一类带外场的双曲Landau-Lifshitz方程解的长时间行为

(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式

常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲

上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理

抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例

偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生姓名：向聘

抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族

平行直线jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =和k t t k τ ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域 G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示 网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(())k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 1000 121011000 232121000 3432310001121(12)(12)(12)(12)N N N N N u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f ττττ----?=+-++?=+-++??=+-++? ???=+-++? (1.2.5) 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式(1.2.4)可写成向量形式 10 ,0,1,,1 k k k M φ +?=+=-?=? u Au f u (1.2.6) 其中

抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82 本科生毕业论文（设计） 题目：一类抛物型方程的计算方法 作者单位数学与信息科学学院 作者姓名 专业班级2011级数学与应用数学创新2班 指导教师 论文完成时间二〇一五年四月

一类抛物型方程的数值计算方法 (数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班) 指导教师 摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析. 关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性 Numerical computation methods for a parabolic equation Yan qian (Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Nie hua Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established. Key words: differential method, finite element method, convergence, stability

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 一、直纹曲面： 柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面. 二、直母线： 1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为 (λ, μ为参数, 且不全为零) 与 (λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似. 2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为 (λ为参数) 与 (λ'为参数) 3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.

4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17. 三、性质： 1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交. 2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面. 3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点. 例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线. 解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为 与 将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1, 代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为 与 即 与 例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线. 解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为 它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有 3×+2×+(－4)×＝0, 解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为

试析在实际生活中双曲抛物面的作用

试析在实际生活中双曲抛物面的作用 摘要：在几何中,由一族直线运动所产生的曲面叫做直纹面,这些运动的直线称为直母线。双曲抛物面就是典型的直纹面,并且它有两族直母线。本文通过对双曲抛物面的直纹性进行研究,探索了双曲抛物面在建筑、电力工程、日常生活、宇宙学中的应用,并进一步研究了手工制作双曲抛物面的方法。 关键词： 几何 双曲抛物面 手工制作 直纹性 在生活中,比如随意舞动一根棍子,棍子运动的轨迹面就会包含直线,这样的曲面就是由直线构成,而双曲抛物面正是这样一种曲面。它是由两族直线分别组成,正是因为这种特殊性使得这种曲面有一些特性,在生活中有它独特的应用。 定义1:[1]在几何中,由一族直线运动所产生的曲面叫做直纹面,这些运动的直线称为直母线。定义2:[2]在直角坐标系下,由方程表示的曲面叫做双曲抛物面,其中a,b为任意的正常数。 双曲抛物面的直纹性:[3]性质1:双曲抛物面是直纹面,是直线运动所产生的曲面。性质2:同一族的任意两条直母线异面。性质3:任意一条直母线会和另一族所有的直母线相交。性质4:对双曲抛物面上的任意一点,两族直母线中各有一条直母线经过该点。 一、双曲抛物面在实际生活中的应用

双曲抛物面可以由直线运动所产生,易于在建筑中实施,且其形状不同于一般的平面型建筑,它集美观与实用于一体。因此,双曲抛物面在工程等方面有着广泛的应用。 (一)扭面。 水利工程中的扭面是利用双曲抛物面形状构造的,它是水闸、船闸的中间连接面。水闸侧墙是直立剖面,扭面ABCD部分是采用的双曲抛物面,这种扭面构造可以使水流平顺,减少水头损失,在工程中应用广泛。 (二)屋盖。 现代建筑中经常采用钢筋混泥土双曲抛物面薄壳作为屋盖,例如夏威夷休闲度假厅、波兰华沙火车站等。不仅外观新颖有创意性,在实用性方面具有利于排水、防止渗漏、减轻自重节约材料、受力性能较好等优点。双曲抛物面是直纹面,任意一条直母线会和另一族所有的直母线相交。这样,在一条直母线上,被另一族直母线分摊受力,相互作用,相互稳固。即使有部分点脱节,也还有其他直母线受力作用。显然也利于排水,顺流性好。在建筑中直线是最简单最原始的形状,它不需要折损,不用减少它的承受力。相对很多其它曲面而言,双曲抛物面的屋顶大大地节省了资源成本,且建造工艺简单,在建筑上就有专门的双曲抛物面的施工工法。 (三)上海体育馆。 上海体育馆整体也是一个双曲抛物面的结构,不仅利用了它的直纹性还因为它是抛物曲面。上海体育馆可以提供给观众最大的视域、更好的观赏点,同时也使得在有限的空间中容纳更多的观众。在建筑学中,抛物线拱是一种常用的模式,能够承受相当大的压力。

