篮球竞赛技术水平问题

篮球竞赛技术水平问题

（青青、永远、程哲）

摘要

本题主要分析篮球比赛中的技术表现与竞赛成绩之间的关联关系，以及对这些指标的贡献程度进行排序，将结果进行详细分析，最后对球队的技术方面给出有效建议。通过将该球队的技术表现指标化，建立主成分分析模型和灰色关联度模型，利用Matlab软件和SPSS 统计软件得到球队各技术指标对得分的灰色关联度，和五场比赛对该球队竞技水平的影响程度，从而给出有效意见，提高该球队的综合竞技水平。

模型一：灰色关联度模型对球队的17个技术指标与总体得分情况建立灰色关联度模型，依据运算过程中纲量保持一致原则，运用Matlab软件求解得到灰色加权关联度，计算出2分投球和三分进球等技术指标的关联度最大，而篮板的攻和防等指标对得分的影响则颇小。

模型二：主成分分析模型对球队五场比赛的17个技术指标数据进行主成分分析，运用SPSS统计软件，确定各级指标的权重，得到三个主成分：正面进攻及命中率、负面进攻、正面助攻，进而得到各场比赛综合评价值为-0.44202、-0.26192、0.291278、-0.51289、0.925559。再根据分析每场比赛球队的技术表现与得分之间的关系，得出三个主成分对得分的影响程度大小。

关键词：篮球技术指标；灰色关联度；主成分分析；Matlab软件；SPSS统计软件

§1：问题的重述

1.1 篮球技术指标

1. 具体技术指标

篮球竞赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是判定运动队竞赛成绩的客观标准。本文主要讨论的技术指标包括：2分进球数、2分投球数、2分投球率、3分进球数、3分投球数、3分投球率、罚球投球数、罚球进球数、罚球进球率、篮板（攻）、篮板（防）、篮板（合）、助攻、犯规、失误、抢断、盖帽等十七项。

2.指标的名词解释

2分球：在两分线以外三分线以投篮且命中的篮球。

3分球：在三分线以外投篮且命中的进球。

罚球：主要是体育比赛中,对犯规方惩罚,对进攻方因被侵犯而影响进攻的补偿而设立的.通常在足球和篮球等比赛中出现。

篮板（攻）：即进攻方作出进攻动作后未得分，进攻方抢得的篮板。

篮板（防）：防守篮板就是后场篮板，即进攻方作出进攻动作后未得分，防守方抢的的篮板助攻：当球处于活球阶段，通过持球球员对于球的传递，帮助第一位触球的己方球员完成直接的得分的行为。

犯规：在篮球比赛中，对场上或球队席上的球队成员的没有体育道德的行为或违例的处罚，是技术犯规,这种犯规很恶劣,若累积两次,则将被直接罚出场。

失误：在篮球比赛中，由于你本身发生的错误导致球队失去控球权的时候，就叫做失误

抢断：又叫盗球或抄截。

盖帽：进攻人投篮出手时，防守人设法在空中将球打掉的动作。

1.2 相关数据

依据题目所给数据得到球队5场比赛的技术指标统计结果，见附录一。

1.3 要解决的问题

根据球队5场比赛的的技术指标结果，建立数学模型，利用数学软件得到该球队的技术指标与该队的成绩（得分）之间的关联关系，并针对其结果向球队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞技水平。

§2 问题的分析

在一场篮球比赛中会有多种因素决定哪个队会获胜，这个问题就是研究这些因素与球队获胜的关联，引入灰色关联度分析的方法来建立模型求解各种因素与球队获胜之间的关联。

对于问题一，球队的技术水平是通过最终成绩决定的。技术指标与该队的成绩（得分）之间的关联关系需要建立灰色模型体系，运算过程中纲量保持一致原则，运用Matlab软件求解，比较关联系数的大小便可得出和最终比赛成绩关联关系最大的是2分球的命中率。

