos sin 2dx x y y dy

=+，这是一阶线性方程，其通解为：

常微分方程中的几种非线性方程的解法

8cos cos sin 2ydy ydy x e ye dy c -????=+????

?sin sin 2sin cos .y y e y y e dy c -??=+??

?()sin sin 2sin sin y y e ye d y c -??=--+??

?()sin sin sin 2sin 2sin y y y e ye e d y c --??=-+-+??

?sin sin sin 2sin 2y y y e ye e c --??=--+??

sin sin 2.

y y ce =--+3.4.2通过求导运算化为线性方程的方程

例3.10求方程2xydx x y =+?解。

解对2xydx x y =+?两边求导，得'2xy x y =+即

2dy xy x -=-，（3-7）先求出dy xy dx =的通解为：xdx y ce ?=，令()xdx y c x e ?=，（3-8）两边求微分：()()xdx xdx dy dc x e c x xe dx dx

??=+，（3-9）将（3-8）、（3-9）代入（3-7）中得：()()()2xdx xdx xdx dc x e c x xe xc x xe x dx

???+=-，故()2xdx dc x xe dx -?=-，积分后得到：2

2()22x xdx c x xe dx e c --?=-=+? ，故2

2

2x y ce =+ ，故原方程的解为2

2

2.x y ce =+

3.

4.3伯努力方程形如()()()0n dy p x q x y n dx

+=≠的方程，称为伯努力方程，其中()p x 、()q x 是在某个区间内的已知函数，对于这类方程，只要借助于变量代换，就可以化为线性方程。做

变换1n z y -=，将上式变为()()()()11dz n p x z n q x dx

+-=-，然后通过常数变易法求出解，显然0y =也是解。

例3.11求方程420dy xy xy dx

++=的解。解这是4n =的伯努力方程，做变换3z y -=，

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代入原方程得

63dz xz x dx =+，这是以z 为未知数的线性方程，它的通解为663xdx xdx z e c xe dx -????=+ ???

?，整理得2312x z ce =-，代回原变量，得到方程的通解为233

112x ce y =-，即21331.1x y ce ?? ?= ? ?-??此外还有特解0.

y =3.4.4黎卡提方程形如()()()2,dy P x y Q x y R x dx =++(3-10)

的方程，称为黎卡提方程,其中()P x 、()Q x 、()R x 是在某个区间的已知函数，对于这类方程，解法为：设方程（3-10）的一个特解为()1y x ，做变换()1y z y x =+，代入方程（3-10），化简得()()()()212dz P x y x Q x z P x z dx

=++????，即变为伯努力方程，得出通解，在代入()1y z y x =+中，就可得到方程（3-10）的通解[2]。

例3.12求方程()2'2420x y y xy +++=的解。

解将方程变换为2242dy y y dx x x =---，这是黎卡提方程，他有特解12y x =-，做变换2y z x =-，代入方程得到2dy z dx =-，两边再积分得1x c z =+，此外0z =也是解，所以代回原变量得，原方程的解为：2y x =-，及12.y x c x

=-+3.4.5形如()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型的方程

(3-11)对于（3-11）式是非线性方程时，我们将非线性化为线性问题求解[4]。

解法为：对于函数()',,f x y y 关于变元y 和'y 是非线性的。我们假设函数()',,f x y y 在()'00,,x y y 的领域内关于

()0y y -和()''0y y -可展成泰勒级数，即：()()()

()()

()''0000''''

0000',,,,,,,,f x y y f x y y f x y y f x y y y y y y y y ??=+-+-+??……略去关于()0y y -和()''0y y -的高次项，就得到一个近似的二阶线性微分方程：

()()()''',

y p x y q x y g x ++=(3-12)

常微分方程中的几种非线性方程的解法

其中()()

'00,,f x y y p x y ?=-?，()()

'00',,f x y y q x y ?=?，()()''

0000',,f f g x f x y y y y y y

??=--??.显然，()p x 、()q x 、()g x 都是已知的连续函数，关于（3-12）的解法我们已经知道，所以方程（3-12）的解就是非线性方程（3-11）的近似解。

例3.13求非线性方程'''222y xy y =+在(),1,1x 领域内的近似线性方程。

解因为()''22,,2f x y y xy y =+是解析函数。而

(),1,12f x y ?=?，()',1,14f x x y ?=?，所以将()',,f x y y 在(),1,1x 领域内展成幂级数，

有()()()'',,212141f x y y x y x y =++-+-+……，略去高次项，得到近似的线性方程为：'''422 1.

y xy y x --=--四、结束语

本文总结了，“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等求解非线性常微分方程的方法，并以实例说明了各种方法的特点，学习了这些方法，对非线性方程解法的初步理解有推动作用，这些方法都是针对特殊类型的非线性常微分方程，对于同种类型的非线性常微分方程具有一定的可适性，可用于以后所涉及的同种类型方程的求解。对于具体的复杂型非线性微分方程地求解方法，将于另文说明。

参考文献

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2007，16-29.

