直线和圆的位置关系及有关计算[1]

直线和圆的位置关系及有关计算

一、知识点的准备：1、垂经定理：过圆心垂直弦平分弦、平分弦所对的两条弧。

2、切线的判定：过半径的外端点和半径垂直的直线是圆的切线。

3、切线的性质：切线垂直过切点的半径

二、训练题

1、已知：如图，A 是O 上一点，半径O C 的延长线与过点A 的直线交于B 点，O C B C =，

12

A C O

B =

．

（1）求证：A B 是⊙O 的切线；

（2）若45A C D ∠=°，2O C =，求弦C D 的长．（2007年北京）

2、AB 是⊙O 直径，CB 是⊙O 切线，AC 交⊙O 于D ，E 是弧AD 上一点，∠EAD =∠DAB ，已知BC=6，AB=63。

（1）求DC 的长。（2）求DE 的长。

3.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，∠B=300，∠CAD=300， （1）求证：

AD 是⊙O 的切线；

（2）若O D ⊥AB,BC=5，求AD 的长。

（2006年北京）

4、如图，已知：在△ABC 中，∠C=900，BE 是∠ABC 的平分线，

D E ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BED 的外接圆。

（1）求证；AC 是⊙O 的切线。

（2）若AD=6，DE 的长。

5、如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 作 QR 与OA 延长线交于点R , 且PR=QR. （1）求证：QR 是⊙O 的切线； （2）若OP ＝PA ＝1，试求RQ 的长.

O

A

B

C

D C R

6、（2010年北京）已知：如图，在ABC △中，D 是AB 边上一点，O ⊙过D B C 、、三点，

290D O C A C D ∠=∠=?．

（1）求证：直线A C 是O ⊙的切线；

（2）如果75AC B ∠=?，O ⊙的半径为2，求BD 的长．

7、（2009年北京）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经

过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=13

时，求⊙O 的半径.

8、如图，在A B C △中，A B A C =，以A B 为直径的圆O 交B C 于点D ，交A C 于点E ，过点D 作D F AC ⊥，垂足为F ． （1）求证：D F 为⊙O 的切线；

（2）若过A 点且与B C 平行的直线交B E 的延长线于G 点，连结C G ．当A B C △是等边三角形时，求A G C ∠的度数．

9、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 弧的中点，D E ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F ，

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE=3，⊙O 的半径为5，求BF 的长。

G

（第23题）

B

F

11、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900,AD 是∠BAC 的角平分线。 (1) 以AB 上一点O 为圆心,AD 为弦作⊙O ； (2) 求证：BC 为⊙O 的切线； (3) 若AC=3，tanB=34

，求⊙O 的半径。

12、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长线于点E ，连结BC 。 (1)求证：BE 为⊙O 的切线；

(2)如果CD ＝6，tan ∠BCD ＝? ，求⊙O 的直径。

13、如图四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，A E ⊥CD ，垂足为E ，DA 平分∠BDE 。 ⑴求证：AE 是⊙O 的切线；

⑵若∠DBC=300，DE=1，求BD 的长。

14、（2008年北京）已知：如图，在R t ABC △中，90C ∠=

，点O 在A B 上，以O 为圆心，O A 长为半径的圆与A C A B ，分别交于点D E ，，且C B D A ∠=∠． （1）判断直线B D 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5A D A O =，2B C =，求B D 的长． 解：

A