对于问题二，通过Matlab计算出各个指标的关联系数值后，便可直接对其进行排序，得出各个指标的贡献率大小。

对于问题三，将影响球队成绩的17种指标分为三类主成分因子，记为第一，第二，第三类。通过SPSS软件计算结果，然后采用Thomson回归法得到因子得分系数矩阵，分别求出三个因子对应的因子方差贡献率占累计方差贡献率的比重，并将其作为三个因子的权重系数。然后对五场比赛的因子加权求和，得到综合分值。最后分析结果，对球队的技术水平提出相应的建议。

§3 模型的假设

1：假设题目所给数据真实有效。

2：假设每场比赛所有球员都竭尽全力比赛，球员基本情况稳定，教练合理配置球员。

3：假设比赛公平竞争，裁判公正，比赛场次安排合理。

§4 名次的解释和符号说明

一、名词的解释

灰色关联度：灰色关联度：灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰色关联度分析是其中的一种。基本上灰色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度做发展态势的分析。

二、符号说明

()a k ξ 技术指标与比较数列之间的关联系数

ρ 灰色模型中的分辨系数 w 指标的权重

i r 第i 个评价对象对理想对象的灰色加权关联度

§5 模型的建立及求解

问题一：

1：模型的准备（灰色模型）

①确定灰色模型中的比较数列（2分进球数、2分投球数、2分投球率、3分进球数、3分投球数、3分投球率、罚球投球数、罚球进球数、罚球进球率、篮板（攻）、篮板（防）、篮板（合）、助攻、犯规、失误、抢断、盖帽）和参考数列（第一二三四五场比赛）。

参考数列：0x =｛0()x k |k =1，2 … n ｝ (n =5)

比较数列：i x =｛()i x k |k =1，2 … n ｝，i =1，2 … m （m =17）

②确定各指标数值对应的权重：1[w w … … ]m w ③计算灰色关联系数：

0000min min ()()max max ()()

()()()max max ()()

a a a

k

a

k

a a a a

k

x k x k x k x k k x k x k x k x k ρξρ-+-=

-+-

其中0min min ()()a a

k

x k x k -表示两级最小差，0max max ()()a a

k

x k x k -表示两

级最大差。一般来讲，ρ越大，分辨率越大。

④计算灰色关联度： ∑==

n

k i

i i k w r 1

)(ξ

⑤评价分析：根据上述灰色关联度的大小，对各指标进行排序，建立各评价对象的关联序。其中，关联序越大，其评价结果越好。

2：模型的求解

①统计五场比赛的技术指标结果和总体得分情况，得到表格，见附录一。 ②将各数据录入Matlab 软件中，得到清晰的汇总表。见表一。

表一：球队技术指标和得分情况统计汇总表

1

1.5

2

2.5

3 3.5

4

4.5

5

比赛场次

指标得分

在这些曲线中，指标的斜率变化程度与得分的斜率的变化程度越接近，则该项指标与得分的关系越紧密。初步分析可知2分投球次数、3分投球率等与得分的关系紧密。但是这仅仅只能初步估计，进一步的分析得到更精确的结果，可采用灰色关联度模型。 ③数据的无纲量化：在SPSS 软件分析中，为方便比较，应让所有数据有一个公共点（相同对比系数），使纲量保持一致。于是将这些数据进行初始化处理。 设原始数据为(1),(2),{X

x x … (5)}x ，将数据初始化：5

12

111

,,x x x x x x x 。得到处理

后的结果见表二。

表二：数据的无纲量化处理后的结果

得分 1 1.25641 1.25641 1.205128 1.282051 2分球（进） 1 1 1.428571 1.071429 1.928571 2分球（投） 1 0.833333 1.033333 0.9 1.333333 2分球% 1 1.199914 1.382473 1.190486 1.446325 3分球（进） 1 2.666667 2.166667 2.166667 1.666667 3分球（投） 1 1.35 1.2 1.35 1.4 3分球% 1 1.975333 1.805667 1.605 1.190333 罚球（进） 1 0.6875 0.59375 0.78125 0.5 罚球（投） 1 0.7 0.52 0.62 0.48 罚球% 1 0.982188 1.141875 1.260156 1.041719 篮板（攻） 1 0.444444 0.555556 0.5 0.5 篮板（防） 1 0.965517 0.62069 0.793104 0.758621 篮板（合） 1 0.765958 0.595745 0.680851 0.659574 助攻 1 1.333333 1.416667 0.583333 1.083333 犯规 1 1.7 1.6 1.35 0.7