[2]庄万.常微分方程习题解[M].济南：山东科学技术出版社，2003.9（2004.4重印）.53-636.

[3]王寿生，李云珠，张肇炽，等.微积分解题方法与技巧[M].西安：西北工业大学出版社，1988，

142-145.

[4]王光发，吴克乾，邓宗琦，等.常微分方程[M].第二版，湖南：湖南教育出版社，1988，131-132.

[5]钱祥征.常微分方程解题方法[M].湖南：湖南省科学技术出版社，1987，109-141.

[6]任永泰，史希福，等.常微分方程[M].沈阳：辽宁人民出版社，1984，4-6

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致谢

本论文在刘老师的悉心指导下完成的。老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标，掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物、与人处事的道理。

还要感谢和我同一设计小组的几位同学，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，同学们都不厌其烦的给予我帮助，使我能及时的发现问题把设计顺利的进行下去，同时我也从中体会到了合作的力量，没有你们的帮助我不可能这样顺利地结稿，在此表示深深的谢意。

在历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，都在老师和同学的帮助下度过了，非常感谢刘老师和第六组的各位同学，以及帮助过我的各位老师，你们辛苦了，谢谢。

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x

常微分方程数值解法的误差分析教材

淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日

常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差

Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y =

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

各类微分方程的解法大全

各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程

令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数

常微分方程数值解法

第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

常微分方程数值解法

常微分方程数值解法 【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型 1. 发射卫星为什么用三级火箭 2. 人口模型 3. 战争模型 4. 放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来” 的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 1. 改进Euler 法： 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： 【源程序】 1. 改进Euler 法： function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(xO, x1)为x 区间，yO 为初始值，n 为子 区间个数 if nargin<5,n=5O;end h=(x1-xO)/n; x(1)=xO;y(1)=yO; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 调用command 窗口 f=i nlin e('-2*y+2*x A2+2*x') [x,y]=eulerpro(f,O,,1,1O) 2 x +2x , (0 < x < , y(0) = 1 求解函数y'=-2y+2 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： [t,y]=solver('F',tspan ，y0) 这里solver为ode45, ode23, ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。 注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。 ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(△ 口人5解 决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。

二阶常微分方程的降阶解法

郑州航空工业管理学院 毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant

15第十五章 常微分方程的解法

-293- 第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如 22x y dx dy +=。于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ?????=≤≤=0 )() ,(y a y b x a y x f dx dy （1） 在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数L ，使得 |||),(),(|y y L y x f y x f ?≤? 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点 b x x x x a N =<<<<=L 210 处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解， n n n x x h ?=+1称为由n x 到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商h x y x y n n ) ()(1?+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得 )1,,1,0())(,() ()(1?=≈?+N n x y x f h x y x y n n n n L 化简得 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ， 则有 )1,,1,0() ,(1?=+=+N n y x hf y y n n n n L （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ?? ?=?=+=+) () 1,,1,0(),(01a y y N n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出N y y y ,,,21L 。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。

(整理)常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<<<<=L （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-L 方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t L 上的差分解1,,N u u L 。

(完整版)专题一(二阶常微分方程解法)

二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数； 式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤： 为常数； ，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数； 型，为常数 ，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+'' 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ''+'+=y py qy f x () （1） 其中p q ,是常数。 方程（1）的通解为对应的齐次方程 0=+'+''qy y p y （2） 的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。即 *y Y y +=.我们已解决了求二阶常系数齐 次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解* y 的方法。 下面我们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方法。 一、 f x e P x x m ()()=?λ型 由于方程（1）右端函数f x ()是指数函数e x λ?与m 次多项式P x m ()的乘积，而指数

函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测： 方程（1）的特解应为 y e Q x x *?=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 ) y e Q x e Q x x x *??'=+'λλλ()() y e Q x Q x Q x x *?"=?+'+''λλλ[()()()]22 代入方程（1），得 e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ???''++'+++≡?[()()()()()]()22 消去e x λ?，得 ''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3） 讨论 01、如果λ不是特征方程 r pr q 20++=的根。 即 02≠++q p λλ 由于P x m ()是一个m 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x ()必为一个m 次多项式，设为 Q x b x b x b x b m m m m m ()=++++--0111Λ 将之代入（3），比较恒等式两端x 的同次幂的系数，就得到以b b b b m m 01 1,,,,Λ-为未知数的m +1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m +1个待定的系数，并得到特解 y e Q x x m *?=λ() 02、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的单根。 即 λλ20++=p q ，但 20λ+≠p 欲使（3）式的两端恒等，那么'Q x ()必是一个m 次多项式。 因此，可令 Q x x Q x m ()()=? 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 0 11,,,,Λ-。 03、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的二重根。 即 λλ20++=p q ，且 20λ+=p 。 欲使（3）式的两端恒等，那么''Q x ()必是一个m 次多项式 因此， 可令 Q x x Q x m ()()=?2 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 011,,,,Λ-。

二阶常微分方程的解法及其应用

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程