双曲方程基于matlab的数值解法

双曲型方程基于MATLAB 的数值解法 （数学1201,陈晓云,41262022） 一：一阶双曲型微分方程的初边值问题 0,01,0 1.(,0)cos(),0 1. (0,)(1,)cos(),0 1. u u x t t x u x x x u t u t t t ππ??-=≤≤≤≤??=≤≤=-=≤≤ 精确解为 ()t x cos +π 二：数值解法思想和步骤 2.1:网格剖分 为了用差分方法求解上述问题，将求解区域{}(,)|01,01x t x t Ω=≤≤≤≤作剖分。将空间区间[0,1]作m 等分，将时间[0,1]区间作n 等分，并记 1/,1/,,0,,0j k h m n x jh j m t k k n ττ===≤≤=≤≤。分别称h 和τ为空间和时 间步长。用两簇平行直线,0,,0j k x x j m t t k n =≤≤=≤≤将Ω分割成矩形网格。 2.2：差分格式的建立 0u u t x ??-=?? 2.2.1：Lax-Friedrichs 方法 对时间、空间采用中心差分使得 2h 1 1111)(2 1u u x u u u u u t u k j k j k j k j k j k j -+-++-= +=-= ????τ τ 则由上式得到Lax-Friedrichs 格式 1 11111()202k k k k k j j j j j u u u u u h τ+-+-+-+-+=

截断误差为 ()[]k k k j h j j R u L u Lu =- 1 11111()22k k k k k k k j j j j j j j u u u u u u u h t x τ+-+-+-+-??=+-+?? 23222 3 (),(0,0)26k k j j u u h O h j m k n t x ττ??= -=+≤≤≤≤?? 所以Lax-Friedrichs 格式的截断误差的阶式2()O h τ+ 令/s h τ=：则可得差分格式为 1111 11(),(0,0)222 k k k k k j j j j j s s u u u u u j m k n +--++=-+++≤≤≤≤ 0cos()(0)j j u x j m π=≤≤ 0cos(),cos(),(0)k k k m k u t u t k n ππ==-≤≤ 其传播因子为： ()()()e e G h i h i s h i h i σσσστσ---=-+e e 221， 化简可得： ()()()()()h s G h is h G στσσστ σsin 11,sin cos ,2 2 2--=-= 所以当1s ≤时，()1,≤τσG ,格式稳定。 * 2.2.2：LaxWendroff 方法 用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff 的差分格式，在此不详细分析，它的截断误差为() h 2 2 +O τ ，是二阶精度；当2s ≤时，()1,≤τσG ， 格式稳定。在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs 方法进行简单对比。 2.3差分格式的求解

第九章-偏微分方程差分方法汇总

第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0

双曲抛物面屋顶设计

双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计 采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑. 下面是一个单块双曲抛物面薄壳屋盖及其制作过程的大致的示意图

其数学表示由下面两个曲面1(,)z x y 和2(,)z x y 以及平面 , x a y b =±=±围成的空间区域构成.

2222+ 2,(,)+ 2,,x y x y x y f f a b x a y b z x y y f f b a x a a x a y b ?????-? ? ??? ????≤≤?=????- ?????≤≤+--≤≤-≤??δδλλ 12(,)(,)z x y z x y =-δ 其中的参数, 例如, 可以是 0.6 m; 0.26 m; 1.48 m; 8.25 m; =0.025 m; =0.11 m.x y f f a b ====δλ 把直径为6 mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线 2 x x z f a ??= ??? 的临近处从原点(0,0,0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋, 然后再浇注混凝土或树脂. 示意图见图1. 注意: 做本题时有一些工程术语我们无需详细了解.

a) 配筋特征图; b) 预应力钢筋投影在x – y平面上的布置图; c) 预应力钢筋布置侧面图.

图中, 1. 几何轴线; 2. 预应力钢筋; 3. 受压钢筋; 4. 钢筋网; 5. 构造钢筋. 1?: 预应力钢筋分布宽度;2?: 通过原点的直母线位置. 图2 张拉台座及胎模示意图 1. 钢横梁(锚固面); 2. 两端混凝土边梁; 3. 中间混凝土边梁; 4. 边梁之间的联接法兰; 5. 边梁联接处锚固在地里; 6. 60L 角钢拉条; 7. 素混凝土垫层; 8. 预应力钢筋 图3 马鞍面薄壳作为厂房屋盖的示意图 本题用到的参数、含义以及数值举例： 0.6 m; 0.26 m; 1.48 m; 8.25 m; 0.025 m; 0.11 m.x y f f a b ======δλ a 为板宽之半 2 A a =+λ, λ称为翼缘宽度; 0.11 m, 2.74 m A ==λ. b 为屋盖长度之半 2L b = +l , l 称为挑檐长度; =0.75 m, 15 m L =l . δ为屋盖的垂直厚度, 0.05 m =δ. 预应力钢筋的直径为5 mm 0.005 m =.