失误 1 1.1875 0.9375 1.3125 0.5625

抢断 1 2.4 1.8 0.8 1.6

盖帽 1 1.666667 1.333333 0.666667 1

④利用Matlab软件进行计算，得到各指标的灰色关联度。（计算过程见附录二）

问题二：

根据问题一所得结果，将17项技术指标的灰色关联度进行排序，得到表三。

表三：各指标的灰色关联度排序

指标2分进

球数

2分投

球率

3分投

球数

2分投

球数

3分进

球数

罚球进

球率

失误盖帽助攻

排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9

关联度3.185

1

2.456

2

2.396

4

2.282

8

2.147

2

0.854

4

0.797

2

0.768

5

0.761

7

指标犯规3分投

球率

篮板

（防）

抢断

篮板

（合）

罚球投

球数

罚球进

球数

篮板

（攻）

排名10 11 12 13 14 15 16 17

关联度0.738

7

0.722

0.694

4

0.660

7

0.649

2

0.640

5

0.619

6

0.595

2

问题三：

由问题二我们得出2分、3分的进球数和进球率等指标与得分结果关联度较大，但是球队共进行五场比赛，每一场比赛的表现都不相同，于是每场比赛的技术指标的发挥程度都影响了最终的结果。本文通过主成分分析法对五场比赛的十七个指标进行详细的权重分析。 1：模型的求解

①将五场比赛十七个指标统计的数据录入SPSS统计软件中。

②在SPSS统计软件中进行因子分析，得到结果。见附录三。

③确定主成分因子：

根据累计方差贡献率应达到85%的原则确定主成分的个数为3，分析成分矩阵中各指标与三个主成分的系数大小，得到第一主成分的因子有：2分进球数、2分投球数、3分进球数、3分投球数、罚球投球数、罚球进球数、篮板（攻）、篮板（防）、篮板（合），可归纳为正面进攻及命中率；第二主成分的因子有：失误、犯规，可以归纳为负面进攻；第三主成分的因子有：助攻、抢断、盖帽，可以归纳为正面助攻。

④因子分析

采用Thomson回归法得到因子得分系数矩阵，分别求出三个因子对应的因子方差贡献率占累计方差贡献率的比重，并将其作为三个因子的权重系数。然后对五场比赛的因子加权求和，得到综合分值。结果见表六。

表六：五场比赛的综合分值

F1 排名F2 排名F3 排名综合得分排名-1.55638 5 0.74767 2 0.23781 3 -0.442024

-0.18318 4 -1.08101 5 0.80408 1 -0.261923

0.72336 2 -0.5212 4 0.55996 2 0.2912782

0.00582 3 -0.47707 3 -1.72298 5 -0.512895

1.01038 1 1.33161 1 0.12113 4 0.9255591

⑤结果分析

由上述结果可知第五场和第三场比赛对结果的影响尤为重要。

第五场比赛在命中率、进攻和失误率上都除了较好，但是在助攻的技巧方面就显得稍微薄弱，由于正面助攻方面因子的指标与总体得分的关联度较小所以总体得分依旧位居首榜。

第三场比赛在进攻和命中率上都表现颇好，但是负面进攻次数过多，尤其是犯规太严重，使得得分没有过百。

第二场比赛和第三场比赛在得分上一样，但是在具体的主成分因子中的表现却迥异。第二场比赛失误次数一样太多，并且命中率也比均衡命中率要低。然后第二场比赛在助攻方面表现良好，使得全场比赛进攻次数较多，尤其是三分球的进攻大大弥补了命中率低的缺憾，使得得分保持较高。

第一场比赛得分在五场中最少，主要是进攻方面表现薄弱，命中率也是五场中最低，而偏偏第一主成分中的因子与得分的关联度均很大，所以很大程度上影响了总体得分。

第四场比赛在正面助攻上表现薄弱，所以影响了整体的进攻水平。

综合上述分析的五场比赛中的各个主成分对球队整体水平的影响程度，可以发现，进攻和命中率是决定一个球队得分的主要影响因素，所以该球队中的大前锋和小前锋应当多加训练，提高进攻能力以及命中率，同时中锋也应当加强进攻和控制篮板能力。其次，失误次数也对得分有一定影响。最后，所有球员都应多多配合，提高助攻能力，这样就可以使得该球队在竞技水平上得到很大的提升。

§6模型的评价与推广

灰色系统理论提出了关联度分析方法，这种分析方法是根据因素之间发展趋势的相似性和相异程度来衡量因素间关联程度的。它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于关联度分析法是以发展趋势为立足点的，所以它对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到可以用手算，而且不会出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。同时灰色系统理论可以充分利用手头上已有的数据和信息，尽管该系统的信息不够充分，但同属于一个系统的数据必然是有序的或者有特定的功能的。所以灰色系统理论认为这些数据并不一定是不可捉摸的，为了处理这些数据可以把随机量看成是在一定围变化的灰色量，按适当的方法队原始数据进行处理，将灰色数变换为生成数，从生成数进而得到规律性较强的生成函数。

由于灰色系统的这些优点使得它非常适用于本题的模型。它很好地解决了本题所给出的数据的不充分和不典型性。

本模型在解决同种问题具有仿照性，如：世界杯篮球赛，NBA篮球赛等篮球比赛问题只需要改变数据和数据组数就能得到结果；更重要的是在相似问题，如：足球比赛，乒乓比赛等，只需对题设中的影响因素作部分修改就能得到结果；因此模型的推广性极强，有很大的社会效益。

参考文献：[1] 2006年北数学建模联赛B题

[EB/OL]．https://www.sodocs.net/doc/8718451319.html,/shiti/2006subei/index.html[G],2006

[2] 继红．数学建模[M]．：工程大学，1996年

[3] 文静．对CBA男篮得分能力的逐步回归分析[J]．体育科技第26卷总第105期,2004年

第4期

附录

附录二：Matlab软件处理过程：

p=0.5;

X1=[1 1 1.428571 1.071429 1.928571;

1 0.833333 1.033333 0.9 1.333333;

1 1.199914 1.382473 1.190486 1.446325;

1 2.666667 2.166667 2.66667 1.666667;

1 1.35 1.

2 1.35 1.4;

1 1.975333 1.805667 1.605 1.190333;

1 0.6875 0.59375 0.78125 0.5;

1 0.70 0.5

2 0.62 0.48;

1 0.979375 1.141875 1.260156 1.041719;

1 0.444444 0.555556 0.5 0.5;

1 0.965517 0.62069 0.793103 0.758621;

1 0.765957 0.595745 0.680851 0.659574;

1 1.63 1.416667 0.583333 1.083333;

1 1.7 1.6 1.35 0.7;

1 1.1875 0.9375 1.3125 0.5625;

1 2.4 1.8 0.8 1.6;

1 1.666667 1.333333 0.666667 1];

X0=[1 1.25641 1.25641 1.205128 1.282051]; for i=1:5

for j=1:17

y(j,i)=X0(i)-X1(j,i);

end

end

y;

y=abs(y)

ma=max(max(y));

mi=min(min(y));

for j=1:17

for i=1:5

k(j,i)=(mi+p*ma)/(p*ma+y(j,i));

end

end

k=k';

r=sum(k)/5;

r

附录三：SPSS统计软件因子分析的结果

a.

分析协方差矩阵时，初始特征值在整个原始解和重标刻度解中均相同。

成份矩阵a

原始重新标度

成份成份

1 2 3 1 2 3

2分球进 4.370 3.427 .803 .779 .611 .143 2分球投 2.931 4.908 .730 .508 .850 .126 2分球命中率.081 .010 .012 .981 .125 .143 3分球进 1.828 -3.118 .096 .484 -.825 .025 3分球投 2.434 -.585 -.806 .744 -.179 -.246 3分球命中率.045 -.113 .016 .365 -.918 .132