大连理工大学 高等数值分析 偏微分方程数值解(双曲方程书稿)

双曲型方程的有限差分法 线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程 ()0=??+??x u x a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组 0=??+??x t u A u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。 （c ）二阶线性双曲型方程（波动方程） ()022=?? ? ??????-??x u x a x t u ()x a 为非负函数 （d ）二维，三维空间变量的波动方程 0222222=???? ????+??-??y u x u t u 022222222=???? ????+??+??-??z u y u x u t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征 线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程： （1.1） 22 222x u a t u ??=?? 其中0>a 是常数。 （1.1）可表示为：022 222=??-??x u a t u ，进一步有

0=??? ????+?????? ????-?? u x a t x a t 由于 x a t ?? ±??当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数 （=dt du dt dx x u t u ???+??x u a t u ??±??=）,故由此定出两个方向 （1.3） a dx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =?+ 和 2C t a x =?- 称其为特征。 特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。 比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。由复合函数的微分法则 2 12211C u C u x C C u x C C u x u ??+ ??=?????+?????=?? x C C u C u C x C C u C u C x u ????? ? ????+????+?????? ????+????=??2 212121122 2 22122212212C u C C u C C u C u ??+???+???+??= 22 22122122C u C C u C u ??+???+??= 同理可得 a t t a t C -=??-=??1，a t C =??2 ???? ????-??=?????+?????=??21 2211C u C u a t C C u t C C u t u

抛物型方程差分方法

偏微分方程数值解复习提纲 一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法. 二.基本概念: (1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径; (2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶; (3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件; (4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度； (5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度； (6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法； (7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳 定性、网格的P`e clet数; (8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件； (9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法； (10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解； (11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性. 三.基本方法与技巧: (1)比较函数与利用最大值原理的误差分析; (2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理； (3)修正方程分析、能量法分析； (4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件； (5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar′e-Friedrichs不等式; (6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系; (7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理. 四.基本格式: (1)二维Poisson方程的五点差分格式; (2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法； (3)具有热守恒性质的格式； (4)ADI格式与LOD格式； (5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendro?格式、盒式格式和蛙跳格式；

第九章 偏微分方程差分方法汇总

170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0

数学物理方法第二篇第2章

第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类 §2.2.1数学物理方程 数学物理方程（简称数理方程）通常是指从物理模型中导出的函数方程，特别是偏微分方程，我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程. 数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类： 1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动方程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=（自由振动方程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动方程），这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播 速度.tt u 表示22t u ??，xx u 表示22x u ??；二维波动方程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（二维的），22 2222z y x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散方程，热传导方程.例如，有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程. 3.稳定（或者静止、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯方程. 02222=??+??≡?y u x u u . 在数学中，把二阶线性偏微分方程进行分类，其中有三种最重要

的类型，分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型，热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型，拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型. 对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，又叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题. 边界条件一般有三种类型，以一维的为例：在x =0点的第一边界条件：)(),0(t t u μ=；第二边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这里h 为已知常数，)(t μ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t μ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，一般将边界条件写成)()],(),([t f t M n u t M u D M =??+?∈βα，D ?表示区域D 的边界，n 是D ?的外法线方向，这里α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述. 如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件，则称为混合问题. 例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)

椭球面 双曲面 抛物面

椭球面双曲面抛物面§7.9 二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。相应地，将平面叫做一次曲面。 一般的三元方程F x y z (,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到， 那未怎样了解它的形状呢? 利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。 下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。 一、椭球面 由方程 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 1 ++= (1) 所表示的曲面叫做椭球面。 1、由(1)可知： x a y b z c ≤≤≤ ,, 这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为 x a y b z c =±=±=± ,, 其中常数a b c ,,叫做椭球面的半轴。 2、为了进一步了解这一曲面的形状，先求出它与三个坐标面的交线 x a y b z y b z c x x a z c y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 += = ????? += = ? ? ? ?? += = ? ? ? ?? 这些交线都是椭圆。 3、用平行于xoy坐标面的平面z z z c =≤ 11 () 去截椭球面，其截痕(即交线) 为

x a c c z y b c c z z z 222122 2212 1 1()()-+-==??????? 这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 21 2 -与 b c c z 21 2 -，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1 由0渐增大到c 时， 椭圆的截面 由大到小，最后缩成一点。 4、以平面 y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与 上述类似的结果。 综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。 5、特别地，若a b =，而a c ≠，则 (1) 变为 x a y a z c 22222 21++= 这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22 2 21+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因 此，称此曲面为旋转椭球面。 它与一般椭球面不同之处在于 如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z 轴上的圆

双曲抛物面

1.双曲抛物面 一直母线沿两交叉直导线移动，且始终平行于一个导平面而形成的曲面称为双曲抛物面。 如图所示的双曲抛物面，直母线是AC，交叉直导线是AB和CD，所有素线都平行于铅垂导平面P。 双曲抛物面的投影图 双曲抛物面的相邻两素线是交叉二直线。如果给出了两交叉直导线AB、CD 和导平面P (图a)，只要画出一系列素线的投影，便可完成该双曲抛物面的投影图。作图步骤如下： 1).分直导线AB为若干等分，例如六等分，得各等分点的H投影a、1、2、3、4、5、b 和V投影a'、1'、 2'、3'、4'、5'、b'( 图b )； 2).由于各素线平行于导平面P，因此素线的H投影都平行于PH。如作过分点II的素线II II1 时先作221 //PH， 求出c'd'上的对应点21'后，即可画出该素线的V投影2'2'1 ,如图b所示； 3).同法作出过各等分点的素线的两投影； 4).作出与各素线V投影相切的包络线。这是一根抛物线（图c）。 (a)已知导线AB、CD和导平面P(b) 作出一根素线(c) 完成投影图 讨论问题

一、在上面的投影图a 中，如果以原素线AC和BD作为导线，原导线AB和CD作为母线，以平行于AB和 CD的平面Q作为导平面，也可形成同一个双曲抛物面，如图b所示。因此，同一个双曲抛物面可有两组素线，各有不同的导线和导平面。同组素线互不相交，但每一素线与另一组所有素线都相交。 演示动画 (a)(b) 另一组素线 二、当两方向的导平面都垂直于H面时，双曲抛物面的水平截交线是双曲线，正平面和侧平面截交线是抛物 线。如下图，平面P和Q的截交线分别为双曲线1和双曲线2，水平面R通过曲面的中心O，它的截交线蜕变成相交二直线，为两组双曲线的渐近线。而过中心点O的正平面S和侧平面T的截交线，分别是V投影和W投影的抛物线轮廓线。 演示动画 双曲抛物面在建筑物上的应用 不少建筑物如仓库、礼堂、站台等的屋面，采用双曲抛物面的形式，图示的广州星海音乐厅就是其中的一例。

微分方程数值解II

微分方程数值解II 主要内容： 第一章有限差分法的理论基础 1. 构造差分格式的主要方法； 2. 差分格式的一般性要求； 3. Lax等价性定理； 4. 差分格式的von Neumann稳定性分析方法； 5. 差分格式的修正方程。 第二章线性抛物型方程的差分方法 1. 扩散方程的显式格式； 2. 扩散方程的隐式格式； 3. 线方法； 4. 多维抛物型方程的ADI方法； 5. 分数步法； 6. Burgers方程的差分法和网格雷诺数。 第三章一维线性双曲型方程的数值方法 1. 线性双曲型系统的特征和Riemann问题； 2. 守恒律的有限体积法； 3. Lax-Friedriches格式、Lax-Wendroff格式、特征线法差分格式； 4. 双曲型方程的迎风格式、CIR格式、Godunov 方法； 5. 二阶Godunov格式、总变差概念及限制器函数； 6. 双曲型方程及变系数双曲型方程的高分辨率(TVD)波传播格式。 第四章一维非线性双曲型守恒律的数值方法 1. 非线性双曲型守恒律的间断解、弱解、熵条件； 2. 标量守恒律的Riemann问题解及Godunov格式； 3. 熵修正、数值粘性、Osher格式及高分辨率波传播格式； 4. 守恒型与Lax-Wendroff定理、离散熵条件、非线性稳定性及收敛性； 5. 典型守恒律方程组的Godunov间断分解方法及Godunov格式； 6. 守恒律方程组的MUSCL格式。 第五章多维双曲型守恒律的高分辨率格式 1. 多维方程组的双曲性； 2．Lax-Wendroff方法、Runge-Kutta推进的半离散方法、维数分裂方法； 3. 标量方程的LW方法、Godunov 格式、方向迎风及角迎风格式； 4. 多维标量方程的高分辨率格式； 5. 多维方程组的高分辨率格式。 第六章双曲型守恒律的其它高分辨率方法 1. ENO与WENO格式；

抛物型方程有限差分方法的应用-报告概论

2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人

抛物型方程有限差分方法的应用 摘要 抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。 关键字：抛物型方程，差分格式，应用 Abstract Parabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation. Keywords: parabolic equation, difference scheme, application 0 前言 抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。如果要研究抛物型方程，我们一般从以下几个方面来研究，分别是：定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。但是由于所学知识有限，所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。 1 抛物型方程有限差分法 1.1 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 (1.1) 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()()x x u ?=0,，∞<<∞-x （1.2） 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初